潮流计算的基本算法及使用方法Word版

潮流计算的基本算法及使用方法

一、 潮流计算的基本算法

1. 牛顿－拉夫逊法

1．1 概述

牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。这种方法的特点就是把对非线

性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。

牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏

导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。 1．2 一般概念 对于非线性代数方程组

()0=x f

即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1)

在待求量x 的某一个初始计算值()

0x

附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高

阶项，得到如下的线性化的方程组

()()()()

()0000=?'+x x f x f (1－2)

上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量

()()

()[]()()0

1

00x f x f x -'-=? (1－3)

将()

0x ?和()

0x

相加，得到变量的第一次改进值()1x 。接着再从()

1x 出发，重复上述计算

过程。因此从一定的初值()

0x

出发，应用牛顿法求解的迭代格式为

()()()()()

k k k x f x x f -=?' (1－4)

()()()k k k x x x ?+=+1 (1－5)

上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代

次数。

由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。牛

顿法当初始估计值()

0x

和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。

1．3 潮流计算的修正方程

运用牛顿－拉夫逊法计算潮流分布时，首先要找出描述电力系统的非线性方程。这里仍从节点电压方程入手，设电力系统导纳矩阵已知，则系统中某节点（i 节点）电压方程为

∑=**?

???

?

? ??=n

j i i j ij U S U Y 1

从而得

∑=*

*?

?=n

j j ij i i U Y U S 1

进而有

()01

=-+*=*?

∑j

n

j ij i

i i U

Y U jQ P

（1－6）

式（1－6）中，左边第一项为给定的节点注入功率，第二项为由节点电压求得的节点注入功率。他们二者之差就是节点功率的不平衡量。现在有待解决的问题就是各节点功率的不平衡量都趋近于零时，各节点电压应具有的价值。

由此可见，如将式（1－6）作为牛顿－拉夫逊中的非线性函数()0=X F ，其中节点电

压就相当于变量X 。建立了这种对应关系，就可列出修正方程式，并迭代求解。但由于节点电压可有两种表示方式——以直角做表或者极坐标表示，因而列出的迭代方程相应地也有两种，下面分别讨论。

1．3．1 直角坐标表示的修正方程

节点电压以直角坐标表示时，令i i i jf e U +=?

、j j j jf e U +=?

，且将导纳矩阵中元素表

示为ij ij ij jB G Y +=，则式（1－7）改变为 ()()()()01

=--+-+∑=n

j j j ij ij

i i i i jf e jB G

jf e jQ P

（1－7）

再将实部和虚部分开，可得

()()[]

()()[]

??

?

?

?

??

=+---=++--∑∑==0011n

j j ij j ij i j ij j ij i i n

j j ij j ij i j ij j ij i i e B f G e f B e G f Q e B f G f f B e G e P （1－8）

这就是直角坐标下的功率方程。可见，一个节点列出了有功和无功两个方程。

对于PQ 节点（1,,21-=m i ，），给定量为节点注入功率，记为i P '、i Q '，则由式（2

－8）

可得功率的不平衡量，作为非线性方程

()()[]

()()[]

??

?

?

?

??

+---'=?++--'=?∑∑==n

j j ij j ij i j ij j ij i i i n

j j ij j ij i j ij j ij i i i e B f G e f B e G f Q Q e B f G f f B e G e P P 11 （1－9）

式中i P ?、i Q ?——分别表示第i 节点的有功功率的不平衡量和无功功率的不平衡量。

对于PV 节点（n m m i ,,2,1 ++=），给定量为节点注入有功功率及电压数值，记为

i P '、i U '，因此，可以利用有功功率的不平衡量和电压的不平衡量表示出非线性方程，即有

()()[]

()

??

?

??

+-'=?++--'=?∑=22221i i i i n

j j ij j ij i j ij j ij i i i f e U U e B f G f f B e G e P P

（1－10）

式中i U ?为电压的不平衡量。

对于平衡节点（m i =），因为电压数值及相位角给定，所以S s S jf e U +=?

也确定，不需要参加迭代求节点电压。

因此，对于n 个节点的系统只能列出()12-n 个方程，其中有功功率方程()1-n 个，无功功率方程()1-m 个，电压方程()m n -个。将式（1－9）、式（1－10） 非线性方程联立，称为n 个节点系统的非线性方程组，且按泰勒级数在()

0i f 、()

0i e （m i n i ≠=,,,2,1 ）展开，

并略去高次项，得到以矩阵形式表示的修正方程如下

????????????????

?

???????????????????????????????????????????????????????=????????????????

????????????????????????n n p p nn nn

np np

n n n n nn nn np np n n n n pn pn pp pp p p p p pn pn pp pp p p p p n n p p n n p p n n p p n n p p n n p

p e f e f e f e f S R S R S R S R N H N H N H N H S R S R S R S R N H N H N H N H L J L J L J L J N H N H N H N H L J L J L J L J N H N H N H N H U P U P Q P Q P 22112

2

1

1

2211

2211

22112222222221212222222221211111121211111111121211

112

22211 （1－11） 上式中雅可比矩阵的各个元素则分别为

j

i

ij f P H ???=

j

i ij e P N ???=

j

i

ij f Q J ???=

j

i

ij e Q L ???=

j i ij f U R ???=2

j

i ij e U S ???=2

将（1－11）写成缩写形式

[]???

?????=????????????

?

?????=?????????????e f e f S R

L J N H

U Q P J 2 （1－12）

对雅可比矩阵各元素可做如下讨论：

当i j ≠时，对于特定的j ，只有该特定点的i f 和i e 是变量，于是雅可比矩阵中各非对角元素表示为

i ij i ij j

i

ij f G e B f P H -=???=

i ij i ij j

i

ij f B e G e P N --=???=

i ij i ij j

i

ij e G f B f Q J +=???= i ij i ij j

i

ij e B f G e Q L +-=???=

02

=???=j i ij f U R

02

=???=j

i ij e U S

当i j =时，雅可比矩阵中各对角元素的表示式为

()i ii i ii n

j j ij j ij j i

ij e B f G e B f G f P H +-+-=???=∑=1

()i ii i ii n j j ij j ij j i

ij f B e G f B e G e P N ----=???=∑=1

()f B e G f B e G f Q J ii i ii n j j ij j ij j i

ij ++--=???=∑=1

()i ii i ii n j j ij j ij j i

ij e B f G e B f G e Q L +-++=???=∑=1

i j i ij f f U R 22

-=???=

i

j

i ij e e U S 22

-=???=

由上述表达式可知，直角坐标的雅可比矩阵有以下特点： 1)

雅可比矩阵是()12-n 阶方阵，由于ji ij H H ≠、ji ij N N ≠等等，所以它是一个不

对称的方阵。

2) 雅可比矩阵中诸元素是节点电压的函数，在迭代过程中随电压的变化而不断地改变。

3)

雅可比矩阵的非对角元素与节点导纳矩阵B Y 中对应的非对角元素有关，当B Y 中的

ij Y 为零时，雅可比矩阵中相应的ij H 、ij N 、ij J 、ij L 也都为零，因此，雅可比矩阵也是一个

稀疏矩阵。

1．3．2 极坐标表示的修正方程

在牛顿－拉夫逊计算中，选择功率方程∑=**?

=-+n

j j

ij i

i i U

Y U jQ P 1

0作为非线性函数方程，

把式中电压向量表示为极坐标形式

()i i i j i i j U e U U i δδδsin cos +==?

()j j j j j j j U e

U U j

δδδsin cos +==?

则节点功率方程变为

()()()0sin cos sin cos 1

=--+-+∑=j j j n

j ij ij i i i i i j U jB G j U jQ P δδδδ

将上式分解成实部和虚部

()0sin cos 1=+-∑=n

j ij ij ij ij j i i B G U U P δδ

()0cos sin 1

=--∑=n

j ij ij ij ij j i i B G U U Q δδ

这就是功率方程的极坐标形式，由此可得到描述电力系统的非线性方程。

对于PQ 节点，给定了

()()??

?

?

?

??

--'=+-'=?∑∑==n

j ij ij ij ij j i i i n

j ij ij ij ij j i i i B G U U Q Q B G U U P P 11cos sin sin cos δδδδ ()121-=m i 、、 （1－13）

对于PV 节点，给定了i P '、i U '，而i Q '未知，式（1－13）中i Q ?将失去作用，于是PV

节点仅保留i P ?方程，以求得电压的相位角。