第二章 测度论的知识要点与复习自测()
测度论简要介绍
测度论简要介绍测度论是数学中的一个重要分支，主要研究测度空间及其上的可测集合和测度函数。
测度论在实分析、概率论、数学物理等领域有着广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础理论之一。
本文将简要介绍测度论的基本概念、性质和应用。
一、测度的基本概念1.1 测度空间在测度论中，我们首先要定义测度空间。
测度空间是一个三元组$(X, \Sigma, \mu)$，其中$X$是一个集合，$\Sigma$是$X$上的一个$\sigma$代数，$\mu$是定义在$\Sigma$上的测度。
测度通常用来度量集合的大小，类似于长度、面积和体积等概念。
1.2 可测集合在测度空间中，$\Sigma$中的元素称为可测集合。
对于一个给定的测度空间，我们可以定义一个测度函数$\mu$，用来度量可测集合的大小。
常见的测度包括勒贝格测度、勒贝格-史蒂尔捷斯测度等。
1.3 测度的性质测度函数$\mu$通常具有以下性质：（1）非负性：对于任意可测集合$E$，$\mu(E) \geq 0$；（2）空集的测度为零：$\mu(\emptyset) = 0$；（3）可数可加性：对于任意可数个两两不相交的可测集合$\{E_n\}$，有$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$。
二、测度论的应用2.1 实分析中的应用在实分析中，测度论被广泛应用于研究函数的性质、积分的定义和性质等问题。
勒贝格积分就是建立在测度论的基础上，通过对可测函数的积分来定义积分运算，为实分析提供了坚实的理论基础。
2.2 概率论中的应用在概率论中，测度论也扮演着重要角色。
概率空间可以看作是一个测度空间，样本空间是全集，事件是可测集合，概率测度则是定义在事件上的测度函数。
通过测度论的方法，我们可以建立概率论的基本理论，研究随机变量、随机过程等概率模型。
2.3 数学物理中的应用在数学物理领域，测度论也有着重要的应用。
测度论
则称φ在Ψ上具有有限可加性，也称φ是Ψ上的有限可加集函数。
(2)若对可列集的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=Ø(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)∈Ψ，有
φ(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(A∞)]，
设测度空间(Χ,φ),μ)中的φ)是σ代数,如果μ(Χ)<∞,则称(Χ,φ),μ)为全有限的测度空间。特别,当μ(Χ)=1时，称(Χ,φ),μ)为概率测度空间（概率论中用的全是这种空间）。
设A是测度空间(Χ,φ),μ)上的可测集。如果μ(A)＝0，则称A为μ零集。如果(Χ,φ),μ)中任何一个μ零集的任何子集都是可测集，则称（Χ，φ), μ）为完全测度空间。例如(R1,L,m)，(R1,Lg,mg)都是完全的、全σ有限的测度空间。
可测空间和可测函数
设φ)是Χ 上的σ环，称（Χ，φ)为可测空间，而称φ中的任何集A为(Χ,φ)中的可测集（也称为Χ中的φ可测集）。如果Χ是Rn,而φ分别是Rn中 L可测集全体（记为L）、由单调增加右连续函数g(x)生成的L-S可测集全体（记为 Lg）、波莱尔集全体（记为B）,则相应地称(Χ,φ)是L可测空间、L-S可测空间、波莱尔可测空间。设E是可测空间(Χ，φ))中的可测集，ƒ是定义在E上的有限实值函数。如果对任何实数с，{Χ│ƒ(x)>с}∈φ，那么称ƒ为E上关于(Χ,φ)的可测函数，也称为E上的φ)可测函数。这种可测函数是L可测函数、L-S可测函数等概念的直接推广。它有许多等价定义方式,并且具有L可测涵数所具有的代数性质及极限性质。定义在E上的复值函数ƒ，如果它的实部、虚部都是可测函数，那么就称ƒ为E上的可测函数。可测空间、可测集、以及可测函数等概念原则上并不涉及测度。
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质}·元素与集合的关系：x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A B 则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B={x| x A且x B}并：A B={x| x A或x B}差：A\B（或写成A-B）={x| x A且x∉B}补：=U\A（U是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={(x,y)| x A且y B }（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，I称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】={x| x>}，A={x| x>0}，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{}，定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。
④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=；若为递减列，则有=。
1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f(x)Y与之对应，则对应法则f 为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。
像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)| x A}记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x| x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
测度论简要介绍
测度论简要介绍测度论（Measure theory）是数学中的一个分支领域，主要研究集合的大小、度量和测度的概念。
它是现代数学分析的基础之一，广泛应用于概率论、统计学、函数分析等领域。
本文将对测度论的基本概念和主要结果进行简要介绍。
一、集合的测度在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。
测度是一种将集合映射到实数的函数，用来度量集合的大小。
常见的测度有长度、面积、体积等。
在测度论中，我们希望能够给出一个满足一定性质的测度函数。
1. 外测度外测度是测度论中最基本的概念之一。
给定一个集合，我们可以通过一系列简单的操作来定义它的外测度。
首先，我们将集合划分为若干个小区间，然后计算每个小区间的长度之和。
最后，我们取所有可能的划分方式中的最小值作为集合的外测度。
2. 测度空间测度空间是指一个集合和一个在该集合上定义的测度构成的数学结构。
在测度空间中，我们可以对集合进行测度运算，比较集合的大小。
测度空间的定义需要满足一定的公理，如非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
二、测度的性质测度论中的测度具有一些重要的性质，这些性质对于研究集合的大小和度量具有重要的意义。
1. 可测集在测度论中，我们将满足一定条件的集合称为可测集。
可测集是测度论中的基本对象，它们具有良好的性质和结构。
可测集的定义需要满足一定的条件，如可数可加性、闭性等。
2. 测度的可数可加性测度的可数可加性是测度论中的一个重要性质。
它表示对于可数个互不相交的集合，它们的测度等于各个集合测度的和。
这个性质在测度论中有着广泛的应用，特别是在概率论和统计学中。
3. 测度的完备性测度的完备性是指测度空间中的任意一个零测集的任意子集也是零测集。
这个性质保证了测度的一致性和完整性，使得我们可以对集合进行更精确的度量。
三、测度论的应用测度论在数学和其他学科中有着广泛的应用。
以下是测度论在一些领域的应用举例：1. 概率论测度论为概率论提供了坚实的基础。
概率论中的概率可以看作是一种特殊的测度，它度量了事件发生的可能性。
教学大纲_测度论
《测度论》教学大纲课程编号：120502B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2适用对象：经济统计学、统计学先修课程：数学分析、概率论毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题；2.可以建立统计模型，获得有效结论；3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用；4.关注国际统计应用的新进展；5.基于数据结论，提出决策咨询建议；6.具有不断学习的意识；7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系；8.计算机编程技能与经济学基本常识。
一、教学目标测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。
其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。
本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。
通过本课程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。
（二）教学方法和手段教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。
（三）考核方式开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。
（四）学习要求课上听讲，并独立完成课后作业。
三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一节集类1.集合代数2.集合代数的结构第二节可测空间1.西格玛代数2.可测空间的结构第三节单调类定理1.单调类2.单调类定理教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。
课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。
《现代概率论》讲义稿_第二章 测度与积分_
即对 μ ( An ) =
∑∑ μ (C
i =1 k =1
∞
ki
ik
) + μ ( A) 取极限得 lim μ ( An ) = μ ( A)
n →∞
注：在 φ 上的上连续性,即 A = φ ⇒
μ ( A) = μ (φ ) = 0
⑥ 半 σ 可加性或次 σ 可加性 If An ∈ F , ∪ An ∈ F ,Then μ (∪ An ) ≤ ∑ μ ( An )
其中 Cnk 对不同的 n 与 k 都不交.
∴
μ ( A) = μ (∑∑ Cnk ) = ∑∑ μ (Cnk )
n =1 k =1 n =1 k =1
∞
kn
∞
kn
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《现代概率论》讲义稿
第二章 测度与积分
贵州大学 胡尧
= lim ∑∑ μ (Cnk ) = lim μ (∑∑ Cnk ) = lim μ ( AN )
∑∑ μ (C
i =1 k =1 ki
∞
ki
ik
) + μ ( A)
对 ∀n 均成立
∞ > μ ( A1 ) = ∑∑ μ (Cik ) + μ ( A)
i =1 k =1 ∞
∞
因 μ ( A) ≥ 0
∞ ki n →∞
⇒ μ ( A1 ) ≥ ∑∑ μ (Cik ) ,
i =1 k =1
ki
所以
∑∑ μ (Cik ) → 0
N →∞ n =1 k =1 N →∞ n =1 k =1 N →∞
N
kn
N
kn
⑤ 上连续性 If An ∈ F , ∀n , s.t. An ↓ A ∈ F and
测度论的知识要点与复习自测
测度论的知识要点与复习自测测度论（Measure theory）是数学分析中的一个重要分支，它研究的是如何用一种衡量的方法来度量集合的大小。
测度论的基本概念是测度（Measure），它是一个函数，将一些集合映射到实数，并满足一定的性质，可以用来度量集合的大小或者说容量。
1.集合理论基础：测度论的起点是集合理论的基础知识，包括集合的包含关系、交、并、补、差等运算。
此外，还需要了解基本的记号和符号，如A∪B代表集合A和集合B的并集，A∩B代表集合A和集合B的交集，A\B代表集合A和集合B的差集等。
2.可测集与测度：在测度论中，我们关注的是可测集。
可测集的定义是指它满足一定的性质，使得我们可以为其赋予一个测度值。
测度是一个函数，将一些集合映射到实数，并满足一定的性质。
常见的测度有长度、面积、体积等。
3.测度的性质与运算：测度具有一些基本的性质和运算规则。
比如，互不相交的可测集的并的测度等于它们各自测度的和；任意一个可测集可以表示为一个有限个或可列个互不相交的可测集的并。
此外，测度还满足可列可加性、单调性等性质。
4.测度空间与可测函数：通过引入测度的概念，我们可以定义测度空间。
测度空间是一个包含一个可测集类的集合，其中的每个可测集都与一个测度相对应。
可测函数是一个定义在测度空间上的函数，它可以在其中一种意义上保持测度的性质。
5. Lebesgue测度与Lebesgue积分：Lebesgue测度是测度论中的一个重要概念，它扩展了传统的长度、面积、体积等概念，并能够应用于更广泛的情况。
Lebesgue积分是一种基于Lebesgue测度的积分方法，相较于传统的黎曼积分，Lebesgue积分具有更广泛的适用性和更强的理论基础。
除了以上的知识要点，复习时还可以通过做一些相关的习题来深化理解和掌握测度论的知识。
以下是一些复习自测题目，供参考：1.证明测度的次可列可加性。
（提示：可以通过构造互不相交的可测集序列来证明次可列可加性。
测度论基础知识汇总
测度论基础知识汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x （集合元素x ）|x 应该有的性质}·元素与集合的关系：x ∈A ，x ∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x ∈A ，x ∈B 则A 包含于B （证明就用这个方法），A 是B 的子集（A ≠B 则为B 的真子集）包含的特殊情况相等：A=B 就是A 包含于B 同时B 包含于A真子集：A 包含于B 但A ≠B·集合的运算①单个元素的幂集2X对于一个集合X ，它的幂集2X 表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A ∩B={x| x ∈A 且x ∈B}并：A ∪B={x| x ∈A 或x ∈B}差：A\B （或写成A-B ）={x| x ∈A 且x ∉B}补：A C =U\A （U 是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A ∩B C积：（直积）A ×B={(x,y)| x ∈A 且y ∈B }（把A 、B 中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交⋃A λλ∈I 表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ∈I ，I 称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】A n ={x| x>1n}，A={x| x>0}，则A=⋃A n ∞n=1 ·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{A n }，定义上限集为⋂⋃A k ∞k=n ∞n=1。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{A n }，定义下限集为⋃⋂A k ∞k=n ∞n=1。
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第二章 测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue 外测度的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：1、叙述n R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设n n Q R ⊂为有理点集，计算*n m Q 0=； （2）设n R E ⊂为至多可数集，计算*m 0E =；（3）设n ,R E F ⊂，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ⋃==。
2、据理说明下面的结论是否成立：设n R E ⊂， （1）若E 为有界集，则*m E <+∞； （2）若*m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则*m E =+∞。
3、设n R I ⊂为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造）（2）设()f x 为定义在1[,]R a b ⊂上的黎曼可积函数，{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈⊂，()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设n R E ⊂有内点，则*m 0E >；（4）（外侧度的介值性）设1R E ⊂为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1R E ⊂，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =。
（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）二、Lebesgue 可测集的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory 定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的A E ⊂和c B E ⊂，总有()***m A B m A m B ⋃=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；◇ 记{}R n E E ℑ=⊂是可测集，则2c c ℑ=>，其中c 为连续基数；◇ 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用；◇ 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是n R 中的可测集） （1）设1E ，2E ，，m E 为互不相交的可测集，则11m m mmi i i i E E ==⋃=∑（有限可加性）；设1E ，2E ，，m E 为可测集（注意没有互不相交的要求），则11m m mmi i i i E E ==⋃≤∑（次有限可加性）。
（2）设1E ，2E ，，k E ，为互不相交的可测集，则11m m k k k k E E ∞∞==⋃=∑（可数可加性）；设1E ，2E ，，k E ，为可测集列（注意没有互不相交的要求），则11m m k k k k E E ∞∞==⋃≤∑（次可数可加性）。
（3）差集测度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。
设E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。
（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）设{}k E 为单调递增的可测集列，则()1m lim m lim m kk k k k k E E E ∞→∞=→∞⎛⎫=⋃= ⎪⎝⎭；设{}k E 为单调递减的可测集列，且存在0k E ，使得0m k E <+∞，则()1m lim m lim m k k k k k k E E E ∞→∞=→∞=⋂=。
（5）一般可测集列测度的极限性设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim lim m()lim m k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。
（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设p A R ⊂为可测集，q B R ⊂为可测集，则A B ⨯为p+q R 上的可测集，且m(A B)=mA mB ⨯⋅。
自测题：1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用） 设n ,R E G ⊂（1）若E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。
（2）若E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。
（3）若E 和G 不是可测集，则① ***m m (\)m G G E E ≤+；② 当*m E <+∞时，***m (\)m m G E G E ≥-。
2、利用1和可测集的性质证明： （1）设n ,R E G ⊂都是可测集，则()()m m m +m G E G E G E ⋃+⋂=；【注意：()()m \\G E G E G E ⋃=⋂】（2）利用（1）和等侧包定理证明：设n ,R E G ⊂（不必为可测集），则()()****m m m +m G E G E G E ⋃+⋂≤。
3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明： （1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则m 0P =；【注意：三分Cantor 集的构造1211[0,1]\()n n i n i P I -∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭），其中n i I （11,2,,2n i -=）为Cantor 集的构造过程中第n 步去掉的长度均为13n 的开区间】（2）对于任意给定正数01a <<，不改变Cantor 集的构造思想，只是将在Cantor 集的构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为231111,,,,,3333n a a aa----的开区间（比如第n 步换为去掉12n -个长度都为13n a-的互不相交的开区间），并记这样得到的集为0P （称为类Cantor 集或一般Cantor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：0m P a =。
4、证明一般可测集列测度的极限性：设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim lim m()lim m k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。
④ 若*1m k k E ∞=<+∞∑，则k lim k E →∞和k lim k E →∞都是零测集。
三、可测集的结构的知识要点：◇ n R 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F σ型集，G δ型集，Borel 集。
◇ 熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）： （1）对任意n R E ⊂，E 与G δ型集的关系（等测包定理）； （2）可测集与开集的关系，可测集与G δ型集的关系； （3）可测集与闭集的关系，可测集与F σ型集的关系。
自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题： （1）如何将一个G δ型集表示成一列单调递减的开集的交集？（2）设n R E ⊂，则存在一列单调递减的开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭；（3）设n R E ⊂有界，则存在一列单调递减的有界开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭。
注：（2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。
2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明： 设R n k E ⊂（1,2,k =）为一列单调递增的集列，每个k E 不必为可测集，则（1）存在一列单调递增的G δ型集k G （1,2,k =），使得，对每一个1k ≥，k k E G ⊂，且*m m k k E G =；（2）()***1lim m m m lim k k k k k k E E E ∞→∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭（单调递增集列的外侧度的极限性质）。
3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系（可测集与开集和闭集的更细致的关系）：设n R E ⊂是可测集，则（1）对任意的0ε>，存在开集G ，使得E G ⊂，且()\m G E ε<；（2）存在一列单调递减的开集k G （1,2,k =），使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，且()1\k m G E k<； （3）存存在一列单调递增的闭集k F （1,2,k =），使得，对每一个1k ≥，k F E ⊂，且()1\k m E F k<。