大学高等数学第一册考试试题+答案
高等数学一考试题及答案
高等数学一考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L，意味着：A. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εB. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εC. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当x≠a时，|f(x)-L|<εD. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当x>a时，|f(x)-L|<ε答案：B2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A4. 微分方程dy/dx = 2x的通解是：A. y = x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x + CD. y = 2x + C答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 答案：D6. 函数f(x) = e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案：A7. 以下哪个函数在x=0处有极值？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B8. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C10. 以下哪个函数是单调递增的？A. f(x) = -x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = e^(-x)D. f(x) = ln(x)答案：B二、填空题（每题3分，共5题）1. 函数f(x) = x^3在x=1处的导数是______。
大一高等数学考卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)等于（）A.f(a)B.f(a+h)-f(a)/h(h趋于0)C.lim(f(a+h)-f(a))/h(h趋于0)D.f(a+h)-f(a)2.下列函数中，在x=0处连续但不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=x^3D.y=1/x3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上（）A.必大于0B.必小于0C.可以为0D.不存在4.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内（）A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.无极值点5.设函数f(x)在x=a处连续，且lim(f(x)-f(a))/(x-a)=L，则f(x)在x=a处（）A.可导，f'(a)=LB.可导，f'(a)不存在C.不可导D.无法确定二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处一定连续。
（）2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上一定大于0。
（）3.若函数f(x)在区间I上有极值点，则f'(x)在I上一定存在零点。
（）4.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上一定可积。
（）5.若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上一定连续。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______。
2.函数f(x)=e^x在x=0处的导数为______。
3.函数f(x)=lnx在x=1处的导数为______。
4.函数f(x)=sinx在x=π/2处的导数为______。
5.函数f(x)=cosx在x=0处的导数为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述导数的定义。
2.简述连续与可导的关系。
3.简述罗尔定理。
4.简述拉格朗日中值定理。
大学高等数学试题一答案
大学高等数学试题一答案（标题：大学高等数学试题一答案）题目一：已知函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，且在 (a,b) 内可导。
记 F(x) =∫[a,x] f(t)dt，其中 a、b 是常数，且 a < b ，若存在ξ ∈ (a,b) ，使得F(b) - F(a) = (b - a)f(ξ)证明：存在ξ ∈ (a,b) ，使得f(ξ) = (F(b) - F(a)) / (b - a)解答：首先我们对函数 F(x) 应用柯西中值定理，即存在ξ1 ∈ (a,b) ，使得F'(ξ1) = [F(b) - F(a)] / (b - a)由于 F(x) 是 F'(x) 的原函数，所以F'(ξ1) = f(ξ1)将上述结果代入，得到f(ξ1) = [F(b) - F(a)] / (b - a)我们需要证明ξ1 = ξ 。
假设ξ1 ≠ ξ ，即ξ1 ！= ξ 。
由于 f(x) 在区间 (a,b) 内可导，根据罗尔定理，存在ξ2 ∈ (a,b) ，使得f'(ξ2) = (f(ξ1) - f(ξ)) / (ξ1 - ξ)将f(ξ1) 和f(ξ) 的表达式代入，得到f'(ξ2) = ([F(b) - F(a)] / (b - a) - [F(b) - F(a)] / (b - a)) / (ξ1 - ξ)= 0然而，根据题意，f(x) 在区间 (a,b) 内可导，所以f'(ξ2) ≠ 0，与假设矛盾。
因此，假设不成立，必有ξ1 = ξ ，即f(ξ) = [F(b) - F(a)] / (b - a)经过推导，我们证明了存在ξ ∈ (a,b) ，使得f(ξ) = (F(b) - F(a)) / (b - a) ，得证。
题目二：给定函数 f(x) = (x + 1) / (x^2 + 2)，求函数 f(x) 在区间 [0,1] 上的平均值。
解答：函数 f(x) 在区间 [0,1] 上连续，所以根据积分中值定理，存在ξ ∈[0,1] ，使得∫[0,1] f(x)dx = f(ξ)计算∫[0,1] f(x)dx ，得到∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] (x + 1) / (x^2 + 2) dx化简被积函数，得到∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] (x + 1) / (x^2 + 2) dx= 1/2 * ln(3)因此，函数 f(x) 在区间 [0,1] 上的平均值为 ln(3) / 2。
高等数学1教材试题及答案
高等数学1教材试题及答案一、选择题1. 下列函数中，是偶函数的是（）A. y = x^3 - 2xB. y = x^2 + 1C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：D2. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像在x轴上的截点为（）A. (1, 0)和(2, 0)B. (0, 1)和(0, 2)C. (-1, 0)和(2, 0)D. (1, 0)和(1, 2)答案：A3. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则f[g(1)]的值为（）A. 0B. 1C. eD. -1答案：C二、填空题1. 设函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，则f(π/4)的值为______。
答案：12. 设函数y = ln(1 + e^x)，则其反函数为______。
答案：y = ln(e^x - 1)三、计算题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数f'(x)。
解答：f'(x) = 6x - 42. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4的定积分∫[0, 1] f(x)dx。
解答：∫[0, 1] f(x)dx = [x^4/2 - x^3 + 4x] |[0, 1]= (1/2 - 1 + 4) - (0/2 - 0 + 0)= 3.5四、应用题1. 一个圆的半径逐渐增长，当半径为r时，其面积为A。
求圆的面积A与半径r之间的函数关系。
解答：圆的面积公式为A = πr^2，其中π为常数。
所以，A与r之间的函数关系为A = πr^2。
2. 一座塔高380米，顶部和底部之间的水平距离为500米。
求参观塔顶时的斜率。
解答：设塔底部的位置为点A(0, 0)，塔顶部的位置为点B(500, 380)。
斜率可以通过点A和点B的坐标计算。
斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (380 - 0) / (500 - 0) = 38/50 = 0.76答案：0.76综上所述，我提供了一些高等数学1教材试题及答案。
大一高数试题及答案解析
大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）①Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１①０②１③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③ ∞ ④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。
大学数学1试题(A)参考答案
大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。
根据选项，可知C选项是正确答案。
2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。
根据选项，可知B选项是正确答案。
3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。
根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
根据选项，可知A选项是正确答案。
4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。
根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。
5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。
对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。
根据选项，可知C选项是正确答案。
二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。
根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。
2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。
3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。
根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。
《高等数学(一)》练习题参考答案
《高等数学（一）》练习题一参考答案一、是非题1——5对 错 对 错 错 2——6对 对 对 对 错 11——15错 对 对 错 对 16——20 错 对 错 错 错 21——25错 对 错 对 错 26——30 对 对 对 错 错二、选择题1——5 A B B B D 6——10 C A B A B 11——15 B D D D A 16——20 B B A B B 21——25 D B D B B 三、填空题1、2x； 2、充分； 3、1； 4、0； 5、2y x =-622x e --； 7、必要； 8、12-； 9、)1(21+=x y ； 10、0,1,2y x ==-11、1； 12、21dx x+； 13、2； 14、32y x =-； 15、充分性条件.16、22xxe； 17、dx ； 18、x = 19、1(1)2y x =-； 20、216x x+.21、6e -； 22、1y =； 23、11e --； 24、23； 25、cos 2x dx .三、解答题1、00021limlimlim.4x x x x→→→===2、因为函数()f x 在点0x =连续，故其左右极限都应存在且相等，即由20lim ()lim (1)2xx x f x e--→→=+=，sin 22sin 22lim ()lim lim 2x x x x x f x ax axa+++→→→===，推得 221a a=⇒=. 3、 /////2312()1,()(1)2f x f x f xx=+=-⇒=-.4、因为(2)3f '=，而由定义可知2()(2)(2)lim2x f x f f x →-'=-，故所求极限2()(2)lim32x f x f x →-=-。
5、由243lim ()21x x ax b x →+∞+++=-，而2224343()(1)lim ()lim11(4)()3lim21x x x x x ax b x ax b x x a x b a x b x →+∞→+∞→+∞++++-++=--++--+==-存在，于是必有40,2a b a +=-=，可解得常数,a b 的值分别为-4，-2。
高数第一册习题及答案
高数第一册习题及答案第一章初等函数及其图形练习1.1 初等函数及其图形一. 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数:x,xf(x),a，a 1. (); a,0x,xx,x，，，，，，？f,x,a，a,fx？fx,a，a解: 为偶函数.1,xf(x),ln2.; 1，x1，x1,x1,x解: ，，, ，，，，为奇函数. ？fx,ln？f,x,ln,,ln,,fx1，x1,x1，x23. f(x),ln(x，1，x)122，，，，，，，，？f,x,ln,x，1，x,ln,,lnx，1，x,,fx解: , 2x，1，x 2为奇函数. ，，，，？fx,lnx，1，x二. 设f(sinx),3,cos2x,求f(cosx)。
22，，，，？fsinx,3,cos2x,2，2sinx？fcosx,2，2cosx解: ,f(x)，,x,0,x,0三.设f(x)在(0,)上定义, 。
求证: 若单调上升,则12xf(x，x),f(x)，f(x)。
1212fx，，，，fx，，，，，，？gx，x,gx,解: 令gx,, ？单调上升, 121xx ，，，，，，gx，x,gx x,x,0, 故12212，，，，，，，，，，，，，，fx，x,x，xgx，x,xgx，x，xgx，x,xgx，xgx 1212121122121122，，，，,fx，fx. 12f(x),arccosx,g(x),sinxf(g(x)),g(f(x))四. 设,试求复合函数的定义域和值域,并作图。
，，，，，，，，,,fgx,arccossinxD,,,.，,R,0,,解: , , ，，，，，，,,,,gfx,sinarccosxD,,1,1R,0,1, , .,x,1,x,0,,0xx,,f(x), , 求复合函数。
五.设(),f(g(x)),g(f(x))gx,,2,x,x,0xx,0,,,x,1,,1,x,0,,,1,,0xx,,2，，，，，，gfx,,1，x,x,,1,解: , fgx，，，，,,2x,1,x,0,2,,x,x,0,第二章极限与连续2.1 数列极限一. 填空:n,12,n|x,1|,,x,1.设,对于任意的正数,当大于正整数[,1]时, ,所以N,nnn，1, ,4n|x,1|,10;当大于正整数19.999时, 。
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一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
1.设-∞=→)(lim 0
x f x x ，-∞=→)(lim 0
x g x x ，A
x h x x =→)(lim 0
，则下列命题不正确的是
( B )
A. -∞=+→)]()([lim 0
x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0
x h x f x x ;
C.
-∞=+→)]()([lim 0
x h x f x x ; D.
+∞=→)]()([lim 0
x g x f x
x . 2. 若∞
→n lim 2)5
1(++n n
=( A )
A.
5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x
f x f cos 1)
0()(--=3,则在点x=0处 ( C )
A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0;
B. f(x)的导数不存在;
C. f(x)取极小值;
D. f(x)取极大值.
4设x
e 2-是f(x)的一个原函数,则
⎰dx x xf )(= ( A )
A.
x e 2-(x+
2
1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c.
5.
⎰
x
a
dt t f )3('= ( D )
A. 3[f(x)－f(a)] ;
B. f(3x)－f(3a);
C. 3[f(3x)－f(3a)] ;
D. 3
1
[f(3x)－f(3a)].
二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）
1. 若+∞→x lim (1
1
223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . .
2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h
h a f h a f )
3()(--+= 4)('a f .
3. 设y=5
22)ln(e x a x +++,则dy
. 4. 不定积分
dx e x
x
⎰2
=
c e x
x ++2
ln 12 .
5. 广义积分⎰-3
11dx x x = 23
10
. . 6. ⎰-++11
21
sin dx x x
x x = 0 .
7. 用定积分的定义计算：∞
→n lim
∑=+n i n
i
n 1sin 31π=
π
2
.
三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）
1. 设函数
f(x)= ⎩
⎨⎧>+≤+00
12x b ax x e x 在点x=0可导，求a 与b 的值 .
1. 解:f(x)在x=0可导⇒ f(x)在x=0连续⇒-→0
lim x f(x)=f(0)= +→0
lim x f(x)=b ⇒b=2,
又)0('
=f =-→0lim x x
f x f )
0()(-=-→0lim x x e x 12-=2
)0('
+f =+→0lim x x f x f )0()(-=+→0lim x x ax 22-+=a(因b=2),
由已知有)0('=f =)0('
+f ，故a=2,b=2 .
2.求
)1ln(x y +=的n 阶导数 .
2.解：n
n n x n y
)1()!1()1(1)
(+--=-
3. 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t
⎧=+⎨=-⎩ 所确定的隐函数y=y(x)的一阶,二阶导数dx dy ,2
2dx y
d . 3.解： dx dy =2t
, 2
2dx y d =214t t +
4. 求0lim →x )
sin 1ln(cos sin 1x x x
x x +-+ .
4.解：原式=0
lim
→x )
cos sin 1(sin cos sin 12x x x x x x
x x ++-+=
210lim →x x x
x sin +=1 5. 求
⎰+dx x x )ln 31(1
.
5.解：原式=⎰
++)ln 31()ln 31131x d x =…=c x ++ln 31ln 3
1
6. 求
⎰
-dx x
a x 2
2
2
（a>0）
. 6.解：令t a x sin =
原式=……=c x a a
x a x a +--)(arcsin 22222
7. 求I=
⎰2
1
arcsin xdx .
7.解：I=210
]arcsin [x x ⎰
--+210
21)
2(21
dx x
x =……….=12312-+
π 四、应用题（5分） 摆线的一拱:
)20(,)
cos 1(2)
sin (2π≤≤⎩⎨
⎧-=-=t t y t t x 与直线y=0围成一平面图形, (1)求此平面图形的面积;
(2)求此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.
解：(1) S=
⎰
⋅2
20
πydx =⎰--π
20
')]sin (2)[cos 1(2dt t t t =… =12π,
(2) V x =π
⎰
⋅2
20
2πdx y =⎰--π20
'22)]sin ([)cos 1(dt t t a t a = (240)
五、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分） (1) 利用函数图形的凹凸性证明不等式：
),0,0(2
ln
)(ln ln y x y x y
x y x y y x x ≠>>++>+. (1)证：令,0)(",ln )(>=t f t t x f 图形凹，由定义得证.
(2) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,0<a<b,证明:必有二点ξ,η∈(a,b),使得
ab )('ξf =)('
2ηηf 成立 .
(2) 证：结论变为 ab
)('
ξf =
2
'1
)
(ηηf , 设g(x)=
x
1
, f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西定理的条件,必存在一点η∈(a,b), 使得
a b a f b f 11)()(--=2
'1)(ηηf ,即a
b a f b f --)()(ab=2η)(;
ηf .
又f(x)在[a,b]上满足拉氏定理的条件,必存在一点ξ∈(a,b), 使得 a
b a f b f --)()(=)('ξf ,即ab )('ξf =2η)(;
ηf ,得证.。