高中数学基础知识典型例题4——三角函数
三角函数公式典型例题大全
高中三角函数公式大全以及典型例题2009年07月12日星期日 19:27三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tan(A-B) =cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式tan2A =Sin2A=2SinA?CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()=tan()==和差化积sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsintana+tanb=积化和差sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb =[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb =[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa.sin(-a) = cosa cos(-a) = sinasin(+a) = cosa cos(+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =万能公式sina=cosa=tana=其它公式a?sina+b?cosa=×sin(a+c) [其中tanc=]a?sin(a)-b?cos(a) =×cos(a-c) [其中tan(c)=]1+sin(a) =(sin+cos)2 1-sin(a) = (sin-cos)2其他非重点三角函数csc(a) =sec(a) =公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosαtan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα公式六：±α及±α与α的三角函数值之间的关系：sin（+α）= cosα cos（+α）= -sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanαsin（-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanαsin（+α）= -cosα cos（+α）= sinα tan（+α）= -cotαcot（+α）= -tanα sin（-α）= -cosα cos（-α）= -sinαtan（-α）= cotα cot（-α）= tanα(以上k∈Z)正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ三角函数典型例题1 ．设锐角的内角的对边分别为,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)求的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.(Ⅱ).2 ．在中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．(Ⅰ)求角B的大小;20070316(Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=.∵0<B<π,∴B=.(II)=4ksinA+cos2A．=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)设sinA=t,则t∈.则=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.∵k>1,∴t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.3 ．在中,角所对的边分别为,.I.试判断△的形状;II.若△的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4 ．在中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=2A,,(1)求的值;(2)若,求边AC的长?【解析】:(1)(2)①又②由①②解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5 ．已知在中,,且与是方程的两个根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若AB,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程的两根.∴(Ⅱ)∵,∴.由(Ⅰ)知,,∵为三角形的内角,∴∵,为三角形的内角,∴,由正弦定理得:∴.6 ．在中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且?(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值?【解析】:(1)2sinB(2cos2-1)=-cos2B2sinBcosB=-cos2B tan2B=-∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B=(2)由tan2B=-B=或①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤∴△ABC的面积最大值为②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)∴ac≤4(2-)∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤ 2-∴△ABC的面积最大值为2-7 ．在中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=+cos2B=(2)由∵b=2,+=ac+4≥2ac,得ac≤, S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为8 ．已知,求的值?【解析】;。
高考数学《求未知角的三角函数数值》基础知识典型例题
高考数学《求未知角的三角函数数值》基础知识典型例题在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧 一、基础知识：1、与三角函数计算相关的公式： （1）两角和差的正余弦，正切公式：① ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ② ()sin sin cos sin cos αβαββα−=− ③ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=− ④ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ−=+ ⑤ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=− ⑥ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ−−=+（2）倍半角公式：① sin22sin cos ααα= ② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=−=−=−③ 22tan tan 21tan ααα=−（3）辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=2、解决此类问题的方法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。
确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：43ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ，则56122πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，）（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
【高中数学专项练习】——三角函数大题20道
三角函数 专题1如图,已知的内角的对边分别是,且,点是的中点,,交于点,且.1.求;2.求的面积.2.当()πk k z α≠∈时，求证：1cos tan 2sin ααα-=3.已知函数()()212cos cos f x x x x x R =--∈. （1）求2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间. 4.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合.5.在与530°角的终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在[)360,720︒︒内的角.6.已知函数π()2sin()4f x x =+（1）求出函数的最大值及取得最大值时的x 的值; （2）求出函数在[0,2π]上的单调区间; （3）当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的值域7.计算3πsin(3π)cos(2π)sin()2cos(π)sin(π)cos(3π)αααααα---+----+的值. 8.如图所示，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t min 时，点P 距离地面的高度.（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过70m ？9.已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（2）根据（1）的结果，若函数()(0)y f kx k =>的最小正周期为2π3，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.10.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140mmHg 和60~90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值. 设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)p t t =+，其中()p t 为血压（mmHg ），t 为时间（min ），试回答下列问题：（1）求函数()p t 的最小正周期； （2）求此人每分钟心跳的次数；（3）求出此人的血压和血压计上的读数，并与正常值比较.11.已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y ft =，下表是某日某时的浪高数据. （1）根据上表数据，求函数cos y A t B ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数解析式.（2）依据规定，当海浪高度等于或高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内8时至20时之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动？12.已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，其图像上相邻两个最高点间的距离为π.(1)求函数()f x 的解析式;(2)用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数()f x 在一个周期内的图像,并写出函数()f x 的单调递减区间.13.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求sin()α+π的值; (2)若角β满足5sin()13αβ+=,求cos β的值. 14.已知函数()π2cos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0,x ω>∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值； (2)设π5π65π16,0,,5,5235617ff αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈+=--=⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，求()cos αβ-的值. 15.如图所示,某市政府决定在以政府大楼 O 为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形ABCD 的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝向市政府大楼.设扇形的半径OM R =,45MOP ∠=︒,OB 与OM 之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.(2)若45R m =,求当θ为何值时,矩形ABCD 的面积 S 最大?最大面积是多少?( 1.414) 16.某港口的水深()m y 是时间t (024t ≤≤,单位:h)的函数,下面是该港口的水深表:经过长时间的观察,描出的曲线如下图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数()sin y A t B ωϕ=++的图象.(1)试根据数据表和曲线,求出函数()sin y A t B ωϕ=++的表达式;(2)一般情况下,船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的.如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多少小时(忽略离港所用的时间)?17.某港口的水深y (米)是时间t (024t ≤≤,单位:小时)的函数,下面是每天不同时间与水深的关系表: t369 12 151821 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1710sin A t b ω+. (1)根据以上数据,求出()y f t =的解析式;(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几个时间段可以安全的进出该港. 18.如图,某公园摩天轮的半径为40m,点O 距离地面的高度为50m,摩天轮做匀速运动,每3min 转一圈,摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.(1)已知在时刻(min)t 时点P 距离地面的高度()sin()f t A t h ωϕ=++,求2018min 时点P 距离地面的高度. (2)当距离地面50203m +以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈有多少时间可以看到公园全貌?19.据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系式:π()sin()(0,0,||)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><,*(N )x x ∈为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元. (1)求()f x 的解析式;(2)求此商品的价格超过8万元的月份.20.心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大位、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80 mmHg 为标准值.设某人的血压满足()11525sin(160π)P t t =+.其中()P t 为血压()mmHg ,t 为时间(min).(1)求函数()P t 的最小正周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数()P t 在一个周期内的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.参考答案1.答案：（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=∵，由sin sin sin a b c A B C==得222a c ac b +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0πB <<，60B =︒∴（2）连接CE ，如下图：D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE CE =∴，sin DE CE AE A ===∴ 在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BCB BEC A==∠，22sin cos A A =，cos A ∴=， 0π,45A A ︒<<∴=，75ACB ︒∠=∴，30BCE ACB ACE ︒∠=∠-∠=∴，90BEC ︒∠=，CE AE ==∴1AB AE BE =+=，1·2ABC S AB CE =∴△， 解析：2.答案：证明21cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 2ta 222n αααααααα-⋅-===⋅⋅解析：3.答案：（1）()212cos cos f x x x x =--πcos 222sin 26x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭.则2π4ππ2sin 2336f ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π.由正弦函数的性质得πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k Z ∈， 解得ππππ36k x k -+≤≤+，k Z ∈，所以，()f x 的单调递减区间是πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 解析：4.答案：(1){}360135360300,k k k αα⋅︒+︒≤≤⋅︒+︒∈Z . (2){}1806018045,k k k αα⋅︒-︒<<⋅︒+︒∈Z . 解析：5.答案：（1）与530°角的终边相同的角为360170,k k ⋅+∈Z °°. 由3603601700,k k -⋅+<∈Z °°°°， 得530360170,k k -⋅<-∈Z °°°，解得1k =-，故所求的最大负角为1360170190-⨯+=-°°°. （2）由0360170360,k k <⋅+∈Z °°°°， 得170360190,k k -<⋅∈Z °°°，解得0k =，故所求的最小正角为0360170170⨯+=°°°. （3）由360360170720,k k ⋅+<∈Z °°°°， 得190360550,k k ⋅<∈Z °°°，解得1k =，故所求的角为1360170530⨯+=°°°. 解析：6.答案：（1）当ππ2π42x k +=+,即π2π,4x k =+k Z ∈时,函数的最大值为2 （2）单调增区间为π5π0,,,2π44⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,单调减区间为π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）函数()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦因为ππππ3ππ,,sin 1224444x x x ⎛⎫-≤≤-≤+≤≤+≤ ⎪⎝⎭,所以, π2sin 24x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦ 解析： 7.答案：原式()()()()sin cos cos 1cos sin cos αααααα--==--解析：8.答案：（1）以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y m ，依题意得2ππ40sin 50032y t ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭.（2）令2ππ40sin 507032t ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，则2ππ1sin 322t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，π2ππ5π2π2π()6326k t k k ∴+<-<+∈Z ， 2π2π4π2π2π()333k t k k ∴+<<+∈Z ，3132()k t k k ∴+<<+∈Z . 令0k =，得12t <<.因此，摩天轮转动的一圈内，共有1min 点P 距离地面超过70m. 解析：9.答案：（1）设()f x 的最小正周期为T ，则11ππ2π66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 由2πT ω=，得1ω=.又由3,1,B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得2,1.A B =⎧⎨=⎩令5ππ62ωϕ⋅+=，即5ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=-， ∴函数()f x 的一个解析式为π()2sin 13f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）函数π()2sin 13y f kx kx ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3，又0,3k k >∴=.令π33t x =-. ππ2π0,,,333x t ⎡⎤⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.π2πsin ,,33y t t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图像如图所示.由sin t s =在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，得s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，∴方程()f kx m =在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰有两个不同的解，则[1,3)m ∈，即实数m 的取值范围是1,3).解析：10.答案：（1）最小正周期2π2π1min ||160π80T ω===. （2）180f T==次/min.所以此人每分钟心跳的次数为80次.（3）max min ()11525140mmHg,()1152590mmHg p t p t =+==-=.即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg ，比正常值高. 解析：11.答案：（1）由表中数据知，周期2ππ12,6T T ω=∴==. 由0, 1.5t y ==，得 1.5A B +=.由3, 1.0t y ==，得 1.0B =.0.5,1A B ∴==. 1πcos 1,[0,24]26y t t ∴=+∈.（2）1π1,cos 1126y t ∴+.πcos 06t ∴.πππ2π2π()262k t k k ∴-+∈Z .123123()k t k k ∴-+∈Z . 又820,1,915t k t ∴=.∴冲浪爱好者从9时到15时，有6小时可进行运动.解析：12.答案：(1)因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以()f x 的最小正周期πT =,由2π||T ω=,可得2ω=.因为sin y x =的对称中心为(π,0),k k ∈Z ,所以5π2π()12k k ϕ⨯+=∈Z ,即5ππ()6k k ϕ=-∈Z .又π||2ϕ<,所以π6ϕ=,所以函数的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)由“五点作图法”找出函数()f x 在一个周期内的五个关键点,如表所示.由ππ3π2π22π,262k x k k +++∈Z ,可得π2πππ,63k x k k ++∈Z ,所以函数()f x 的单调递减区间是π2ππ,π,63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 解析：13.答案：(1)由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,得4sin 5α=-,所以4sin(π)sin 5αα+=-=. (2)由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-,由5sin()13αβ+=,得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-,得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 解析：14.答案：（1）因为函数()f x 的最小正周期为10π，所以2π10πω=，所以15ω=. （2）因为5π6535f α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以15πππ62cos 52cos 53625αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3sin 5α=.又因为5π165617f β⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以15ππ162cos 52cos 56617ββ⎡⎤⎛⎫-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以415cos ,sin 517αβ==,所以()48315cos cos cos sin sin 5175177785αβαβαβ-=+=⨯+⨯=.解析： 15.答案：(1) 由题意，可知点M 为PQ 的中点，所以OM AD ⊥. 设OM 与BC 的交点为F ,则2sin ,cos BC R OF R θθ==， 所以1cos sin 2AB OF AD R R θθ=-=-, 所以()()222sin cos sin 2sin cos 2sin S AB BC R R R R θθθθθθ=⋅=-=- ()222πsin 21cos 2sin 24R R θθθ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭,π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(2) 因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ242θ+=，即π8θ=时,S 有最大值. ))()222max 11450.4142025838.35S R m ==⨯=⨯=.故当π8θ=时，矩形ABCD 的面积S 最大，最大面积为838.352m . 解析： 16.答案：(1)由周期求得π6ω=,由最大、最小值求得3A =,由y 轴截距求得 10B =,所以()π3sin 100246y t t =+≤≤. (2)由于船的吃水深度为7m,船底与海底的距离不少于4.5m,故在船航行时水深11.5m y ≥. 令π3sin 1011.56y t =+≥,得π1sin 62t ≥.解得()12125k t k k +≤≤+∈Z , 取0k =,则15t ≤≤;取1k =,则1317t ≤≤.即该船在凌晨1点到凌晨5点和下午1点到5点两个时间段能够安全进港.从而,船舶要在一天之内在港口停留时间最长,就应从凌晨1点进港,下午17点前离港,在港内停留的时间为16h. 解析：17.答案：(1)由表中数据可以得到水深最大值为13,最小值为7, ∴13713710,322b A +-====,且相隔12小时达到一次最大值说明周期为12, 因此212,6T ωωππ===,故()3sin 10(024)6f t t t π=+≤≤. (2)要想船舶安全,必须深度()11.5f t ≥, 即3sin 1011.56t π+≥,∴1sin 62t π≥, 即522,Z 666k t k k ππππ+≤≤π+∈, 解得121125,Z k t k k +≤≤+∈,又024t ≤≤,当0k =时,15t ≤≤;当1k =时,1317t ≤≤;故船舶安全进港的时间段为(1:005:00),(13:0017:00)--.解析：18.答案：(1)依题意,40,50,3A h T ===,∴223T ωππ==, 又(0)10f =,∴2ϕπ=-,∴2()40sin 50(0)32f t t t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭, ∴5(2018)40sin 50706f π=+=. 即第2018min 时点P 所在位置的高度为70m.(2)由(1)知,2()40sin 5032f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 25040cos (0)3t t π⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,依题意()50f t >+∴240cos 3t π⎛⎫-> ⎪⎝⎭∴2cos 3t π⎛⎫< ⎪⎝⎭解得52722,Z 636k t k k ππππ+<<π+∈, 即5733,Z 44k t k k +<<+∈.∵75133442k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴转一圈有0.5min 可以看到公园全貌.解析：19.答案：(1)由题可知7342T =-=,∴8T =,∴2ππ4T ω==. 又592952B A +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,∴27A B =⎧⎨=⎩,∴π()2sin 74f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(*) 又()f x 过点(3,9),代入(*)式得3π2sin 794ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, ∴3πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴3ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈. 又π||2ϕ<,∴π4ϕ=-, ∴*ππ()27(112,N )44f x n x x x ⎛⎫=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭. (2)令ππ()2sin 7844f x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭, ∴ππ1sin 442x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,∴πππ5π2π2π,Z 6446k x k k +<-<+∈, 可得51388,Z 33k x k k +<<+∈. 又112x ≤≤,*N x ∈,∴2,3,4,10,11,12x =,即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元. 解析：20.答案：(1)由题意,可得2π1(min)160π80T ==, 所以函数()P t 的最小正周期为1min 80. (2)函数()P t 的频率180(/min)f T==次, 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表:描点、连线得函数()P t在一个周期内的简图如图所示.(4)此人收缩压为11525140(mmHg)-=,与标准值120/80 mmHg相比较,此人血压偏高.+=,舒张压为1152590(mmHg)解析：。
高中数学三角函数基础知识点及答案
高中数学三角函数基础知识点及答案1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。
（答：25-；536π-） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .(6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Z k k ∈+,32ππ）4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角（答：一、三）5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
三角函数的最值-高中数学知识点讲解(含答案)
三角函数的最值（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2019•海淀区校级模拟）已知函数在上单调递增，且，则实数m的取值范围为（）A．B．C．[1，+∞）D．2．（2017秋•大兴区期末）已知函数f（x）＝sin（x+）+1，则（）A．f（x）是偶函数，最大值为1B．f（x）是偶函数，最大值为2C．f（x）是奇函数，最大值为1D．f（x）是奇函数，最大值为23．（2016春•西城区期末）已知函数f（x）＝sin x，若当x∈[﹣，﹣]时，m≤f（x）≤n恒成立，则n﹣m的最小值是（）A．2B．C．D．4．（2015秋•北京校级月考）已知函数f（x）＝，则f（x）的最小值为（）A．﹣4B．2C．2D．45．（2014春•昌平区校级月考）已知函数y＝cos2x+cos x，则其最小值为（）A．﹣2B．﹣C．2D．06．（2011秋•通州区校级期末）设M和m分别是函数的最大值和最小值，则M+m等于（）A．B．C．D．﹣2二．填空题（共7小题）7．（2020•西城区校级模拟）已知函数f（x）＝sin x﹣2cos x．①f（x）的最大值为；②设当x＝θ时，f（x）取得最大值，则cosθ＝．8．（2019秋•平谷区期末）函数的最小值为．9．（2019春•海淀区校级月考）已知函数满足：对∀x∈R都有，则f（x）的减区间是．10．（2018秋•东城区期末）函数在区间上的最大值为．11．（2019•平谷区一模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（其中φ为实数），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则满足条件的φ值为（写出满足条件的一个φ值即可）12．（2019•通州区三模）已知函数y＝sinωx（ω＞0）在（0，）上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围为．13．（2018秋•昌平区期末）已知函数f（x）＝sin x若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最大值是．三．解答题（共2小题）14．（2020春•海淀区校级期中）已知函数．求：（1）函数的最值及相应的x的值；（2）函数的最小正周期．15．（2019秋•东城区期末）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．三角函数的最值（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019•海淀区校级模拟）已知函数在上单调递增，且，则实数m的取值范围为（）A．B．C．[1，+∞）D．【分析】先利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据正弦函数的最大值求得f（x）的最大值小于或等于1，可得实数m的取值范围．【解答】解：函数＝﹣cos2x•（﹣cosθ）﹣sin2x sinθ＝cos（2x+θ），∵函数f（x）在上单调递增，∴函数的最大值为f（﹣）＝cos（θ﹣）≤1，若恒成立，则函数的最大值为f（﹣）＝cos（θ﹣）≤m恒成立，而cos（θ﹣）≤1，∴只要1≤m，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最大值，函数的恒成立问题，属于中档题．2．（2017秋•大兴区期末）已知函数f（x）＝sin（x+）+1，则（）A．f（x）是偶函数，最大值为1B．f（x）是偶函数，最大值为2C．f（x）是奇函数，最大值为1D．f（x）是奇函数，最大值为2【分析】利用诱导公式化简，结合余弦函数的性质可得答案．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+）+1＝cos x+1；那么f（﹣x）＝cos（﹣x）+1＝cos x+1＝f（x）则f（x）是偶函数；∵y＝cos x的最大值为1，∴f（x）的最大值为2；故选：B．【点评】本题考查诱导公式的化简和余弦函数的性质，属于基础题．3．（2016春•西城区期末）已知函数f（x）＝sin x，若当x∈[﹣，﹣]时，m≤f（x）≤n恒成立，则n﹣m的最小值是（）A．2B．C．D．【分析】由正弦函数的性质，分段求得函数的值域，结合m≤f（x）≤n得到m，n的范围，从而可求出n﹣m的最小值．【解答】解：函数f（x）＝sin x在x∈[﹣，]上为减函数，在[，﹣]上为增函数，∴当x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣1，]；当x∈[，﹣]时，f（x）∈[﹣1，]．∴当x∈[﹣，﹣]时，函数的值域为[﹣1，]．∵当x∈[﹣，﹣]时，m≤f（x）≤n恒成立，∴m≤﹣1，n≥．则n﹣m的最小值是．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的最值，考查了正弦函数的性质，是基础题．4．（2015秋•北京校级月考）已知函数f（x）＝，则f（x）的最小值为（）A．﹣4B．2C．2D．4【分析】由三角函数求≤x≤1时的最小值，综合可得．【解答】解：当≤x≤1时，≤πx﹣≤，∴y＝4sin（πx﹣）∈[2，4]，∴当≤x≤1时，f（x）的最小值为2，当x＞1时，f（x）＝2，综合可得f（x）的最小值为：2故选：B．【点评】本题考查三角函数区间的最值，属基础题．5．（2014春•昌平区校级月考）已知函数y＝cos2x+cos x，则其最小值为（）A．﹣2B．﹣C．2D．0【分析】只要对解析式变形为关于cos x的二次函数的形式，结合cos x的范围求最小值．【解答】解：由已知，y＝cos2x+cos x＝2cos2x+cos x﹣1＝2（cos x+）2﹣；∵cos x∈[﹣1，1]，∴当cos x＝时，y min＝；故选：B．【点评】本题考查了三角函数最值的求法，关键是将解析式变形为关于cos x的二次函数解析式的形式，通过cos x 的范围求函数的最小值．6．（2011秋•通州区校级期末）设M和m分别是函数的最大值和最小值，则M+m等于（）A．B．C．D．﹣2【分析】由题意可得：M＝﹣1＝﹣，m＝﹣﹣1，问题解决．【解答】解：∵函数的最大值M＝﹣1，最小值m＝﹣﹣1，∴M+m＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查三角函数的最值，着重考察余弦函数的性质，属于基础图．二．填空题（共7小题）7．（2020•西城区校级模拟）已知函数f（x）＝sin x﹣2cos x．①f（x）的最大值为；②设当x＝θ时，f（x）取得最大值，则cosθ＝﹣．【分析】（1）直接利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x﹣2cos x．＝，当sin（x+θ）＝1时，函数的最大值为．（2）由于f（x）＝[]，所以当x＝θ时，cosθ＝．故答案为：，【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（2019秋•平谷区期末）函数的最小值为﹣1．【分析】利用正弦函数的取值范围是[﹣1，1]，即可得到函数f（x）的最小值．【解答】解：当sin（2x+）＝﹣1时，f（x）有最小值，则f（x）最小值为﹣2+1＝﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题考查正弦函数的最值，属于基础题．9．（2019春•海淀区校级月考）已知函数满足：对∀x∈R都有，则f（x）的减区间是．【分析】由题意知当时，f（x）取得最大值，从而求出，然后得到f（x）的解析式，再利用整体法求出f（x）的单调递减区间即可．【解答】解：∵∀x∈R都有，∴当时，f（x）取得最大值，∴＝，∴，∴，由，∴，∴f（x）的减区间为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了整体思想和运算能力，属基础题．10．（2018秋•东城区期末）函数在区间上的最大值为．【分析】利用和与差公式化简，根据x在上，结合三角函数的性质可得最大值．【解答】解：函数＝sin x cos﹣cos x sin+cos x cos+sin x sin＝sin x；∵x∈上∴当x＝时，f（x）取得最大值为sin＝．故答案为：【点评】本题考查了和与差公式的应用和计算能力．属于基础题．11．（2019•平谷区一模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（其中φ为实数），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则满足条件的φ值为（写出满足条件的一个φ值即可）【分析】根据f（x）≤|f（）|，可得x＝时，f（x）取得最大值或最小值．即写出答案；【解答】解：由题意，f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，可得x＝时，f（x）取得最大值或最小值．若x＝时，f（x）取得最大值，可得φ＝+2kπ，k∈Z若x＝时，f（x）取得最小值，可得φ＝+2kπ，k∈Z故答案为：【点评】本题考查了三角形函数的性质的应用．属于基础题12．（2019•通州区三模）已知函数y＝sinωx（ω＞0）在（0，）上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围为（2，6]．【分析】根据x的范围可得，然后根据条件得解不等式即可．【解答】解：当x∈（0，）时，，∵y＝sinωx（ω＞0）在（0，）上有最大值，没有最小值，∴，∴，∴2＜ω≤6．ω的取值范围为：（2，6]．故答案为：（2，6]．【点评】本题主要考查研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属基础题．13．（2018秋•昌平区期末）已知函数f（x）＝sin x若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最大值是．【分析】由任意性和存在性原命题可转化为即f（β）＝k，k∈（，）有且仅有一个解，即作函数图象y＝f （β）与直线x＝k，k∈（，），只有一个交点，作图观察即可【解答】解：由f（x）＝sinα，则f（α）∈（﹣，），存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0即f（β）＝k，k∈（，）有且仅有一个解，作函数图象y＝f（β）与直线x＝k，k∈（，），当两图象只有一个交点时，由图知，＜m，故实数m的最大值是，故答案为：．【点评】本题考查了任意性和存在性，三角函数的图象，属中档题．三．解答题（共2小题）14．（2020春•海淀区校级期中）已知函数．求：（1）函数的最值及相应的x的值；（2）函数的最小正周期．【分析】（1）由﹣1≤sin（x+）≤1，可推得﹣4≤3sin（x+）﹣1≤2，即可求解函数的最值及其相应的x的值．（2）利用三角函数的周期公式，即可求解函数f（x）的最小正周期．【解答】解：（1）因为﹣1≤sin（x+）≤1，所以﹣3≤3sin（x+）≤3，所以﹣4≤3sin（x+）﹣1≤2，所以f（x）max＝2，此时x+＝2kπ+，即x＝4kπ+，k∈Z；所以f（x）min＝﹣4，此时x+＝2kπ﹣，即x＝4kπ﹣，k∈Z．（2）函数f（x）的最小正周期T＝＝4π．【点评】本题主要考查了三角函数的最值和周期的求法，主要利用了整体法思想，属于基础题．15．（2019秋•东城区期末）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
高中数学第五章三角函数重点知识点大全(带答案)
高中数学第五章三角函数重点知识点大全单选题1、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−12D ．12 答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3，于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.2、已知角α的终边经过点P (−3,4)，则sinα−cosα−11+tanα的值为（ ）A ．−65B ．1C ．2D ．3答案：A分析：由三角函数的定义可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将其代入即可求解.由√(−3)2+42=5，得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，代入原式得=45−(−35)−11+(−43)=−65．故选：A3、记函数f(x)=sin (ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f (π2)=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．3答案：A分析：由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 由函数的最小正周期T 满足2π3<T <π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k ∈Z ，且b =2，所以ω=−16+23k,k ∈Z ，所以ω=52，f(x)=sin (52x +π4)+2， 所以f (π2)=sin (54π+π4)+2=1. 故选：A4、已知tanα=cosα2−sinα，则sinα=（ ） A ．√154B ．12C ．√32D ．14答案：B分析：利用田家四季歌的基本关系得到sinαcosα=cosα2−sinα，整理可得2sinα=cos 2α+sin 2α，再根据平方关系计算可得；解：由tanα=cosα2−sinα，得sinαcosα=cosα2−sinα，即cos 2α=2sinα−sin 2α，∴2sinα=cos 2α+sin 2α=1， 解得sinα=12， 故选：B.5、已知sinαcosα=−16,π4<α<3π4，则sinα−cosα的值等于（ ）A ．2√33B ．−2√33C ．−√63D ．43答案：A分析：结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论. 由于sinαcosα=−16,π4<α<3π4，所以sinα>0,cosα<0，故sinα−cosα>0，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+13=2√33. 故选：A6、√3tan26∘tan34∘+tan26∘+tan34∘= （ ） A ．√33B ．−√3C ．√3D ．−√33答案：C解析：利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．解：√3tan26°tan34°+tan26°+tan34°=√3tan26°tan34°+tan(26°+34°)(1−tan26°tan34°)=√3tan26°tan34°+√3(1−tan26°tan34°) =√3tan26°tan34°+√3−√3tan26°tan34°=√3． 故选：C ．7、已知sinθ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=（ ） A ．12B ．√33C ．23D ．√22答案：B分析：将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 由题意可得：sinθ+12sinθ+√32cosθ=1，则：32sinθ+√32cosθ=1，√32sinθ+12cosθ=√33， 从而有：sinθcos π6+cosθsin π6=√33， 即sin (θ+π6)=√33. 故选：B.小提示：本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.8、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)，∵y=2sin(x+m+π3)图象关于原点对称，∴m+π3=kπ(k∈Z)，解得：m=−π3+kπ(k∈Z)，又m>0，∴当k=1时，m取得最小值2π3.故选：D.多选题9、已知tanθ=2，则下列结论正确的是（）A．tan(π−θ)=−2B．tan(π+θ)=−2C．sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=−17D．sin2θ=45答案：ACD分析：对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断. 对于A选项，tan(π−θ)=−tanθ=−2，故A选项正确；对于B选项，tan(π+θ)=tanθ=2，故B选项错误；对于C选项，sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=tanθ−32tanθ+3=2−34+3=−17，故C选项正确；对于D选项，sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=44+1=45，故D选项正确.故选：ACD10、下列选项中，与sin(−330∘)的值相等的是（）A．2cos215∘B．cos18∘cos42∘−sin18∘sin42∘C．2sin15∘sin75∘D．tan30∘+tan15∘+tan30∘tan15∘答案：BC分析：求出sin(−330∘)的值以及各选项中代数式的值，由此可得出合适的选项.sin(−330∘)=sin(360∘−330∘)=sin30∘=12.对于A选项，2cos215∘=2×1+cos30∘2=1+cos30∘=1+√32；对于B选项，cos18∘cos42∘−sin18∘sin42∘=cos(18∘+42∘)=cos60∘=12；对于C选项，2sin15∘sin75∘=2sin15∘sin(90∘−15∘)=2sin15∘cos15∘=sin30∘=12；对于D选项，∵tan45∘=tan(30∘+15∘)=tan30∘+tan15∘1−tan30∘tan15∘=1，化简可得tan30∘+tan15∘+tan30∘tan15∘=1.故选：BC.11、已知tanα=4，tanβ=−14，则（ ）A ．tan(−α)tanβ=1B ．α为锐角C ．tan(β+π4)=35D ．tan2α=tan2β 答案：ACD分析：由诱导公式可判断A ，由正切函数的定义可判断B ，由正切函数的两角和公式可判断C ，由二倍角公式可判断D.对于A ，∵tanα=4，tanβ=−14，∴tan(−α)tanβ=−tanαtanβ=1，故A 正确；对于B ，∵tanα=4>0，∴α为第一象限角或第三象限角，故B 错误； 对于C ，∵tanβ=−14，∴tan(β+π4)=1+tanβ1−tanβ=35，故C 正确；对于D ，∵tanα=4，tanβ=−14，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×41−42=−815,tan2β=2×(−14)1−(−14)2=−815，故D 正确.故选：ACD12、设α是第三象限角，则α2所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：BD解析：用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出α2满足的不等式，从而确定α2的终边所在的象限．∵α是第三象限角，∴k ⋅360°+180°<α<k ⋅360°+270°，k ∈Z ， 则k ⋅180°+90°<α2<k ⋅180°+135°，k ∈Z ，令k =2n ，n ∈Z 有n ⋅360°+90°<α2<n ⋅360°+135°，n ∈Z ；在二象限；k =2n +1，n ∈z ， 有n ⋅360°+270°<α2<n ⋅360°+315°，n ∈Z ；在四象限；故选：B D ．小提示：本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限,属于容易题.13、下列化简正确的是A．tan(π+1)=tan1B．sin(−α)tan(360∘−α)=cosαC．sin(π−α)cos(π+α)=tanαD．cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=1答案：AB解析：利用诱导公式，及tanα=sinαcosα，依次分析即得解利用诱导公式，及tanα=sinαcosαA选项：tan(π+1)=tan1，故A正确；B选项：sin(−α)tan(360o−α)=−sinα−tanα=sinαsinαcosα=cosα，故B正确；C选项：sin(π−α)cos(π+α)=sinα−cosα=−tanα，故C不正确；D选项：cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=−cosα⋅(−tanα)−sinα=−cosα⋅sinαcosαsinα=−1，故D不正确故选：AB小提示：本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.填空题14、已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0，π12)上单调递增，则ω的最大值是____.答案：4分析：根据正弦型函数的单调性即可求解.由函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(0，π12)上单调递增，可得ω⋅π12+π6≤π2，求得ω≤4，故ω的最大值为4，所以答案是：415、已知f(x)=2sin(2x+π3)，若∃x1,x2,x3[0,3π2]，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)，若x1+x2+x3的最大值为M，最小值为N，则M+N=___________.答案：23π6分析：作出f(x)在[0,3π2]上的图象，x1,x2,x3为f(x)的图象与直线y=m交点的横坐标，利用数形结合思想即可求得M和N﹒作出f(x)=2sin(2x+π3)在[0,3π2]上的图象（如图所示）因为f(0)=2sinπ3=√3，f(3π2)=2sin(π+π3)=−√3，所以当f(x)的图象与直线y=√3相交时，由函数图象可得，设前三个交点横坐标依次为x1、x2、x3，此时和最小为N，由2sin(2x+π3)=√3，得sin(2x+π3)=√32，则x1=0，x2=π6，x3=π，N=7π6；当f(x)的图象与直线y=−√3相交时，设三个交点横坐标依次为x1、x2、x3，此时和最大为M，由2sin(2x+π3)=−√3，得sin(2x+π3)=−√32，则x1+x2=7π6，x3=3π2，M=8π3；所以M+N=23π6.所以答案是：23π6.16、已知角α终边落在直线y=34x上，求值：sinα+1cosα=_______．答案：2或−12解析：由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，分类讨论，分别求得sinα和cosα的值，可得要求式子的值．解：当角α终边落在直线y =34x(x ⩾0)上，α为锐角，sinαcosα均为正值，且tanα=sinαcosα=34，再结合sin 2α+cos 2α=1，求得sinα=35，cosα=45， 则sinα+1cosα=35+145=2．当角α终边落在直线y =34x(x <0)上，α∈(π,3π2)，sinαcosα均为负值，且tanα=sinαcosα=34，再结合sin 2α+cos 2α=1，求得sinα=−35，cosα=−45， 则sinα+1cosα=−35+1−45=−12，所以答案是：2或−12．小提示：本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，考查运算能力，属于基础题． 解答题17、已知0<α<π2，cos (α+π4)=13．(1)求sinα的值；(2)若−π2<β<0，cos (β2−π4)=√33，求α−β的值．答案：(1)4−√26(2)α−β=π4分析：（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得sinα的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得sinβ的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出cos (α−β)的值，结合角α−β的取值范围可求得结果. （1）解：因为0<α<π2，∴π4<α+π4<3π4，又cos(α+π4)=13，所以sin(α+π4)=√1−(13)2=2√23，所以sinα=sin[(α+π4)−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)cosπ4=√22(2√23−13)=4−√26.（2）解：因为cos(β2−π4)=√33，sinβ=cos(β−π2)=cos[2(β2−π4)]=2cos2(β2−π4)−1=2×13−1=−13，又因为−π2<β<0，所以cosβ=√1−sin2β=2√23，由（1）知，cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=4+√26，所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=4+√26×2√23+4−√26×(−13)=√22．因为0<α<π2，−π2<β<0，则0<α−β<π，所以α−β=π4．18、已知函数f(x)=2sinxsin(π3−x)+2cos2x−12.（1）求函数f(x)的单调增区间；（2）当x∈(−π6,π4)时，函数g(x)=f2(x)−2mf(x)+m2−116有四个零点，求实数m的取值范围.答案：（1）[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z（2）2√3+14<m<4√3−14分析：（1）化简f(x)的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为ℎ(t)=t2−2mt+m2−116在(√32,√3)内有两个零点，根据二次函数列式可得结果.（1）f(x)=2sinxsin(π3−x)+2cos2x−12=2sinx(sinπ3cosx−cosπ3sinx)+1+cos2x−12 =√3sinxcosx−sin2x+1+cos2x−12=√32sin2x+cos2x+cos2x−12=√32sin2x+1+cos2x2+cos2x−12=√32sin2x+32cos2x=√3sin(2x +π3)，由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−512π≤x ≤kπ+π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z . （2）当x ∈(−π6,π4)时，2x +π3∈(0,5π6)，f(x)=√3sin(2x +π3)∈(0,√3]，因为函数g (x )=f 2(x )−2mf (x )+m 2−116有四个零点，令t =f(x)，则t ∈(0,√3)且ℎ(t)=t 2−2mt +m 2−116在(√32,√3)内有两个零点， 所以{Δ=4m 2−4(m 2−116)>0√32<m <√3ℎ(√32)>0ℎ(√3)>0，即{ √32<m <√334−√3m +m 2−16>03−2√3m +m 2−16>0，解得{√32<m <√3m 〈2√3−14或m 〉2√3+14m 〈4√3−14或m 〉4√3+14，解得2√3+14<m <4√3−14，所以实数m 的取值范围是2√3+14<m <4√3−14. 小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
高中数学 三角函数5部分25个考点100道典型题!
三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。
【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。
A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。
(word完整版)高中数学必修4三角函数的诱导公式习题
高一数学同步训练： 1.3三角函数的诱导公式已知sin( a — n )=才，则 2 *2 A 3 cos (n+ a 的值为() 4 —2/2 —31. .选择题 下列各式不正确的是 A . sin (a+ 180 °) C . sin (— a — 360 (=—sin a)=—sin aB . COs (—a+ 3 ) = — COs ( D . cosa — 3 ) =COs (a + 3)3 )2. sin 600啲值为（ 13. 4. A . 2 B. 19si — —応啲值等于 6丿1A —B 2sin 585 的值为（ )A .a亚5. 23sin( — 6 n 的值是( 1 1 A.2 B . — 26. 7. C .cos( — 225 °+ sin( — 225 °等于( A.-^2B .D. .2cos2010 =(1A . — 2B .egD.9. 若 cos ■■ - ■: -■■ < 2 二，则 sin -「- 2 的值是 10.已知4 A .4cos(3^+ a = — 3，且a 是第四象限角，则 2 5 4 B. —4cos(— 3 n+ 0( 3 D .311. sin ・ • cos-^ • tan 冬 的值是( 36 4m — 1 B.m —1③ tan(A + B) =_ -t a n C ④ si n(2A + B + C) = si nAA .①②B . ③④C . ①④ T l3 二已知sin(— 4 ）二 2 ，则sin(—- 4 -）值为（）A 11.3 罷A. 一B一-CD.—- 2222cos (二 + a )=1n< a < 2二,sin(2二-a ）值为（2 2A. 0B .1C. -/込D.— 222 2tan 110 =k , 则 si n 70 的值为（)AkkC.1 + k 2 A . — 1 + 1 k 2B ..1 + k 2 k16.17.18.D ..②③ A 、B 、C ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是B +C A① cos （A + B ）= cosC ② cos -= sinA-.^-4 D.12.若 sin （；"二）=则cos ：•的值为（1--；B .2.3 213.已知cos(2 + 妨=于，且| ^|<2, 3则 tan （j ）D. 314. 设 tan(5a)= m , 贝廿 sin a — 3 n + cos sin( — a —COS ( n+ a )兀―15.)19.化简:,1 2sin(「：_2)?cos(「：_2) 得()A. sin 2 cos2B. cos2—sin2C. sin 2 - cos2D. ± cos2 - sin 220. 已知 tan ：• = 3，2-1 .32 3 二 ，那么cos.i21. (2011年潍坊高- 大小关系是( A . b>a>c B . )已知a =)a>b>c 22. (2009.济南高 检测)23. 的值是( )7 n 23 33 …. ,,tan(—石)，b = cos~4n c = sin( —-4 n)贝U a 、 b 、c 的 7n 23C . b>c>aD . a>c>b 3 10 C . sin’：亠cos ：2，则 sin(： -5 二)sin()等于()sin ：- cos 』 23 3D . 10 10 (2009 •福州高 (A ) -1 ( B ) 1 检测)已知 f(cosx)=cos3x,贝U f(sin30 ° )的值等于( )(C )- 2(D ) 0 1、 2. .填空题 tan2010 °的值为 17n、 sin (- )= 3 - 3. 7 n . 7 n 13 n , tan ；4 — cos(— ―) + sin(— —)的值为 4. cos"网，x …亠厂，则x 的值为 2 5. 化简 1 — 2sin200 cos160 =.cos20 —si n20 6.,t cos( a — 3 n tan( a — 2 n 厶厶 /+、了 若P( — 4,3)是角a 终边上一点，则2的值为sin 2( n — a7.式子cos 22 cos 2 sin3 n — a\- sin(— a )的值为 _________9.化简：cos (e +4兀)cos 2(0 +町 sin 2但 +3兀) sin(v -4二)sin(5 ■亠 J)cos 2(-二)&若 tan( — a) = 2，贝V 2sin(3 七a) cos3sin (^)+cos (—a )血丄10 .已知2，贝y tan 「= __________________ •4sin( — a )—COS (9JT +a )11.若 tana =a ，则 sin(一5兀一a )cos(3兀)= ____ __________ ____ .12 .如果tan ： sin ： ：：： 0,且0 ::: sin x Wos ：• ：： 1,那么〉的终边在第象限13 .求值：2sin( — 1110o) — sin960 o+V 2 cos(-225 °) + cos(-210 °) = ______________ 14. _________________________________________ 已知 cos(n+ 0)^33，贝y cos(11n— 9)= _______________________________________________ .15. 已知 cos 二-- -1,则 sin i 3— ■:-=4 12 丿 ------------------16. 已知 cos1000 =m ，则 tan80° 的值是_______________三.解答题1、 求 cos (— 2640 °) +si n1665 ° 的值.2.化简(1) sin(-： )cos(-二)tan(2二■)(2) sin(1800: )cos()tan (七)sin(v -5二)cos(- - v) cos(8「： - v)n .COS (?+ a)COs(2 n — a)sin( — a+sin — n — a sin ~2 + a3.化简3J [sin( —) sin(-)-4二)3n 74.已知3冗1 (1)化简f( a；⑵若a是第三象限角，且cos(a—y)=5,求f(a的值.2sin( ) - sin (Y )27.若si n a, cos a 是关于x 的方程3x 2 + 6mx + 2m + 1 = 0的两根，求实数 m 的值.tan(2 冗-寸 sin( -2 冗-寸 cos(6 n - ^1)cos (日一冗)sin(5 n + 日)已知 sin (二-：)— cos( ■亠：：£) =•JI（?：：：「：：二），求下列各式的值:3兀3兀(1) sin ： -cos ：(2) sin 3( ) cos 3( )2 25. 设f(R=2cos'T —sin 2(B +TI ) —2cos(—0 — JI )十1，求 f (工)的值. --'32 2cos 2(7二 v) cos(-v)6.已知方程 sin(a - 3n) = 2cos(a — 4n), sin (二-：)5cos(2二-匚)的值。
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高中数学基础知识典型例题4——三角函数 数学基础知识与典型例题 第四章三角函数
三角函数相关知识关系表
角的概念
1.①与（0°≤<360°）终边相同的角的集合 （角与角的终边重合）:Zkk,360|; ②终边在x轴上的角的集合:Zkk,180|; ③终边在y轴上的角的集合： Zkk,90180|
;
④终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|. 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，
例1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( ) ()2A ()sin2B 2()sin1C
()2sin1D
例2. 已知为第三象限角,则2所在的象限是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限
负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.
3.弧度制下，扇形弧长公式12r，扇形面积公式211||22SRR，其中为弧所对圆心角的弧度数。
三角函数的定义
1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点(,)Pxy（与原点不重合），记22||rOPxy， 则sinyr，cosxr，tanyx，cotxy。 注: ⑴三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即2k或902k 之间函数值关系()kZ，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)cos ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆 例3.已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值.
例4.若是第三象限角,且coscos22,
则2是( ) ()A第一象限角 ()B第二象限角 ()C第三象限角 ()D第四象限角
例5. 若cos0,sin20,且 ;;MPOMAT正弦线:余弦线:正切线: 2. 各象限角的各种三角函数值符号: 一全二正弦,三切四余弦
sinyr cosxr tanyx
,cotxy
(纵坐标y的符号) (横坐标x的符号)
则角的终边所在象限
是（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 三角函数公式 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 (kZ) sin(2)sin,cos(2)costan(2)tan,cot(2)cotkxxkxxkxxkxx 公式组三 sin()sintan()tancos()coscot()cotxxxxxxxx 公式组四 公式组五 xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin( xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin( 公式组六 sin()sintan()tancos()coscot()cotxxxxxxxx (二)两角和与差公式 公式组一 sinsincoscos)cos( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( sincoscossin)sin( 例6.化简：440sin12 例7.已知tanα，tanβ是方程23340xx两根，且α，β)2,2(，则α+β等于( ) (A)32 (B)32或3 (C)3或32 (D)3 例8. 15cot15tan的值是（ ） tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan( 公式组二: cossin22sin 2222sin211cos2sincos2cos 2tan1tan22tan 2cos12sin 2cos12cos,1cossin1costan21cos1cossin 公式组三 1cos()sin2,1cos()sin2,1sin()cos2 1sin()cos2,1tan()cot2,1tan()cot2 常用数据: 30456090、、、的三角函数值 62sin15cos754 ,42615cos75sin 3275cot15tan ,3215cot75tan (A)2 (B)2+3 (C)4 (D)334
三角函数公式
注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式. 如tan()(1tantan)tantan
221cos1coscos,sin2222等.
从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式. ⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。 ①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。 如分拆项：222222sin2cos(sincos)cos1cosxxxxxx; 配凑角(常用角变换): 2()()、2()()、
22、22
、
()等. ③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 ④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函 数基本关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的
例9. 设)2,0(,若,53sin则)4cos(2=
（ ） (A)57 (B)5
1
(C)27 (D)4 例10.sin163sin223
sin253sin313 ( )
1()2A1()2B3()2C 3
()2D
例11. 求下列各式的值：⑴75tan175tan1 ; ⑵tan17+tan28+tan17tan28
例12.已知为锐角，且1tan2，求 值由tan=ab确定。 sin2cossinsin2cos2的值.
三角函数公式
例13. 已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos2sin)4sin(的值. 例14. 已知21)4tan(，（1）求tan的值；（2）求2cos1cos2sin2a的值王新敞 例15. 已知cos2sin,sin4cos5sin2cos⑴求的值;2sin2sincos⑵求的值.
三角函数公式 例16. 已知45cossin，求sincos的值. 例17. 已知锐角,满足cos=53,cos(+)=135,求cos. 例18. 已知2，0，tan =31，tan =71，求2 + . 例19. 在△ABC中，已知cosA =135，sinB =53，则cosC的值为( ) (A)6516 (B)6556 (C)65566516或 (D)6516 例20. 若关于x的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 三角函数 三角函数的性质: sinyx cosyx xAysin（A、＞0） 定义域 R R R 值域 [1,1] [1,1] AA, 周期性 2 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 当,0非奇非偶, 当,0奇函数 单调性 [2,2]22kk上为增函数； 3[2,2]22kk上为减函数. （Zk） [21,2]kk上为增函数; [2,21]kk 上为减函数. （Zk） 12222,kk上为增函数； 32222,kk上为减函数（Zk） 三角函数 tanyx cotyx 定义域 1|,2xxRxkkZ且 |,xxRxkkZ且 值域 R R 周期性 奇偶性 奇函数 奇函数 单调性 kk2,2上为增函数（Zk） 1,kk上为减函数（Zk）
以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()yAx的图像和性质以函数sinyx为基础,通过图像变
换来把握.如①sinyx图例变化为②sin()yAx(A>0,>0)相应地， ①的单调增区间2,222kk 变为
2222kxk≤≤的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(xy
或cos()yx（0）的周期2T;