数项级数复习笔记
(完整版)级数知识点总结,推荐文档
un ，un
0 ）lim
n
Sn
S
前 n 项和存在极限则收敛；
un 收敛 S n 有界；
n 1
n 1
比较审敛法：且u n v n
(n 1,2,3,)，若 vn 收敛，则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
比较法的极限形式：lim un l
n 1
n 1
nБайду номын сангаас1
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数： (1)n un ，un 0 满足：un 1 un
(n
1,2,3,)，且lim n
un
0 ，则级数 (1)nun 收敛。
n 1
n 1
条件收敛：
un 收敛，而
un
发散；绝对收敛：
un
收敛。
un 绝对收敛，则
un 收敛。
若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级
数去括号后未必收敛.
u lim 0
必要条件：级数 un 收敛 n n
.（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）
n 1
3)
审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
2、 和函数s(x )的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域(R , R )内可导，且可逐项求导; 和函数s(x )在收敛域I 上可积分，且可逐项
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积分.( R 不变,收敛域可能变化).
3、
泰勒级数：f(x )
f
(n
)(x
0
) (x
n0 n !
x 0 )n
数列与级数重点知识点总结
数列与级数重点知识点总结数列与级数是高中数学中的重要概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。
本文将重点总结数列与级数的相关知识点，以帮助读者更好地掌握和应用这些概念。
一、数列的基本概念与性质：1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用{an}表示，其中an为数列的第n项。
2. 数列的通项公式：表示数列中任意一项与项数n之间的关系，常用的有等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d和等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)。
3. 数列的常见性质：首项、公差（或公比）、通项公式、递推公式等，这些性质可以帮助我们确定数列的规律和计算数列中的任意一项。
二、等差数列与等比数列：1. 等差数列：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
三、数列的求和与部分和：1. 等差数列的求和：等差数列的前n项和可以使用求和公式Sn=n/2(a1+an)来计算，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为第n项。
2. 等差数列部分和：等差数列的部分和表示数列中某一段连续项的和，常用的计算方法有分别计算首项和末项之和、使用等差数列求和公式Sn=n/2(a1+an)计算、或使用递推公式Sn=S(n-1)+an计算。
3. 等比数列的求和与部分和：等比数列的前n项和可以使用求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中Sn为前n项和，a1为首项，r为公比。
等比数列的部分和没有明确的公式，需要通过其他方法进行计算。
四、级数的概念与性质：1. 级数的定义：级数是无数个数的和，常用的表示形式为∑(an)，表示从n=1到无穷大的项的和。
其中an为级数的第n项。
级数总结知识点
级数总结知识点一、级数的基本概念级数是由一列数按照一定的次序相加或相乘而得到的结果。
在级数中，每一个数都称为级数的项，而级数中的项的次序可以从1开始，也可以从0开始。
一般来说，级数以Σ表示，其一般形式为：Σ a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中，a_n表示级数的第n项。
级数的收敛与发散与其部分和的性质有很大的关系。
当一列数的部分和在n趋向于无穷时，其极限存在且有限，则称该级数收敛。
如果其部分和的极限不存在或者为无穷大，则称该级数发散。
二、级数的收敛性1. 收敛级数的定义级数Σ a_n在部分和S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n当n趋向于无穷时存在极限S，而S是一个有限的数时，则称级数Σ a_n是收敛的，并称S为级数的和。
即：Σ a_n = S2. 收敛级数的性质（1）收敛级数的部分和是有界的对于收敛级数Σ a_n而言，其部分和S_n是有界的。
这是因为在级数收敛的情况下，S_n是收敛数列，故其绝对值必小于某个常数M。
（2）收敛级数的项趋于零对于收敛级数Σ a_n而言，当n趋向于无穷时，级数的每一项a_n都趋于零。
（3）收敛级数的和不受项的次序变换影响对于收敛级数Σ a_n而言，其和不会因为项的次序变换而改变。
3. 收敛级数的判别法（1）比较判别法设级数Σ a_n和Σ b_n是两个级数，若对于所有的n都有a_n <= b_n，则有以下结论：若Σ b_n收敛，则Σ a_n也收敛。
若Σ a_n发散，则Σ b_n也发散。
（2）比值判别法设级数Σ a_n和Σ b_n是两个级数，如果存在常数0<r<1和N >0，对于所有的n > N都有|a_(n+1)/a_n| < r，则有以下结论：若Σ a_n收敛，则Σ a_n绝对收敛。
若Σ a_n绝对收敛，则Σ a_n收敛。
（3）根值判别法设级数Σ a_n是一个级数，如果存在常数0<r<1和N >0，对于所有的n > N都有|a_n|^1/n < r，则有以下结论：若Σ a_n收敛，则Σ a_n绝对收敛。
数项级数重点
数项级数一、数项级数的相关概念数项级数：形如12n u u u ++++的表达式，其中{}n u 为一给定数列。
简记为1nn u∞=∑一般项： 第n 项n u 第n 个部分和：11nn n i i s u u u ==++=∑部分和数列： {}n s收敛级数及其和：若部分和数列{}n s 收敛于s ，即lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，且称部分和数列{}n s 的极限s 为级数1nn u∞=∑的和。
并记12n s u u u =++++发散级数： 若部分和数列{}n s 发散，则称级数1nn u∞=∑发散。
余项： 12n n n n r s s u u ++=-=++两个问题；1、判别级数的敛散性； 2、级数求和（放在最后） 用定义判别敛散性的要点是通过对部分和数列的研究 [例1] 讨论等比级数201nn n qq q q ∞==+++++∑的敛散性。
（结论要熟记）解：因为当1q =时，n s n =；当1q ≠时，21111n n n q s q q qq--=++++=-，且lim nn q →∞存在当且仅当||1q <，所以当||1q <时，等比级数201nn n qq q q ∞==+++++∑收敛于11q-；当||1q ≥时，等比级数发散。
[例2] 已知数列{}n na 收敛，12()nn n n aa ∞-=-∑也收敛，求证：1n n a ∞=∑收敛。
[赛. 1991. 苏]证明：12()nn n n aa ∞-=-∑的第n 个部分和为11111222121111()(1)(1)n n n kk kk k k k n n kkk k n n nk k aa ka kaka k an a a a +++--===+==+=-=-=-+=+--∑∑∑∑∑∑所以1nn a∞=∑的第n 个部分和为：111112(1)()nn kn k k k k an a a k a a ++-===+---∑∑设数列{}n na 收敛于A ，12()nn n n aa ∞-=-∑收敛于B ，则1n n a ∞=∑收敛，其和为1A a B --[例3] 证明调和级数11n n∞=∑发散。
高等数学下册级数部分的知识点
=0
∈ −∞, +∞
−1
2+1
，
2+1 !
−1
2
，
2 !
∞
（5）cos =
=0
∞
（6）ln 1 + =
=0
−1
∈ −∞, +∞
∈ −∞, +∞
+1
，
+1
∈ −1,1
发散，则
n=1
=1 发散
2、比例判别法
+1
→∞
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
=
3、根值判别法
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim =
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
∞
1
=1
1
2
1
3
1
4
1
= 1 + + + + ⋯ + ⋯是发散的
所以收敛的级数一定趋于零，但是趋于零的级数不一定收敛0时，级数发散
→∞
例4、判断下列级数的收敛性，若收敛求其和
∞
1
（1）
=1 2
+
1
3
∞
2 +2
（2）
=1 2 −+3
，
=
，则
=1
=1
=1 ± 收敛，其和s ±
注意：收敛级数的和差仍收敛，发散级数的和差不一定发散，收敛级数与发散
数项级数基本知识点
一．常数项级数的概念
设有数列｛U n ｝，则称u 1+u 2+...+u n +...为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为∑Un ∞n=1，其中U n 称为级数的通项或一般项 令S n =u 1+u 2+...+u n （n=1,2,...），则称数列｛S n ｝为级数∑Un ∞n=1的部分和数列，
如果部分和数列｛S n ｝有极限S ,即
lim n→∞
Sn
则称级数∑Un ∞n=1收敛，这时极限S 叫做级数∑Un ∞n=1的和，即
S=∑Un ∞n=1
如果｛S n ｝没有极限，则称级数∑Un ∞n=1发散 讨论几何级数（等比级数） [1] =aq n-1
∑[1]∞n=1=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...的敛散性，其中a ≠0，q 是
级数的公比
解析：如果 |q|≠1，则部分和： 【2】=q n
∑[1]∞n=1
=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...=a （1−【2】）
1−q
级数（6--1）
二．收敛级数的基本性质
三．级数收敛的必要条件
定理1为必要条件，不是充分条件
四．正项级数的判别法
1.比较判别法
（比较判别法的极限形式）
2.比值判别法
例题：
3.其他判别法
五．交错级数的判别法
六．绝对收敛与条件收敛。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
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1.级数的敛散性的判别·：
a.定义：数列{Sn}收敛于有限数S，即相当于xn
b.cauchy收敛原理：级数 ∑xn收敛当且仅当对任意的ε
>
0, 存在正整数N,
使得当m >
n
> N时
c.n阶余项：n阶余项数列{rn} 收敛于0。
d.必要条件：项收敛于零。
e.比较判别法：存在M,使xn ≤ Myn, n = 1,
f.极限判别法：求两个函数项比值的极限。
比值l 14.数项级数复习
g.Cauchy判别法(或根式判别法(root l.A-D判别法：
i.积分判别法： 做法是令函数积分代替级数和j.Raabe判别法： r小于1是发散，大于一时收敛（前一项比后一项）。
k.Leibniz判别法： 因为求级数和相当于用 上界代替某一段函 数值求积分。
所以函数积分敛散
注：1.abcd判别方法是任何级数都适用，efghij只有正项级数可以使用，k是交错级数，l是适用于两个项乘积的级数。
2.可以利用绝对收敛推级数收敛，即利用绝对值将交错级数或任意级数转化为正项级数，方便判断敛散性。
3.当cauchy判别法和比式判别法比值为一时可以考虑使用raabe判别法，要注意r与1关系和敛散性的对应。
4.在判断正项级数敛散性是适当进行等价无穷小的代换（要整体代换不能单项代换）
……
5. 遇到三角函数时多使用三角等价变化（倍角半角等），将级数转化便于计算。
2:收敛级数的性质;
a;线性：即
b；加法结合律：再不改变项顺序的情况下，将项进行合并后求和不改变敛散性
c:在原级数上增加或减少有限有限项不会改变级数的敛散性但会改变级数值。
3.级数的乘法：
可能的所有项相乘，类似于线性空间的空间相加。
无限项的相乘要排列为正方形。
又因为不同的顺序会影响级数的敛散性，所以在级数相乘的过程中有一定的排列顺序。
1.对角线排列：cauchy乘积，项 Cn=a1*bn-1+a2*bn-2+……+an-1*b1.（取乘积矩阵的反对角线）
2.正方形排列：dn = a1bn + a2bn + · · · + anbn + anbn−1 + · · · + anb1.（取乘积矩阵的左下两条边）
注: 当级数an，bn收敛时，正方形排列一定收敛，对角线排列无法确定。
当级数an，bn绝对收敛时，任意顺序排列都收敛。
若两级数乘积收敛，则一定收敛于收敛的乘积。
补：对数判别法：（适用于幂指型和指数含有lnn形式的级数） 正 项级数 ∑xn，若 1. ln（1/xn）/lnn<1则级数发散 若 2.
ln（1/xn）/lnn>1则级数收敛。
判断级数是否收敛的方法步骤：
1先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则 n→+∞ 时，级数的一般项收敛于零2判断级数类型：正项级数，交错级数，任意级数。
3正项级数：a比较判别法， b.比式判别法，（适用于含 n！
的级数）； c.根式判别法，（适用于含 n次方 的级数）； d.对数判别法，（适用于幂指型和指数含有lnn形式的级数）
e.Raabe判别法，（适用于当上三种失效即极限为一时）交错级数：laibnz判别法。
或者取绝对值转化为正项级数在进行判断。
任意级数：考虑绝对值收敛。
或ad判别法。
注：还可以将原级数分解为两个简单的级数
通过运算性质来证明级数收敛。
1+1/2+1/3+……+1/n ≈ lnn+C。