多边形及其内角和
多边形及其内角和
11.3多边形及其内角和状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．专题一根据正多边形的内角或外角求值1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360° B．540° C．630° D．720°5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．基础知识一、选择题1．（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形3．（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或74．（2009•湛江）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）A．30° B．40° C．80° D．不存在5.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引9条对角线,则它是( )A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形6.若一个多边形共有20条对角线,则它是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形7．内角和等于外角和2倍的多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形8.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3个B.4个C.5个D.6个10.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )A.90°B.105°C.130°D.120°11．一个多边形截去一个角后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A．15 B．16 C．17 D．15或16或1712.下列说法正确的是（）A.每条边相等的多边形是正多边形B. 每个内角相等的多边形是正多边形C. 每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形D.以上说法都对13.正多边形的一个内角的度数不可能是（ ）A ．80° B．135° C．144° D．150°14．多边形的边数增加1，则它的内角和（ ）A ．不变B ．增加180° C．增加360° D．无法确定15.在四边形中，、、、的度数之比为2∶3∶4∶3，则的外角等于（ ）（A ）60° （B ）75° （C ）90° （D ）120°二、填空题1．每个内角都为135°的多边形为_________边形.2．一个多边形的每一个外角都等于15°,这个多边形是________边形.3.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_________.4．多边形的内角和与其一个外角的度数总和为1300°，则这个外角的度数为________．5．如图,小明从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数是 .7.如图，在六边形ABCDEF 中，AF ‖CD,AB‖DE,且∠A=120°,∠B=80°,，，则∠C 的度数 是 ，的度数是 ．ABCD A ∠B ∠C ∠D ∠D∠D∠。
专题04 多边形及其多边形内角和(知识点串讲)(解析版)
专题04 多边形及其多边形内角和知识网络重难突破知识点一多边形相关知识多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。
外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(nn（重点）凸多边形概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）典例1 （2018春富顺县期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；∴剩余图形不可能是六边形，故选A.典例2 （2018秋桥北区期中）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【详解】设多边形有n条边，n－2＝9，则n＝11，故答案选B.典例3 （2018春道里区期末）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是( ) A．6 B．9 C．14 D．20【答案】B【详解】由题意可知n=6，所以对角线条数为9知识点二多边形的内角和外角（重点）n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（重点）n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
典例1 （2019春安庆市期中）若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【详解】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．故选C.典例2 （2019春南阳市期中）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】根据n边形的内角和公式，得：（n-2）•180=360，解得n=4．故选B典例3 （2018春菏泽市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春龙安区期末）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为540 ，那么原多边形的边数为（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．4或5或6【答案】D【详解】设新多边形的边数为n,则(n−2)⋅180°=540°,解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6.故选：D.此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式.2．（2019春闻喜县期末）下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【详解】A. 正六边形的每个内角是120°,能整除360°，能密铺；B. 正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°,不能整除360°，不能密铺；C. 正方形的每个内角是90°,能整除360°，能密铺；D. 正三角形的每个内角是60°,能整除360°，能密铺.故选B.【名师点睛】此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于掌握计算法则.3．（2018春南昌县期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得(n-2)×180°=2×360°，解得：n=6，即这个多边形为六边形，故选C．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（2019春道外区期末）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.5．（2018春东坡区期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】C【详解】∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【名师点睛】主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180 （n≥3且n为整数）．6．（2018春金安区期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（）A．100米B．110米C．120米D．200米【答案】A【详解】解：∵360÷36=10，∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．故选A.【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360º．7．（2018春小店区期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．8．（2017秋民勤县期中）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选：C．【名师点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．9．（2016春荔湾区期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：==35，故选C．10．（2018春德州市期末）一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7-3=4.故选：B【名师点睛】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.二、填空题（共5小题）11．（2018春天水市期末）如图，五边形是正五边形，若，则__________．【答案】72【解析】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB交于点F，∵，∴∠2=∠3，∵五边形是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°.[名师点睛]题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.12．（2019春海淀区期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.13．（2018春金东区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为：40°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．14．（2018春延边市期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．【答案】540°【详解】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.【名师点睛】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.15．（2019春东阳市期末）若一个多边形的内角和比外角和多900，则该多边形的边数是_____．【答案】9，【解析】分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．详解：设这个多边形的边数是n，则 (n−2)⋅180°−360°=900°，解得n=9.故答案为： 9.【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.三、解答题（共2小题）16．（2018春云岩区期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是120°．【详解】（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+=180°,解得:x=120°,=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,（2）设内角为x,则外角为,由题意得: x+=180°,解得:x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（6﹣2）×180°=720°．【名师点睛】本题主要考查多边形内角和外角,多边形内角和以及多边形的外角和,解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系以及多边形内角和.17．（2017春黄岩区期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=90°；理由见解析；（2）（2）BE∥DF；理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．试题解析：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．。
(完整版)多边形及其内角和知识点
(完整版)多边形及其内角和知识点多边形是几何学中常见的一个概念，是由若干个线段组成的一个闭合图形。
根据边的数量，我们可以把多边形分为三类：三角形、四边形和多边形。
三角形是由三条线段组成的闭合图形，是最简单的多边形。
三角形有三个内角和，三个内角和等于180度。
这个定理叫做“三角形内角和定理”。
我们不难想象，如果将三角形沿任意一边割开，得到的两个部分必定可以重新组合成一个平行四边形。
接下来我们来谈谈四边形。
四边形是由四条线段组成的闭合图形，它的内角和是360度。
其中，平行四边形的对边相等，且对角线相交，交点把平行四边形分为两个全等的三角形。
这个定理叫做“平行四边形对角线定理”。
接下来是多边形。
多边形是由三条以上的线段构成的闭合图形，多边形的边和角数可能非常多，我们不方便用公式直接表达其内角和。
不过，由于任何多边形都可以分割成若干个三角形，我们可以通过三角形的内角和定理来计算多边形的内角和。
例如，对于一个五边形，我们可以通过将其分割成三角形，计算出五边形的内角和是540度。
五边形有多种类型，例如正五边形的五个内角都是108度，而五边形中的最大内角则可以达到刚刚好不到180度的夹角。
如果我们将五边形表示为ABCDE，其中C是它的最大内角（得到这个五边形非常简单，只需要将任意二十面体四面体化即可），那么我们容易得到公式：∠ACE= ∠ABC + ∠ACB同时，也有一些其他的多边形内角和求解公式，例如正六边形的内角和公式是720度，不过由于时间和空间的关系，我们不在此一一列举。
在实际问题中，多边形的内角和定理可以用于许多计算问题。
例如，在地理问题中，我们需要计算地球表面的一个多边形的面积时，首先需要计算其内角和，并应用面积公式求解。
在数学竞赛中，也常常会出现一些需要计算多边形的内角和的问题，因此，在学习数学的过程中，理解多边形的内角和定理对很多学生来说是非常重要的。
此外，多边形还有一些其他的重要性质和定理，例如多边形的对称性、多边形划分的方法、多边形面积的计算公式等等，这些知识点也非常重要，有助于我们更好地理解和应用多边形的相关知识。
多边形及其内角和
知识点1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接的图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的边与它的邻边延长线组成的角叫做它的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那，整个多边形叫做凸多边形，否则叫凹多边形。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
知识点2、多边形的内角和N边形内角和等于（N-2）×108°。
知识点3、多边形外角和多边形的外角和等于360°。
知识点4、多边形中锐角、钝角的个数多边形中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如长方形）。
多边形外角中最多有三个钝角，最少没有钝角。
知识点5、n边形共有对角线的条数为n（n-3）/2。
例1、下列命题：①多边形的外角和小于内角和②三角形的内角和等于外角和③多边形的外角和大于内角和④多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和⑤四边形的内角和等于它的外角和。
正确的有（）A、0个B、1个C、2个 D3个例2、已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数。
例3、若一个多边形的内角和与外角和之比等于9:2，求此多边形的边数。
例4、某多边形的内角和与外角和的总度数为2160°，求此多边形的边数。
例5、一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，则这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？练一练：1、若N边形的内角和为2160°，求N得值。
2、多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°。
<1>求多边形的边数。
<2>此多边形必有一个内角为多少度？3、若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）。
专题11.3 多边形及其内角和
第十一章三角形11.3 多边形及其内角和1．多边形及其相关概念（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的___________叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．（2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的___________．②多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的___________．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的___________．2．多边形的对角线（1）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的__________，叫做多边形的对角线．（2）规律总结：①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形．②n边形共有(3)2n n-条对角线．3．凸多边形与正多边形（1）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的___________，那么这个多边形叫做凸多边形．（2）正多边形：各个角都相等，各条边都___________的多边形叫做正多边形．4．多边形内角和定理n边形内角和等于___________．正多边形的每个内角的度数为(2)180nn-⋅︒．5．多边形的外角和定理（1）多边形的外角和为___________．（2）外角和定理的应用：①已知外角的度数求正多边形的边数；②已知正多边形的边数求外角的度数．K知识参考答案：1．（1）封闭图形（2）内角，外角，对角线2．（1）线段3．（1）同一侧（2）相等4．(2)180n-⨯︒5．360︒K—重点（1）多边形内角和定理；（2）多边形外角和定理．K—难点（1）多边形内角和定理的推理过程；（2）多边形外角和定理的推理过程．K—易错多边形外角和定理的应用．一、多边形及其相关概念1．多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．【例1】下列说法中，正确说法有①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误．②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形的内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误．③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．【名师点睛】（1）多边形有几条边就是几边形，三角形是最简单的多边形．（2）三角形的三个顶点确定一个平面，但边数大于3的“多边形”的顶点有不共面的情况，所以在多边形的定义中要加上“在平面内”这个条件．（3）多边形用表示它的各个顶点的字母表示，表示多边形的字母要按顶点的顺序书写，可以按顺时针顺序，也可以按逆时针顺序．二、多边形的内角和1．多边形内角和定理：n 边形内角和等于(2)180n -⨯︒．2．多边形内角和定理的推理过程：（1）从n 边形的一个顶点出发，可以引出(3)n -条对角线，这(3)n -条对角线把n 边形分成(2)n -个三角形，又每个三角形的内角和是180︒，所以n 边形的内角和是(2)180n -⨯︒．（2）在n 边形内任取一点P ，连接1PA ，2PA ，…，n PA ，把n 边形分成n 个三角形，这n 个三角形的内角和为180n ⋅︒，再减去中间的一个周角，即得n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒． 3．多边形的内角和的应用：（1）己知多边形的边数，求内角和． （2）已知多边形的内角和，求边数． （3）求正n 边形的每个内角的度数． 【例2】内角为108°的正多边形是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【名师点睛】一个多边形的内角和取决于它的边数，随着边数的增加而增加，并且每增加一条边，内角和就增加180︒．三、多边形的外角和1．多边形的外角和定理：多边形的外角和为360︒． 2．多边形的外角和定理的推理过程：多边形的每个内角同与它相邻的外角都是邻补角，所以n 边形的内角和加上外角和为180n ⋅︒，外角和等于180(2)180360n n ⋅︒--⨯︒=︒． 3．多边形的外角和定理的应用：（1）已知正多边形的外角度数，求边数． （2）已知正多边形的边数，求外角度数． 【例3】十五边形的外角和等于__________°．【答案】360°【解析】根据任意多边形的外角和等于360°，∴十五边形的外角和等于360°．故答案为：360°．【名师点睛】（1）n边形的外角和与边数无关，总是等于360︒．（2）正n边形的每个内角都相等，则每个外角都相等，又其外角和为360︒，所以正n边形的每个外角度数为360n︒．1．若一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是A．6 B．7 C．8 D．92．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为A．540°B．720°C．900°D．1080°3．下列图形中，内角和与外角和相等的是A．B．C．D．4．一个正八边形的每个内角的度数为___________．5．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是___________．6．某正n边形的一个内角为108°，则n=___________．7．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是__________边形；8．一个四边形三个内角度数分别是80°、90°、100°，则余下的一个内角度数是__________．9．根据图中所表示的已知角的度数，可以求出∠α=__________°．10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于__________．11．某多边形的内角和与外角和的总和为1620°，求此多边形的边数．12．多边形中小于120°的内角最多有A．4个B．5个C．6个D．不能确定13．下列说法正确的有①由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个14．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的A．内角和增加180°B．外角和增加360°C．对角线增加一条D．内角和增加360°15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了___________米．16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___________．17．定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，则∠A的取值范围__________．18．已知：四边形ABCD如图所示，（1）填空：∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．（2）请用两种方法证明你的结论．19．若一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1440︒，求原多边形的边数．20．如图所示，求A B C D E F G∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．21．（2018•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．722．（2018•台州）正十边形的每一个内角的度数为A．120°B．135°C．140°D．144°23．（2018•济宁）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=A．50°B．55°C．60°D．65°24．（2018•宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．925．（2018•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__________．26．（2018•聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．1．【答案】C【解析】因为多边形外角和为360°，所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．3．【答案】B【解析】根据多边形内角和公式（n–2）×180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．设多边形的边数为n，根据题意得（n–2）×180°=360°，解得n=4．故选B．4．【答案】135°【解析】180°–360°÷8=180°–45°=135°．故答案为：135°．5．【答案】9【解析】(n−2)⋅180°=3×360°+180°，所以(n−2)⋅180°=6×180°+180°，n−2=7，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．6．【答案】5【解析】．∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°–108°=72°，∴n=360°÷72°=5．故答案为：5．7．【答案】十二【解析】360°÷（180°–150°）=12．故答案为：十二．8．【答案】90°【解析】360°–80°–90°–100°=90°．故答案为：90°．12．【答案】B【解析】∵多边形的内角小于120°，∴外角大于60°，∵360°÷60°=6，∴这个多边形小于120°的内角的个数最多有5个，故选B．13．【答案】A【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误；②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误；③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．14．【答案】A【解析】因为n边形的内角和是（n–2）•180°，外角和为360°，对角线的条数为(3)2n n，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n–1）•180°，内角和增加：（n–1）•180°–（n–2）•180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变；对角线的条数为(2)(1)2n n-+．所以只有A正确，故选A．15．【答案】120【解析】根据多边形的外角和为360°，因为360°÷30°=12，所以他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．16．【答案】360°【解析】∵∠7=∠4+∠6，∠8=∠1+∠5，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°．故答案为：360°．17．【答案】60°<∠A<120°【解析】由“四边形内角和为360°”得，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即∠D=360°–∠A–∠B–∠C，因为0°<∠D<180°，所以0°<360°–3∠A<180°，即180°<3∠A<360°，即60°<∠A<120°．故答案为：60°< ∠A<120°．18．【解析】（1）四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360︒．（2）证法一：如图1，连接AC，∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠D+∠DAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠ACD+∠D+∠DAC=360°，∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°．证法二：如图2，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，∵∠PAB+∠ABP+∠APB=180°，∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°，∠DPC+∠PCD+∠CDP=180°，∠APD+∠ADP+∠DAP=180°，∴∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×4–360°=360°．19．【解析】设原多边形的边数为n，则增加一边后的边数为1n+．由多边形内角和定理得(12)1801440n +-⨯︒=︒，解得9n =， 故原多边形的边数为9．解答本例也可以利用多边形边数每增加1，其内角和就增加180︒这一规律来解，即原多边形的内角和为1440180︒-︒，若设原多边形的边数为n ，则可得方程(2)1801440180n -⨯︒=︒-︒，解得9n =．20．【解析】连接BE ，设DE 与BC 的交点为M ，如图．在CDM △与BEM △中，CMD BME ∠=∠． ∴C D MBE MEB ∠+∠=∠+∠，∴A ABC C D DEF F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠ A ABC MBE MEB DEF F G =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠ A ABE BEF F G =∠+∠+∠+∠+∠(52)180=-⨯︒540=︒．23．【答案】C【解析】∵在五边形ABCDE 中，∠A +∠B +∠E =300°，∴∠ECD +∠BCD =240°， 又∵DP 、CP 分别平分∠EDC 、∠BCD ，∴∠PDC +∠PCD =120°， ∴△CDP 中，∠P =180°-（∠PDC +∠PCD ）=180°-120°=60°．故选C ． 24．【答案】D【解析】正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故选D ． 25．【答案】8【解析】设多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．故答案为：8．26．【答案】540°或360°或180°【解析】n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°．。
多边形及其内角和知识点汇编
多边形知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。
拼成360度的角：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
(完整版)多边形及其内角和知识点
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。
拼成360度的角3、4。
知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形 凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。
要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。
多边形及其内角和
多边形及其内角和知识点：多边形的内角和定理1.四边形内角和等于，能否利用三角形内角和等于180°得出结论：2.从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．3.一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：从n边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180°×______．结论：多边形的内角和与边数的关系是4.镶嵌的定义：用相状、大小________的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间________、不重叠得铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌。
记忆再现1.多边形的内角和【例1】一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.7练习1．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9练习2．（四边形的内角和为（）A.180°B.360°C.540°D.720°2.正多边形的内角和问题【例2】正八边形的每个内角为（）A．120°B．135°C．140°D．144°练习3.正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．9 B．8 C．7 D．4练习4.已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边是__________．3.外角和问题【例3】（五边形的外角和等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°练习5．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（）A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形练习6.若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．94.内角和和外角和综合问题【例4】已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为_____边形．练习7.若一个正多边形的一个外角为40o，则这个正多边形是_______边形．练习8.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形5.对角线问题【例5】若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_____________．练习9．若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形练习10.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（）A．6条B．7条C．8 D．9条6.综合问题【例6】如图，依次以三角形、四边形、……、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为S n．则S90的值为_________________．（结果保留π）练习11.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线L∥CD，则∠1= ．练习12.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。
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那么这个多边形就叫做n边形。
注意：n所代表的数字必须是汉字中的 数字，如三角形，六边形，十边形等等， 但当问题问这个多边形有多少条边时， 我们可以用阿拉伯数字说明这个n边形有 3条边，4条边等。
根据图示，类比三角形的有关概念，
说明什么是多边形的边、顶点、内角、
外角
顶点
…
… … … … …
n边形 n n-2
(n－2) ·180° (n－2) ·180°
从上表中得到了什么结论？
结论：n边形的内角和为： （n－2）×180°(n≥3).
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
n边形共有对角线
n(n 3) 条(n≥3) 2
练一练:
（1）求十边形的内角和的度数。
我们是怎样求多边形内
角和的？
A
就是从多边形的一个顶 点出发，能引几条对角 线把一个多边形分成几 个三角形。
B
G F
E
D C
总结：n边形内角和公式
n边形内角和=(n－2) ·180°
A
G
F
B
E
D C
……..
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
对角线是解决多边形问题的常用辅助线
多边形问题 转化 三角形问题
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一条直线上的三 条线段首尾顺次相接所组成的图形。
四边形的定义：
在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段 首尾顺次相接所组成的图形。
五边形
六边形
七边形
……
多边形的定义：
在同一平面内，由不在同一条 直线上的一些线段首尾顺次相接 所组成的（封闭）图形。
多边形按组成它的线段条数分成三 角形、四边形、五边形……其中三角形 是最简单的多边形。
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
反过来，由定义可以得，正多边形有什么性 质呢？
1、填空题 （1）连接多边形（ 不相邻的两个顶点 ）的线段，叫做多边形的多角形。 （2）多边形的任何（ 一条边 ）所在的直线，整个多边形都在这条 直线的（ 同一侧 ），这样的多边形叫做凸多边形 。
（3）各个角（都相等 ），各条边（都相等）的多边形，叫做正多边形。
方法2
B
A
180°× 5=900°？ 五边形内角和540°？？
O
E
D C 180°× 5 – 360°= 540°
方法3 把一个五边形分成几个三角
形，还有其他的分法吗？ A
E B
D
C
F
180° × 4 – 180° = 540°
选择同一种方法分别求出任意六边形、 七边形、八边形的内角和等于多少度？
你能写出任意n边形的内角和吗？
从五边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将五边形分 为多少个三角形，五边形的内角和等于180°×（ ）。
从六边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将六边形分 为多少个三角形，六边形的内角和等于180°×（ ）。
从七边形的一个顶点出发，可以引（ ）条对角线，他们将七边形分 为多少个三角形，七边形的内角和等于180°×（ ）。
如果整个多边形都在这条 如果整个多边形不在这条
直线的同一侧，那么这个 直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形
多边形就是凹多边形
另外，根据多边形的内角和是否大于180°，我们也 可以区分这两种多边形。而中学阶段我们一般说的多 边形都是凸多边形。
观察下列图形，它们的边、角有什么特点？
它们的边都相等，角也都相等
（4）一个n边形有（ n ）条边， （ n ）个顶点， （ n ）个内角， （ n ）个外角。
2、画出下列多边形的全部对角线
三角形的内角和是180°，那么四边 形的内角和是多少呢？五边形呢？你 是如何得到这个结论的？
探究
请你利用分割的方
A
法探索五边形的内
角是多少？
E
B D
C 5边形内角和=3×180°=540°
(1)这个多边形的边数.
(2)这个多边形内角和的度数.
3、填空(求边数)
1、已知一个多边形的内角和为1080°， 则它的边数为＿8＿。
2、已知一个多边形的每一个内角都是 156°，则它的边数为＿15＿。
例： 一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，
CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
解：如图所示，连结AD，
例1 如图，在五边形的每个顶点处各取
一个外角，这些外角的和叫做五边形的外 角和．五边形的外角和等于多少？
三角形没有对角线。
回想三角形的表示方法，这个多边
形应该如何表示？
A2
A1 An
首先给每个顶点标上一个大写字母，
然后写出这个图形是几边形，最后
A 再以一个字母为起点，沿顺时针或
逆时针方向将字母按顺序写出。如 3
四边形ABCD，五边形ABCDE，
n边形A1 A2A3A4A5A6···An
A4
A6 A5
如图所示，观察两个图形，找出相同点和不同点
边
组成多边形的线段叫做多边形的边
相邻两边的交点叫做多边形的顶点
外角
相邻两边的夹角叫做多边形的内角
多边形的边与它相邻的延长组 成的角叫做多边形的外角
连接多边形不相邻的两个 顶点的线段叫做多边形的 内角
对角线
对角线
三角形有对角线吗？为什么？
没有，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶
点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以
（未知）
（已知）
请探索任意一个多边形的内角和与外 角和的规律.
三角形
四边形
五边形
……
六边形
n边形
多边形
边 数
分成三 角形的
个数
图形
三角形 3
1
四边形 4
2
五边形 5
3
六边形 6
4
七边形 7
5
内角和 计算规律
180° 1 ×180° 360° 2 ×180° 540° 3 ×180° 720° 4 ×180° 900° 5 ×180°
解：(10－2)×180°=8 ×180°=1440° 答:十边形的内角和是1440°
（2）已知一个多边形的内角和为720o ，则这个 多边形是__6____边形 （3）在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且 ∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为__8_0_o___
过多边形一个顶点的所有对角线将这个 多边形分成3个三角形,求:
E
∵AB∥DE， CD∥AF（已知）
D
1 2
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4（两
F
C
直线平行，内错角相等）
43
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
A
B
即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F =（6－2）×180°= 720°
∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360°