自主招生真题集萃

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2010年华约自招——数学

即2010年五校合作自主选拔通用基础测试

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 设复数2

1a i w i +??

= ?+??，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为

A ．32-

B ．12-

C ．12

D ．32

2． 设向量a b ，满足1a b a b m ==?=，，则()a tb t +∈R 的最小值为

A ．2 B

C ．1 D

3．

如果平面αβ，，直线m n ，，点A B ，满足：m n A B αβαβ??∈∈，，，，，∥且AB

与α所成的角为π

4

m AB n ，，⊥与AB 所成的角为π3，那么m 与n 所成角的大小为

A ．π3

B ．π4

C ．π6

D ．π8

4．

在四棱锥V ABCD -中，11B D ，分别为侧棱VB VD ，

的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V ABCD -的体积之比为 A ．1:6 B ．1:5 C ．1:4 D ．1:3

5．

在ABC △中，三边长a b c ，，满足3a c b +=，则tan tan 22

A C

的值为

A ．1

5

B ．14

C ．12

D ．23

6．

如图ABC △的两条高线AD BE ，交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG △与

GAH △面积之比为

A ．1:4

B ．1:3

C ．2:5

D ．1:2

7． 设()()0ax f x e a =>，过点()0P a ，且平行于y 轴的直线与曲线():C y f x =的交点为Q ，曲

线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是

A ．1 B

C ．2e

D ．24

e

8． 设双曲线()2212:204x y C k a k a -=>>，，椭圆2222:14

x y

C a +=，若2C 的短轴长与1C 的实轴长

的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为

A

． B ．2 C

． D ．4

9． 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作

为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小

F

D

B

C

O

G

H E A

值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

10． 设定点A B C D 、、、是以o 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条

件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180旋转，设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ，则ω可以表示为 A ．στστσ B ．στστστ C ．τστστ D ．στσστσ

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11． （本题满分14分）

在ABC △中，已知22sin cos212

A B

C +==，外接圆半径2R =．

⑴ 求角C 的大小；

⑵ 求ABC △面积的最大值． 12． （本题满分14分）

设A B C D ，，，为抛物线24x y =上不同的四点，A D ，关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12d d ，，已知

12d d +．

⑴ 判断ABC △是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； ⑵ 若ABC △的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程． 13． （本小题满分14分）

⑴ 正四棱锥的体积V =求正四棱锥的表面积的最小值； ⑵ 一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．

14． （本小题满分14分）

假定亲本总体中三种基因型式：AA Aa aa ，，的比例为:2:(0002u v w u v w u v >>>+，，， 1)w +=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． ⑴ 求子一代中，三种基因型式的比例；

⑵ 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15． （本小题满分14分）

设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()102s t at b t a φ??==+>≠ ???，，满足2121

t s f t s -+??=

???

． ⑴ 证明：存在函数()()0t s cs d s φ==+>，满足2121

s t f s t +-??=

???

； ⑵ 设()11312n n x x f x n +===，，，，，证明：11

23

n n x --≤．

2011年华约自招——数学

即2011年高水平大学自主选拔学业能力测试一、选择题

1．设复数z满足1

z<且

15

2

z

z

+=则z=（）

A．

4

5

B．

3

4

C．

2

3

D．

1

2

2．在正四棱锥P ABCD

-中，M N

、分别为PA PB

、的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为

DM与AN所成角的余弦为（）

A．

1

3

B．

1

6

C．

1

8

D．

1

12

3．过点（-1,1）的直线l与曲线3221

y x x x

=--+相切，点（-1,1）不是切点，则直线l的斜率是（）

A．2 B．1 C．-1 D．-2

4．若

2π

3

A B

+=，则22

cos cos

A B

+的最小值和最大值分别为（）

A．

3

1

2

-，B．

13

22

，C．11

-+D．

1

1

2

+

，

5．如图，

1

O和

2

O外切于点

2

C O

，又都和O内切，切点分别为A B

，．设

A O

B A

C B

αβ

∠=∠=

，，则（）

A．cos sin0

2

α

β+=B．sin cos0

2

α

β-=

C．sin2sin0

βα

+=D．sin2sin0

βα

-=

6．已知异面直线a b

，成60?角．A为空间一点则过A与a b

，都成45?角的平面（）A有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D有且只有四个7．已知向量()()

3131

0111

22

a b c xa yb zc

????

==--=-++=

? ?

? ?

????

，，，，，，，则222

x y z

++的最小值为（）

A．1 B．

4

3

C．

3

2

D．2

8．AB为过抛物线24

y x

=焦点F的弦，O为坐标原点，且135

OFA

∠=?，C为抛物线准线与x轴的交点，则ACB

∠的正切值为（）

A．B C D

9．如图，已知ABC

△的面积为2，D E

，分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE D上一点，设

AD AE DF

x y z

AB AC DE

===

，，，且1

y z x

+-=，则BDF

△面积的最大值为（）A．

8

27

B．

10

27

C．

14

27

D．

16

27

A

D

E

F

10． 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）

A ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形

B ．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形

C ．存在某种分法，所分出的三有形至少有3个锐角三角形

D ．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 二、 解答题

11． 已知ABC △不是直角三角形．

⑴ 证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；

⑵

若tan tan 1tan B C

C A

+-=，且sin 2sin 2sin 2sin 2A B B C ，，，的倒数成等差数列，求

cos 2

A C

-值． 12． 已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯

直立放置）．质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处． ⑴ 若3b a =，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； ⑵ 水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

13． 已知函数()()212

1123

x f x f f ax b ??=

== ?+??，，．令()1112n n x x f x +==，． ⑴ 求数列{}n x 的通项公式； ⑵ 证明12112n x x x e +>

． 14． 已知双曲线()22

1222:100x y C a b F F a b -=>>，，，分别为C 的左右焦点．P 为C 右支上一点，

且使12π

3

F PF ∠=，又1

2F PF △的面积为2．

⑴ 求C 的离心率e ；

⑵ 设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C C 上的任意一点，问是否存在常数()0λλ>，使得

22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

F 1

F 2

x

2a 2c

P

E F

P

15． 将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n p 表示未出现连续3次正面的概率．

⑴ 求1234p p p p ，，，；

⑵ 探究数列{}n p 的递推公式，并给出证明；

⑶ 讨论数列{}n p 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．

2011年卓越自招——数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.向量,a b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()

2b a b -⊥，则,a b 的夹角为（ ） A ．

6

π B.

3

π C.

23

π D.

56π 2.已知()sin 2sin 2n αγβ+=，则

()()

tan (

)tan αβγαβγ++=-+

A ．1

1

n n -+ B. 1

n n + C.

1

n n - D.

1

1

n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，F 是棱11A B 上的点，且11:1:3A F FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为（

）

A

4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，ABC ?三个顶点都在抛物线上，且ABC ?的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4200x y +-=，则抛物线方程为（ ）

A ．216y x = B.28y x =

C. 216y x =-

D. 28y x =-

5.在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均等于2，且E 为1CC 的中点，则点1C 到平面1AB E 的距离是（ ）

A

6.若关于x 的方程24

x kx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ）

A ．()0,1

B.1,14?? ???

C.1,4??+∞ ???

D.()1,+∞ 7.如图，ABC ?内接于O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交O 于G ，F ，交O

在A 点处的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则P A 的长为（ ）

A D.

8.数列{}n a 共有11项，11110,4,1,1,2,...,10k k a a a a k +==-==，满足这样的条件的不同数列的个数为 （ ）

A ．100 B. 120 C.140 D.160

9. i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则222

1z z z i

-+-+的最大值为（

）

A 1 B. 2 C. 1 D. 210.设σ是坐标平面按照顺时针方向绕原点做角度为

27

π

的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射，用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用k σ表示连续k 次σ的变换，则234στστστσ是（ ） A ．4σ B. 5σ C. 2στ D. 2τσ

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11.（本题满分14分）设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+

（1） 设1n n n b a a +=-，证明：若a ≠b ，则{}n b 是等比数列； （2） 若()12lim ...4n n a a a →∞

+++=，求a 、b 的值

12.（本题满分14分）在ABC ?中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC 。 （I ）求k 的取值范围；

（II ）若1ABC S ?=，问k 为何值时，BC 最短？

13.（本题满分14分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线y x = （I ）求椭圆的方程

（II ）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于P 、Q 及M 、N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值

14.（本题满分14分）一个袋子里有a 个白球和b 个黑球，从中任取一个球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中，重复n 次这样的操作后，记袋中的白球的个数为n X (1) 求1EX ；

(2) 设()n k P X a k p =+=，求1(),0,1,2,...,n P X a k k b +=+=； (3) 证明：1111n n EX EX a b +?

?=-+ ?+??

.

15.（本题满分14分）

（1）设()ln f x x x =，求()'f x ； （2）设0a b <<，求常数C ，使得

1ln b

a

x C dx b a --?的最小值；

（3）设（2）中的最小值为,a b m ，证明,ln 2a b m <

2012年华约自招——数学

即2012年高水平自主选拔学业能力测试

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在锐角ABC ?中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为（ ）

A.

B. 1[2

C. (0,1)

D. 2.红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红旗子在前，

蓝棋子在后，满足这种情况的不同条件的不同排列方式共有（ ） A.36种 B.60种 C.90种 D.120种

3.正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为α，侧棱SB 与地面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则α、β、γ、θ之间的大小关系是（ ）

A. αβθγ<<<

B. αβγθ<<<

C. αγβθ<<<

D. βαγθ<<< 4.向量a e ≠，||1e =，若t R ?∈，||||a te a e -≥+，则（ ） A. a e ⊥ B. ()a a e ⊥+ C. ()e a e ⊥+ D. ()()a e a e +⊥- 5.若复数

11ωω-+的实部为0，Z 是复平面上对应1

1

ω+的点，则点(,)Z x y 的轨迹是（ ） A.一条直线

B.一条线段

C.一个圆

D.一段圆弧

6.椭圆长轴为4，左顶点在圆22(4)(1)4x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. 11

[,]84

B. 11[,]42

C. 11[,]82

D. 13[,]24

7.已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ?的垂心，二面角

H AB C --为o 30，且2SA =，则此三棱锥的体积为（ ）

A.

12

B.

C. D. 3

4

8.如图，在锐角ABC ?中，AB 边上的高CE 于AC 边上的高BD 交于点H ，以DE 为直径作圆与AC 的另一个交点为G ，已知25BC =，20BD =，7BE =，则AG 的边

长为（ ）

A.8

B. 425

C.10

D.

545

9.已知数列{}n a 的通项公式为22

lg(1)3n a n n

=+

+，1n =，2，…，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（G

H

E

D C

B

A

）

A.0

B. 3lg 2

C. lg 2

D. lg 3

10.已知610i x -≤≤(1,2,10)i =…,

,10

1

50i i x =∑=，当1021

i i x =∑取得最大值时，在1x ，2x ，…，10x 这是个数种等于6-的数共有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.（本小题满分14分）在ABC ?中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知22sin 1cos22

A B

C +=+ （1）求C 的大小

（2）若22222c b a =-，求cos 2cos 2A B -的值

12.（本小题满分14分）已知两点(2,0)A -，(2,0)B ，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22||P AP B P H =。

（1）求动点P 的轨迹C 的方程

（2）已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点M ，N 。设MN 的中点为R ，过R 与点(0,2)Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。

13.（本小题满分14分）系统中每个元素正常工作的概率都是(01)p p <<，各元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能给你正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性。

（1）某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系统正常工作概率的表达式。

（2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。

14.（本小题满分14分）记函数2()12!!

n

n x x f x x n =++++…，1,2n =…，证明：当n 是偶数时，方程()0

n f x =没有实根：当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根n θ，且2n n θθ+>，

15.（本小题满分14分某兵乓球培训班共有n 位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都做为搭档

恰好参加过一场双打比赛，试确定n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。

2012年卓越自招——数学

即卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试

一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

1.若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 ____ 。

2.函数sin ()2cos f θ

θθ

=

+()R θ∈的值域为 。

3.设01a <<，π

04

θ<<

，log sin (sin )a x θθ=，log tan (cos )a y θθ=，则x ，y 的大小关系为 __________。 4.已知ABC ?中，o 90A ∠=，4BC =，点A 是线段EF 的中点，2EF =，若EF 与BC 的夹角为o 60，则BE CF = 。

5.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 。若33a b =，44a b =，且

53425S S T T -=-，则53

53

a a

b b +=+ 。

6.设函数()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，R ?∈，若在常数(0)T T <，使对任意x R ∈有()()f x T Tf x +=，则ω可取到的最小值为 。

二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.（本小题满分10分）设a ，b 是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数。 （Ⅰ）求直线y ax b =+与圆222x y +=有公共点的概率

（Ⅱ）设X 为直线y ax b =+与圆222x y +=的公共点的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X 。

8.（本小题满分10分）如图，AB 是O 的直径，弦CD 垂直AB 于点M ，E 是CD 延长线上一点，10AB =，8CD =，34ED OM =，EF O 的切线，F 是切点，BF 与CD 相交于点G ， （Ⅰ）求线段EG 的长；

（Ⅱ）连线DF ，判断DF 是否平行于AB ，并证明你的结论。（注：根据解题需要，须将图形自行画在大题卡上。）

E

9.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1PA AD AB ===，2BC =。

（Ⅰ）证明平面PBC ⊥平面PDC ；

（Ⅱ）若o 120PAB ∠=，求二面角B PD C --的正切值。（注：根据解题需要，须将图形自行画在答题卡上）

D

C

B

A

P

10.（本小题满分10分）设抛物线22(0)y px p =>的焦点是F ，A ，B 是抛物线上互异的两点，直线AB 与x 轴不垂直，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(,0)D a ，记||||m AF BF =+。 （Ⅰ）证明a 是p 与m 的等差中项

（Ⅱ）设3m p =，直线l 平行y 轴，且l 被以AD 为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线l 方程。 11.（本小题满分15分）

已知函数()21

ax f x bx

+=，其中a 是非零实数，0b >。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间 （Ⅱ）若0a >

，设||i x >1i =，2，3，且120x x +>，230x x +>，310x x +>。证明：

()()(

)123f x f x f x ++>

（Ⅲ）若()f x 有极小值min f ，且min (1)2f f ==，证明()()()

*||||22n n n f x f x n N -≥-∈。 12.（本小题满分15分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a ≠，11n n vS uS a v +-=，其中u ，v 是正整数，且u v >，*n N ∈。 （Ⅰ）证明{}n a 为等比数列；

（Ⅱ）设1a ，p a 两项均为正整数，其中3p ≥。 （ⅰ）若1p a ≥，证明v 整除u ；

（ⅱ）若存在正整数m ，使得11p a m -≥，()

1

1p p a m -≤+，证明()1p

p p S m m =+-。

即2013年综合性大学自主选拔录取联合考试

一、选择题（每题8分，共48分）

1、以1为根的有理系数方程的最小次数为 ．

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

2、在66?棋盘上放3个完全相同的红色的车和3个完全相同的黑色的车，若这6个车不在同一行也

不在同一列上，则不同的放法有 种．

A ．720

B ．518400

C ．20

D ．14400

3、在ABC △中，D 为BC 的中点，DM 平分ADB ∠交AB 于M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则

BM CN +与MN 的大小关系是 ．

A ．BM CN MN +>

B ．BM CN MN +=

C ．BM CN MN +<

D ．不能确定

4、若2225

25

x y y x ?=+??=+??，x y ≠，则32232x x y y -+的值为 ．

A ．10-

B ．12-

C ．14-

D ．以上答案均不对

5、n S 表示数列{}n a （1n ≥）的前n 项和．已知11a =，且1n ?≥，142n n S a +=+，则2013a 等

于 ．

A ．201230192?

B ．201330192?

C ．201230182?

D ．以上答案均不对

6、复数A 、B 、C 的模都等于1，且0A B C ++≠，则复数AB BC CA

A B C

++++的模等于 ．

A ．1

2

B ．1

C ．3

D ．不能确定

二、解答题（每题18分，共72分）

7、（文科）123,,,a a a 是一个递增的正等差数列．k 、l 、m 是给定的正整数．已知k a 与l a 的

几何平均大于m a 与n a 的算术平均．求证：

2

k l

+． 8、至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论．

9、实数122013,,

,a a a 满足1220130a a a +++=，122320131222a a a a a a -=-==-．求证：

1220130a a a ==

==．

10、对任意θ，求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值． 11、（理科）设有mn 个实数排成一个m 行n 列的阵列{}

ij

m n

a ?，使得每一行上的n 个数从左到右都

按递增的顺序排列，即对任意1i m ≤≤，当12j j <时有12ij ij a a ≤．下面把每列上的m 个数都从上到下都按递增的顺序重排得到阵列{}

ij m n

a ?'

，即对任意的1j n ≤≤，当12i i <时有

12i j i j a a ''≤，问这个新的阵列{}

ij m n

a ?'

每一行中的n 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理

由．

1、（本小题满分10分）设集合{}|10A x x =∈Z ≥，B 是A 的子集，且B 中的元素满足：

① 各个数字互不相同； ② 任意两个数字之和不等于9． ⑴ 集合B 中的两位数与三位数各有多少个？ ⑵ 集合B 中是否有五位数？是否有六位数？ ⑶ 将集合B 中的数从小到大排列，第1081个数是什么？

2、（本小题满分15分）已知x 、y 满足1sin sin 3

1cos cos 5x y x y ?

+=????-=

??

，求()cos x y +与()sin x y -的值．

3、（本小题满分15分）设0k >，在直线y kx =与y kx =-上分别取点(),A A A x y 与(),B B B x y ，

使0A B x x >且21OA OB k ?=+，其中O 是坐标原点．记AB 中点M 的轨迹为C ． ⑴ 求C 的方程；

⑵ 若抛物线22x py =（0p >）与C 在两点相切，证明：两个切点分别在两条定直线上，并

求在这两切点处的切线方程．

4、（本小题满分15分）袋中装有7个红球和8个黑球，一次取出4个球．

⑴ 求取出的球中恰好只有1个红球的概率； ⑵ 取出的球中黑球的个数记为X ，求X 的分布列及EX ； ⑶ 当取出的4个球是同一种颜色时，求这种颜色是黑色的概率． 5、（本小题满分15分）设数列{}n a 满足21n n n a a ca +=+，1,2,

,n =其中10a >，0c >．

⑴ 证明：对任意0M >，存在正整数N ，当n N >时，n a M >； ⑵ 记1

1

n n b ca =

+，12n n S b b b =+++．证明：{}n S 有界，且对任意0d >，存在正整数K ，

当n K >时，1

1

0n S d ca <-

<． 6、（本小题满分15分）设x 、y 、z 是三个两两不等且都大于1的正整数，若

()()()|111xyz xy yz zx ---，求x 、y 、z 的所有可能值．

7、（本小题满分15分）

已知函数()()1e 1x f x x =--． ⑴ 证明：当0x >时，()0f x <．

⑵ 设数列{}n x 满足1e e 1n n x x n x +=-且11x =．证明：{}n x 单调递减且1

2n n

x >

．

2013年卓越自招——数学

即卓越大学联盟自主选拔录取学科基础测试一数学部分（理工类100分）

一、 选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.） 1、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间()0,+∞上是增函数，则

（A ） ()()()0.722log 53f f f <-<- （B ）()()()0.7232log 5f f f -<<- （C ） ()()()0.723log 52f f f -<-< （D ）()()()0.7223log 5f f <-<-

2、已知函数()()sin 0,02f x x πω?ω???=+><< ???的图像经过点,06B π??

- ???

，且()f x 的相邻两个零

点的距离为

2

π

，为得到()y f x =的图像，可将sin y x =图像上所有的点 （A ） 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的1

2倍，纵坐标不变

（B ） 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的1

2倍，纵坐标不变

（C ） 先向左平移3π

个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

（D ） 先向右平移3

π

个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

3、如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种

1种

植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方案的总数为 （A ） 21 （B ）24 （C ） 30 （D ）48 4、设函数()f x 在R 上存在导数()'

f

x ，对任意的x R ∈有()()2f x f x x -+=，且在 ()0,+∞上

()'f x x >，若()()222f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为

（A ） [)1,+∞

（B ）(],1-∞

（C ）(],2-∞

(D)[)2,+∞

二、 填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）

5、已知抛物线()2

20y px p =>的焦点是双曲线22

18x y p

-=的一个焦点，则双曲线的渐近线方程

是_______________.

6、设点O 在ABC ?的内部，点,D E 分别为边,AC BC 的中点，且21OD OE +=,则

23OA OB OC ++=________________.

7、设曲线y =

与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，该点落在D 内任一

小区域的概率只与该小区域的面积成比例，则该点落入区域

(){}2

2,|2x y D x

y ∈+<内的概率

为 .

8、如图，AE 是O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥于点D ，割线EC 交O 于B ，C 两点.设

,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠=____________（用,αβ表示）.

三、 解答题（本大题共4小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

9、（本小题满分13分）在ABC ?中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知

()()()s i n s i n s i n

a c A C a

b B -+=-. （I ）求角C 的大小；

（II ）求sin sin A B ?的最大值.

10、（本小题满分13分）设椭圆()222124x y a a +=>

的离心率为

.斜率为k 的直线l 过点()0,1E ,且与椭圆相交于,C D 两点。

(I)求椭圆方程；

(II)若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值；

(III)设A 为椭圆的下顶点，,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率.证明对任意的k ，恒有

2AC AD k k ?=-.

11、（本小题满分15分）设0x >。

（I ）证明2

112

x

e x x >++

； （II ）若2112

x

y

e x x e =++

，证明0y x << 12、（本小题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2

1n n n a a na α+=-+，*n N ∈，R α∈.

（I ）若2n a n ≥对*

n N ∈都成立，求α得取值范围； （II ）当2α=-时，证明

()*1211

1

2

22

2

n n N a a a +++

<∈---.

2010年华约自招——物理

即2010年五校合作自主选拔通用基础测试自然科学（物理部分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是正确的，把正确选项前的字母填在答题卡上。（8、9、10为化学）

1．在光滑的水平面上有一质量为M 、倾角为θ的光滑斜面，其上有一质量为m 的物块，如图所示。物块在下滑的过程中对斜面压力的大小为 （ ）

A. θcos θsin m M θcos Mmg +

B. θcos θsin m M θcos Mmg -

C. θsin m M θcos Mm g 2

+ D. θsin m M θcos Mmg 2

- 2．如图所示，用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电量都相同的带电小球A 和B ，两线上端固定于O 点，B 球固定在O 点正下方。当A 球静止时，两悬线夹角为θ.能保持夹角θ不变的方法是（ ） A ．同时使两悬线长度减半

B ．同时使A 球的质量和电量都减半

C ．同时使两球的质量和电量都减半

D ．同时使两悬线长度和两球的电量都减半 3．匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速度绕图a 、b 、c 、d 所示的固定转轴旋转，用I a 、I b 、I c 、I d 表示四种情况下线框中电流的有效值，则 （ ）

A ．I a =I d

B ．I a > I b

C ．I b > I c

D ．I c =I d

4．如图，在xOy 平面内有一列沿x 轴传播的简谐横波，频率为2.5 Hz 。在t =0时，P 点位于平衡位置，且速度方向向下，Q 点位于平衡位置下方的最大位移处。则在t = 0.35 s 时，P 、Q 两质点的（ ） A ．位移大小相等、方向相反

B ．速度大小相等、方向相同

C ．速度大小相等、方向相反

D ．加速度大小相等、方向相反

5．在光电效应实验中，先后用频率相同但光强不同的两束光照射同一个光电管。若实验a 中的光强大于实验b 中的光强，实验所得光电流I 与光电管两端所加电压U 间的关系曲线分别以a 、b 表示，则下列4图中可能正确的是 （ ）

6．如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P 点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。

A

D

B b

将磁感应强度的大小从原来的B 1变为B 2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B 2/B 1等于（ ） A ．2 B ．3

C ．2

D ．3

7．在光滑的水平桌面上有两个质量均为m 的小球，由长度为2l 的拉紧细线相连。以一恒力作用于细线中点，恒力的大小为F ，方向平行于桌面。两球开始运动时，细线与恒力方向垂直。在两球碰撞前瞬间，两球的速度在垂直于恒力方向的分量为（ ） A ．

m Fl 2 B ．m Fl C ．m Fl 2

D ．m Fl 2

二、实验题：共12分。根据题目要求作答。（12、13为化学）

11．（12分）右图为一直线运动加速度测量仪的原理示意图。A 为U 型底座，其内部放置一绝缘滑块B ；B 的两侧各有一弹簧，它们分别固连在A 的两个

内侧壁上；滑块B 还与一阻值均匀的碳膜电阻CD 的滑动头相连（B 与A 之

间的摩擦及滑动头与碳膜间的摩擦均忽略不计），如图所示。电阻CD 及其滑动头与另外的电路相连（图中未画出）。

工作时将底座A 固定在被测物体上，使弹簧及电阻C D 均与物体的运动方向平行。当被测物体加速运动时，物块B 将在弹簧的作用下，以同样的加速度运动。通过电路中仪表的读数，可以得知加速度的大小。

已知滑块B 的质量为0.60 kg ，两弹簧的劲度系数均为2.0×102 N/m ，CD 的全长为9.0 cm ，被测物体可能达到的最大加速度为20m/s 2（此时弹簧仍为弹性形变）；另有一电动势为9.0 V 、内阻可忽略不计的直流电源，一理想指针式直流电压表及开关、导线。

设计一电路，用电路中电压表的示值反映加速度的大小。要求：

①当加速度为零时，电压表指针在表盘中央；

②当物体向左以可能达到的最大加速度加速运动时，电压表示数为满量程。（所给电压表可以满足要求） (1)完成电路原理图。 (2)完成下列填空：（不要求有效数字） ①所给的电压表量程为______V ；

②当加速度为零时，应将滑动头调在距电阻的C 端 cm 处；

③当物体向左做减速运动，加速度的大小为10 m/s 2时，电压表示数为 V 。 三、推理、论证题：共32分。解答时应写出必要的文字说明和推理过程。 14.（11分）A 、B 、C 三个物体（均可视为质点）与地球构成一个系统，三个物体分别受恒外力F A 、F B 、F C 的作用。在一个与地面保持静止的参考系S 中，

观测到此系统在运动过程中动量守恒、机械能也守恒。S'系是另一个相对S 系做匀速直线运动的参考系，讨论上述系统的动量和机械能在S'系中是否也守恒。（功的表达式可用W F =F .S 的形式，式中F 为某个恒力，S 为在力F 作用下的位移）

四、计算题：共26分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤。只写出最后结果的不能得分。

15.（12分）卫星携带一探测器在半径为3R (R 为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在a 点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b 距地心的距离为nR (n 略小于3)，求卫星与探测器的质

量比。

（质量分别为M 、m 的两个质点相距为r 时的引力势能为-GMm /r ，式中G 为引力常量）

a

16.（14分）如图，三个面积均为S 的金属板A 、B 、C 水平放置，A 、B 相距d 1，B 、C 相距d 2，A 、C 接地，构成两个平行板电容器。上板A 中央有小孔D 。B 板开始不带电。质量为m 、电荷量为q （q >0）的液滴从小孔D 上方高度为h 处的P 点由静止一滴一滴落下。假设液滴接触B 板可立即将电荷全部传给B 板。油滴间的

静电相互作用可忽略，重力加速度取g 。

(1)若某带电液滴在A 、B 板之间做匀速直线运动，此液滴是从小孔D 上方落

下的第几滴？

(2)若发现第N 滴带电液滴在B 板上方某点转为向上运动，求此点与A 板的

距离H 。

（以空气为介质的平行板电容器电容C =S /(4πkd )， 式中S 为极板面积，d 为极板间距，k 为静电力常量。）

C

2011年华约自招——物理

即2011年高水平大学自主选拔学业能力测试自然科学（物理部分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个

选项是正确的，把正确选项前的字母填在答题卡上。

1．根据玻尔的氢原子理论，当某个氢原子吸收一个光子后（ ） A ．氢原子所处的能级下降 B ．氢原子的电势能增大

C ．电子绕核运动的半径减小

D ．电子绕核运动的动能增大 2．如图，纸面内两根足够长的红杆ab 、cd 都穿过小环M ，杆ab 两端固定，杆cd

可以在纸面内绕过d 点并与纸面垂直的定轴转动。若杆cd 从图示位置开始，按照图中箭头所示的方向，以匀角速度转动，则小环M 的加速度（ ） A ．逐渐增加 B ．逐渐减小 C ．先增加后减小 D ．先减小后增加

3．如图，在杨氏双缝干涉实验中，若单色点光源从图示位置沿垂直于SO 的

方向向上移动一微小距离，则屏上的干涉条纹将（ ） A ．向上移动，间距不变 B ．向上移动，间距变大 C ．向下移动，间距不变 D ．向下移动，间距变大

4．一质点沿直线做简谐振动，相继通过距离为16cm 的两点A 和B ，历时1s ，并且在A 、B 两点处具1s ）

A ．3s ，

B ．3s ，

C ．4s ，

D ．4s ，

5．如图，水流由与水平方向成α角的柱形水管流入水平水槽，并由水槽左右两端流出，则从右端流出的水量与从左端流出的水量的比值可能为（ ）

A ．212sin +α

B ．212cos +α

C ．212tan +α

D ．212cot +α

6．如图，带电质点1P 固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距1P 一定距离有另一带电质点2P ，2P 在桌面上运动。某一时刻质点2P 的速度沿垂直于12P P 连线的方向，则（ ） A ．若1P 、2P 带同种电荷，以后2P 一定做速度变大的曲线运动

B ．若1P 、2P 带同种电荷，以后2P 一定做加速度变大的曲线运动

C ．若1P 、2P 带异种电荷，以后2P 的速度大小和加速度大小可能都不变

D ．若1P 、2P 带异种电荷，以后2P 可能做加速度、速度都变小的曲线运动

7．如图，空间某区域内存在着匀强磁场，磁场的上下边界水平，方向与竖直平面（纸面）垂直；两个由完全相同的导线制成的刚线材框a 和b ，其形状分别是周长为4l 的正方形和周长为6l 的矩形。红框a 和b 在竖直面内从图示位置自由下落。若从开始下落到线框完全离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为a I 、b I ，则a b I I ∶为

A ．3

8∶ B ．12∶ C ．11∶

D ．32∶ 二、实验题：12分。根据题目要求作答。 11．（12分）当压强不变、温度变化量t ?不太大时，液体或固体在某一温度下的体膨胀系数α可以表

示为V

V t

α?=

?，其中V 为该温度时的体积，V ?为体积的变化量。一般来说，在常温常压下液体和固体的体膨胀系数分别在量级和651010/K ---量级。

图中所示的装置可以用来测量控温箱中圆形玻璃容器内液体的体膨胀系数，实

验步骤如下：

① 拿掉浮标，将液体的温度调控为接近室温的某一温度0t ，测量液柱的高度h 。 ② 放入浮标，保持压强不变，将液体的温度升高一个不太大的量t

?，用精密的

位置传感器确定指针高度的变化量h ?。

③ 利用步骤①和②中测得的数据计算液体在0t 时的体膨胀系数α。

回答下列问题：

⑴ 不考虑温度变化导致的液体密度变化，写出测量量表示的α

的表达式； ⑵ ①在温度升高过程中，液体密度变化会对用上面的表达式计算出的结果有什么影响？为什么？ ②在所用浮标为直立圆柱体时，某同学对如何减小这一影响提出了以下几条建议，其中有效的

是___________。（填入正确选项前的字母）

A ．选用轻质材料制成的浮标

B ．选用底面积较大的浮标

C ．选用高度较小的浮标

D ．尽量加大液柱的高度h

E ．尽量选用底面积大的玻璃容器

三、推理、论证题：本大题共3小题，共32分。解答时应写出必要的文字说明和推理过程。 14．（11分）在压强不太大，温度不太低的情况下，气体分子本身的大小比分子间的距离小很多，因而

在理想气体模型中通常忽略分子的大小。已知液氮的密度3810kg m ρ-=?，氮气的摩尔质量

31mol 2810kg mol M --=??。假设液氮可看作由立方体分子堆积而成，根据所给数据对标准状态下的

氮气做出估算，说明上述结论的合理性。

四、计算题：本大题共2小题，共26分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤。只

写出最后结果的不能得分。 15．（12）如图，质量分别为m 和3m 的物块A 、B 用一根轻弹簧相连，置于光滑的水平面上，物块A

刚好与墙接触。现用外力缓慢向左推物块B 使弹簧压缩，然后撤去外力，此过程中外力做功为W 。求：

⑴ 从撤去外力到物块A 离开墙壁的过程中，墙壁对物块A 的冲量； ⑵ 在物块A 离开墙壁后的运动过程中，特块A 、B 速度的最小值。 16．（14分）如图，xy 平面为一光滑水平面。在0x >，0y >的空间

区域内有平行于xy 平面的匀强电场，场强大小为100V /m E =；

在0x >，3m y <的区域内同时有垂直于xy 平面的磁场。一质量

为6210kg m -=?、电荷量大小为7210C q -=?的带负电粒子从坐标原点O 以一定的初动能入射，在电场和磁场的作用下发生偏转，到达P(43)，点时，动能变为初动能的0.2倍，速度方向平行于y 轴正方向。最后，粒子从y 轴上5y m =的M 点射出电场，动能变为初动能的0.52倍。求： ⑴ OP 连线上与M 点等电势的点的坐标；