导数的背景曲线在某点处的切线、瞬时速度资料
导数的概念..曲线的切线和瞬时速度PPT课件
s
当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 19.6(m/s)
3.1 导数的概念
练习：
P113 课后练习：1，2
课堂小结 （1）曲线的切线． （2）瞬时速度． （3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．
作业：
P116 习题3.1 1，2，6
； / 威尼斯人网址 ；
间中,绝对算得上高级善术.”“老祖,呐位鞠言战申还很年轻,将来他应该也能在道法上成就善王.那事候,就是道法、炼体双善王.俺甚至觉得,他有可能进入天庭.”仲零王尪压低了声音说.“你对の评价,竟如此之高?”方烙老祖露出意外の表情.“俺想,毕微王尪应该也有差不多の评价,否则 他不会作出授与鞠言战申王国名誉大公爵呐样の决定.”仲零王尪轻吸了口气,眼申中有光泽闪烁.先前,他仲零王尪比毕微王尪晚了一步,而现在情况又发生了改变.临高王国の倪炯老祖,反对临高王国对鞠言战申授与名誉大公爵の身份.如此一来,法辰王国又能够与鞠言战申进行接触了.“嗯, 此事你自身决定吧！既然倪炯老祖已经走了,那俺也回去了.”方烙老祖话音落下之后,他の身影微微一闪,便消失在了大殿之中.……鞠言和纪沄国尪居住之地.临高王国の盛月大臣,再次来到了呐里,呐是他第三次来到鞠言和纪沄国尪の临事住所.“盛月大臣,你是说……临高王国决定撤掉对 俺の名誉大公爵授予?”鞠言看着盛月大臣,声音有些冷.盛月大臣,表情难免有些尴尬.他能理解,鞠言の愤怒.换做是任何人,恐怕都会非常の愤怒吧！先是说要授予人家名誉大公爵,然后又突然说撤销?“鞠言战申,真の是万分抱歉.陛下他,也真の是没有办法.如果鞠言战申愿意加入临高王国,
Dx0
Dx
lim 2Dx (Dx)2
Dx0
Dx
Dy
P
M
Dx
1
x
-1 O 1
曲线上一点处的切线、瞬时速度与加速度
1.1.2 曲线上一点处切线、瞬时速度、瞬时加速度 （总第48导学案）一、学习目标1、了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法；2、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；了解求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。
二、重点与难点重点：求曲线上一点处的切线的方法，求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。
难点: 了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想. 三、教学过程（一）曲线上一点处的切线： 1、割线与切线的概念：如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的 直线l ，这时直线l 就称为曲线在点P 处的切线。
2、切线的斜率：如图，设曲线C 上一点P (x,f(x))，过点P 的一条割线交曲 线C 于另一点))(,(x x f x x Q ∆+∆+，则割线PQ 的斜率x x x x f x x f x y k PQ -∆+-∆+=∆∆=)()()(xx f x x f ∆-∆+=)()(, 当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近 点P的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率。
即当0→∆x时，xx f x x f ∆-∆+)()(→点P(x ，f(x))处的切线的斜率。
这里x ∆可正也可负，当x ∆取负值时，点Q 位于点P 的左侧。
3、如何求曲线C:)(x f y =在P(x ，f(x))点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线）第一步：求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； 第二步：求0→∆x 时，xy∆∆所趋近的值A 。
所以在点P 处的切线的斜率k=A 。
例1：已知2)(x x f =，求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率及切线方程。
导数的概念及运算(2)
导数的概念及运算目标认知学习目标：1.了解导数槪念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）：掌握函数在一点处的导数的泄义和导数的几何意义：理解导数的概念。
2.熟记常函数C,幕函数x n（n为有理数），三角函数sinx, cosx,指数函数a% 对数函数lnx, lo ga x的导数公式：掌握两个函数四则运算的求导法则：3.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数难点：导数的概念、复合函数的导数。
知识要点梳理知识点一：函数的平均变化率函数中，如果自变量X在帀处有增量心，那么函数值y也相应的有增疑厶y=f（Xo+Ax）-f（Xo）,其比值&叫做函数从心到^o+Ax的平均变化率，即AxV（也）-/01）若恋=衍，心=可+ A A ,则平均变化率可表示为卜淇勺一可,称为函数了 9）从西到花的平均变化率。
注意：1.事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值：2.函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当△兀取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
Ax _3.函数卩=佝的平均变化率怎一Li的几何意义是表示连接函数丁=佝图像上两点割线的斜率。
4.入兀是自变量X在帀处的改变量，△乳註°：而3是函数值的改变量，可以是0。
函数的平均变化率是0,并不一定说明函数/（X）没有变化，应取A"更小考虑。
知识点二：导数的概念：1.导数的定义：对函数刀二/⑴，在点处给自变疑X以增MAX,函数y相应有增量-1-/1hm空=hm儿。
+心）一了曲4r = ¥（恋+Ax）-/（心）若极限so Ax心 Ax 存在，则此极限称为/9）在点X。
处的导数，记作了Qo）或冋F，此时也称在点％处可.导。
即:广（仓）=/^^=曲rw=曲込如Ax xQ Ax （或 f x-x0）注意：增^Ax可以是正数，也可以是负数。
导数的应用之二切线与速度的问题
导数的应用之二：切线与速度的问题(3课时)一、 用导数求曲线的切线函数()f x 在0x 处导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0f x '。
于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。
利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。
用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。
如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。
如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。
二、 利用导数求瞬时速度物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t =时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。
三、 范例分析例1．求过抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）上一点P （x 0，y 0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。
分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b ，故切线方程为y －y 0=(2ax 0+b)(x －x 0)即 y=(2ax 0+b)x －ax 20+c ，亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20+c.抛物线焦点：F （－,），它关于切线的对称点之横坐标当x 0，说明从焦点发出的光线射到（x 0，y 0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。
要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。
解：显然，y 0=ax 20+bx 0+cy'=2ax+b 故在P 点处切线斜率为2ax 0+b ， 切线方程y －(ax 20+bx 0+c)=(2ax 0+b)(x －x 0)， 亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20+c.由于y=ax2+bx+c按向量=24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax2）的切线l ：y=2ax0x－ax2满足：焦点关于l的对称点为（m，n）.当x0≠0时，消去n. 知m=x0.当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，故从焦点发出的光线射到（x0，ax2）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.例2．求函数y=x4+x－2 图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.分析：首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点.y'=4x3+1，切线要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.故切点：（0 , －2）一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的直线若与曲y=f(x)相交，（A为一交点），则l'与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l'间的距离，亦即A到l的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x4+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离d==≥=，故距离最小距离为上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为（0，-2）。
苏教版高中数学选修2-2《瞬时变化率—导数：曲线上一点处的切线》教学课件
O 2 x 即xQ无限趋近于2时，k PQ 无限趋近于常数4;
从而曲线f (x) x2在点（2，4）处的
切线斜率为4.
试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．
解：设P（2，4），Q（xQ, xQ2）， 解： 设P(2,4), Q(2 x, (2 x)2 ),
• （2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从 其趋势看几乎成了 直线
• 这种思维方式就叫做“逼近思想”。
从上面的学习过程来看： 1）．曲线在点P附近看上去几乎成了直线 2）．继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线L， 这条直线是过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线 3）．点P附近可以用这条直线代替曲线 这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过P点时的 变化趋势放大放大放大放大
切线斜率和切线方程．
变
3：已知 f (x)
1x2 ，求曲线 y f (x) 在 x 1 处
2
的切线斜率是多少？
例题2、已知曲线y=2x2 上一点A(1，2)，求(1)点 A处的切线的斜率.(2)点A 处的切线方程
课堂练习：
练习 已知 f (x) x 求曲线 y f (x)
在 x 1 处的切线斜率是多少？
有关导数的数学史
导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数 的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积 分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线 的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为 解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主 要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布 尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.
2
小结
导数的概念课件曲线的切线和瞬时速度
2
常见函数的导及其几何意义
通过计算常见函数的导数，展示导数与函数图形之间的关系，深入理解函数的属 性。
总结
导数的概念及其应用
导数是描述函数变化率的重要工具，在科学和数学领域具有广泛应用。
切线与瞬时速度的几何意义
切线能够直观地表现曲线的局部变化，瞬时速度揭示了物体位置变化的快慢。
导数的求法和应用范围
导数的概念课件曲线的切 线和瞬时速度
了解导数的概念，掌握曲线的切线和瞬时速度的计算方法 定义和作用
导数是衡量函数变化率 的工具，广泛应用于数 学和科学领域。
2 计算方法
导数的计算可以通过极 限、函数表达式和图形 等方法进行。
3 几何意义
导数代表了曲线在某一 点处的切线斜率，能够 揭示曲线的变化趋势。
1 什么是瞬时速度
瞬时速度是在某一时刻的瞬时变化速度，通常用导数来表示。
2 计算方法
通过求导数，可以得到函数在某一点处的瞬时速度。
3 几何意义
瞬时速度反映了物体位置变化的快慢，能够帮助我们了解运动的状态和趋势。
实例演示
1
曲线的切线和瞬时速度的实例演示
通过实际案例，演示如何求解曲线的切线方程和瞬时速度，并解释其几何意义。
切线的定义与性质
1 定义与导数关系
切线是曲线在某一点处 的线性逼近，其斜率等 于该点处的导数。
2 性质与几何意义
切线能够直观地展示曲 线局部的变化情况，帮 助我们理解曲线的形状 和趋势。
3 如何求曲线的切线
通过计算导数和选取曲 线上的点，可以确定切 线的斜率和截距，从而 求得切线方程。
瞬时速度的计算
通过计算导数和解释其几何意义，我们能够更好地理解函数的特性和曲线的变化。
导数的概念1-P
背景：
在日常生活，生产和科研中，常常会遇 到求什么条件下可以使材料最省、时间 最少、效率最高等问题，这往往可以归 结为求函数的最大值和最小值，而导数 是解决上述问题的有力工具，它与历法、 军事、天文，农业等密切相关。
1、曲线的切线（变化率） 曲线在点 P 处的切线斜率
k lim f (x0 x) f (x0 )
断 y f (x) 的奇偶性。(奇) 问：奇函数呢？（偶）
问：周期函数呢？ （周期）
问：单调性？在开区间上增函数
在开区间上增函数 （ f (x) 0) ，。。。。。。。。。
பைடு நூலகம்
x0
x
割线 PQ 有一个极限位置 PT,则直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。当 x 0时，
y
x 的极限叫做曲线在点 P 处的切线斜率
例、曲线的方程为 y x2 1 ，求曲 线在点 P（1，2）处的切线方程。
及企业占有、支配和使用财政资金的权力：掌握～。 如同志、哥哥等。学生依照学校规定必须学习的（区别于“选修”）：～课程。 【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì 动指从事买卖外汇活动。【钹】（鈸）ｂó名打击乐器， 【查封】ｃｈáｆēｎɡ动检查以后，蚕在里面变成蛹。【玻】ｂō见下。【陈述】ｃｈéｎｓｈù动有条
例
1、已知曲线
y
1 3
x3 上一点
P (2,
8) 3
(1) 求 P 点处的切线的斜率
(2) 求 P 点处的切线方程
练习：已知曲线
y
x2
1 x
5 上一点
P
(2,
19 2
)
，求点
P
处的切线方程。
练习：在抛物线 y x 2 x 上求一点，
导数和微分导数的概念31瞬时速度和切线斜率
1 k1
＝12Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3
k lim y lim [12 6x (x)2 ] 12 x0 x x0
切线方程为：y－8＝12(x－2)
法线方程为：y－8＝ 1 (x－2)
12
上述两个例子，从不同方面的问题的研究中得
出了相同形式的结果，即都是函数的改变量与自变
3.4 导函数
如函数 y＝f(x)在(a,b)内每一点都可导 ，则在
(a,b)内每一点的导数都存在，且与x的值相对应，故
f’(x) 也是x的函数，称为f(x)在(a,b)内的导函数，
或记作y'，dy , df 。
[注意]
dx dx
⑴ f’(x)是函数，但f’(x0)是一个确定的数值，是f’(x) 在 x＝x0时的导函数值
③ y＝ln x＋ x ＋1
解：①
y'＝(x2)'＋ 1 '＝2x－
x
1 x2
② y'＝(sin x)'＋(cos x)'＝cos x －sin x
③ y'＝(ln x)'＋ x '＋1’
＝ 1 1
x 2x
2.积的导数 [法则2]
两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以 第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的 导数。
即：[u(x)·v(x)]'＝u'(x)v(x)＋u(x)v'(x)
[推论] 常数与函数积的导数等于常数与函数导数的积，
即：[C·u(x)]'＝C·u'(x)，系数可提到求导符号外 面来。
∵ [C·u(x)]'＝C'·u(x)＋C·u'(x)而C’＝0
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s t
s(t
t) t
s(t)
平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确 地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,物体在t到t+Δt这 段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限；
v(t) lim s lim s(t t) s(t)
解 : (1)s 5(2 t)2 6 (5 22 6) 20t 5(t)2 ,
故平均速度为：s 20 5t. t
当t 1时, s 25. t
引入:
一、切线问题：
（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们 的切线是如何定义的？
（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲 线的切线？
（3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？
二、最值问题：
求函数y=x3-2x-1，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
第三章 导数 3.1.1曲线的切线
一.曲线的切线
例2:已知曲线 y 2x2 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求
过点P的切线的倾斜角和切线方程.
解: KP
lim y ,而y x0 x
f (1 x)
f (1)
2(1 x)2 2 2,
lim y lim 2(1 x)2 2 2 lim
4x 2(x)2
x x0
x0
x
x0 x[ 2(1 x)2 2 2]
t0 t t0
t
例3:
物体作自由落体运动,运动方程为：s
1 2
gt 2
g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，.
求：(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
lim
4 2x
4
1.
x0 2(1 x)2 2 2 2 1 2 2
K P tan 1, 45 ,即过P点切线的倾斜角
等 于45.
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:求曲线
y
1 x3
上一点P(1,-1)处的切线方程.
答案:y=3x-4.
练习:如图,已知曲线 y 1 x3上一点P(2, 8 ) , 求:
t
2
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: __ v 2.005g 20.05m / s.
(3)当t 0,2 t 2,
O s(2)
s(2+t) s
__
从而平均速度v 的极限为：
__
s
v lim v lim 2g 20m / s.
t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这段 时间内,物体的位移是:
s OA1 OA0 s(t0 t) s(t0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
__
v
s(t0
t )
s(t0 )
s
(t0 t ) t0
t
一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物 体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为
t 0
t0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)-2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值 范围为1; (2)t=2时刻的瞬时速度.
（（33））曲曲线线的的切切线线,与并曲不线一是定否与只曲有线一只个有交一点个吗交？点,可 以有多个,甚至可以无穷多个.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
(1 x)2 1 (1 1)
lim
x0
x
y = x 2+1
yQ
y
2x (x)2
lim
2.
x0
x
P M
x
1j
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
-1 O 1
求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为 三步：
（1）求⊿y；
(2)求 y 并整理； x
(3)求 lim y ； x0 x
求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率， 然后利用点斜式求切线方程.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限
（2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
M x
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时, 若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
3 x0
y |x2
22
4.
-2 -1 O -1
-2
x 12
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
二、瞬时速度：
已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ
表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻
如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是 曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近 一点，PQ为C的割线，
PM//x轴,QM//y轴，
y
y=f(x)
β为PQ的倾斜角.
Q
则 : MP x, MQ y,
y tan .
x 表明：y 就是割线的斜率.
x
Pβ Δx
O
Δy
3
3
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
解 ：(1) y 1 x3 , y lim y lim
1 3
(x
x)3
1 3
x3
4
y y 1 x3 3
3
x x0
x0
x
3
1 3x2x 3x(x)2 (x)3 lim
P
2
3 x0
x
1
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 .