矩阵特征值、特征向量的研究【开题报告】
矩阵特征值、特征向量的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、前言部分数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。
矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。
矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。
本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。
那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。
求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A –iλ)=0。
此等价于行列式 det(A –i第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。
首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。
例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。
A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。
[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。
矩阵特征值和特征向量的研究(DOC)
矩阵特征值与特征向量的研究目录一矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义 (3)二、特征值与特征向量的定义及其性质 (4)2.1 定义 (4)2.2 性质 (4)三特征值及其特征向量的求法及其MATLAB的实现 (5)3.1 QR方法 (5)3.1.1 基本原理 (5)3.1.2 具体实例 (5)3.2 用多项式的方法来求解特征值 (10)四特征值与特征向量的简单应用 (12)五小结 (16)一矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。
随着社会到的进步，计算机的飞速发展，高等代数这门课程已经渗透到各行各业里面。
在许多方面都有着很重要的应用。
在多数高等代数教材中,特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量。
从理论上来讲只要求出线性变换A的特征值和特征向量就可以知道矩阵A的特征值和特征向量。
因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性。
在物理，力学，工程技术中有很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题。
现在教材中给出的求解特征值和特征性向量的方法基本上都是通过求解特方程来求解。
有时候特征方程会极其的麻烦。
有一些文章中虽然给了初等行列变换的方法来较少计算量，但是仍未摆脱参数行列式计算的问题。
本文中我们将首先讲解有关特征值和特征向量的相关知识，另外介绍一些简单实用的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。
二、特征值与特征向量的定义及其性质2.1 定义设A是n阶方阵，如果存在数λ和n维非零向量x，使得Ax =λx成立，则称λ为A的特征值，x是A 的对应特征值λ的特征向量。
2.2 性质（1）λ0是A的特征值⇔f A(λ0)=|λo E−A|=0（2）α是A的属于特征值λ0的特征向量的重要条件为α为齐次方程组(λ0E−A)x=0非零解。
矩阵分析中的特征值与特征向量研究
矩阵分析中的特征值与特征向量研究特征值与特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们的研究对于理论和应用都具有重要的意义。
在本文中，我们将深入探讨特征值与特征向量的定义、性质以及应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵分析中，特征值与特征向量是矩阵的一个重要组成部分。
特征值对于矩阵而言就相当于常数，而特征向量则是矩阵的一组非零向量。
特征值和特征向量总是成对出现，即每个特征值都对应着一个特征向量。
形式上，设A是一个n阶方阵，若存在数λ和n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为该矩阵A的特征值，x为该矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特别地，当λ=0时，称x为矩阵A的零向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的线性关系若λ1、λ2为矩阵A的特征值，x1、x2为对应于λ1、λ2的特征向量，则对于任意实数k1、k2，k1x1+k2x2仍为A的特征向量，其特征值为k1λ1+k2λ2。
2. 特征向量可以作为矩阵的基对于n阶方阵A，若存在线性无关的n个特征向量x1、x2、…、xn，则它们可以组成一组基，即矩阵可以用这些基表示。
这个性质常被用于矩阵的对角化问题。
3. 特征值的代数重数和几何重数相等设λ是A的特征值，它在A的特征多项式中出现了k次，则称k为λ的代数重数。
若对应于λ的特征向量的个数为r，则称r为λ的几何重数。
显然，代数重数和几何重数的和等于矩阵的阶数n。
4. 矩阵的迹等于其特征值的和设λ1、λ2、…、λn是矩阵A的n个特征值，则A的迹为tr(A)=λ1+λ2+…+λn。
三、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化通过特征向量可以将方阵A对角化，即找到一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值。
对角化后的矩阵可以更加便于运算和求逆，被广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等。
2. 矩阵的谱分解在谱分解中，我们将矩阵分解为特征向量对应的投影矩阵与特征值构成的对角矩阵的乘积。
矩阵的开题报告
矩阵的开题报告矩阵的开题报告一、引言矩阵是线性代数中一项重要的概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、计算机科学、经济学等等。
本次开题报告旨在探讨矩阵的基本概念、性质以及其在现实生活中的应用。
二、矩阵的基本概念1. 定义矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列形成的一个数表。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每一个数称为元素，用小写字母表示。
2. 矩阵的类型矩阵可以按照元素的性质进行分类。
常见的矩阵类型包括零矩阵、对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。
3. 矩阵的运算矩阵之间可以进行加法、减法、数乘等运算。
加法和减法的运算规则与数的加法和减法类似，而数乘则是将矩阵中的每个元素乘以一个数。
三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T，其中A表示原矩阵。
转置矩阵具有如下性质：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T +B^T，(kA)^T = kA^T。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要操作。
两个矩阵A和B的乘积记作AB，其中A 的列数必须等于B的行数。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。
3. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵具有如下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(kA)^(-1) = (1/k)A^(-1)。
四、矩阵在现实生活中的应用1. 物理学中的矩阵矩阵在物理学中有着广泛的应用。
例如，量子力学中的波函数可以用矩阵表示，从而描述粒子的运动状态。
矩阵的特征值和特征向量也在量子力学中起着重要作用。
2. 计算机科学中的矩阵矩阵在计算机科学中有着诸多应用。
图像处理中常常使用矩阵运算，如图像的旋转、缩放等操作。
矩阵还可以用于表示图的邻接矩阵，从而进行图的遍历和路径搜索。
3. 经济学中的矩阵矩阵在经济学中的应用主要体现在输入产出模型中。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是现代数学中重要的一种数学工具，它在线性代数、微积分、概率论等不同领域都有广泛的应用。
矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将从理论和实际应用两个方面，详细介绍矩阵的特征值与特征向量。
一、特征值与特征向量的定义在介绍特征值与特征向量之前，首先我们需要明确矩阵的定义。
矩阵是由数个数或数的组合所构成的矩形阵列。
一个矩阵可以是多行多列的，其中每个元素都是一个实数或复数。
接下来，我们来介绍特征值与特征向量的概念。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个非零向量X，使得AX=kX，其中k是一个常数，则称k为矩阵A的特征值，X称为对应于特征值k的特征向量。
特征值与特征向量的存在性是基于以下的线性代数定理：对于任何n阶矩阵A，都存在至少一个特征值和对应的特征向量。
二、特征值与特征向量的求解如何求解矩阵的特征值与特征向量呢？求解特征值与特征向量可以通过矩阵的特征方程来实现。
设A是一个n阶矩阵，其特征方程为|A-λI|=0，其中λ为待求的特征值，I为单位矩阵。
解特征方程得到的根即为矩阵的特征值。
确定了特征值后，我们可以通过代入特征值到原特征方程，解线性方程组来求解对应的特征向量。
解出的特征向量需要满足非零向量的条件。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有以下重要的性质：1. 矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关。
这意味着矩阵的特征向量可以构成矩阵的一个线性无关组。
2. 特征值的个数等于矩阵的秩。
这个性质对于推断矩阵的秩具有重要的参考价值。
3. 矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。
矩阵的迹即主对角线上的元素之和。
这个性质在矩阵运算和推导中有重要的应用。
4. 矩阵的特征值与特征向量在相似矩阵之间具有不变性。
也就是说，相似矩阵具有相同的特征值。
四、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下列举了一些常见的应用领域：1. 特征值与特征向量在物理学中有重要的应用。
第5章特征值与特征向量教育研究
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5.1 矩阵特征值与特征向量
性质6 设 1, 2, , s 是方阵A 的s 个互不相同的特征值,
p1, p2 , , ps依次是与之对应的特征向量, 则 p1, p2 , , ps 线性无关. 证 用数学归纳法证明.
s 1: 特征向量不为零,因此定理成立.
设s－1时, 定理成立, 即方阵A的s－1个不相同的特征值
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5.1 矩阵特征值与特征向量
1 1 0
例2 求矩阵A 4 3 0 的特征值与特征向量.
1 0 2
1 1 0 解 E A 4 3 0 0.
1 0 2 ( 2)( 1)2 0.
A的特征值为1 2,2 3 1.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
称为的特征方程,其根即为A的特征值,又称为特征根.
设n阶矩阵A特征方程 f () n a1n1 an 0 的n 个特征根为 1,2 , ,n ,
1 2 n a1, 12 n | A | .
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5.1 矩阵特征值与特征向量
定义3 设A (aij )nn ,是阶方阵,则 a11 a22
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5.1 矩阵特征值与特征向量
性质7 设 1, 2, , s 是方阵A 的s 个互不相同的特征值,
A 的对应于λ i的线性无关的特征向量为 pi1, pi2 , , piti (i 1, 2, , s),
则向量组
p11, p12 ,
线性无关.
, p1t1 , p21, p22 ,
, p2t2 ,
f () n a1n1 an.
a1 (a11 a22 ann ), an (1)n | A | .
矩阵特征值和特征向量解法的研究
矩阵特征值和特征向量解法的研究周雪娇（德州学院数学系，山东德州 253023）摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题.1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质1.1 矩阵特征值与特征向量的定义设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量.1.2 矩阵特征值与特征向量的性质矩阵特征值与特征向量的性质包括：（1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤.（2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量.（3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关.（4）若矩阵()n n ij a A ⨯=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]12 普通矩阵特征值与特征向量的求法2.1 传统方法确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根；（2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11111110A求矩阵A 的特征值和特征向量.解A E -λ = 1111111------λλλ= ()21-λλ所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ.当0=λ时，由0=-AX ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------32111111110x x x = 0得312x x =，32x x -=因此，属于特征值0=λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1121α .当1=λ时，由()0=-X A E ,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----32101101111x x x = 0 得31x x =，02=x因此，属于特征值1=λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012α . 2.2 列行互逆变换法2.2.1 列行互逆变换法的定义把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换：（1）互换j i 、两列()j i c c ↔，同时互换i j 、两行()i j r r ↔； （2）第i 列乘以非零数()i kc k ,同时第i 行乘⎪⎭⎫⎝⎛i r kk 11；（3）第i 列k 倍数加到第j 列()i i kc c +，同时第j 行k -倍加到第i 行()i i kr r -. 2.2.2 列行互逆变换法的应用 例2 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312130112A 求A 的特征值和特征向量.解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001312130112I A −−→−++1331r r C C ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---101010001400131111−−→−++2112r r c c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11101001140121002−−→−+-32232121r r c c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---211121102111400021002 −→−33212r c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111110111400021002所以，特征值221==λλ，43=λ 对应特征值221==λλ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111α， 对应特征值43=λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1113α.2.3 列初等变换法2.3.1 列初等变换的步骤列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤是：（1）将⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-E A E λ经过一系列初等变化变成()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλQ C ，其中()λC 为含λ的下三角矩阵，()λQ 为E 经过初等变换得到的矩阵；（2）令()λC 主对角线元素之积为零，求出根即为特征值()n i i ,,2,1 =λ；（3）将求出的()n i i ,,2,1 =λ代入()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλQ C 中为()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡i i Q C λλ ，在进行列初等变换，当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，()λQ 中后的r n -个列向量即为i λ对应的特征向量.2.3.2 列初等变换的应用 例3 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11111110A求矩阵A 的特征值和特征向量.解⎥⎦⎤⎢⎣⎡-E A E λ = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1001000111011111λλλ→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------λλλλλλ0110000111211012→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+------11111010011210012λλλλλ → ()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+--+-----1111102101111001222λλλλλλλλλ= ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλQ G 由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ. 当0=λ时，()()00G Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----111110210001011001 ,特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1121α .当1=λ时，()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡11Q G = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--121010110010011001 ,特征向量为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012α . 3 矩阵特征值与特征向量在线性变换中的应用例4 设V 是数域P 上的3维线性空间，线性变换V V f →:在V 的基321,,e e e下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----201335212（1）求线性变换f 在V 的基31221,,e e e e e ++下的矩阵； （2）求线性变换f 的特征值与特征向量. 解（1）因为()31211,,e e e e e ++=()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010111,,321e e e 所以由基321,,e e e 到基31211,,e e e e e ++的过渡阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010111X 而f 在321,,e e e 下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=201335212A所以f 在1211,,e e e e e ++下的阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==--100101112013352121001011111AX X B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--31182510210010111201335212100010111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=43435481359（2）计算可得A E -λ=21335212+-+---λλλ=()33212021520332-+-++-++-+-λλλλλ=()()()()()3225232++++++-λλλλλ=()31+λ所以A 有3个相同的特征值1321-===λλλ，代入特征方程，有0101225213321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x 可得0,03231=+=+x x x x ，故A 的属于特征值1-的线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111α.[]3 4 正互反阵特征值与特征向量的求法4.1 正互反阵的定义矩阵()n n ij a A ⨯=（0≠ij a ，j i ≠）称为正互反阵，其中元素ij a 与ji a 须互为倒数，即jiij a a 1=.4.2 和法4.2.1和法的具体实现步骤为： a ∑==ni jjj aa A 1ω的每一列向量归一化得将矩阵 ；b ∑==ni ji j 1ωωω按行求和得对；c ()Tn ni iii i ωωωωωωωω,,,,211==∑=归一化将；d ()∑==ni iiA n11似值，作为最大特征根的近计算ωωλ.这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量.因为当A 为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以若A 得不一致性不严重，则取A 的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的. 4.2.2和法的应用 例5 运用和法求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=141614121621A 的特征值和特征向量.解A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141614121621−−−−→−列向量归一化 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0−−−→−按行求和⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡268.0972.0760.1 −−→−归一化⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡089.0324.0587.0 = ω；ωA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141614121621⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡089.0324.0587.0 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡268.074.0769.1.则特征根为009.3089.0268.0324.0974.0587.0769.13111=⎪⎭⎫⎝⎛++==∑=ni iA nωωλ.因此，运用和法计算的特征向量T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=089.0324.0587.0ω，特征值为009.3=λ.4.3 根法4.3.1根法的具体实现步骤为： a 将A 的每一列向量归一化得∑==ni jjj aa 1ω；b 将j ω按行求积并开n 次方，即nnj j i 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏=ωω；c 将i ω归一化∑==ni iii 1ωωω，()Tn ωωωω,,,21 =；d 计算()∑==ni iiA n11ωωλ，作为最大特征值的近似值.4.3.2根法的应用 例6 运用根法计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=141614121621A 的特征值与特征向量.解A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141614121621−−−−→−列向量归一化 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0−−−→−按行求积⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0007.0034.0201.0 −−→−次方开3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡089.0324.0586.0−−→−归一化⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡089.0324.0587.0 = uωA = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡268.0974.0769.1()∑==ni iiA n11ωωλ = ⎪⎭⎫⎝⎛++089.0268.0324.0974.0587.0769.131 = 009.3因此，特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=089.0324.0587.0ω. 根据以上两种方法，不难发现和法较为简便.和法和根法都是采用平均值来计算特征向量，只是和法是求列向量的算术平均值，而根法是求几何平均值.两种方法都比定义法计算高阶矩阵特征向量简便得多，是正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法.5 小结本文给出了矩阵特征值与特征向量的定义及性质，并且对一般矩阵及特殊矩阵正互反阵特征值与特征向量的解法进行了归纳总结，最后给出了这些解法的具体实现步骤.通过文章的梳理总结，在比较中让人们更好更快的确定解题方法，提高解题效率.参考文献：[1] 向以华.矩阵特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院报，2009（02）：1-2. [2] 王萼芳，石生明.高等代数[M]. 北京：高等教育出版社，2003.[3] 钱吉林，刘丁酉.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2005. [4] 黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法[J].福建信息技术教育，2006（05）：34. [5] 孟道骥.高等代数与解析几何[M]. 北京：科学出版社，1988. [6] 施劲松，刘剑平.矩阵特征值、特征向量的确定[J].大学数学，2003（01）：5. [7] 赵院娥，李顺琴.矩阵的特征值与特征向量[J].江西科学，2009（05）：2. [8] 徐树方.矩阵计算的理论与方法[M].北京：北京大学出版社，1992. [9] 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院报，2009（03）：1.The Research on Eigenvalues andEigenvectors of MatrixZhou X ue-jiao(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023)Abstract:In this paper,some solution methods for the matrix eigenvalues and eigenvectors are inducted.In comparison ,people are easy to find the best solution and improve problems solving efficiency through the article's summing .Key words:Matrix; Eigenvalue;Eigenvector; solution谢辞本研究及学位论文是在我的导师刘耀斌的亲切关怀和悉心指导下完成的。
矩阵特征值、特征向量的研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、选题的背景、意义（1）选题的背景、意义“矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。
19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。
随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。
然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。
但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。
18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。
20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
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毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、选题的背景、意义（1）选题的背景、意义“矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。
19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。
随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。
然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。
但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。
18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。
20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今[]3[]4。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
（2）国内外研究现状和发展趋势主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）[]5。
①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。
在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。
这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。
这就是实数向量空间的第一个例子[]6。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。
一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。
在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。
尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。
由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。
比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。
当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。
这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上[]7。
作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。
一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。
线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。
线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。
所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。
如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。
对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。
比如微分学研究很多函数线性近似的问题。
在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。
这是数学与工程学中最主要的应用之一。
（3）研究现状矩阵特征问题是数值计算的一个重要组成部分，也是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研究课题。
矩阵特征问题不仅可以直接解决数学中诸如非线性规划常微分方程以及其他各类数学计算问题，而且在结构力学工程设计计算物理和量子力学中都发挥着重要的作用在科学与工程计算中，求解矩阵特征值也是最普遍的问题之一如动力系统和结构系统中的振动问题电力系统的静态稳定分析上工程设计中的某些临界值的确定等都可归结为求解矩阵特征值问题仿真实验结果表明，该方法求解精度高收敛速度快，可以有效获得任意矩阵的特征值[]8[]9。
例如，复杂网络是一类既非完全规则又非完全随机的网络[1,2]。
这种网络广泛存在于物理,化学,生物及社会系统当中。
模块是许多复杂网络的最突出的属性之一。
目前很多关于模块划分的一般算法对具有二部图拓扑结构的网络都不适用,因为他们大多是将二部图投影到单模式网络后再划分,这样丢失了很多信息,为此一些科学家开始探索有关二部图模块划分的算法,也有科学家开始探索网络的二分性,并定义了一些定量测量指标。
而我们设计一个基于邻接矩阵特征向量来判定二部图的方法，先介绍二部图及其性质，再利用中介绍判定算法，最后通过实例就可以来验证算法的有效性[]10[]11。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题在阅读了有关矩阵，特别是矩阵特征值、特征向量的论著及文献后，本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用。
三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标（1）研究方法及路线阅读有关矩阵，特别是矩阵应用的论著及文献，总结矩阵研究的发展历史及其应用（2）研究难点矩阵的应用非常广泛，例如，信息科学，经济学，工程，物流，网络等。
因此要求学生阅读大量的有关材料，必需具备一定阅读文献的能力，具有较强的分析能力，扎实的数学运算能力和应用知识解决实际问题的能力。
（3）预期目标通过本文的研究，可以更深入的了解矩阵，了解矩阵的发展历史以及它的应用前景，能够运用矩阵解决实际问题。
四、论文详细工作进度和安排1．收集资料，收集资料，阅读相关文献，对矩阵特征值、特征向量在实际中的应用形成系统材料，并对相关矩阵特征值、特征向量在实际中的应用作系统整理完成文献综述；（第七学期第9周至第12周）2．深入分析矩阵特征值、特征向量实际应用的各个角度，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告；翻译相关问题的外文文献；上交文献综述、开题报告，外文翻译.（第七学期第13周至第17周）3．全面开展课题研究，按照研究方案和路线撰写论文，从各个不同的角度分析矩阵特征值、特征向量的实际应用，并完成论文初稿；（第八学期第1周至第3周）4．继续完善论文初稿；（第八学期第4周至第8周）5．对矩阵特征值、特征向量在实践中的应用作研究总结；（第八学期第8周至第10周:）6．对论文进行修改完善，定稿；（第八学期第11周至第12周）7．做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩.（第八学期第13周至第14周:）五、主要参考文献：[1]李乔.矩阵八讲[M].上海:上海科学技术出版社,1998,8.10-15[2] 戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社.2001,5.12-14[3] M.克莱因.古今数学思想(二)[M].上海:上海科学技术出版社.2002,166.[4] A.D.亚历山大洛夫等著.数学一它的内容,方法和意义[M].北京:科学出版社.2001,8.8-9.[5]何其祥.投入产出分析[M].北京:科学出版社.1999,5.5-6.[6] Bernkopf,Michael.A history of infinite matrices[J].Archive for history of exact sciences,1968,1.16-18[7] 李迪.中国数学史简编[M].沈阳:辽宁人民出版社,1984,5.5-6.[8] 吴文俊.郭书春汇校本<九章算术>序[M].沈阳:辽宁教育出版杜.1990,6.6-8.[8] 李俨.中国古代数学史料[M].北京:中国科学图书仪器公司.1954,8.8-10.[9] 中外数学简史编写组.中国数学简史[M].山东:山东教育出社.1986,7.7-8.[10] Thomas Hawkins著.数学译林[J].1985,4(1):63-67.[11] Chen xikang. Input-occupancy-output Analyses and Its Application in Chinese Economy[J].西安工程科技学院学报,2005,9: 1-8.。