典型例题一数项级数
高等数学：第二讲 数项级数的性质
目录
01 数项级数的性质
02
例题
1. 数项级数的性质
性质 1(1) 若级数 un 收敛， 其和为S ，则对 任意常数k ，
n1
级数 kun 也收敛， 其数项级数的性质
性质 1(2) 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与T ，
n1
n1
n1
性质 2 在级数中去掉或加上有限多项，不改变 级数的敛散性。
1. 数项级数的性质
性质 3 若级数 un 收敛，则不改变它的各项次序任意
n1
添加括号后构成的新级数 vm 仍然收敛且其和不变。 m 1
性质4 （级数收敛的必要条件）
若 un收敛， 则lim un 0
n1
n
（即
lim
n
un
0
un 发散）
n1
2. 例题
例1
讨论级数
3 2n 2 3n
n1
6n
的敛散性，若收敛求其和：
解
un
3
2n 2 3n 6n
3(1)n 2(1)n
3
2
因为级数
3(1)n n1 3
收敛,
其和为
1 1 1
3 2
级数 2 (1)n
n1
2
收敛, 其和为
1 1 1
3 2
2 所以由性质1（2）得原级数收敛，其和为
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为 S T 。
n1
两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
推论1：若级数 un 收敛，而级数 vn发散，
n1
n1
则级数 un vn 必发散。
n1
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
有关级数的典型例题
n > N 1 时， x n ↘． 现证 n ® ¥ 时， x n ® 0 ．取 0 < k < a ， $N 2 > N 1 ，当 n > N 2 时有
k æ 1 ö a æ 1 ö ç1 + ÷ = 1 + + oç ÷ < 1 + ． n è n ø n è n ø
¥
例 5 设正项级数 å x 且数列 { x 单调减少． 利用 Cauchy 收敛原理证明： n 收敛， n }
n =1
lim nx n = 0 ．
n ® ¥
¥
证
由 å x { x 单调减少，有 x u n < +¥ 和 "e > 0 ，由 å n 收敛及 n } n ↘ 0 ．对
另一方面，注意 z n = cos nx + i sin nx ，又有
¥
å ( qz )
n =1
n
n =qz + ( qz )2 + ( qz )3 + L + ( qz ) +L
= qz + q 2 z 2 + q 3 z 3 + L + q n z n + L = q cos x + qi sin x + q 2 cos 2 x + q 2 i sin 2 x + L + q n cos nx + q n i sin nx
e
，因而 0 £ 2 kx 2 k < e ； 2
e
2
， ( 2 k + 1 ) u 2 k +1 2 k + 2 ) u 2 k +1 < e ． £ (
级数典型例题
级数典型例题典型例题1：计算以下级数的和：1 + 2 + 3 + 4 + ...解答：这是一个等差数列，首项a=1，公差d=1，因此可以使用等差数列的求和公式来计算和。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，d=1，得到Sn = (n/2)(2(1) + (n-1)(1)) = (n/2)(n+1)。
因此，1 + 2 + 3 + 4 + ...的和为Sn = (n/2)(n+1)。
典型例题2：计算以下级数的和：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...解答：这是一个等比数列，首项a=1，公比r=1/2，因此可以使用等比数列的求和公式来计算和。
等比数列的求和公式为：Sn = a(1-r^n)/(1-r)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，r=1/2，得到Sn = 1(1-(1/2)^n)/(1-(1/2)) = 2 (1-(1/2)^n)。
因此，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和为Sn = 2 (1-(1/2)^n)。
典型例题3：计算以下级数的和：1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...解答：这是一个等比数列，首项a=1，公比r=1/3，因此可以使用等比数列的求和公式来计算和。
等比数列的求和公式为：Sn = a(1-r^n)/(1-r)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，r=1/3，得到Sn = 1(1-(1/3)^n)/(1-(1/3)) = 3/2 (1-(1/3)^n)。
因此，1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...的和为Sn = 3/2 (1-(1/3)^n)。
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典型例题一数项级数
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
数项级数经典例题大全
第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数项级数经典例题大全（1）
数项级数经典例题大全（1）第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||q-11( 注意n 从0开始 ).2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 ,=n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--?-=+n n n ,) (∞→n . ? n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当2≥n 时,有∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11s i n n n n 的敛散性.(验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-?>+- 9、判断级数()()+-+??-+??+++??+)1(41951)1(32852951852515212n n 的敛散性.解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ?∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+?+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<="">∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ?∑+∞<. 13、判断级数∑??+21n n n 和∑??+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<="" p="" 判别法="" 时,="" 由leibniz=""> 收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈?x 收敛.证 ++??? ??-+=??+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21sin() 21sin() 21 sin(+=??--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ?∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数学分析数项级数
数学分析数项级数数项级数是由一组数相加而成的序列。
数项级数在数学中有着非常重要的地位，常用于研究数学分析、微积分和数论等领域。
首先，我们来定义数项级数。
数项级数是由一组实数a1, a2,a3, ... 组成的序列，将其相加得到的序列表示为：S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... 一般地，第n个部分和Sn为Sn = a1 +a2 + ... + an。
我们首先来讨论数项级数的部分和序列。
部分和序列是数项级数中非常重要的概念。
如果部分和序列Sn收敛于一个实数S，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称该数项级数是收敛的，并称S为该数项级数的和。
如果部分和序列Sn不收敛，我们称该数项级数是发散的。
接下来，我们来研究一些收敛数项级数的性质。
首先是数项级数的有界性。
如果数项级数收敛，那么它的部分和序列一定是有界的。
这是因为收敛数列的定义就包含了它的部分和序列是有界的。
其次，我们来看数项级数的比较判别法。
这是判断数项级数的敛散性的一种常用方法。
如果对于一个正数b来说，数项级数绝对值的部分和序列Sn满足Sn≤b，那么我们称该数项级数是收敛的。
该方法常用于判定数项级数在无穷大时的敛散性。
再次，我们来看数项级数的比值判别法。
如果数项级数的部分和序列Sn满足lim(n→∞) ，Sn+1 / Sn， = L，那么我们有下面的结论：1）当L<1时，数项级数是收敛的；2）当L>1时，数项级数是发散的；3）当L=1时，该方法无法判定数项级数的敛散性。
最后，我们来看数项级数的积分判别法。
对于一个连续递减的正函数f(x)，如果数项级数的部分和序列Sn与函数f(x)的积分∫(n→∞) f(x) dx之间存在以下关系：1）当∫(n→∞) f(x) dx收敛时，数项级数也是收敛的；2）当∫(n→∞) f(x) dx发散时，数项级数也是发散的。
以上是数项级数的一些基本概念和性质。
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(a2 n1 a2 n )
n 1
(a1 a2 ) (a3 a4 )
而收敛的级数加上括号仍收敛; A,B中的 a2n1 ,
a
n 1
2n
均发散;
C.发散级数加上括号不一定收敛。
例3（04 ，三）设有以下命题： ① 若 (u2 n1 u2 n )收敛，则 un 收敛。
散，而 (un vn ) 收敛。
n 1
故选B。
例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是
an 收敛。 A.若 lim nan 0，则级数 n 1
n
nan ,则级数发散。 B.若存在非零常数 ，使得 lim n
2 a lim n an C.若级数 n 收敛，则
n 1
n 1
② 若 un 收敛，则
n 1
u
n 1
n 1000
收敛。
un1 1 ，则 un 发散。 ③ 若 lim n u n 1 n
(un vn ) 收敛，则 un, vn 都收敛。则以上命 ④ 若 n 1 n 1 n 1 题中正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④
n
1 1 ) 则级数 (1) ( un un1 n 1
n 1
A.发散；
B.绝对收敛；
C.条件收敛；
D.收敛性根据所给条件不能判断。
n 解答：选C. 由un 0 ，且 lim 1 ，知 n u n 1 n 1
lim lim(
)0 n u n u n n n 令 S n (1)k 1 ( 1 1 ) 1 (1)n1 1 n uk uk 1 u1 un1 k 1 1 1 n 1 1 lim S ( 1) ( ) 收敛,但 则 n n 从而 un un1 u1 n 1
典型例题
一.数项级数
n 1 ( 1) un 2 ， 例1 （91，一）已知级数 u2n1 5 n 1
n 1
求 u n 的和。
n 1
n 1 ( 1) un u1 u2 u3 u4 解 因 n 1
u
n 1
2 n 1
u1 u3 u5
n 1
2 lim n 级数 an 收敛，但 n an ，排除C，
故应选B。 也可用比较判别法的极限形式:
1 an lim nan lim 0 而级数 发散， n n 1 n n
因此
a
n 1
n
发散.故应选B。
n 1 例5（02，一）设 u 0n 1,2, 且 lim n u n
n 1
n 1 n 1
C 若 an 条件收敛，则 pn 与 qn 的敛散性不定。
n 1
n 1
p a D若 绝对收敛，则 与 q 的敛散性不定。
n 1 n
n 1 n
n 1
n 1
n
解答：选B；若 an 绝对收敛，即 an 收敛，当然
an an 有 an 收敛，再根据 pn 2 n 1
(1) lim
n
n 1
故
1 1 (1) ( ) 条件收敛. un un1 n 1
n 1
1 1 ( ) un un 1 n n lim( )2 而 n 1 un un 1 n
1 发散, n n 1
注意：本题不可以用莱布尼兹判别法来说明C 正确，因为不能得证数列
n 1
n
0 。
D.若级数 an发散，则存在非零常数 ，使得
n 1
lim nan
n
1 解答：用排除法：取 an ，则 lim nan 0 ，但 n nInn
1 1 an an 发散，排除 A,D 。又取 ，则 nInn n 1 n 1 n n
n 1
n 1
an an qn 2
及收敛级数的运算性质知 pn 与 qn 都收敛。
n 1
n 1
1 ) ， 例7．（92，一）设 an cos n In(1 n (n 1, 2, ) ，则级数
2 a a A n 与 n 都收敛；B
n 1
n 1
a 与 a 都发散；
故
2 u2 n1 (1)n1un un
n 1 n 1
从而
u
n
2 5 2 10 2 8
n 1 a ( 1) an收敛，则下 例2（05，三）设若 发散，
列结论正确的是
n 1
n
n 1
A. a2n1 收敛， a2n 发散；
解答：①错误；如令 un (1) ，显然， un 发散，
n
而
(u
n 1
2 n 1
u2 n )
收敛。
n 1
②正确；因为改变、增加或减少级数的有限项，不 改变级数的收敛性。 un1 lim 1可得到 un 不趋向于零，所以 ③正确；因为 n u n u n 发散。 n 1 1 1 un ， vn 都发 ④错误；如令 un n , vn n ，显然， n 1 n 1
1 1 un un 1
单调减少。
an an an an qn 例6（03，三）设 pn ， ， 2 2
，则以下命题正确的是 A 若 an 条件收敛，则 pn与 qn 都收敛。
n 1
n 1, 2,
n 1
n 1
B 若 an 绝对收敛，则 pn 与 qn都收敛。
n 1
n 1
B.
a 收敛， a 发散；
n 1 2n
n 1 2 n 1
C. (a2n1 a2n ) 收敛；
n 1
D.
(a
n 1
2 n 1
a2 n ) 收敛。
解 选D.因为
n 1 ( 1) an a1 a2 a3 a4 n 1