第1讲 必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算-教师版

教学课题人教版必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算教学目标知识目标：（1）掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题（2）运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系（3）能利用Venn图表达集合间的关系；探索直观图示（Venn图）对理解抽象概念的作用(4)通过探讨集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算.能力目标：(1)发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界(2)初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力(3)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力 .教学重点与难点重点：集合间的基本关系以及基本运算难点：子集、真子集的判断、空集与非空集合的分类谈论教学过程课堂导学1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)【点评】含字母的两个集合相等，并不意味着按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性。

★★★变式2：集合{|2,}A x x k k Z ==∈，{|21,}B x x k k Z ==+∈，{|41,}C x x k k Z ==+∈，又,a A b B ∈∈，则有（ ） A ．a b A +∈ B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于,,A B C 中的任一个答案：B 解：设Z k k a ∈=11,2，2221,b k k Z =+∈，∴12122212()1a b k k k k B +=++=++∈。

新知三： 子集、真子集、空集①如果集合A B ⊆，并且存在元素x B ∈且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 。

②不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集。

★例3：写出集合{1,0,1}-的所有子集，并指出哪些是它的真子集.解：子集为：∅，{1}-，{0}，{1}，{1,0}-，{1,1}-，{0,1}，{1,0,1}-。

真子集为：∅，{1}-，{0}，{1}，{1,0}-，{1,1}-，{0,1}。

【点评】若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个。

★★变式3：已知集合{}{}1,21,2,3,4,5P ⊆⊆，那么满足条件的集合P 的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8答案：D 解：满足条件的集合P 可为：{}1,2,{}1,2,3,{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,2,3,4,{}1,2,3,5,{}1,2,4,5,{}1,2,3,4,5，共8个。

★★例4：已知集合{13}A x x =-≤≤，2{,}B y y x x A ==∈，{2,}C y y x a x A ==+∈，若满足C B ⊆，求实数a 的取值范围。

解：2{,}{09}B y y x x A y y ==∈=≤≤，{2,}{26}C y y x a x A y a y a ==+∈=-+≤≤， ∵C B ⊆，∴202369a a a -⎧⇒⎨+⎩≥≤≤≤。

★变式4：集合{}1,2,3,4A =，2{0}B x N x a =∈-=，若满足B A ⊆，求实数a 的值组成的集合。

答案：{}1,4,9,16★★例5：已知集合A ={|25}x x -<≤，{|121}B x m x m =+-≤≤且B A ⊆，求实数m 的取值范围。

解：∵B A ⊆（1）当B =∅时，则121m m +>-，解得2m <。

（2）当B ≠∅时，则12121512m m m m +-⎧⎪- ⎨⎪+>-⎩≤≤，解得23m ≤≤。

综上所述，实数m 的取值范围是m ≤3。

【点评】当出现“A B ⊆”这一关系时，首先是讨论A 有没有可能为空集，因为A =∅ 时满足A B ⊆。

★★★(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B 中元素的个数为()A．77 B．49 C．45 D．30答案 C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B中元素的个数为45.故选C.典例分析1.典例★★例1(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.2.易错题（视情况而定）1．遗忘空集致误典例★★★设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．易错分析 集合B 为方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易忽视方程无解，即B ＝∅的情况，导致漏解．解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.答案 (－∞，－1]∪{1}温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高一的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B ，若已知A ⊆B 或A ∩B ＝∅，则考生很容易忽视A ＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A 分三种情况进行讨论．巩固提高1、★★已知集合2{,2,33}A a a a a =+++，1A ∈，求实数a 的值。

解：∵1A ∈，∴1a =或21a +=或2331a a ++=，当1a =时，则23a +=，2337a a ++=，符合题意；当21a +=，即1a =-时，则2331a a ++=，与集合中元素互异性矛盾，∴1a =-不合题意；当2331a a ++=，即1a =-或2a =-，上面已讨论1a =-不合题意；当2a =-时，则20a +=，符合题意；综上可知：符合题意的1a =或2a =-。

【点评】求解后一定要检验，关键是要兼顾集合中的元素具有互异性这一特征。

2、★★若集合{0,1,2}M =，{}(,)210210,,N x y x y x y x y M =-+-∈-≥且≤，则N 中元素的个数为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．2答案：C. 由题意得①当x=y 时,有,即-1≤x ≤1,又x ∈M,则有序实数对(x,y)有两对;②当x ≠y 时,若x=0,则有,即21-≤y ≤21,又y ∈M,则有序实数对(x,y)不存在;若x=1,则有,即0≤y ≤1,又y ∈M,y=0,则有序实数对(x,y)有一对;若x=2,则有,即21≤y ≤23,又y ∈M,y=1,则有序实数对(x,y)有一对.综上所述,集合N 中元素的个数为4.拓展提升★★★【例1】三个元素的集合1，a ，b a，也可表示为0，2a ，a b +，求20112011a b +的值。

分析：三个元素的集合也可表示另外一种形式，说明这两个集合相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论。

解：依题意得0b a=，则0b =，∴21a =，则1a =±， 由集合中的元素具有互异性知1a =-，∴201120111a b +=-。

【点评】从特殊元素入手，灵活运用集合的三个特征．★★【例2】已知63A a Z N a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试用列举法表示集合A 。

解：当2a =时，666332N a ==∈--； 当1a =时，663331N a ==∈--； 当0a =时，662330N a ==∈--； 当1a =-时，66331N a =∉-+； 当2a =-时，6635N a =∉-； 当3a =-时，66136N a ==∈-； ∴{}2,1,0,3A =-。

【点评】对于含参数的集合问题通常运用分类讨论的思想。

本题实际上是要求满足6被3a -整除的整数a 的值，若将题目改为63Z a∈-，则集合{}3,0,1,2,4,5,6,9A =-。

变式训练★★已知集合2{320}A x R ax x =∈-+=，若A 中的元素最多只有一个，求a 的取值范围。

解：当0a =时，23x =，A 中的元素有一个，符合题意， 当099808a a a ≠⎧⇒⎨∆=-⎩≥≤，∴a 的取值范围是0a =或98a ≥。

[方法与技巧] 1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言B 组 专项能力提升(时间：15分钟)13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 在同一直角坐标系下画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图所示：由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 图象有两个交点，则A ∩B 的元素有2个．14．设集合A ＝{x |21－x>1，x ∈R }，B ＝{x |y ＝1－x 2}，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |－1<x <1}C ．{－1,1}D ．{1} 答案 C解析 集合A ＝{x |21－x>1}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |y ＝1－x 2}＝{x |－1≤x ≤1}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，∴(∁R A )∩B ＝{－1,1}．15．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13B.23C.112D.512答案 C解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可第21页共21 页。