电磁学电势课件讲解
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物理 电磁学 第11讲 电势叠加原理及电势的计算
R2
Q1 Q2 4 π R 4 π R ( r R1 ) 0 1 0 2 Q2 Q1 ( R1 r R2 ) 4 π r 4 π R 0 0 2 Q1 Q2 4 π r ( r R2 ) 0
[例] 均匀带电球层 ，内外半径为 R1，R2，求：A、B 两点的电势。 解：取带电球面 1. 求 A
Q1 ( r R ) 1 4 π R 0 1 1 Q1 ( r R ) 1 4 π 0 r
Q2 ( r R ) 2 4 π R 0 2 2 Q2 ( r R ) 2 4 π 0 r
Q2
区域 r < R1 R1 < r < R2 r > R2
Q1 O R1
R2
外壳贡献 总电势
内壳贡献
Q1 1内 4π 0 R1
Q1 1外 4π 0 r Q2 2外 4π 0 r
Q2 2内 4π 0 R2
1内 2内
1外 2内
1外 2外
解： 总电势分布为
1 2
Q2
Q1 O R1
P
[例] 己知：均匀带电圆盘，总电量 Q，半径 R。 求：圆盘轴线上任意点 P 处的电势。 解：利用电势积分法。
1.分割合适电荷元
dq dS Q π R2 dS 2π d
O d
r x P dq
2.电荷元 dq 在 P 处电势 3.总电量 Q 在 P 处电势
dq d 4π 0 r
1 q 4π 0 r
OP r
P r+
r- r
[例] 求距电偶极子相当远处的电势。
大物电磁学 第三章 电势
4 0r 2
方向沿径向向外 方向沿径向向外
18
AQ
(r R1) E3 40r2
方向沿径向向外
（3）球内、外各点的电势
注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。
电势零点位置选择：如无特殊说明，对球状
带电体产生的电场，选
取无穷远处为电势零点。
即：令 0
19
R oP1
二、公式 静电场力的功 = 电势能差 电势差 公式 电势公式
三、解题方法 求场强时的填补法，叠加法； 求电势的方法，电势差的方法
28
作业：P87 3.2 3.3 3.7 3.9
29
课后思考题： 如图，两个同心的半球面相对放置，半径分别 为 R 1 和 R 2 （ R1 R2 ），都均匀带电，电荷面 密度分别为 1 和 2 .试求大的半球底面圆直 径AOB上得电势. B
总
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
1
4 0
qi ri
r i : 第 i个点电荷到场点的距离
0
qi
.P
3、连续带电体的电场中的电势 令
d 1 dq 40 r
r : 所取的任意位置的电荷元
到场点的距离
0
dq
+q
r
.P
32
总电势
dq
4 电荷分布范围 0r
( 0)
注意：电势是标量，上式可直接积分，电势 迭加比电场迭加要简便。
P20( x2R2x)
( 0)
39
3-5 电荷在外电场中的静电势能
八、电势能差、电场力的功及电势、电 场四者之间的关系
Wa Wb Aab
b
b
q 0a E d l q 0a E c o sd l
方向沿径向向外 方向沿径向向外
18
AQ
(r R1) E3 40r2
方向沿径向向外
（3）球内、外各点的电势
注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。
电势零点位置选择：如无特殊说明，对球状
带电体产生的电场，选
取无穷远处为电势零点。
即：令 0
19
R oP1
二、公式 静电场力的功 = 电势能差 电势差 公式 电势公式
三、解题方法 求场强时的填补法，叠加法； 求电势的方法，电势差的方法
28
作业：P87 3.2 3.3 3.7 3.9
29
课后思考题： 如图，两个同心的半球面相对放置，半径分别 为 R 1 和 R 2 （ R1 R2 ），都均匀带电，电荷面 密度分别为 1 和 2 .试求大的半球底面圆直 径AOB上得电势. B
总
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
1
4 0
qi ri
r i : 第 i个点电荷到场点的距离
0
qi
.P
3、连续带电体的电场中的电势 令
d 1 dq 40 r
r : 所取的任意位置的电荷元
到场点的距离
0
dq
+q
r
.P
32
总电势
dq
4 电荷分布范围 0r
( 0)
注意：电势是标量，上式可直接积分，电势 迭加比电场迭加要简便。
P20( x2R2x)
( 0)
39
3-5 电荷在外电场中的静电势能
八、电势能差、电场力的功及电势、电 场四者之间的关系
Wa Wb Aab
b
b
q 0a E d l q 0a E c o sd l
电磁学中的电场与电势
电磁波接收
接收设备通过感应电磁波中的电场和磁场变化， 将其转换为电信号进行处理。
实际应用：无线通信系统
无线通信原理
利用电磁波在空间中传播的 特性，实现信息的无线传输 。
发射与接收设备
包括发射机、接收机等设备 ，用于将信息转换为电磁波 并发射出去，或者接收电磁 波并转换为信息。
调制与解调技术
通过对电磁波进行调制和解 调，实现信息的编码和解码 过程。
电势差定义
电场中两点间的电势差等于单位正电荷从一点移动到另一点时电场力所做的功。
计算公式
$U_{AB} = varphi_{A} - varphi_{B}$，其中$U_{AB}$表示A、B两点间的电势差 ，$varphi_{A}$和$varphi_{B}$分别表示A、B两点的电势。
等势面概念及应用
麦克斯韦方程组是现代物理学的重要 基石之一，对量子力学、相对论等理 论的发展产生了深远影响。
广泛应用
在无线通信、电子学、光学等领域有 着广泛的应用，推动了现代科技的飞 速发展。
电磁波产生、传播和接收原理
电磁波产生
时变电场和磁场相互激发，形成电磁波并向外传 播。
电磁波传播
电磁波在空间中以光速传播，遇到不同介质时会 发生反射、折射、散射等现象。
常见电场类型及其特点
静电场
恒定电场
由静止电荷产生的电场称为静电场。静电 场具有无旋性，即电场线是闭合的或始于 正电荷、终止于负电荷。
由恒定电流产生的电场称为恒定电场。恒 定电场具有有源性，即电场线始于正电荷 、终止于负电荷，不形成闭合回路。
感应电场
辐射电场
由变化的磁场产生的电场称为感应电场。 感应电场具有有旋性，即电场线不是闭合 的，而是形成涡旋状。
接收设备通过感应电磁波中的电场和磁场变化， 将其转换为电信号进行处理。
实际应用：无线通信系统
无线通信原理
利用电磁波在空间中传播的 特性，实现信息的无线传输 。
发射与接收设备
包括发射机、接收机等设备 ，用于将信息转换为电磁波 并发射出去，或者接收电磁 波并转换为信息。
调制与解调技术
通过对电磁波进行调制和解 调，实现信息的编码和解码 过程。
电势差定义
电场中两点间的电势差等于单位正电荷从一点移动到另一点时电场力所做的功。
计算公式
$U_{AB} = varphi_{A} - varphi_{B}$，其中$U_{AB}$表示A、B两点间的电势差 ，$varphi_{A}$和$varphi_{B}$分别表示A、B两点的电势。
等势面概念及应用
麦克斯韦方程组是现代物理学的重要 基石之一，对量子力学、相对论等理 论的发展产生了深远影响。
广泛应用
在无线通信、电子学、光学等领域有 着广泛的应用，推动了现代科技的飞 速发展。
电磁波产生、传播和接收原理
电磁波产生
时变电场和磁场相互激发，形成电磁波并向外传 播。
电磁波传播
电磁波在空间中以光速传播，遇到不同介质时会 发生反射、折射、散射等现象。
常见电场类型及其特点
静电场
恒定电场
由静止电荷产生的电场称为静电场。静电 场具有无旋性，即电场线是闭合的或始于 正电荷、终止于负电荷。
由恒定电流产生的电场称为恒定电场。恒 定电场具有有源性，即电场线始于正电荷 、终止于负电荷，不形成闭合回路。
感应电场
辐射电场
由变化的磁场产生的电场称为感应电场。 感应电场具有有旋性，即电场线不是闭合 的，而是形成涡旋状。
高中物理选修课件电势能和电势
电势能与电势实验验证
电势能实验
通过测量电荷在电场中不同位置的电势能，可以验证电势能公式的正确性。实验中可以通过测量电荷在电场中的 受力情况，从而得到电势能的变化情况。
电势实验
通过测量电场中不同位置的电势，可以验证电势公式的正确性。实验中可以利用电势差计等仪器测量电势差，从 而得到电势的分布情况。同时，也可以通过测量电荷在电场中的移动情况来间接验证电势公式的正确性。
能量转化效率
不同的电化学过程具有不同的能量转化效率。一些过程能够高效地转化 电能为化学能或其他形式的能量，而另一些过程则可能存在较大的能量 损失。
XX
PART 06
总结与展望
REPORTING
课程总结
电势能概念
电势能是电荷在电场中具有的势能，与电荷的位 置和电场强度有关。通过本课程的学习，学生应 能熟练掌握电势能的定义、计算公式及其物理意 义。
REPORTING
恒定电流通过导体时产生焦耳热与电势能变化
焦耳热产生
当恒定电流通过导体时，自由电 荷在导体内部定向移动会与导体 原子发生碰撞，将部分电能转化
为内能，产生焦耳热。
电势能降低
在电流通过导体的过程中，自由 电荷从高电势处向低电势处移动
，电势能逐渐降低。
能量守恒
虽然电势能降低，但根据能量守 恒定律，减少的电势能转化为导 体的内能（焦耳热）和其他形式
电势能具有相对性
电势能的大小与所选取的 零电势点有关。
电势能是标量
电势能没有方向，只有大 小。
电势能可以叠加
多个点电荷在电场中某点 的电势能等于各个点电荷 在该点电势能的代数和。
XX
PART 02
电势基本概念
REPORTING
大学物理《电磁学》PPT课件
大学物理《电磁学》PPT课件•电磁学基本概念与原理•静电场中的导体和电介质•恒定电流及其应用•磁场性质与描述方法•电磁感应原理及技术应用•电磁波传播特性及技术应用目录CONTENTS01电磁学基本概念与原理电场强度描述电场强弱的物理量，其大小与试探电荷所受电场力成正比，与试探电荷的电荷量成反比。
静电场由静止电荷产生的电场，其电场线不随时间变化。
电势与电势差电势是描述电场中某点电势能的物理量，电势差则是两点间电势的差值，反映了电场在这两点间的做功能力。
欧姆定律描述导体中电流、电压和电阻之间关系的定律。
恒定电流电流大小和方向均不随时间变化的电流。
静电场与恒定电流磁场磁感应强度磁性材料磁路与磁路定律磁场与磁性材料由运动电荷或电流产生的场，其对放入其中的磁体或电流有力的作用。
能够被磁场磁化并保留磁性的材料，分为永磁材料和软磁材料。
描述磁场强弱的物理量，其大小与试探电流所受磁场力成正比，与试探电流的电流强度和长度成反比。
磁路是磁性材料构成的磁通路径，磁路定律描述了磁路中磁通、磁阻和磁动势之间的关系。
描述变化的磁场产生感应电动势的定律。
法拉第电磁感应定律描述感应电流方向与原磁场变化关系的定律。
楞次定律描述磁场与变化电场之间关系的定律。
麦克斯韦-安培环路定律由变化的电场和磁场相互激发而产生的在空间中传播的电磁振荡。
电磁波电磁感应与电磁波麦克斯韦方程组及物理意义麦克斯韦方程组由四个基本方程构成的描述电磁场基本规律的方程组，包括高斯定理、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培环路定律。
物理意义麦克斯韦方程组揭示了电磁现象的统一性，预测了电磁波的存在，为电磁学的发展奠定了基础。
同时，该方程组在物理学、工程学等领域具有广泛的应用价值。
02静电场中的导体和电介质导体在静电场中的性质静电感应当导体置于外电场中时，导体内的自由电子受到电场力的作用，将重新分布，使得导体内部电场为零。
静电平衡当导体内部和表面的电荷分布不再随时间变化时，称导体达到了静电平衡状态。
电势梯度---电磁学
4 0 ( x 2
y2 y2
z2) z2 )5/2
2
3Pxy
40(x2 y2
z2 )5/ 2
2
4
0(x2
P y2
z2 )2
4x2 y2 z2
P(0,y) y
讨论：
1. 在X轴上，y=0，z=0，则 E
P
Ex 20x3 Ey 0, Ez 0 -q
+q
2. 在Y 轴上，x=0，z=0，则
yA
r
q q r0
x
25
上节课：U
1
4 π 0
p cos
r2
4
p
π 0
(x2
x y2
z2 )3/2
Ex
U x
p
4 π0
y2 z2 2x2 (x2 y2 z2 )5/2
yA
r
r
r
q q r0
x
Ey
U y
4
p
π 0
(x2
3xy y2
z2 )5/2
Ez
26
E
Ex2
E
2 y
Ez2
P(2x2
19
例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.
解
E U
U
q
4 π 0 (x2 R2 )1 2
E
Ex
U x
y dq dl
qR
o
z
r
x
P x E
q
x
4π
0
(x2
R2
)1
2
qx
4π 0(x2 R2)3 2
20
1. 在环心O 即x=0处的电势和场强如何？ 2. 想象一下这均匀带电圆环的E 线和等势面分布。
y2 y2
z2) z2 )5/2
2
3Pxy
40(x2 y2
z2 )5/ 2
2
4
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P y2
z2 )2
4x2 y2 z2
P(0,y) y
讨论：
1. 在X轴上，y=0，z=0，则 E
P
Ex 20x3 Ey 0, Ez 0 -q
+q
2. 在Y 轴上，x=0，z=0，则
yA
r
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25
上节课：U
1
4 π 0
p cos
r2
4
p
π 0
(x2
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z2 )3/2
Ex
U x
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4 π0
y2 z2 2x2 (x2 y2 z2 )5/2
yA
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(x2
3xy y2
z2 )5/2
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26
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E
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P(2x2
19
例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.
解
E U
U
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4 π 0 (x2 R2 )1 2
E
Ex
U x
y dq dl
qR
o
z
r
x
P x E
q
x
4π
0
(x2
R2
)1
2
qx
4π 0(x2 R2)3 2
20
1. 在环心O 即x=0处的电势和场强如何？ 2. 想象一下这均匀带电圆环的E 线和等势面分布。
清华大学大学物理经典课件——电势
电磁学（第三册）
第3章 电势
陈信义编
1
目录
§3.1 静电场的保守性 §3.2 电势差和电势 §3.3 电势叠加原理 §3.4 电势梯度 §3.5 电荷在外场中的静电势能 §3.6 电荷系的静电能 §3.7 静电场的能量 补充：静电场环路定理的微分形式
【演示实验】高压带电操作、电容器储能
2
§3.1 静电场的保守性
电场线 等势面
23
电场线
等势面
平行板电容器
24
人心脏的等电势 线，类似于电偶 极子。
25
二、场强和电势的关系
静电场中某点的电场强度，等于该点电 势的负梯度
EU
U xiUy jUz k
证明见力学§4.8由势能求保守力。 电势梯度矢量：U
静电场强等于负电势梯度矢量。
26
U 的基本特征：U 垂直于过该点的等势 面，方向是电势升高最快的方向。
i
U(p)p 0E drp 0E idr U i(p)
p
ip
i
15
1、点电荷体系
U(p)in14qi0ri
qj dqqi
p ri
2、连续分布的电荷体系
p
dq
r U(p)电荷 体4系 dq0r
16
【例】均匀带电圆环轴线上的电势
q
dq
r
R
O
x
p
U(
p)
dq
40r
1 4
0r
q
dq
q q
40r 40 R2x2
7
二、电势 选 p0 点为电势零点：Up0 0，则 p点电势
p0
U ( p) E dr p
—把单位正电荷自该点移到电势零点，电 场力作的功。
第3章 电势
陈信义编
1
目录
§3.1 静电场的保守性 §3.2 电势差和电势 §3.3 电势叠加原理 §3.4 电势梯度 §3.5 电荷在外场中的静电势能 §3.6 电荷系的静电能 §3.7 静电场的能量 补充：静电场环路定理的微分形式
【演示实验】高压带电操作、电容器储能
2
§3.1 静电场的保守性
电场线 等势面
23
电场线
等势面
平行板电容器
24
人心脏的等电势 线，类似于电偶 极子。
25
二、场强和电势的关系
静电场中某点的电场强度，等于该点电 势的负梯度
EU
U xiUy jUz k
证明见力学§4.8由势能求保守力。 电势梯度矢量：U
静电场强等于负电势梯度矢量。
26
U 的基本特征：U 垂直于过该点的等势 面，方向是电势升高最快的方向。
i
U(p)p 0E drp 0E idr U i(p)
p
ip
i
15
1、点电荷体系
U(p)in14qi0ri
qj dqqi
p ri
2、连续分布的电荷体系
p
dq
r U(p)电荷 体4系 dq0r
16
【例】均匀带电圆环轴线上的电势
q
dq
r
R
O
x
p
U(
p)
dq
40r
1 4
0r
q
dq
q q
40r 40 R2x2
7
二、电势 选 p0 点为电势零点：Up0 0，则 p点电势
p0
U ( p) E dr p
—把单位正电荷自该点移到电势零点，电 场力作的功。
物理 电磁学 第10讲 场强积分法求电势
[ 例 ] 无限长均匀带电圆筒 (R1， R2) ， 已知空气的 击穿场强为 Em。求两筒面之间的电压。 解： P 的场强为： l1 E e ˆr —— 2π 0 r 内外两极间电压为 R2 U R1 R2 E dl
l2
R2 R1
l1
r
P
l1 dr 2 π 0 r l1 R2 ln 2 π 0 R1
B A E dl
在点电荷 +q 的电场中，若取图中 P 点处 为电势零点，求 M 点的电势。
P a +q P 2a M
M
O q P 1 P M E dl ˆr dl M 2 e 4π 0 r
q q a dr 2a 2 4π 0 r 8 π 0a
P
P P P
l dr l r0 ln 2 π 0 r r 2 π 0，
2. r < r0，P > 0
静电除尘
以 R1 和 R2 分别表示 电晕极与集电极的半 径，L 表示集电极圆 筒高度，通常 L R2，已知空气的击穿 场 强 为 Em 。 请 计 算 出管式静电除尘器的 除尘电压。
例 如果取 B 点的电势为零，求 A 点和 C 点的电势。 O 10 cm 10 cm 10 cm q = 10-8 C B A 解：由待求点积分至零电势点
C
r
q B1 A ˆ r dl A 2 e 4π 0 r q B dr q 1 1 450V A 2 4π 0 r 4π 0 rA rB e ˆ d l e ˆ d l 1 q d r q 1 r r B B B C 2 C C E dl ˆ r dl C 2 e 4π 4π 0 r 0 rdr 1 q B dr q 1 1 150V C 2 4π 0 r 4π 0 rC rB
电磁学第8章-电势s。
无论质点的轨迹多么复杂，不管过程如何，只 要初末位置确定，保守力的功就可以轻松得出
A保 E p
静电力将电荷 q0 从电场中P 点
移动到 Q 点的过程中，静电场
Q rQ
力做正功时，电势能减少。
q0
Q
q
Q rP
P
(WQ Wp ) APQ P F dl q0 P E dl
E
dr
P
Q E dl
P
Q P (E1
E2
En
)
dl
Q
P E1
dl
Q
P E2
dl
Q P En
dl
A(
P,Q
)
/
q
静电场的保守性
任何静电场，电场强度的曲线积分只取决于起始和终末 位置，而与路径无关。
静电场的环路定理
当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移
动的过程中电场力所做的功：
Q
APQ
q0
E dl
P
q0 (U P UQ )
匀强电场的电势差
Od
x
Q
U PQ U P UQ
E dl
P
d
U PQ U P UQ 0 Edx Ed
4、点电荷电势的计算
第8章 电 势 electric potential
§ 8.1 静电场的保守性和环路定理 § 8.2 电势差和电势 § 8.3 电势叠加原理 § 8.4 电势梯度 § 8.5 静电势能 § 8.6 电荷系的静电能 § 8.7 静电场的能量
A保 E p
静电力将电荷 q0 从电场中P 点
移动到 Q 点的过程中，静电场
Q rQ
力做正功时，电势能减少。
q0
Q
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Q rP
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(WQ Wp ) APQ P F dl q0 P E dl
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Q
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P,Q
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/
q
静电场的保守性
任何静电场，电场强度的曲线积分只取决于起始和终末 位置，而与路径无关。
静电场的环路定理
当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移
动的过程中电场力所做的功：
Q
APQ
q0
E dl
P
q0 (U P UQ )
匀强电场的电势差
Od
x
Q
U PQ U P UQ
E dl
P
d
U PQ U P UQ 0 Edx Ed
4、点电荷电势的计算
第8章 电 势 electric potential
§ 8.1 静电场的保守性和环路定理 § 8.2 电势差和电势 § 8.3 电势叠加原理 § 8.4 电势梯度 § 8.5 静电势能 § 8.6 电荷系的静电能 § 8.7 静电场的能量
物理 电磁学 第10讲 场强积分法求电势
物理电磁学第10讲场强积分法求电势
场强积分法也称为库仑定理，用于计算一个电荷分布所产生的电势。
电荷分布可以是由一组点电荷组成，也可以是由连续分布的电荷形成。
根据场强积分法，电势的计算公式为：
V = ∫(k * dQ) / r
其中，V表示电势，k表示库仑常数，dQ表示电荷元素，r表示从电荷元素到观察点的距离。
积分符号表示对所有电荷元素进行积分。
具体操作步骤如下：
1. 确定观察点和电荷分布的相对位置。
2. 将电荷分布分成小的电荷元素。
3. 对每个电荷元素，计算其电荷值和与观察点的距离。
4. 将电荷元素的电势贡献通过上述公式累加。
5. 对所有电荷元素进行累加后，得到最终的电势。
如果电荷分布是由一组离散的点电荷组成，可以直接使用场强积分法求解电势。
如果电荷分布是连续的，需要使用积分来求解电势。
另外，场强积分法仅适用于静电场。
对于有磁场存在的情况，需要使用磁场积分定理来计算电势。
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? ? ln x 2 ? a 2 ? a
4?? 0 x 2 ? a 2 ? a
14
3.7 求出1.18题中两同轴圆筒之间的电势差 .
解：据 1.18 题的结果：两同轴
圆筒之间的电场强度为
? E ? 2?? 0 r
?? ??
(R1 ? r ? R2 )
R1 R2
因此，两同轴圆筒之间的电势差
为
(2)假设地球表面以上 10km 范围内的电场强度都是这 一数值，那么在此范围内所储存的电场能共是多少 kW·h？
解：(1)据电场能量密度公式可得地球表面上空晴天 时的电场能量密度为
we
?
?0E2
2
?
8.85 ? 10?12 ? 100 2 2
?
4.4 ? 10?8（J / m 3）
(2)因为10km 远远小于地球半径，所以可近似计算
? C ? ? 2?? 0a
将一电量为＋ Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力
要做的功为
?q
A外 ? －A ? －Q（? ? －? C）
a C? a
?
Q? C
?
?
3qQ
2?? 0a
? q? a ? ?2q
6
3.9 一无限长均匀带电圆柱，体电荷密度为ρ，截面半 径为a . (1)用高斯定理求出柱内外电场强度分布 ;
q1 R1
R2
? ? ? 于是有
U 12
?
? R2 ? E ?dr
R1
?
R2
k
R1
q1 r2
r??dr? ?
R2
k
q1
dr
r2
R1
11
?
kq1 ( R1
?
) R2
2
? E
?
k
q1 r2
r?
(R1 ? r ? R2 )
11
U 12
?
kq1 ( R1
?
) R2
所以
q1
?
U12 R1 R2 k (R2 ? R1 )
(2)求出柱内外的电势分布，以轴线为势能零点 ;
(3)画出E－r 和? －r图;
解 :(1) 无限长的均匀带电圆柱所产生的
电场具有轴对称性，故空间电场的分
布也具有轴对称性，即空间各点的电
场方向与轴垂直 .
h
r
o
?P r
据电场的对称性，可经场点 P作 一个半径为 r、高为h的圆柱面作为 高斯面,如图所示 .
(1) 内、外球面上所带电量 ;
(2) 在两个球面之间何处的电势为零？
解: (1) 设内外球面所带电量分别为 q1、q2, 据电势叠加
原理有
?1
?
k
q1 R1
?
k
q2 R2
(1)
和
?2
?
k
q1 R2
?
k
q2 R2
(2)
代入数据，由以上两式可解得
q1
?
2 ? 10?9 3
C
；q2
?
?
4 3
? 10 ?9
? ? ? ? a
? 外＝
r
? E外
?dr? ?
0 a
?? E内 ?dr
?
a r
?a2 2? 0r
dr
?
0 a
? 2? 0
rdr
?a2
a
? (2ln ? 1)
4? 0
r
9
(3)E－r 和? －r图: E?
E
O
a
r
?
10
3.33 地球表面上空晴天时的电场强度约为 100V/m. (1)此电场的能量密度多大？
电势 习题、例题分析
+
3.2 两个均匀带电球壳同心放置，半径分别为 R1和 R2(R1<R2)，已知内外球壳之间的电势差为 U12，求两球 壳间的电场分布 .
解：方法一： 利用场强与电势的积分关系
设内外球壳分别带电为 q1、q2.
q2
那么，内外球壳之间的电场强度为
? E
?
k
q1 r2
r?
(R1 ? r ? R2 )
2? 0 r
?P r
8
E ? ? r (r ? a) ， E ? ?a2
2? 0
2? 0 r
(r ? a)
(2)以轴线为电势零点，则柱内任一点电势为
? ? ? 0
? 内＝
r
?? E内 ?dr ?
0 r
? 2? 0
rr??dr?
?
0 r
? 2? 0
rdr
? ? ? r2
o
r
4? 0
(2)柱外任一点电势为
解：如图所示，在直杆上坐标为 z处取
一长为dz的电荷元，其带电量为 ?dz .
z
a dz zr
这一电荷元在 x处(x>0)产生的电势为
0
xx
d? ? dq ?
? dz
?
4?? 0r 4?? 0 x 2 ? z 2
?a
据电势叠加原理可得细直杆在 x处产生的电势为
? ?a
? ? d? ?
? dz
? a 4?? 0 x 2 ? z 2
于是内外球壳之间的电场强度分布为
q2 q1 R1
R2
? E?
k
q1 r2
r? ?
U12 R1 R2 (R2 ? R1 )r 2
r?
(R1 ? r ? R2 )
3
方法一： 利用电势的已知公式
设内外球壳分别带电为 q1、q2.
那么，内外球壳的电势差为
U 12
?
(k
q1 R1
?
k
q2 ) ? R2
(k
q1 R2
?
k
q2 ) R2
?
kq1
(
1 R1
?
1) R2
所以
q1
?
U12 R1 R2 k (R2 ? R1 )
q2 q1 R1
R2
于是内外球壳之间的电场强度分布为
? E
?
k
q1
r? ?
U12 R1 R2
r?
r2
(R2 ? R1 )r 2
(R1 ? r ? R2 )
4
3.20 一边长为 a的正三角形，其三个顶点上各放置 q，
W ? 4?Re2 hwe ? 4 ? 3.14 ? (6.4 ? 10 6 )2 ? 10 4 ? 4.4 ? 10 ?8 (J )
? 6.3 ? 104 (kW ?h)
11
3.3 两个同心的均匀带电球面，半径分别为 R1＝
5.0cm，R2＝20.0cm，已知内球面的电势为 ? 1= 60V,外球面的电势为 ? 2＝－30V.
C
12
(2) 设在离球心 r (R1<r<R2)处的电势为零 ,由电势叠加 原理得
k q1 ? k q2 ? 0
r
R2
代入数据，可解得
(R1 ? r ? R2 )
r ? 0.1 (m)
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3.5 一细直杆沿 z轴由z=－a延伸到z=a，杆上均匀带电，
其线电荷密度为λ，试计算 x轴上x>0各点的电势 .
-q 和 -2q的点电荷，求此三角形重心上的电势 . 将一
电量为＋ Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力要
做多少功？
解：此三角形重心上的电势为
?C ? k
q 3
? k ? q ? k ? 2q
3
3
a
a
a
3
3
3
?q
a C? a
? q? a ? ?2q
? ? 2k 3q ? ? 3q
a
2?? 0a
5
3q
7
?? ?? ?? ??
于是 ?E ?dS ? ?E ?dS＋ ?E ?dS＋ ?E ?d E ?2?rh S侧
据高斯定理有
r
h
o
?? r 2h
(r ? a)
E ?2?rh ?
?0 ?? a 2h
(r ? a)
?
?
0
r
(r ? a)
所以 E ? 2?0
?a2
(r ? a)