蚂蚁行程模型
蚁群算法及案例分析精选全文
群在选择下一条路径的时
候并不是完全盲目的,而是
按一定的算法规律有意识
地寻找最短路径
自然界蚁群不具有记忆的
能力，它们的选路凭借外
激素，或者道路的残留信
息来选择，更多地体现正
反馈的过程
人工蚁群和自然界蚁群的相似之处在于,两者优先选择的都
是含“外激素”浓度较大的路径; 两者的工作单元(蚂蚁)都
正反馈、较强的鲁棒性、全
局性、普遍性
局部搜索能力较弱，易出现
停滞和局部收敛、收敛速度
慢等问题
优良的分布式并行计算机制
长时间花费在解的构造上，
导致搜索时间过长
Hale Waihona Puke 易于与其他方法相结合算法最先基于离散问题，不
能直接解决连续优化问题
蚁群算法的
特点
蚁群算法的特点及应用领域
由于蚁群算法对图的对称性以
及目标函数无特殊要求，因此
L_ave=zeros(NC_max,1);
%各代路线的平均长度
while NC<=NC_max
%停止条件之一：达到最大迭代次数
% 第二步：将m只蚂蚁放到n个城市上
Randpos=[];
for i=1:(ceil(m/n))
Randpos=[Randpos,randperm(n)];
end
Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))';
scatter(C(:,1),C(:,2));
L(i)=L(i)+D(R(1),R(n));
hold on
end
plot([C(R(1),1),C(R(N),1)],[C(R(1),2),C(R(N),2)])
模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(解析版)
1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着怎样的路线才能使行程最短？解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接AC1，则AC1就是行程最短的路线．2.赵爽弦图模型我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理．把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a+b）2，整理得b2+c2+2ab＝2ab+c2，∴c2＝a2+b2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．例题精讲考点一：行程最短问题【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是20 cm．（π取3）解：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，根据题意可得：AC是圆周的一半，∴AC＝×2×4π＝12，∴AB＝＝20cm．变式训练【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10cm，母线长为40cm，C为母线PA的中点，一只蚂蚁欲从点B处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离是20cm．解：由题意知，底面圆的直径AB＝20，故底面周长等于20π设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°∵根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，20π＝，解得n＝90°∴展开图中扇形圆心角＝90°，作CE⊥PB于E，则CE＝PE＝10，BE＝40﹣10，∵根据勾股定理求得它爬行的最短距离是＝20cm∴蚂蚁爬行的最短距离为20cm【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm．解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15．【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5米．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．考点二：弦图模型的应用【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是49．解：∵AE＝5，AB＝13，∴BF＝AE＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝12，∴小正方形的边长EF＝12﹣5＝7，∴小正方形EFGH的面积为7×7＝49．故答案为：49．变式训练【变式2-1】．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是38．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周长是15，∴x+2y+2.5＝15则x＝6.5，y＝3．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案是：38．【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为16．解：由题意可得，AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，∵FH∥EI，∴∠HGK＝∠KJE，∴∠AGF＝∠IJC，在△AFG和△CIJ中，，∴△AFG≌△CIJ（AAS），∴FG＝IJ，∵四边形EFHI为正方形，∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，在△GHK和△JEK中，，∴△GHK≌△JEK（AAS），∴HK＝EK，即点K为正方形EFHI的中心，如图，过点K作KM⊥FH于点M，∵AE＝12，CD＝4，∴BF＝12，AD＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝4，∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，则FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，∴＝，＝＝2b，∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16．故答案为：16．1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤9解：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S＝5+＝5+．即6＜S≤7．故选：B．2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan ∠ADE的值为（）A．B．C．D．解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝DH，设AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，DE＝3a，∴tan∠ADE＝＝，故选：C．3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．30解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因为S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故选：C．4．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．解：由已知条件可知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2＝（）2，解得x＝5．则较长边的边长为x+2＝5+2＝7．故tanθ＝＝．故选：B．5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故选：A．6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为13．解：因为圆柱底面圆的周长为2π×＝12，高为5，所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为＝13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．7．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π＝，解得n＝90°，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：＝＝4．8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝12．解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），根据图1得：a+b＝6，根据图2得：a﹣b＝2，联立解得：，∴S1＝16，S2＝4，则S1﹣S2＝12．故答案为：12．9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为16．解：由题意作出如下图，得AC＝，BD＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34，△ADC面积＝（5×3﹣2×3）＝4.5，阴影部分的面积S＝34﹣4×4.5＝16，故答案为：16．10．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2＝2.5秒．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为98cm2．解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为20．解：如图，取CD的中点F，连接BF、BE、DE、EF，由题意可得，FE＝FC，BE＝BC，∴BF是EC的垂直平分线，∴∠FBC+∠BCE＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠FBC＝∠DCE，又∵∠BCF＝∠CED＝90°，∴△BCF∽△CED，∴＝＝，∵BC＝CD＝AB＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，∴BF＝＝＝5，∴＝＝，解得：CE＝4，ED＝2，＝×CE×DE＝×4×2＝20，∴S△CDE故答案为：20．13．图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为．解：如图，过点A作AM⊥EG的延长线于点M，过点F作FR⊥GH于点R，过点B作BN⊥GH，过点F作FN∥GH，延长GH交CK于K，∵四边形AGFL、DEGH、BCHF均为正方形，∴AG＝FG，BF＝FH＝CH，EG＝GH，∠AGF＝∠BFH＝90°＝∠AMG＝∠FRG＝∠BNF ＝∠CKH，∴∠AGM+∠FGM＝∠FGR+∠FGM，∴∠AGM＝∠FGR，∴△AGM≌△FGR（AAS），∴AM＝FR，GM＝GR，同理，△BFN≌△HFR≌△CHK（AAS），∴FR＝FN＝HK＝AM，BN＝HR，设AM＝x，BN＝y，AM＝FR＝z，则FR＝FN＝HK＝AM＝x，BN＝HR＝y，由勾股定理得：FH2＝x2+y2，FG2＝x2+z2，GH＝y+z，根据题意，得：FH2+FG2＝GH2，∴x2+z2+x2+y2＝（y+z）2，∴x2＝yz①，∵AM+GR+RH+HK＝9，BN+FR+EG＝11，∴2x+y+z＝9②，x+2y+z＝11③，②﹣③，得：x﹣y＝﹣2，即y＝x+2④，②×2﹣③，得：3x+z＝7，即z＝7﹣3x⑤，将④⑤代入①，得：x2＝（x+2）（7﹣3x），解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去），∴y＝4，z＝1，∴GH＝5，FG2＝5，FH2＝20，∴勾股定理演示教具的正面面积为：S＝25+5+20+××2＝55，∵教具的厚度等于木盒的内高，∴盒子的空间利用率为：＝，故答案为：．14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP以上说法正确的是①③④.（填写序号）解：∵Rt△BCG≌Rt△DAE，∴CG＝AE，∠CGP＝∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP＝∠MAE，∴△CGP≌△AEM（ASA），＝S△AEM，CP＝ME，∴S△CGP﹣S△CGP＝S四边形MEFP∴S△AFP∵HE＝GF，∴HM＝PF，＝S四边形MHGP＝S正方形EFGH＝1，∴S四边形MEFP﹣S△CGP＝1，∴S△AFP∵DH2+CH2＝DC2＝9，∴（DH+CH）2＝DH2+CH2+2DH•CH＝9+2DH•CH，∵CH﹣DH＝HG，∴（CH﹣DH）2＝HG2＝2，∴CH2+DH2﹣2DH•CH＝2，∴2DH•CH＝7，∴（DH+CH）2＝9+7＝16，∴DH+CH＝4，∵CH﹣DH＝，∴HC＝＝2+，故答案为：①③④．15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．解：（1）如图1，连接BD，∵AD＝12，AB＝4，∴BD2＝AD2+AB2＝122+42＝160，∴CD＝＝＝13（dm）．∵13dm＞12.5dm，∴长为12.5dm的铁棒能放进去；（2）如图2所示，CD＝＝dm．如图3所示，CD＝＝dm，如图4所示，CD＝＝dm，∵＞＞，∴爬行的最短路程是dm．16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．（1）证明：，另一方面，即a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2；（2）解：设正方形MNKT的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y，∵S1+S2+S3＝16，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝12y+3x＝16，∴4y+x＝，∴S2＝4y+x＝．故答案为：．17．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．解：（1）在Rt△ABC中，由面积的两种算法可得：，解得：CD＝．（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得＝．。
蚁群算法及其在移动机器人路径规划中应用剖析.pptx
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•（1）近期对蚁 群 算 法 在 移 动 机器 人 路 径 规 划 中 的应 用 研 究 还 处 于 初期 探 索 阶 段 , 研究重点主 要 集中 在 算 法 模型的建立与实例仿真方面,而对于算法的理论分析、与其他算法结合等方面的研究较少; • （2）近期对蚁群算法在移动机器人路径规划的研究主要集中于静态环境下的路径规划研究,而对动态环 境下的路径规划研究相对较少。
allowed c tabu 蚂蚁间的协作性就越强；可称为期望k 启发式因子，k 在算法中代表能见度的相对重要性。是启发函数，在算
法中表示由节点i 转移到节点 j 的期望程度，通常可取
。在算法运行时每只蚂蚁将根据(2-1)式
进行搜索前进。
ij
ij 1/ dij
pikj
ij
(t
)ij
(t
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• 2.蚁群算法的基本原理
Hale Waihona Puke 图1.1初始状态蚂蚁随机挑选路 径寻找食物
图1.2经过一段时间后蚂蚁成 功避开障碍物找到一条合适路 径
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• 3.蚁群算法的数学模型
• 设 m 表示蚂蚁总数量，用表示节点 i 和节点 j 之间的距离，表示在 t 时刻连线上的信息素浓度。在初 始时刻，m只蚂蚁会被随机地放置，各路径上的初始信息素浓度是相同的。在 t 时刻，蚂蚁 k 从节点i转 移到节点 j 的状态转移概率为
应用全局更新
找出最短路径
否
满足终止
条件？
是
结束
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•6.机器人路径 规 划 •移动机器人导 航 的 任 务 主 要由 定 位 、 避 障 和 路径 规 划 组 成, 其 中 路 径规 划 是 机 器 人 控 制最 为 关 键 的 技 术 。移 动机器人路径规划是指在有障碍物的工作环境中按照一定的评价标准(如工作代价最小、行走路线最短、行走 时间最短等),寻找一条从起始状态(包括位置和姿态)到达目标状态(包括位置和姿态)的无碰路径。
蚂蚁怎样走最短
C
B
AC '2 AC 2 CC '2
C
C'
沿AB剪开，
展成长方形
A
A
其中AC是圆柱的高
CC'是圆柱的底面周长
变式2：
有一圆柱形油罐底面圆的周长为8m，高为6m，一只 蚂蚁从A处爬行到BC中点E处吃食物，它爬行的最短 路线长为多少？
C
D
D
C
D’
E
E
3
A
4
B
A’
A
B
变式3：
有一圆柱形油罐底面圆的周长为8m，高为4m，一只蚂蚁
从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短 路线长为多少？
请 同
C
B
C
B
学 们
自
A
A
己 独
立
解：AC=4 1 3，BC= 1 8=4 2
在RtABC中，由勾股定理得
完 成 过 程
AB2 AC 2 BC 2
=32 +42
=25
所以AB （ 5 cm）
答：它爬行的最短路线长为5cm
蚂蚁爬行最短问题解题思路（5步走）
2
=20²+(5n)²
Ｂ
蚂蚁爬行最短路程问题小结：
• 1、转化思想的应用
（立体图形
平面图形）
• 2、得到最短路线的依据是平面内两点之间 线段最短
• 3、构造出直角三角形 从而利用勾股定理 进行计算
如图：圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为
18cm,在杯子内壁离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，
将长方体的前面与上面展开放在同一平面上
H G
B F
12
专题24 勾股定理中的蚂蚁爬行模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题24勾股定理中的蚂蚁爬行模型【模型】如图，已知在一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点E 到点C 的最短路径。
【证明】将上图正方体展开如图24-1，可知点E 到点C 的最短路径为图24-1中的线段EC 的长度。
根据勾股定理可得：bcc b a c b a EC 2)(22222+++=++=【模型变式1】如图24-2，已知在一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点E 到点C 的最短路径。
【证明】将图24-2中的正方体展开如图24-4，可知点E 到点C 的最短路径为图24-1中的线段EC 的长度。
根据勾股定理可得：ab c b a c b a EC 2)(22222+++=++=。
【模型变式2】如图24-3，已知在一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点E 到点C 的最短路径。
【证明】将图24-3中的正方体展开如图24-5，可知点E 到点C 的最短路径为图24-1中的线段EC 的长度。
根据勾股定理可得：ac c b a b c a EC 2)(22222+++=++=。
【例1】如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）A ．35B ．1055C ．25D ．21【例2】如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为_____．【例3】如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm(1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？(2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm?(结果可保留根号)一、单选题1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（）A．10B．14C D2．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（）A ．15cmB ．16cmC ．17cmD ．18cm3．如图所示，圆柱的高AB ＝3，底面直径BC ＝6，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱侧面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（）A ．B ．C ．9D ．4．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm ，A 和B 是这个台阶相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到B 处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A ．25dmB ．26dmC ．24dmD ．27dm5．图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B 离点C 的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B 处有一滴糖浆，容器外A 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为6cm ，宽为4cm ，高为3cm ，点A 距底部2cm ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）A ．B ．10cmC ．D ．二、填空题7．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是_____．8．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A 爬到另一顶点M ，已知AB ＝AD ＝2，BF ＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．9．如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm 的A 处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm 的B 处的米粒，若圆柱的高为12cm ，底面周长为24cm ．则蚂蚁爬行的最短距离为_______．10．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm ．11．如图一只蚂蚁从长为4cm ，宽为3cm ，高为2cm 的长方体纸箱A 点沿纸箱爬到B 点，那么它爬行的最短路线的长是_________cm12．在底面周长为6cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为_________．三、解答题13．如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长80cm AD =，高60cm AB =，水深为40cm AE =，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且60cm EG =；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）14．(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为3m ，2m ，1m ，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C ，那么所用细线最短需要______m ；(2)如图2，长方体的棱长分别为6cm AB BC ==，114cm AA =，假设昆虫甲从盒内顶点1C 开始以1cm/s 的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？15．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ，8cm ，30cm ．(1)在AB 的中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？16．如图①，长方体长AB 为8cm ，宽BC 为6cm ，高BF 为4cm ．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)蚂蚁从点A 爬行到点G ，且经过棱EF 上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．(2)设该长方体上底面对角线EG 、FH 相交于点O （如图②），则OE ＝OF ＝OG ＝OH ＝5cm ．①蚂蚁从点B 爬行到点O 的最短路径的长为cm ；②当点P 在BC 边上，设BP 长为a cm ，求蚂蚁从点P 爬行到点O 的最短路的长（用含a 的代数式表示）．17．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A ，C 嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？18．在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．我们将从一个格5．．．．．（1）在图15（2）在图2中有一只电子小马从格点M出发，经过跳马变换到达与其相对的格点N，则最少需要跳马变换的次数是次．的正方形网格中，一只电子小马从格点S经过若干次跳马变换到达（3）如图3，在2020与其相对的格点T，则它跳过的最短路程为．19．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处．（1）右图是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合右图，求出蚂蚁爬行的最短路径长．20．现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1)求线段BG的长；(2)现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)。
初中数学解题模型专题讲解12---蚂蚁行程
初中数学解题模型专题讲解初中数学解题模型专题讲解专题12 12 蚂蚁行程蚂蚁行程蚂蚁行程模型模型 1 1 立体图形展开的最短路径立体图形展开的最短路径模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬行一周，到点 B 的最短路径就是展开图中 AB′的长。
做此类题目的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之 和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例模型实例例 1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A 处 开始绕油罐一周建造房子，正好到达 A 点的正上方 B 处，问梯子最短有多长？例 2．如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是多少？例3．已知长方体的长、宽、高分别为 30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从 A处出发到 B 处觅食，求它所走的最短路径。
（结果保留根号）模型练习模型练习1．有一个圆锥体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧 面爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为 8cm，底面周长为 4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从 A 点到 B 点，路线如图，则最短路程是多少？3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口 内壁离杯口距离 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫 22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
4．已知 O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为 OB 的中点，一只小蚂蚁 从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A，另一只小蚂蚁也从 C 点出发绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿 OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）5．如图，一只蚂蚁沿着边长为到点 B，如果它运动的路径是6．如图是一个边长为 6 的正蚂蚁从 P 点出发沿木箱表面爬7．如图，是一个三级台阶，边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 路径是最短的，则最短距离为多少？的正方体木箱，点 Q 在上底面的棱上，AQ=2表面爬行到点 Q，求蚂蚁爬行的最短路线。
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题20 蚂蚁爬行模型(解析版)
专题20蚂蚁爬行模型蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。
蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。
模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。
如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B 蜂蜜处的最短距离。
模型四：蚂蚁爬楼梯问题模型五：蚂蚁爬圆锥问题问题示意图展开图最短距离如图，现有一个圆锥，圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，一只蚂蚁在点A 位置，食物在母线BC 的中点点D 处，蚂蚁沿着圆锥表面由点A 向点D 处爬行觅先利用扇形弧长公式求圆心角，再根据勾股定理求AD长食，路线如图所示，求最短距离【培优过关练】1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为4cm的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是（）cm．A．B．4C．D．6故选：C ．【点睛】本题考查的是平面展开 最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．2．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点A 是棱长为2的正方体的一个顶点，点B 是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A B ，两点间的距离为（）AB C D3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径3dm R ，母线5dm l ，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，150COB ，D 为VB 上一点，VD ，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C 爬到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A ．B ．C ．15dm 2D ．∵ 150351802BC，∴设弧BC 所对的圆心角的度数为∴552180n，4．（2022春·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC ，2cm DC ．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（）cm ．A．14B．12C．10D．85．（2022·山东淄博·统考二模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）AB CD ．10BC ＝6，AC 为底面半圆弧长，所以AB ＝226(2)36 故选：B ．6．（2022·山东东营·统考二模）如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行（）cm ．A ．9B ．14CD ．【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．7．（2022春·九年级课时练习）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A． B C．D．2【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．∵点B是母线PA的中点，4PA ，∴2PB ，8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A cm B．13cm C．cm D．cm故选：B．【点睛】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．5D．3510．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为（）A ．B ．332C ．D ．211．（2021春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为93、和1,A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．8【答案】B【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为____．13．（2022春·广东茂名·九年级统考期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm ，底面周长为24cm ，在容器外侧距下底1cm 的点A 处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm 的点B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm ．∵底面周长为24cm ，∴12cm EC ，∵AF CD ，∴1AE CF cm ，故答案为：15．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键．14．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面A点爬到C点，那么这只蚂蚁需要走的最短路程为___________．15．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高18 厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．【答案】30π厘米【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：16．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.【答案】61【详解】解:如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;如图③:AM2=52+(4+2)2=61.∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.故答案为:61.17．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示的长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、4厘米．若一只蚂蚁从A点出发沿着长方体的表面爬行到棱BC的中点M处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．18．（2022春·陕西西安·九年级校考期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行_____s．根据题意有：AD=10，AB为底面圆周长的一半，即∵P点为AD中点，∴AP=5，在Rt△APB中，2PB AP∵蚂蚁的速度为2cm/s，∴蚂蚁需要的时间为：13÷2=6.5即此时蚂蚁需要6.5s；第二种情况：蚂蚁由P点直接到达∵底面圆的周长为24∴底面圆的直径AB=∵AP=5，∴此时蚂蚁行走的距离为19．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为_____．【答案】13m##13米【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，5AC ，9312BC ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC ，即222512169AB ，13AB ，故答案为：13m ．【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．20．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B 出发，沿表面爬到CD 的中点E ，请你求出这条线路的最短路径．21．（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？如图2，当爬的长方体的长是如图3，爬的长方体的长是∵1099785，它需要爬行的最短路径是【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径．22．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？【答案】(1)50cm(2)300cm【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为AB的长，求出BC的长即为葛藤绕树的最短路程．（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．【详解】（1）解：如图，23．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm的正方形，高为20cm；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）将长方体的侧面沿AB展开，取A B 的中点则2为所求的彩带长，AM NB AM222∵，AM AA A M此时215CD 当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图，此时22202020CD 当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图，此时235CD 由上可知小刚所需要的彩带最短是【点睛】本题考查了平面展开用了数形结合思想．24．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也就确定了，我们把这个比值记作 T A ，即 CT A A BC A A 的对边(底边)的邻边(腰)，当60A 时，如 601T ．(1) 90T ， 120T ， T A 的取值范围是；(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径14PQ ，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据： 1400.53T ， 700.8735 1.66T T ，）25．（2022·江苏·九年级专题练习）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，圆锥的母线长为12cm ，B 为母线OC 的中点，点A 在底面圆周上， AC 的长为4cm ．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A 爬行到点B 的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O 是圆锥的顶点，点A 在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l ，圆柱的高为h ．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设 AD的长为a，点B在母线OC上，OB b ．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．∴26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图4所示，且1120AOA ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．27．（2023春·八年级课时练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？。
蚂蚁行程模型绕球上的有关题目
蚂蚁行程模型绕球上的有关题目摘要：1.蚂蚁行程模型的概述2.蚂蚁行程模型在球面上的应用3.蚂蚁行程模型的优点和局限性正文：一、蚂蚁行程模型的概述蚂蚁行程模型是一种用来描述蚂蚁在寻找食物路径的算法模型。
在这个模型中，蚂蚁在平面上随机行走，通过释放信息素来标记路径，其他蚂蚁则通过感知信息素来选择最优路径。
这种模型在解决复杂的路径问题上具有很高的效率，被广泛应用于运筹学、人工智能等领域。
二、蚂蚁行程模型在球面上的应用将蚂蚁行程模型应用到球面上，可以为解决一些球面几何问题提供新的思路。
例如，在球面上寻找最短路径、最小生成树等问题，都可以借助蚂蚁行程模型来求解。
在球面上实现蚂蚁行程模型，需要对原有的算法进行一些改进。
首先，由于球面是一个闭合的曲面，蚂蚁在球面上行走时不能像在平面上那样无限延伸。
因此，需要为蚂蚁的行走范围设置一个边界，以确保模型的有效性。
其次，在球面上计算距离和角度时，需要采用球面几何的相关知识，以保证算法的准确性。
三、蚂蚁行程模型的优点和局限性蚂蚁行程模型在解决一些复杂问题上具有很多优点，例如：1.具有很强的鲁棒性：即使在存在干扰和不确定性的情况下，蚂蚁行程模型仍然可以找到较优解。
2.具有自适应性：随着问题的变化，蚂蚁行程模型可以自动调整算法，以适应不同的需求。
3.计算复杂度较低：蚂蚁行程模型的计算复杂度较低，可以在较短的时间内得到满意的结果。
然而，蚂蚁行程模型也存在一些局限性，例如：1.对初始条件敏感：蚂蚁行程模型的结果受到初始条件的影响较大，不同的初始条件可能导致不同的结果。
2.信息素的作用有限：在现实世界中，信息素的作用可能会受到环境等因素的影响，导致模型的准确性降低。
3.模型的扩展性有限：蚂蚁行程模型主要适用于一维和二维空间，对于高维空间问题，模型的扩展性较低。
总之，蚂蚁行程模型作为一种经典的算法模型，在球面上的应用具有很大的潜力。
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蚂蚁行程模型
模型 立体图形展开的最短路径
模型分析
上图为无底的圆柱体侧面展开图，如果蚂蚁从点A 沿圆柱体表面爬行一周，到点B 的最短路径就是展开图中AB '的长，22AB AA A B ''''=+，做此类题目的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例
例1有一圆柱形油罐，如图所示，要以A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，已知油罐的底面周长为12m ，高AB 为5m ，问所建梯子最短需要多少米？
解答：假设将圆柱体的侧面沿AB 剪开，铺平得到如图所示的长方形ABDC ， 则AB=DC=5m ，AC=BD=12m ，∠BAC=∠C=∠CDB=∠B= 90° 因此沿AD 建梯子，梯子最短
在△ACD 中，由勾股定理得AD 2=AC 2+CD 2=122+52=132， 解得AD=13m
答：建梯子最短需要13米。
例2：如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只蚂蚁从A 点出
发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求蚂蚁爬行的最短路线的长．（结果保留根式）
解答：小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，
例3：已知长方体的长、宽、高分别为:30cm、20cm、10cm,一只蚂蚁从A处出发到B处觅食,求它所走的最短路径.(结果保留根号)
解答：(1)展开前面右面由勾股定理得;
(2)展开前面上面由勾股定理得;
(3)展开左面上面由勾股定理得.
,
最短路程长为.
1、有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离。
解答：
AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C,D分别是BE,AF的中点.
.
.
因此，本题正确答案是:16cm.
2、如图,圆柱体的高为8cm,底面周长为4cm,小蚂蚁在圆柱表面爬行,从A点到B
解答:沿过A点和过B点的母线剪开,展成平面,连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程,
,,,
由勾股定理得:,
因此，本题正确答案是:10.
3、如图，桌上有个圆柱形玻璃杯，高为12 cm ，底面周长18 cm ，在杯内壁离杯口 3 cm 的 A 处有一滴蜂蜜，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜂蜜相对方向离桌面 3 cm 的 B 处时，突然发现了蜂蜜．问小虫怎样爬去吃蜂蜜最近? 它至少爬多少路才能到达蜂蜜所在的位置?
解答：按如图所示的方向 B → C →A
( 其中MNPQ 为圆柱的侧面展开图， A 与 A ′关于MQ 对称) ，小虫爬的路程为BC + CA =BA ′= 15cm ．
4、已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一个小蚂蚁也从C点出发，绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示.若沿OA剪开，则得到圆锥侧面展开图为（）
答案
此题答案为：C.
解：根据题意可知，两只蚂蚁一只从C到A，一只从C到B，选项B中第二只蚂蚁的终点不是点B，故排除B选项；
第一只蚂蚁沿圆锥的前面从C到A，故路线AC是在展开图的左侧的线段，排除D 选项；
第二只蚂蚁经过OA从C到B，所以展开图对称轴OB的两面都有路线，故排除A 选项.
故选C.
5、如图,一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,
解答:将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,
,
因此，本题正确答案是:.
6、如图是一个边长为6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,,一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路程.
解答:如图所示,
,,
,
.
答:蚂蚁爬行的最短路程是10.
7、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A 和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?
解答:将台阶展开,如下图,
因为,,
所以,
所以,
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.
答:蚂蚁爬行的最短线路为13cm.。