佛山市南海区2014届高三入学摸底考试数学理试题(理数)
高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案
广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。
广东省佛山市南海区高三题例研究试题(数学理)
x 2y 3 0
10 ．已知变量 x , y 满足 x 3 y 3 0 ，若目标函数 z ax y（其
y10
处取得最大值，则 a 的取值范围是 __________.
n
a
11 ．已知关于 x 的二项式
x
的展开式的二项系数和为
32
3x
值为 _____.
12 ．已知函数 f ( x)
x 1, ( 1 x 0)
“ × ”的概率为 q. 若第 k 次出现“○” ，则记 a k 1 ；出现“ ×
Sn a 1 a2
an.
（ I）当 p （ II ）当 p
1
q
时，记
2
| S3 | ，求 的分布列及数学期望；
1
2
,q
时，求 S8 2且 Si 0( i 1,2,3,4) 的概率 .
3
3
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x
h ( x) h (1) 0 ， h (x ) 是增函数， h( x) h (1) 1 ， a 1
5分
因此，实数 a 的取值范围是 0 a 1．
………………
6分
（ 2）当 a 1 时， f ( x )
1 f (x) 1 2
x 8 f ( 3) ． 3
1 x，
x 0 ， f (x ) 在 [ e,3] 上是增函数，
∵ BD
2
2
AD AB 2 2 ，
2
2
1
∴ PO PB BO
2 ， AO BD 2 ，
2
在
三
角
形
PAO
中
，
2
PO
PO AO ，
………………………………
南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测9 答案
南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(9)答案一、选择题D B C C A B A C二、填空题9．31 10．2- 11．4312．3y x =± 13．①③ 14．27 15． 63三、解答题（2）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG .由BQ=23FE,FR=23FB 知, ||QR EB . 而EB ⊂平面BDF ，∴||QR 平面BDF ，而平面BDF 平面RQD = DG ， ∴||||QR DG EB .由（1）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ，而DR ⊂平面B D F ， BD ⊂平面B D F ，∴,D G D R D G D Q⊥⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角．在Rt BCF ∆中，2222(5)2C F B F B C a a a =-=-=，22sin 55FC a RBD BF a ∠===，21cos 1sin 5RBD RBD ∠=-∠=．5222935sin 29293a RDB a ⋅∠==． 故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值是22929．5222935sin 29293a RDB a ⋅∠==．故平面BED 平面RQD 所成二面角的正弦值是22929．南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(9)答案一、选择题D B C C A B A C二、填空题9．31 10．2- 11．4312．3y x =± 13．①③ 14．27 15． 63南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(9)答案一、选择题D B C C A B A C二、填空题9．3110．2-11．4312．3y x=±13．①③14．2715．63南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(9)答案一、选择题D B C C A B A C二、填空题9．3110．2-11．4312．3y x=±13．①③14．2715．63南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(9)答案一、选择题D B C C A B A C二、填空题9．3110．2-11．4312．3y x=±13．①③14．2715．63南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(9)答案一、选择题D B C C A B A C二、填空题9．3110．2-11．4312．3y x=±13．①③14．2715．63。
南海中学分校2014届高三第一学期理科数学每周一测(5)试卷
南海中分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(5)考试时间:2013年03月09日(星期日)晚上18:40～20:40★祝同学们考试顺利★本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,请填写好答题卡与答题卷上的个人信息——班级、学号以及姓名.2.考生必须保持答题卷的整洁.7:20收答题卡,8:30收答题卷.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1． 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A .1B .2C .1或2D .1-2．已知集合{|2}x S y y ==，集合{|ln(1)0}T x x =-<，则S T ⋂=（ ） A .∅ B .(0,2)C .(0,1)D . (1,2)3．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则=24a S（A .2B .4C .152D .1724. 执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ）A .3B .4C .5D .65. 设椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ） A ．2211612x y += B ．2211216x y +=C ．2214864x y +=D ．16448+=6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）A . 6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ）FADBCA ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知函数3()),f x x x =-则对于任意实数,(0)a b a b +≠, 则()()f a f b a b++的值为（ ）A ．恒正 B.恒等于0 C ．恒负 D. 不确定二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 ．10. 已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b =，||a b λ+=且 ，则λ= ．11. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ．（用数字作答）12. 若0,0a b ≥≥，且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，时，恒有1ax by +≤，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于 ．13. 对于*n N ∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，当i k =时，1i a =；当01i k ≤≤-时，i a 为0或1. 定义n b 如下：在n 的上述表示中，当012,,,,k a a a a ⋅⋅⋅中等于1的个数为奇数时，1n b =；否则0n b =.则3456b b b b +++= ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
2024-2025学年广东省佛山市南海区高三(上)摸底数学试卷(含答案)
2024-2025学年广东省佛山市南海区高三（上）摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|3x 2−4x +1≤0},B ={x|0<x <12}，则A ∩B =( )A. (−∞,1]B. [13,12)C. (0,1]D. (0,1)2.复数z =3−2i1−i (其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.等差数列{a n }的首项为2，公差不为0.若a 2，a 4，a 5成等比数列，则公差为( )A. 25B. −25C. 1D. −14.函数f(x)=sinx ⋅cosx−3cos 2x +32的最小正周期为( )A. 4B. 2C. 2πD. π5.设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，且在第一象限，若直线AF 的倾斜角为π3，则|AF|=( )A. 2B. 3C. 4D. 56.已知函数y =f(x)的定义域为R ，且f(−x)=f(x)，若函数y =f(x)的图象与函数y =log 2(2x +2−x )的图象有交点，且交点个数为奇数，则f(0)=( )A. −1B. 0C. 1D. 27.已知点P 在圆C ：(x−2)2+(y−3)2=1上运动，点A(−2,0)，则AC ⋅AP 的取值范围为( )A. [20,30]B. (20,30)C. [20,25]D. (20,25)8.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0,+∞)，f(2)=−1，且f(x)+xf′(x)=1对于x ∈(0,+∞)恒成立，则( )A. f(1)=0B. f(3)=0C. f(4)=0D. f(6)=0二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2：1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是( )A. 李明与甲组选手比赛且获胜的概率为25B. 李明获胜的概率为1730C. 若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为1217D. 若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为61710.已知函数f(x)=|x−2|e x −a ，则( )A. f(x)在(1,2)上单调递增 B. x =1是函数f(x)的极大值点C. f(x)既无最大值，也无最小值D. 当a ∈(1,2)时，f(x)有三个零点11.如图，几何体的底面是边长为6的正方形A 1B 1C 1D 1，AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，AB//A 1B 1，AA 1=AB =3，BC =AD =λA 1D 1,λ∈[0,1]，则( )A. 当λ=0时，该几何体的体积为45B. 当λ=13时，该几何体为台体C. 当λ=12时，在该几何体内放置一个表面积为S 的球，则S 的最大值为9πD. 当点B 1到直线DD 1距离最大时，则λ=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2014-2015年广东省佛山一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
（Ⅰ）证明：平面 A1AE⊥平面 A1DE； （Ⅱ）若 DE=A1E，试求异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角 C﹣A1D﹣E 的余弦值．
21． （14 分）已知函数 （1）当 围；
．
时，如果函数 g（x）=f（x）﹣k 仅有一个零点，求实数 k 的取值范
A．
B．
C．
D．
8． （5 分）对于下列命题： ①命题“∃ x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀ x∈R，x2+1≤3x”； ②在△ABC 中“∠A＞∠B”的 充要条件是“sinA＞sinB”； ③设 a=sin ，b=cos ，c=tan ，则 c＞a＞b； 个单位，
④将函数 y=2sin （3x+ 得到函数 y=2sin（x+ 其中真命题的个数是（ A．4 B．1 C．2
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五、解答题（共 80 分） 16． （12 分）已知 （1）求 f（x）的周期及其图象的对称中心； （2）△ABC 中， 角 A、 B、C 所对的边分别是 a、b、c，满足（2a﹣c） cosB=bcosC， 求 f（B）的值． 17． （12 分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签 约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约， 否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为 ，乙、丙面试合格的概率都是 ， 且面试是否合格互不影响． （Ⅰ）求至少有 1 人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数 ξ 的分布列和数学期望． 18． （14 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BCA=90°，AP=AC， 点 D，E 分别在棱 PB，PC 上，且 BC∥平面 ADE （Ⅰ）求证：DE⊥平面 PAC； （Ⅱ）当二面角 A﹣DE﹣P 为直二面角时，求多面体 ABCED 与 PAED 的体积比． ．
南海中学分校2014届高三第一学期理科数学每周一测(5)答案
南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(8)参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5678答案ADAACCBA二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 9.34π 10.4 11.32- 12.43π 13. 233ππ，- 14.cos 2ρθ= 15.94 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤16.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==︒(Ⅰ) 求sin sin a bA B++的值；(Ⅱ)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．解：（1）由正弦定理可得：2243sin sin sin sin 60332a b c A B C =====︒，所以4343sin ,sin 33a A b B ==，所以43(sin sin )433sin sin sin sin 3A B a b A B A B ++==++ …………………6分 （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以113sin 43222ABC S ab C ∆==⨯⨯= …………………12分 17. (本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。
(Ⅰ) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率； (Ⅱ)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望．解：设一次取次品记为事件A ，由古典概型概率公式得：51102==）（A P ……2 分 有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B ，：1251254.51C 223==）（）（B P …4分 （2）依据知X 的可能取值为1.2.3………5分且541081===）（x P ………6分 458822210=⨯==A x P ）（ (745132102)2===A A x P ）（………8分 则X 的分布列如下表： X 123p54458 451 ……10分911455545345164536==++=EX ………12分 18.(本小题满分14分)如图5，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（Ⅲ）求二面角C BD A --1的余弦值． 证明：（Ⅰ）∵ 1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，∴ 1A O ⊥平面BCD ， ………………………1分 又BC ⊂平面BCD ,∴ 1BC A O⊥………………………2分又1,BC CO AO CO O ⊥=I ，∴ BC ⊥平面1ACD ，………………………3分 又11A D ACD ⊂平面，∴ 1BC A D ⊥. …………………………4分 （Ⅱ）∵ ABCD 为矩形 ，∴ 11A D A B⊥,…………………………5分由（Ⅰ）知11,A D BC A B BC B ⊥=I ,∴1A D ⊥平面1A BC ，………………6分又1A D ⊂平面1A BD ……………………7分 ∴ 平面1A BC ⊥平面1A BD …………………8分 （Ⅲ）∵1A D ⊥平面1A BC ，∴11A D AC ⊥，在1Rt A BD ∆中，由16A D =，10CD =,得18A C =,1245AO =. ……………………9分 过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，连结1A E . 由1A O ⊥平面B C D ，1A O ⊥BD ∴BD ⊥平面1A E O ,BD ⊥1A E , ……………………11分∴1A EO ∠为二面角C BD A --1的平面角. ……………………12分 又:Rt DEO Rt DBC ∆∆,⋅BC OD 54EO ==BD 534,13034A E =, ……13分 ∴119cos 25EO A EO A E ∠==. ……………………14分 另解：以点D 为坐标原点,以DA 方向为x 轴,以DC 方向为y 轴，以平行1OA 方向为z 轴，建立空间直角坐标系， …………9分知()0,0,0D ，()6,10,0B ,118240,,55A ⎛⎫⎪⎝⎭,得()DB=6,10,0 ,118240,,55⎛⎫= ⎪⎝⎭DA …………10分设平面1A BD 的法向量为()1,,= n x y z ，由61001824055x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()120,12,9=- n …………11分 而平面BDC 的法向量为()20,0,1=n ……………………12分∴()12222200120919cos ,2520129n n ⨯-⨯+⨯==+-+， …………13分由图可知，二面角C BD A --1的余弦值为925.……………………14分19.（本小题满分14分）在数列{}n a 中， 3,121==a a ,n n n ka a a -=++123()0k ≠对任意*∈N n 成立，令n n n a a b -=+1， 且{}n b 是等比数列.（Ⅰ）求实数k 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：11113421123n +++...+a a a a < ． 解：（1）∵11=a ,32=a ,k a -=93,ka 6274-=, …………1分∴21=b ,k b -=62,k b 5183-=. ………………2分∵{}n b 成等比数列，∴22b =31b b ⋅,即()()262185-=⨯-k k . ………………3分解得 k=2或k=0（舍） ………………4分当k=2时，2+n a =n n a a 231-+即 ()n n n n a a a a -=-+++1122， ……………5分∴21=+nn b b ∴ k=2时满足条件. ………………6分 （2）∵21=b ,{}n b 成等比数列,∴nn b 2= ………………7分 ∴21a -a =2，232a -a =2，... n-1n n-1a -a =2 ……………８分 ∴2n-1n 1a -a =2+2+...+2，2n 1n a 1222-=++++L …………………９分∴nn a 21=- ……………………10分 （3）法一：（构造等比数列） 当123n =，，时，1231111342121212121n ++++<---- 显然成立． ……11分 当4n ≥时，3333218217221720nn n n n -----=⋅-=⋅+->⋅>故31112172nn -<⋅-．从而 ……12分 123233311111111111()2121212137722211(1)1111111111342211(1)1137737723772112n n n n ---++++<++++++-----=+++⋅=+++⋅-<+++=- ……14分 20．（本小题满分14分）已知点()()1,0,1,0,A B -直线,AM BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-. （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q 两点，且322PQ =，求直线PQ 的方程.（1）解：设(,)M x y , 1分则(),,111MA Mb y y k k x x x ==≠±+- 3分∴211y y x x ⨯=-+- 4分∴2212y x +=()1x ≠± 6分（条件1分） （2）（2）当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ 是椭圆的长轴，其长为22，显然不合，即直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ 的方程是1y kx =+,()()1122,,,,P x y Q x y 则1212()y y k x x -=-， 8分联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222210k x kx ++-= 9分 ∵()()()222442810kkk ∆=++=+>，∴k R ∈, 10分12122221,22k x x x x k k +=-=-++222212121212(x x )(y y )(1k )[(x x )4x x ]PQ =-+-=++-221222k k +=+， 12分∴322PQ =221222k k +=+，22,2k k ==±， 13分所以直线PQ 的方程是y=2±x+1。
2014年广东省佛山市南海区高考数学模拟试卷(理科)
2014年广东省佛山市南海区高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设a是实数，且，则实数a=（）A.-1B.1C.2D.-2【答案】B【解析】解：===+∈R∴=0即a=1故选B．根据复数代数形式的乘除运算公式进行化简，再依据复数为实数时虚部为零，建立等式关系，求出a即可．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念，同时考查了计算能力，属于基础题．2.设a∈R，则“a=4”是“直线l1：ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当a=4时，直线4x+2y-3=0与2x+y-4=0平行，∴满足充分性；当：ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0平行⇒a=4，∴满足必要性．故选C根据直线ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0的斜截式，求出平行的条件，验证充分性与必要性即可．本题考查充要条件的判定．3.已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（-2≤ξ≤2）=（）A.0.477B.0.625C.0.954D.0.977【答案】C【解析】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞2）=0.023，则P（ξ＜-2）=0.023，故P（-2≤ξ≤2）=1-P（ξ＞2）-p（ξ＜-2）=0.954，故选：C．画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．4.设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若m∥n，m⊥β，则n⊥βB.若m∥n，m∥β，则n∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若n⊥α，n⊥β，则α⊥β【答案】A【解析】解：由m∥n，m⊥β，则n⊥β；故A正确；若m∥α，m∥β，则α与β可能平行与可能相交，故B错误；若m∥α，m∥β，α、β可能相交，故C错误；由n⊥α，n⊥β，则α∥β，故D错误；故答案为A．根据空间中面面垂直的判定方法，面面平行的判定方法，及线面垂直的判定方法逐一对题目中的四个结论进行判断，即可得到答案．本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定和性质，建立良好的空间想象能力是解答此类题的关键．5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选B．根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6.函数f（x）=x-cosx的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】解：函数f（x）=x-cosx的零点，即函数y=x与y=cosx图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y=x与y=cosx的图象，如下图所示：由图可知：函数y=x与y=cosx的图象有5个交点，故函数f（x）=x-cosx有5个零点，故选：C将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，结合图象，问题容易解得．本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．故选B．由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所给的几何体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题．8.设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足，，，则对、，λ∈R，下列结论恒成立的是（）A. B.f（||•+||）=f[f（）+f（）] C.f（||•）=f（） D.f （||•+||）=f[f（）+f（）]【答案】C【解析】解：根据题意，映射f（）的对应法则是将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量，因此可得对于A，若向量、是方向相反且模不相等的两个非零向量，则，且=+=，所以，得A项不正确；对于B，若向量、是方向相反且模不相等的两个非零向量，则||•+||不是零向量，可得f（||•+||）=而f[f（）+f（）]=f（）=，故f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得B项不正确；对于C，若=，则f（||•）=f（）=；若≠，则f（||•）=且f（）=，得f（||•）=f（）由以上的分析，可得对任意向量，均有f（||•）=f（）成立，故C项正确；对于D，若向量且，则f（||•+||）=f（）=而f[f（）+f（）]=f[+•）=•，因此，f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得D项不正确故选：C由映射f的对应法则，可得f（）将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量．由此对C项进行证明，可得对任意向量均有f（||•）=f（）成立，得C正确；而对于A、B、D利用映射f的对应法则结合向量的运算性质，分别举出反例加以说明，即可得到A、B、D均不正确．由此得到本题答案．本题给出定义域为向量集的一个映射f，要我们验证关于映射f的几个等式中哪一个正确．着重考查了平面向量的线性运算法则和映射的概念等知识，属于中档题．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= ______ ．【答案】20【解析】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．10.已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为______ ．【答案】a＞【解析】解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，-a＜-解得a＞故答案为a＞本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为______ ．【答案】2【解析】解：二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，∴2n=32，∴n=5；∴=，令，可得r=3，∵展开式的常数项是80，∴，解得a=2．故答案为：2．利用二项式系数的和，求出n，通过二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，即可求出a的值．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查计算能力．12.已知函数f（x）=，，＜＜，则f（x）dx= ______ ．【答案】【解析】解：∵根据定积分的几何意义，就等于单位圆的面积的四分之一，∴=又==，∴f（x）dx=+=．故答案为：．根据微积分基本定理求出即可．本题主要考查了微积分基本定理和定积分的几何意义，属于基础题．13.已知直线y=a交抛物线x2=4y于A，B两点，若该抛物线上存在点C使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______ ．【答案】[4，+∞）【解析】解：如图所示，可知A（-2，a），B（2，a），设C（2m，m2），则=（2m+2，m2-a），=（2m-2，m2-a）．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=0，即4m2-4a+（m2-a）2=0．∴m2=a-4≥0，解得a≥4．∴a的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．确定A（-2，a），B（2，a），设C（2m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0，即可得到a的取值范围．本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14.（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为______ ．【答案】相交【解析】解：把直线l的参数方程化为普通方程得：2x-y+1=0，把圆C的极坐标方程化为平面直角坐标系的方程得：x2+=2，所以圆心坐标为（0，），半径r=，因为圆心到直线l的距离d=＜r=，所以直线l与圆C的位置关系为相交．故答案为：相交把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为直角坐标系中的方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，比较d与半径r的大小即可判断出直线l与圆C的位置关系．此题考查学生会将极坐标方程化为直角坐标系的方程及会将参数方程化为普通方程，掌握直线与圆位置关系的判断方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．15.如图，已知R t△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为4cm、3cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为______ cm．【答案】【解析】解：∵易知AB==5，又由切割线定理得BC2=BD•AB，∴32=BD•5，∴BD=．故答案为：．由已知R t△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为4cm，3cm，利用勾股定理，我们易求出AB的长，再由切割线定理，易得BD的长度．本题是考查圆的切割线定理及运用，我们要注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其应用；2．圆周角与弦切角定理的内容及其应用；3．圆幂定理的内容及其应用；4．圆内接四边形的性质与判定．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．【答案】解：（1）∵==．（4分）而f（x）的最小正周期为π，ω为正常数，∴，解之，得ω=1．（6分）（2）由（1）得．若x是三角形的内角，则0＜x＜π，∴＜＜．令，得，∴或，解之，得或．由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且，∴，，∴．（10分）又由正弦定理，得．（12分）【解析】（1）先借助诱导公式把角化成相同的角，即sin（ωx+）=cos[-（ωx+）]=cos[（ωx+）-]=cos（ωx-），然后借助二倍角公式化成一个角一个函数的形式根据周期公式即可求出ω的值．（2）由三角函数值为可求出相应的两个角A，B．由内角和求出C角，利用正弦定理即可求出答案．本题主要考查三角函数的诱导公式，二倍角公式和三角函数的周期及其求法，并结合解斜三角形知识考查了正弦定理等知识．属于三角函数章节与解斜三角形的综合考查．17.一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记a k=1；出现“×”，则记a k=-1，令S n=a1+a2+••+a n．（Ⅰ）当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当p=，q=时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【答案】解：（I）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又，∴P（ξ=1）=，P（ξ=3）=（4分）∴ξ的分布列为（5分）∴Eξ=1×+3×=．（6分）（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．故此时的概率为或（12分）【解析】（I）ξ=|S3|的取值为1，3，故欲求ξ的分布列，只须分别求出取1或3时的概率即可，最后再结合数学期望的计算公式求得数学期望即可；（II）由S8=2知，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又S i≥0（i=1，2，3，4）知包括两种情形：若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；或者若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．分别求出它们的概率后求和即得．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列、古典概率及数据计算的能力，属于基础题．18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．【答案】解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形．∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）∵=，∴=，，在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），，，，，，．则，，，，，，，，，，，．∴，∴OE∥PF，∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，∴OE∥平面PDC．…（9分）（Ⅲ）设平面PDC的法向量为，，，直线CB与平面PDC所成角θ，则，即，解得，令z1=1，则平面PDC的一个法向量为，，，又，，，则＜，＞，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．…（14分）【解析】（Ⅰ）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，从而证得PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出和的坐标，由可得OE∥PF，从而证得OE∥平面PDC．（Ⅲ）设平面PDC的法向量为，，，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为，，，又，，，可得和夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，把CB和平面PDC所称的角的正弦值转化为CB和平面PDC的法向量夹角的余弦值，是解题的难点和关键．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a=，设b n=，数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＞2n-．【答案】（Ⅰ）解：∵S n=（a n-1），∴n=1时，，解得．…（2分）当n≥2时，有a n=S n-S n-1=，解得，…（4分）∴{a n}是首项为a，公比为a的等比数列．…（5分）∴．…（6分）（Ⅱ）证明：∵a=，∴a n=，…（7分）∴==+==1-+1+=2-（-），…（9分）由＜，＞，得＜，…（11分）∴＞2-（），…（12分）∴=b1+b2+…+b n＞[2-（）]+[2-（）]+…+[2-（）]=2n-[（）+（）+…+（）]=2n-（）＞2n-．即T n＞．…（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出{a n}是首项为a，公比为a的等比数列，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由a=，得a n=，=2-（-）＞2-（），由此利用裂项求和法能证明T n＞．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20.一动圆与圆：外切，与圆：内切．（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程．（Ⅱ）设过圆心O1的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点，请问△ABO2（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．由题意，动圆与圆：外切，与圆：内切∴|MO1|=R+1，|MO2|=3-R，∴|MO1|+|MO2|=4．（3分）由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，∴b2=a2-c2=4-1=3．∴动圆圆心M的轨迹L的方程为．（6分）（2）如图，设△ABO2内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形△ABO2的面积=当最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，（7分）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），则，（8分）由，得（3m2+4）y2+6my-9=0，解得，，（10分）∴，令，则t≥1，且m2=t2-1，有，令，则，当t≥1时，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，，即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为，∴存在直线l：x=1，△ABO2的内切圆M的面积最大值为．（14分）【解析】（1）利用动圆与圆：外切，与圆：内切，可得|MO1|=R+1，|MO2|=3-R，∴|MO1|+|MO2|=4，由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的方程；（2）当最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，求得最值，即可求得结论．本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用椭圆的定义，确定最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大21.已知f（x）=x-（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+∞]内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，x k都有f（x1）+f（x2）+…+f（x k-1）≤16g（x k）成立；（3）求证：＞ln（2n+1）（n∈N*）．【答案】解：（1）设点（x0，y0）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0-2①∵，∴②由②得，2x0-2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx．由f（x）≥g（x），即，整理得，∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．设h（x）=x2-2xlnx，，∵，∴当x≥1时，h''（x）≥0，则h'（x）是增函数，∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1．（2）当a=1时，，∵＞，∴f（x）在[e，3]上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为．要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，x k，都有f（x1）+f（x2）+…+f（x k-1）≤16g （x k）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=x k-1=3时不等式左边取得最大值，x k=e时不等式右边取得最小值．∴（k-1）f（3）≤16g（3），即，解得k≤13．因此，k的最大值为13．（3）证明：1°当n=1时，左边=，右边=ln3，根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即＞．令x=3，得＞，即＞．因此，n=1时不等式成立．2°假设当n=k时不等式成立，即＞，则当n=k+1时，＞，要证n=k+1时命题成立，即证＞，即证＞．在不等式＞中，令，得＜．∴n=k+1时命题也成立．综上所述，不等式＞对一切n∈N*成立．【解析】（1）首先设出直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，把切点代入两曲线方程后联立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分离变量a后对函数进行两次求导得到函数在区间[1，+∞）内的最小值，则实数a的范围可求；（2）当a=1时可证得函数f（x）在[e，3]上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；（3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法．本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识，属难题．。
2014佛山二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】
广东省佛山市2014届高三教学质量检测（二）数学理试题一、选择题 1. 复数11z i =+（其中i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A 、1122z i =- B 、1122z i =-- C 、1z i =- D 、1z i =--2. 已知(){}(){},2,,xM x y y N x y y a ====，若MN =∅，则实数a 的取值范围为（ ）A 、(),1-∞B 、(],1-∞C 、(),0-∞D 、(],0-∞ 3. 下列函数为奇函数的是（ ）A 、y x x =B 、2cos y x x =-C 、sin y x x =D 、x x y e e -=+4. 若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是（ ）A 、[)3,+∞B 、[]8,3-C 、(],9-∞D 、[]8,9-5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐进线与实轴的夹角为60，则双曲线的离心率为（ ）A 、233B 、2C 、23D 、66. 如右图是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件可以是（ ）A 、10?i <B 、10?i ≤C 、11?i ≤D 、10?i >7. 已知p ：“1x =是方程20ax bx c ++=的一个根”，q ：“0a b c ++=”，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要 8. 若集合,M N 满足MN =Ω，则称[],M N 是集合Ω的一组双子集拆分，规定：[],M N 和[],M N是Ω的同一组双子集拆分，已知集合{}1,2,3Ω=，那么Ω的不同双子集拆分共有（ ）A 、16组B 、15组C 、14组D 、13组 二、填空题 （一）必做题9. 不等式13x x -+≥的解集为10. 记函数()12log f x x =的反函数为()g x ，则函数()()y f x g x =+在区间[]1,2上值域为11. 某正三棱锥的三视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积为 输入n开始输出S 结束i =i +2i =1,S =1S =S •i 是否12. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9420S S =+，则13S 的值为 13. 在圆O 中，长度为2的弦AB 不过圆心，则AO AB 的值为 （二）选做题14. （坐标系与参数方程）已知曲线()12cos :sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数与曲线()2:2x t C t y kt =⎧⎨=-⎩为参数有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为15. （几何证明选讲）如图所示，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，已知27,3CD AB BC ===，则AC 的长为 三、解答题16. 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛++=3sin sin )(πx x x f ，R x ∈. （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若10612=⎪⎭⎫⎝⎛+πθf ，⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππθ，求θsin .17. “行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动，每到这一天，家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利。
佛山市普通高中2014届高三第一次模拟考试(理数)带详细答案
图1佛山市普通高中2014届高三第一次模拟考试数学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．2014.1.24 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则A B =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 22y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,A =B . T π=,2A =C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A =4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3πB ．23πC ．πD ．2π5．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数 表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的 比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表 的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43 C ．2 D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:c o s 1C ρθ=与图2. .CDBEF图5图6ABCD PEF2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a、b 、c ,且2a b =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.排球队 篮球队图419.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM的最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n = .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<---- .21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.图7参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．9．180 10．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．24 13．13 14． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………………2分又a =， 所以22223cos 2ba cb B ac +-===，……………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==，………………………………………………………………7分 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分 12=+=…………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. (4)分 (Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, 所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………6分203)0(15141311===C C C C X P ,()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分 所以X 的分布列为所以X 的数学期望2023202201200=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8解法二图ABCD PEFH18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF⊥ ………………………………………2分 在图1中,易得EF ==,在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分 又BF EF F = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ………………6分(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A,(6,8,P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(0,8,AP = ,(0,0,FP =,()6,5,0EF = , …………8分设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 令6y =-,得()5,6,0=-n ,………………………………………………………………………………12分设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===n n所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为427. ………………………………………………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED所以PF AH ⊥,又EF PF F = ,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF , 所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. (9)分 在Rt APF ∆中,AP ===…………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF ADAH EF ⋅==…………………………………………………13分 在Rt APH ∆中,sinAH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF . ………………………………………………14分19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>),依题意,19242b -==,所以2b = …………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………5分(Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ===……………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且max2QM==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =.………………………………13分综上,当4t =时,QM 的最大值为2. ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==.…………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②. …………………………………4分于是当2n ≥时，n a =.…………………………………………………………………5分将②、③代入①式，可得=，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n =-=+，于是()241n b n =+. …………………………………………………6分由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n ===+. …………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .…………………………9分方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>,所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分 当1n =时，1277<.……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. …………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=.……13分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=,所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. …3分 （Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， 令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去）， 且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =…5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a ⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a <-(舍去).若4a a -+≤-，即2a ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；若a >-，即0a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x 和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当2a >-时,()f x的极小值点为4a x -+=.…………………………………………………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2xx a x+>…（*）（ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx<，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠； （ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立.令()ln 2x g x x x =--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x xg x x --+'=<，因此()ln 2xg x x x =--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2xa x x<--不可能恒成立.令()ln 2x h x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x xh x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数，所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。
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佛山市南海区2014届普通高中高三质量检测理科数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（ ）（A ）{|01}x x << （B ）{}21<<x x （C ）{}20<<x x （D ） {|2}x x > 2．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ）（A ） 1 （B ） 1- （C ） （D ）3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）（A ） 1 （B ）53（C ） 2 （D ） 3 4．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是： （A ）假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 （B ）假设a ，b ，c 至多有两个偶数 （C ）假设a ，b ，c 都是偶数 （D ）假设a ，b ，c 都不是偶数5．若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．101x ⎫⎪⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（ ）（A ） 0 （B ） 2 （C ） 4 （D ） 67．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ） （A ） 4 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 328．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 （ ）（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ．10．已知圆C ：22680x y x +-+=，若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第四象限，则k = ．11．一个几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为 ．12．如右上图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则(|)P B A = ．13．在等差数列{}n a 中，若*(,1)m n a p a q m n N n m ==∈-≥， ，，则m n nq mpa n m+-=-．类比上述结论，对于等比数列{}n b （*0,n b n N >∈），若m b r =，n b s =（2n m -≥， *,m n N ∈），则可以得到m n b += ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心．已知6=PA ，317=AB ，12=PO ．则圆O 的半径____=R ．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦长是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题满分12分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,2x π∈时，求()f x 的最大值．17．（本小题满分12分）为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数。
（1） 若该班男女生平均分数相等，求x 的值；（2） 若规定85分以上为优秀，在该10名男生中随机抽取2名，优秀的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为2=24+1n S n n +，数列{}n b 的首项1=2b ，且点1(,)n n b b +在直线2y x =上．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．女生 男生 2 6 0 2 48 7 97 4 8 x 8 4 9 0 1 2 819．（本小题满分14分）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点A '，连接EF ，A B '． （1）求证：A D EF '⊥；（2）求二面角A EF D '--的余弦值．20．（本小题满分14分）设P 是曲线1C 上的任一点，Q 是曲线2C 上的任一点，称PQ 的最小值为曲线1C 与曲线2C 的距离.（1）求曲线1:x C y e =与直线2:1C y x =-的距离；（2）设曲线1:x C y e =与直线3:C y x m =-（0m R m ∈≥，）的距离为1d ，直线2:1C y x =-与直线3:C y x m =-的距离为2d ，求12d d +的最小值.21．（本小题满分14分）已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x 满足条件：①10nii x==∑； ②11ni i x ==∑．（Ⅰ） 当2n =时，求1x ，2x 的值；（Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥,且1n a a >(2)n ≥，求证：111()2ni in i a xa a =≤-∑．理科数学答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.1-4 BA C D 5-8 CBDC二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(9～13题)9、 45- 10、 、 75+ 12、 14 13、n m n b +=（二）选做题：14、8； 15、2三、解答题 本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．【解析】2()2sin (sin cos )2sin 2sin cos f x x x x x x x =+=+……1分1cos 2sin 2x x =-+……2分2(2cos 2)122x x =-+……3分2coscos 2sin )144x x ππ=-+……4分)14x π=-+……5分 （1）()f x 的最小正周期22T ππ==……7分 （2）∵02x π≤≤，∴32444x πππ-≤-≤……8分∴当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 取得最大值……10分且最大值为3()1182f ππ=+=……12分17．解：（1）依题意可得，627884879460626479808890919298510x ++++++++++++++=， 1分∴ x =6. ------------------------------3分（2）由茎叶图可知，10名男生中优秀的人数为6人。
-----------------------------4分∴242102(0)15C P C ξ===, ------------------------------6分11462108(1)15C C P C ξ===, -----------------------------8分262101(2)3C P C ξ===, ---------------------------10分∴312816()012151535i i i E P ξξ===⨯+⨯+⨯=∑ ． 答：ξ的数学期望为65． -------------------------12分18．解：（1）由2=24+1n S nn +得2-1=2141)+1n S n n -+-（）（， --------1分 ∴22-1=24+12141)1=42(2)n n n a S S n n n n n n =-+-----+≥（）（ ---------2分当n =1时，1=7a ， -----------------------------3分 综上42(2)7(1)n n n a n +≥⎧=⎨=⎩． --------------------------4分∵点1(,)n n b b +在直线2y x =上，∴12n n b b +=，又1=2b ， ------------------5分 ∴{}n b 是以2为首项2为公比的等比数列，2nn b =． ------------------7分（2）由（1）知，当1n =时，11114c a b ==； --------------8分 当2n ≥时，1(42)2(21)2n n n n n c a b n n +==+=+， ---------------9分所以当1n =时，1114T c ==；当2n ≥时，31123...1452...(21)2(21)2n n n n T c c c c n n +=++++=+⨯++-++ ① 则41222852...(21)2(21)2n n n T n n ++=+⨯++-++ ② - ---------10分②-①得：356221452222(21)2n n n T n ++=-⨯----++-------------12分即523222(21)1452(21)2(21)2621n n n n T n n -++-=-⨯-++=-+-， ---------------13分显然，当1n =时，121(211)2614T +=⨯-+=， 所以2(21)26n n T n +=-+． ----------------14分19．【解析】（1）在正方形ABCD 中，有AD AE ⊥，CD CF ⊥ ……1分 则A D A E ''⊥，A D A F ''⊥ ……2分 又A E A F A '''= ……3分 ∴A D '⊥平面A EF ' ……4分 而EF ⊂平面A EF '，∴A D EF '⊥ ……5分 （2）方法一：连接BD 交EF 于点G ，连接A G ' ……6分 ∵在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴BE BF =，DE DF =， ∴点G 为EF 的中点，且BD EF ⊥ ……7分 ∵正方形ABCD 的边长为2，∴1A E A F ''==，∴A G EF '⊥ ……8分 ∴A GD '∠为二面角A EF D '--的平面角 ……9分 由（1）可得A D A G ''⊥，∴△A DG '为直角三角形 ……10分 ∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD =EF =，∴BG =，DG ==， 又2A D '= ……11分 ∴A G '==……12G分∴1cos 3A G A GD DG ''∠=== ……13分 ∴二面角A EF D '--的余弦值为13……14分 方法二：∵正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴1BE BF A E A F ''====，∴EF ……6分∴222A E A F EF ''+=，∴A E A F ''⊥ ……7分由（1）得A D '⊥平面A EF '， ∴分别以A E '，A F '，A D '为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz '-， ……8分则(0,0,0)A '，(1,0,0)E ，(0,1,0)F ，(0,0,2)D ……9分∴(1,0,2)DE =-，(0,1,2)DF =-，设平面DEF 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则由112020n DE x z n DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取1(2,2,1)n = ……11分 又平面A EF '的一个法向量可取2(0,0,1)n = ……12分 ∴1212121cos ,3||||4n n n n n n ⋅<>=== ……13分∴二面角A EF D '--的余弦值为13. ……14分20．解：（1）只需求曲线1C 上的点到直线1y x =-距离的最小值. ……1分设曲线1C 上任意一点为(,),x P x e 则点(,)xP x e 到1y x =-的距离为d ==……3分令()1x f x e x =-+,则()1x f x e '=-,由()100x f x e x '=->⇒>；()100;()100.x x f x e x f x e x ''=-<⇒<=-=⇒= ……5分故当0x =时, 函数()1x f x e x =-+取极小值即最小值(0)2f =，即d =1C 与曲线2C……8分（2）由（1）可知，1d =，又易知2d =， ……9分则)12|1||1|d d m m +==++-≥= ……12分 当且仅当(1)(1)0m m +-≤时等号成立，考虑到0m ≥，所以，当01m ≤≤时，12d d +……14分21．（Ⅰ）解：12120,(1)1.(2)x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由（1）得21x x =-，再由（2）知10x ≠，且20x ≠.当10x >时，20x <.得121x =，所以121,21.2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ……………………………2分当10x <时，同理得121,21.2x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ………………………………4分（Ⅱ）证明：当3n =时，由已知1230x x x ++=,123=1x x x ++.所以12311233322()x x x x x x x x ++=+++-13x x =-131x x ≤+≤. …………………………9分（Ⅲ）证明：因为1i n a a a ≥≥，且1n a a >(1,2,3,,)i n =.所以1()()i i n a a a a ---1()()i i n a a a a ≤-+-1n a a =-,即112n i n a +a a a a -≤- (1,2,3,,)i n =. ………………………11分1n i i i a x =∑n1i 1111122n n i i i n ii i a x a x a x ====--∑∑∑111(2)2ninii a a a x==--∑111(22n n i i i a a a x =≤+-∑)111()2nn i i a a x =≤-∑ 1112nn ii a a x==-∑11()2n a a =-. …………………………14分。