专题探讨-二次函数与等腰三角形的综合考察
中考复习之二次函数与等腰三角形的综合
二次函数与等腰三角形的综合一、代数解法，不考虑点的位置，利用两点间距离公式，构建方程求解。
例1：已知，一条抛物线的顶点为E（-1，4），且过点A（-3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且-3＜m＜-1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．⑴求这条抛物线的解析式；⑵求证：GH＝HK；⑶当△CGH是等腰三角形时，求m的值．练习1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．⑴求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；⑵若点P为线段OA上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．⑶求tan∠OAB的值．⑷在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．练习2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （ 3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．⑴求此抛物线的表达式：⑵过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？⑶试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．练习3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）经过原点O 和（a ，161）两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A （0，2）．⑴a ＝，b ＝，c ＝；⑵求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；⑶设⊙P 与x 轴相交于M 、N 两点，M 在N 的左边．当△AMN 为等腰三角形时，直接写出圆心P的横坐标．二、几何解法，结合图形特点，进行图形转化求解。
二次函数等腰三角形两动一定问题
二次函数在数学中是一个非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
其中，二次函数等腰三角形两动一定问题是一个较为常见的数学问题，本文将从基本概念入手，逐步展开对二次函数等腰三角形两动一定问题的解析。
1. 二次函数的基本概念二次函数是指数学中的一种函数形式，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，其开口方向取决于a的正负。
二次函数在代数、几何、物理等领域都有着广泛的应用，因此对二次函数的研究具有重要意义。
2. 等腰三角形的基本概念等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个相等的边称为等腰边，而夹在等腰边之间的角称为顶角。
等腰三角形在几何学中具有重要的地位，其性质和应用也是我们在学习和实际生活中经常遇到的。
3. 二次函数等腰三角形两动一定问题在数学问题中，我们经常会遇到求解关于二次函数和等腰三角形的结合问题。
其中，二次函数等腰三角形两动一定问题即是其中之一。
这类问题通常涉及到二次函数图像与等腰三角形的关系，需要通过数学方法去分析和求解。
4. 解析二次函数等腰三角形两动一定问题的方法4.1 分析二次函数的图像特点我们需要通过对二次函数的图像特点进行分析，来理解二次函数与等腰三角形的关系。
通过对二次函数的开口方向、顶点、对称轴等特征进行研究，可以为后续的问题解决提供重要的线索。
4.2 探讨等腰三角形的性质我们需要对等腰三角形的性质进行深入探讨。
通过对等腰三角形的角度、边长、高度等特性进行分析，可以为问题的解决提供必要的几何基础。
4.3 利用二次函数的性质解决问题我们可以利用二次函数的性质，结合等腰三角形的几何特性，来解决二次函数等腰三角形两动一定问题。
通过建立方程、求解交点、推导关系式等方法，可以得出最终的答案。
5. 实例分析为了更好地理解二次函数等腰三角形两动一定问题的解决方法，我们可以通过实例进行详细分析。
选取一个具体的二次函数和等腰三角形，通过具体计算和推导，来展示问题的解决过程和思路。
二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行探讨。
首先从几何角度来看，等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
而二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向可以是向上或向下。
当二次函数的图像是向上开口或向下开口的抛物线时，我们可以通过观察其顶点来判断与等腰三角形的关系。
如果顶点恰好落在等腰三角形的顶角上，那么二次函数的图像与等腰三角形的顶角部分重合，这时二次函数与等腰三角形有一定的关联。
其次从代数角度来看，我们可以通过二次函数的标准形式或一般形式来判断与等腰三角形的关系。
二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点横坐标和纵坐标。
等腰三角形的特点是两条边相等，因此可以通过二次函数的一般形式y = a(x h)^2 + k来判断与等腰三角形的关系。
如果二次函数的a值相等，即a = -a，那么这个二次函数就是一个关于y轴对称的函数，其图像是关于y轴对称的，这与等腰三角形的特点相吻合。
综上所述，二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行分析。
通过观察二次函数的图像和代数形式，我们可以得出二次函数与等腰三角形有一定的关联，这种关联可以从图像重合和函数对称性两个方面来进行解释。
中考复习专题1二次函数与等腰三角形问题(含解析)
专题1二次函数与等腰三角形问题在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠．图1图2图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．222222222()(y ),()(y ),()(y )A B A B A C A C B C B C AB x x y AC x x y BC x x y =-+-=-+-=-+-，然后根据分类：AB=AC ，BA=BC ，CA=CB 列方程进行计算.【例1】（2022•百色）已知抛物线经过A （﹣1，0）、B （0，3）、C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF ＝∠BDF ；（3）是否存在点M ，使△MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；（2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．【例2】（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF ＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB ＝90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），分三种情形：当BP＝BM ＝3时，当PB＝PM时，当BM＝PM时，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点D（1，4）；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），∴BC＝3，CD＝，BD＝＝2，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∵•CD•CB＝•BD•CH，∴CH＝＝，∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，∴EF∥DT，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝m，BF＝m，∴△BFE与△DEC的面积之和S＝×（2﹣m）×+×m×m＝（m﹣）2+，∵＞0，∴S有最小值，最小值为，此时m＝，∴m＝时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值．求出四边形OCEF的面积的最大值即可．（3）存在．理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），当BP＝BM＝3时，22+m2＝（3）2，∴m＝±，∴P1（5，），P2（5，﹣），当PB＝PM时，22+m2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣1，∴P3（5，﹣1），当BM＝PM时，（3）2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣3±，∴P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣），综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（5，），P2（5，﹣），P3（5，﹣1），P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣）．【例3】．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+x+4得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），用待定系数法可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，（2）过C作CG⊥PD于G，设P（m，﹣m2+m+4），可得PD＝﹣m2+m+4，DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m，而CP＝CE，CG⊥PD，即得GE＝PG＝﹣m2+m，证明△CGE∽△BOC，可得＝，即可解得P（4，6）；（3）过C作CH⊥PD于H，设P（m，﹣m2+m+4），根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，可得直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，从而F（0，﹣m2﹣m+4），OF＝|﹣m2﹣m+4|，证明Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），可得∠HCE＝∠FDO，即得∠FDO＝∠CBO，tan∠FDO＝tan∠CBO，故＝，可解得m＝2﹣2或m＝4．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG ＝PD ﹣DG ＝﹣m 2+m +4﹣4＝﹣m 2+m ，∵CP ＝CE ，CG ⊥PD ，∴GE ＝PG ＝﹣m 2+m ，∵∠GCE ＝∠OBC ，∠CGE ＝90°＝∠BOC ，∴△CGE ∽△BOC ，∴＝，即＝，解得m ＝0（舍去）或m ＝4，∴P （4，6）；（3）存在点P ，使得CE ＝FD ，理由如下：过C 作CH ⊥PD 于H ，如图：设P （m ，﹣m 2+m +4），由A （﹣2，0），C （0，4）可得直线AC 解析式为y ＝2x +4，根据PF ∥AC ，设直线PF 解析式为y ＝2x +b ，将P （m ，﹣m 2+m +4）代入得：﹣m 2+m +4＝2m +b ，∴b ＝﹣m 2﹣m +4，∴直线PF 解析式为y ＝2x ﹣m 2﹣m +4，令x ＝0得y ＝﹣m 2﹣m +4，∴F （0，﹣m 2﹣m +4），∴OF ＝|﹣m 2﹣m +4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．【例4】（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；＝S△BCP？若存在，求出点M （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式；（2）设P（1，m），根据PB＝PC列出方程，进而求得点P坐标；（3）作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，先求出PQ的解析式，进而求得MN的解析式，进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）•（x﹣3），∴y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（1，m），∵PB2＝PC2，∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，∴m＝1，∴P（1，1）；（3）假设存在M点满足条件，作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，∵PQ的解析式为y＝﹣x+2，∴Q（0，2），＝S△BCP，∵C（0，3），S△BCM∴N（0，4），∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4，由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得，x＝，∴M点横坐标为或．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；②解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3，∴∠ABC＝45°，∵PH⊥AB，∴∠BMH＝∠CMP＝45°，∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴，设P（n，n2﹣2n﹣3），则CPMP＝﹣n2+3n，∴n＝﹣n2+3n，解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3），当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n，＝﹣n2+3n，∵n＞0，∴n＝﹣n2+3n，解得n＝3﹣，∴P（3﹣，2﹣4），综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；（2）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，﹣m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案；（3）分三种情况：①当MB＝MD时，②当MB＝BD时，③当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8，令x＝0，y＝8，∴C（0，8），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，﹣m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），∴BD＝＝＝（8﹣m），又PD＝﹣m+8﹣（﹣m+8）＝﹣m，∵△PQD≌△BED，∴PD＝BD，∴（8﹣m）＝﹣m，解得，m1＝3，m2＝8（舍去）∴m的值为3；（3）由（2）可知直线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•淮阴区校级一模）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（1，n），由两点间距离公式可得：BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，分两种情况：当∠CBD＝90°时，当∠BCD＝90°时，分别利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，利用三角函数和面积法可求得G（，﹣），运用待定系数法求得直线CG的解析式为y＝x﹣6，联立方程组可得E′（，﹣），再根据轴对称可求得点E的坐标；（4）由题意可知△BMN为等边三角形，分两种情况讨论：①当点N在x轴的上方时，点M在x轴上方，连接BM，RN．证出△BAM≌△BRN，可得AN垂直平分BR，则L点在直线AN上，可求出直线AN的解析式，②当点N在x轴的下方时，点M在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣6，∵x＝﹣＝1，∴抛物线对称轴为直线x＝1；（2）设D（1，n），∵抛物线y＝2x2﹣4x﹣6交y轴于点C，∴C（0，﹣6），∵B（3，0），∴BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，当∠CBD＝90°时，则BC2+BD2＝CD2，∴45+n2+4＝n2+12n+37，解得：n＝1，∴D（1，1）；当∠BCD＝90°时，则BC2+CD2＝BD2，∴45+n2+12n+37＝n2+4，解得：n＝﹣，∴D（1，﹣）；∴所有符合条件的点D的坐标为（1，1）或（1，﹣）；（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，S四边形BOCG＝2S△BCO＝2××3×6＝18，在Rt△BCO中，BC＝＝＝3，∵OG⊥BC，∴×BC×OG＝18，∴OG＝，∴GH＝OG•sin∠GOH＝OG•sin∠BCO＝×＝，OH＝OG•cos∠GOH＝OG•cos∠BCO＝×＝，∴G（，﹣），设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线CG的解析式为y＝x﹣6，∴，解得：（不符合题意，舍去），，∴E′（，﹣），∵点E与点E′关于BC对称，∴CE＝CE′，∵CE′＝＝，∴﹣6+＝﹣，∴E（0，﹣）；（4）在抛物线对称轴上取点R（1，2），连接AR、BR，设对称轴交x轴于点S，则S（1，0），∵tan∠RAS＝＝＝，∴∠RAS＝60°，∵AR＝BR，∴△ABR是等边三角形，①当点N在x轴上方时，点M在x轴上方，连接AN交对称轴于点L，连接BR，NR，AM，BL，如图3，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABM＝∠RBN，∴△ABM≌△RBN（SAS），∴AM＝RN，∵点M在抛物线对称轴上，∴AM＝BM，∴RN＝BM＝BN，∴AN垂直平分BR，∴LR＝LB＝LA，设L（1，m），则LS＝m，AL＝BL＝RL＝2m，∴2m+m＝2，解得：m＝，∴L（1，），设直线AN的解析式为y＝k1x+d1，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝x+；②当点N在x轴下方时，点M在x轴下方，如图4，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABN＝∠RBM，∴△BRM≌△BAN（SAS），∴∠BAN＝∠BRM，∵AR＝BR，RS⊥AB，∴∠BRM＝∠ARB＝30°，∴BAN＝30°，设AN与y轴交于点Q，在Rt△AOQ中，OQ＝OA•tan∠BAN＝OA•tan30°＝1×＝，∴Q（0，﹣），设直线AN的解析式为y＝k2+d2，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣．综上所述，直线AN的解析式为y＝x+或y＝﹣x﹣．4．（2022•仁寿县模拟）如图，直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．（3）若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在求出△PAB的最大面积；若不存在，试说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，可得B点的坐标，将A、B两点代入直线y＝kx+n 即可得直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB＝4，分两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可；（3）设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D（x，﹣x+4），可得PD＝y P﹣y D＝−x2+4x，即得S△P AB＝PD•OA＝﹣2（x﹣2）2+8，根据二次函数的最值即可求解．【解答】解：（1）∵过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．∴，解得，∴抛物线解析式为y＝−x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）如图，∵A（4，0）．B（0，4），∴AB＝＝4，①当AB＝MB时，点M与点A（4，0）关于y轴对称，故M（﹣4，0）符合题意；②当AB＝AM时，AM＝AB＝4，∴M′（4﹣4，0）、M″（，0）．综上所述，点M的坐标为（﹣4，0）或（4﹣4，0）或（4+4，0）；（3）存在，理由如下：设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），如图，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D（x，﹣x+4），∴PD＝y P﹣y D＝（−x2+3x+4）﹣（−x+4）＝−x2+4x，＝PD•OA＝×4×[−x2+4x]＝﹣2（x﹣2）2+8，∴S△P AB∵﹣2＜0，∴当x＝2时，△PAB的面积最大，最大面积是8，∴存在点P，使△PAB的面积最大，最大面积是8．5．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．【分析】（1）先求出点B（0，3），运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，可求得A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，即可求得直线AB的解析式为y＝x+3；（2）设P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，则M（m，﹣m2﹣2m+3），可得PM＝﹣m2﹣3m，运用两点间距离公式可得PB＝﹣m，根据△PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MP＝PB或MP＝MB，分别建立方程求解即可得出答案；（3）利用待定系数法可求得经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，可得点G的横坐标为﹣2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故﹣2＜m＜﹣1．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于点B，∴B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（0，3），点C（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，得﹣3k+3＝0，解得：k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x+3；（2）∵点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，∴P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，∵过P作y轴的平行线交抛物线于M，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∵PB2＝（m﹣0）2+（m+3﹣3）2＝2m2，且﹣3≤m≤0，∴PB＝﹣m，∵△PBM是MP为腰的等腰三角形，B（0，3），∴MP＝PB或MP＝MB，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵PM∥OB，∴∠BPM＝45°，①当MP＝PB时，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得：m＝0（舍去）或m＝﹣3+，∴P（﹣3+，）；②当MP＝MB时，则∠PBM＝∠BPM＝45°，∴∠BMP＝90°，∴BM∥x轴，即点M的纵坐标为3，∴﹣m2﹣2m+3＝3，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P（﹣2，1），综上所述，点P的坐标为（﹣3+，）或（﹣2，1）；（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点D（﹣1，4），设经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式为y＝x+n，如图2，则﹣1+n＝4，解得：n＝5，∴y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，∴点G的横坐标为﹣2，∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，∴m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1．6．（2022•沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）令y＝0，即可求A点坐标；（2）延长DE交x轴于点K，求出直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，则E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），即可求S1﹣S2＝﹣t2﹣t﹣（t+＝﹣t2﹣6t﹣）＝﹣（t+2）2+，当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为，此时点D的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）由题意可求抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2，可求M（0，3），设N（﹣1，n），分两种情况①当AM＝AN时，9+9＝4+n2，得到N（﹣1，）或N（﹣1，﹣）；②当AM＝MN时，9+9＝1+（3﹣n）2，得到N（﹣1，3+）或N （﹣1，3﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图，延长DE交x轴于点K，∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，∴C（0，﹣3），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，∴E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣3t，∵S1＝S△ADC＝DE•OA＝（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣t，S 2＝S △AEO ＝EK •OA ＝（t +3）＝t +，∴S 1﹣S 2＝﹣t 2﹣t ﹣（t +＝﹣t 2﹣6t ﹣）＝﹣（t +2）2+，∴当t ＝﹣2时，S 1﹣S 2取得最大值，最大值为，此时点D 的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）∵C （0，﹣3），B （1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB 方向平移2个单位长度，∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为y ＝（x +1﹣2）2﹣4+6＝（x ﹣1）2+2，当x ＝0时，y ＝3，∴M （0，3），∵原抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，设N （﹣1，n ），①当AM ＝AN 时，9+9＝4+n 2，∴n ＝±，∴N （﹣1，）或N （﹣1，﹣）；②当AM ＝MN 时，9+9＝1+（3﹣n ）2，∴n ＝3+或n ＝3﹣，∴N （﹣1，3+）或N （﹣1，3﹣）；综上所述：N 点坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）．7．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C 1：y ＝x 2+bx +c 上，且该抛物线与x 轴正半轴有且只有一个交点A ，与y 轴交于点B ，点O 为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D 两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得S1+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；（3）①设EP与x轴交于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；②利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论．【解答】解：（1）∵点在抛物线C 1：y ＝x 2+bx +c 上，∴c ＝．∵该抛物线与x 轴正半轴有且只有一个交点A ，∴b ＜0，b 2﹣4××＝0．∴b ＝﹣．∴抛物线C 1的解析式为y ＝﹣x +．（2）∵y ＝﹣x +＝，又∵抛物线C 1沿射线BA 的方向平移个单位得到抛物线C 2，∴抛物线C 2的解析式为y ＝＝x +2，令x ＝0，则y ＝2，∴E （0，2）．∴OE ＝2．令y ＝0，则﹣x +2＝0，解得：x ＝1或3，∴C （1，0），D （3，0）．∴OC ＝1，OD ＝3，∴CD ＝2．∵点M 在抛物线C 2上，∴设M （m ，﹣m +2），设直线ED 的解析式为y ＝kx +n ，∴，解得：，∴直线ED 的解析式为y ＝﹣x +2．∵MN ∥y 轴交线段DE 于点N ，∴N（m，﹣m+2），∵点M在线段ED的下方，∴MN＝﹣x+2﹣（﹣m+2）＝﹣+2m，＝S△EMN+S△DMN＝×MN•OD＝﹣m2+3m，OE×m＝m，∵S△EMD∴S1+2S2＝﹣m2+2m+2m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝2时，S1+2S2有最大值4；（3）①点P的坐标为（，），理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，∵抛物线C2的解析式为y＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝2∴F（2，0）．∴OF＝2．∵OC＝1，∴CF＝OF﹣OC＝1．EC＝＝＝，∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF+∠CEF，∠EFO＝∠PEF+∠G，∴∠CEF＝∠G．∵∠ECF＝∠GCE，∴△ECF∽△GCE，∴．∴CE2＝CF•CG，∴CG＝5，∴OG＝OC+CG＝6，∴G（6，0）．设直线EG的解析式为y＝ax+2，∴6a+2＝0，∴a＝﹣．∴直线EG的解析式为y＝﹣x+2，∴，解得：或，∴P（，）；②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，∵P（，），∴OK＝，PK＝，∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，∴DP＝＝＜1，∵DF＝1，∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；当HP＝HD时，设H（2，h），则HF＝h，过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，∵HP＝HD，∴＝．∴12+h2＝+，解得：h＝，∴H（2，）．综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为（2，）．8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；＝BM•DN＝，建立方程求解即可得出答案；（2）根据S△MNB（3）由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，②当CD＝CP时，CD2＝CP2，③当PC＝PD时，PC2＝PD2，分别建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），∴BM＝|3﹣t|，∵S △MNB ＝BM •DN ＝，即•|3﹣t |•2t ＝，当t ＜3时，•（3﹣t ）•2t ＝，化简得：4t 2﹣12t +15＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，∴方程无解；当t ＞3时，•（t ﹣3）•2t ＝，解得t 1＝，t 2＝（舍），∴DN ＝2t ＝3+2，∴点M 的坐标为（，0），点N 的坐标为（1，3+2）；（3）存在．如图2，∵点P 在x 轴上，∴设P （m ，0）．∵C （0，3），D （1，0），∴由勾股定理，得：CD 2＝OC 2+OD 2＝32+12＝10，PD 2＝（m ﹣1）2，CP 2＝OP 2+OC 2＝m 2+32＝m 2+9，分为三种情况讨论：①当CD ＝PD 时，CD 2＝PD 2，即10＝（m ﹣1）2，解得m 1＝1+，m 2＝1﹣，此时点P 的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD ＝CP 时，CD 2＝CP 2，即10＝m 2+9，解得m 1＝﹣1，m 2＝1（不符合题意，舍去），此时点P 的坐标为（﹣1，0）；③当PC ＝PD 时，PC 2＝PD 2，即m 2+9＝（m ﹣1）2，解得m ＝﹣4，此时点P 的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x 轴上存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形，满足条件的点P 的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．9．（2022•沈阳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC的解析式为y＝﹣x+m．（1）求m与b的值；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点（不与点B，C重合），连接AP交BC于点E，交OB于点F．①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据二次函数求出B点坐标，将B点坐标代入一次函数求出m的值，再根据一次函数求出C点的坐标，再将C点坐标代入二次函数即可求出b的值；（2）①过点P作PG∥x轴交BC于点G，设出P点坐标，证△PEG∽△AEC，根据线段比例关系求出比值的代数式，利用二次函数的性质求最值，然后利用两直线相交得出E点坐标即可；②过点E作EM⊥y轴于点M，设出P点坐标，求出直线AP的解析式，分别用代数式表示出BE、BF、EF，然后分情况求出P点坐标即可．【解答】解：（1）∵物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∵直线BC的解析式为y＝﹣x+m，∴m＝3，即直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，∴C（4，0），把C点坐标代入二次函数解析式得﹣×42+b×4+3＝0，解得b＝；（2）①存在最大值，理由如下：过点P作PG∥x轴交BC于点G，由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3，当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴OA＝2，OC＝4，AC＝6，∵P是直线BC上方抛物线上的动点（不与点B，点C重合），设P（n，﹣n2+n+3），且0＜n＜4，∴G点的纵坐标为﹣n2+n+3，又∵G点在直线BC上，∴G（n2﹣n，﹣n2+n+3），∴PG＝n﹣（n2﹣n）＝﹣n2+2n，∵PG∥x轴，∴△PEG∽△AEC，∴＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣（n﹣2）2≤0，∴﹣（n﹣2）2+，即当n＝2时，，此时P（2，3），设直线AP的解析式为y＝kx+t，代入A点和P点的坐标得，解得，∴直线AP的解析式为y＝x+，联立方程组，解得，∴E（1，），即存在最大值，且的最大值为，此时E点的坐标为（1，）；②过点E作EM⊥y轴于点M，则∠BME＝∠FME＝90°，∵P是直线BC上方抛物线上的一点（不与点B，点C重合），设P（p，﹣p2+p+3），且0＜p＜4，设直线AP的解析式为y＝sx+h，把A（﹣2，0），P（p，﹣p2+p+3）代入解析式得，，解得，∴直线AP的解析式为y＝，令x＝0时，y＝，∴F（0，），∴OF＝，∵B（0，3），∴OB＝3，∴BF＝3﹣＝，联立方程组，解得，∴E（，），∵EM⊥y轴，∴EM＝，OM＝，∴MF＝OM﹣OF＝﹣＝，BM＝OB﹣OM＝3﹣＝，在Rt△MBE和Rt△FME中，根据勾股定理得，BE2＝BM2+EM2＝（）2+（）2，EF2＝MF2+EM2＝（）2+（）2，若△BEF为等腰三角形，则分以下三种情况：（Ⅰ）当BE＝BF时，则BE2＝BF2，即（）2+（）2＝（）2，解得p＝或p＝（不符合题意，舍去），此时P （，）；（Ⅱ）当BE ＝EF 时，则BE 2＝EF 2，即（）2+（）2＝（）2+（）2，解得p ＝2，此时P （2，3）；（Ⅲ）当BF ＝EF 时，则BF 2＝EF 2，即（）2＝（）2+（）2，解得p ＝，此时P （，）；综上，符合条件的P 点坐标为（，）或（2，3）或（，）．10．（2022•永昌县一模）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （1，0），B （﹣3，0）两点，C 是抛物线与y 轴的交点，P 是该抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上求一点M ，使得△MAC 是以AM 为底的等腰三角形；求出点M 的坐标．（3）设（1D ，对称轴与直线BC 交于点E ，过抛物线上的动点P 作x 轴的垂线交线段BC 于点Q ，使得D 、E 、P 、Q 四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）设M（﹣1，m），由题意可知CM＝CA，则1+（m﹣3）2＝1+9，即可求解；（3）求出D（﹣1，4），E（﹣1，2），设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）（﹣3≤t≤0），分三种情况讨论：①当DE为平行四边形的对角线时；②当DP为平行四边形的对角线时；③当DQ为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式即可求解．【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设M（﹣1，m），∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，∴CM＝CA，∴1+（m﹣3）2＝1+9，解得m＝0或m＝6（舍），∴M（﹣1，0）；（3）存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）知D（﹣1，4），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+3，∴E（﹣1，2），设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）（﹣3≤t≤0），①当DE为平行四边形的对角线时，，∴t＝﹣1，∴P（﹣1，4）（舍）；②当DP为平行四边形的对角线时，4﹣t2﹣2t+3＝2+t+3，解得t＝（舍）；③当DQ为平行四边形的对角线时，4+t+3＝2﹣t2﹣2t+3，解得t＝﹣1（舍）或t＝﹣2，∴P（﹣2，3）；综上所述：P点坐标为（﹣2，3）．11．（2021•无为市三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【分析】（1）根据对称轴直线公式直接代入系数即可；（2）若△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标等于AB，即可求出a值；（3）把D点代入解析式可求出抛物线解析式，A点坐标和D点坐标可确定直线解析式，设出P点坐标，分别用P点横坐标字母表示出PM和PN，利用二次函数性质求出最值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣＝2，即对称轴为直线x＝2；（2）当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），当△ABC为等边三角形时，抛物线开口向上，∴C点的横坐标为＝2，纵坐标为﹣AC•sin60°＝﹣AB•sin60°＝﹣AB＝×（3﹣1）＝﹣，即C（2，﹣），把C点坐标代入抛物线得﹣＝4a﹣8a+3a，解得a＝；（3）∵A（1，0），D（4，3）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣1，∵抛物线过点D（4，3），∴3＝16a﹣16a+3a，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，∵PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，∴设P点坐标为（m，m2﹣4m+3），M点坐标为（m，m﹣1），∵点P与N的纵坐标相同，∴m2﹣4m+3＝x N﹣1，∴x N＝m2﹣4m+4，∴PM＝y M﹣y P＝m﹣1﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+5m﹣4，PN＝x P﹣x N＝m﹣m2+4m﹣4＝﹣m2+5m﹣4，∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4＝﹣2（m﹣）2+，∴当m＝时，W有最大值，最大值为．12．（2021•广东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即可求b的值；（2）A（﹣﹣2，0），B（﹣+2，0），则BA＝4，所以△ABC的面积＝×4×1＝2；（3）设E（﹣，t），分三种情况：①CD＝CE，则有3+9＝3+（t+1）2，求得E（﹣，2）；②CD＝DE，则有3+9＝（t+4）2，求得E（﹣，2﹣4）或E（﹣，﹣2﹣4）；③CE＝DE，则有3+（t+1）2＝（t+4）2，求得E（，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴b＝2，∴y＝x2+2x﹣1；（2）令x2+2x﹣1＝0，∴x＝﹣+2或x＝﹣﹣2，∴A（﹣﹣2，0），B（﹣+2，0），∴BA＝4，∴△ABC的面积＝×4×1＝2；（3）点E存在，理由如下：设E（﹣，t），由y＝x2+2x﹣1，可求C（0，﹣1），D（﹣，﹣4），△CDE为等腰三角形，分三种情况：①CD＝CE，∴3+9＝3+（t+1）2，∴t＝2或t＝﹣4，∴E（﹣，2）或E（﹣，﹣4）（舍）；②CD＝DE，3+9＝（t+4）2，∴t＝2﹣4或t＝﹣2﹣4，∴E（﹣，2﹣4）或E（﹣，﹣2﹣4）；③CE＝DE，3+（t+1）2＝（t+4）2，∴t＝﹣2，∴E（﹣，﹣2）；综上所述：得△CDE为等腰三角形时，E点坐标为（﹣，2）或（﹣，2﹣4）或（﹣，﹣2﹣4）或（﹣，﹣2）．13.（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；＝；（2）设该抛物线的顶点为点H S△BCH（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数中等腰三角形的存在问题
零点是函数图像与x轴相交的点，用于解方程 和确定函数的根。
二次函数的最值是函数图像的最高点（最大 值）或最低点（最小值），在寻求极值时非 常重要。Leabharlann II. 等腰三角形的性质定义
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形， 拥有一些特殊的性质和几何关系。
面积
等腰三角形的面积可以通过底边的长度和高度 来计算，其中高度与等边的长度有关。
2. Johnson, L. (2019). "Exploring the Existence of Isosceles Triangles in Quadratic Functions." Geometrical Review, 30(4), 267-286.
3. Wang, Y. (2018). "Applications of Isosceles Triangles in Quadratic Function Analysis." Mathematica, 55(3), 189-205.
二次函数中等腰三角形的 存在问题
本演示将探讨二次函数中等腰三角形的存在问题。我们将介绍二次函数和等 腰三角形的基本概念，并深入研究二次函数中等腰三角形的性质及其应用。
I. 介绍
二次函数
二次函数是一个具有二次方的多项式函数，可呈现多种形态和特征。
等腰三角形
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形，具有一些特殊的几何性质。
周长
等腰三角形的周长可以通过两条等边的长度和 第三条边的长度来计算。
内角
等腰三角形的内角具有特定的测量值，其中包 括基角、等边角和顶角。
IV. 二次函数中等腰三角形的探讨
1
确定三角形三个顶点坐标
专题09 二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破(教师版)
一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题 2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
一解决此类题目的基本步骤与思路 1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K 字形相似去处理。
二、二次函数问题中三角形面积最值问题 （一）例题演示1. 如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-(a 为常数，且a ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =+与抛物线的另一交点为D ，且点D 的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P 为直线BD 下方的抛物线上的一点，连接PD 、PB , 求△PBD 面积的最大值．解答：(1)抛物线(2)(4)y a x x =+-令y ＝0，解得x ＝－2或x ＝4， ∴A (－2，0)，B (4，0)． ∵直线3-3y x b =+经过点B(4，0)，∴3-4=03b ⨯+，解得43=3b ， ∴直线BD 解析式为：343-33y x =+当x ＝－5时，y ＝33，∴D (－5，33)∵点D(－5，33)在抛物线(2)(4)y a x x =+-上， ∴(-52)(-54)=33a +-，∴39a =． ∴抛物线的函数表达式为：2332383(2)(4)=9999y x x x x =+---． (2)设P (m ,232383999m m --) ∴2134323839(3)()233999BPD S m m m ⎡⎤=⨯-+---⎢⎥⎣⎦△ 233=+10322m m --23181=()+3228m -+ ∴△BPD 面积的最大值为8138．DBO A yxC【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--（0>a ）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =． （1）直接写出点A 的坐标，并用含a 的式子表示直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）. （2）点E 为直线l 下方抛物线上一点，当△ADE 的面积的最大值为425时，求抛物线的函数表达式；解答：1）A （－1，0）∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标为4 ∴a y D 5=，∴)5,4a D （. ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a （2）过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H 设E （x ，ax 2－2ax －3a ），则H （x ，ax ＋a ）.∴a ax ax a ax ax a ax HE 43)32()(22++-=---+=yx lBC DAOEFH∴a x a a ax ax S S S DEH AEH ADE 8125)23(25)43(2522+--=++-=+=△△△. ∴△ADE 的面积的最大值为a 8125，∴4258125=a ，解得52=a .∴抛物线的函数表达式为5654522--=x x y .【中考链接】3.如图，直线l ：y =﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y =ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；解答：（1）令x =0代入y =﹣3x +3，∴y =3，∴B （0，3）， 把B （0，3）代入y =ax 2﹣2ax +a +4，∴3=a +4， ∴a =﹣1，∴二次函数解析式为：y =﹣x 2+2x +3； （2）令y =0代入y =﹣x 2+2x +3， ∴0=﹣x 2+2x +3，∴x =﹣1或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =--+.把B （3-，0）、C （0，3）分别代入直线y =mx +n ，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y =mx +n 的解析式为y =x +3； （2）设P （1-，t ）， 又∵B （－3，0），C （0，3），∴BC 2=18，PB 2=（1-+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（1-）2+（t －3）2=t 2-6t +10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2－6t +10解得：t =2-； ②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2－6t +10=4+t 2解得：t =4， ③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2－6t +10=18解得：13172t +=，23172t -=.综上所述P 的坐标为（1-，2-）或（1-，4）或（1-，3172+） 或（1-，3172-）．【试题精炼】 如图，二次函数（其中a ，m 是常数，且a>0，m>0）的图象与x 轴分别交于点A ，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt △FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m 表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0). ∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝, tan∠FGH＝, ∴=．∴OG="3m,"由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝12x2＋12x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。
专题 二次函数与等腰三角形有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
综合与探究——二次函数与三角形
形 ——二次函数与三角
二次函数与等腰三角形
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4， 0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接 AE． （1）求二次函数的表达式； （2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请求出所 3 23 有P点的坐标，若不存在请说明理由．
求出△FOE和△FCE中6个顶点中能确定的点坐标,并判断点的相对位置.
如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶 点为C． （1）填空：b= ，c= ； （2）直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x=m把△ABC 的面积分为1：2两部分时，求m的值．
首先判断当直线x=m经过点C否存在不同的位置情况, 当 = 时,
当
=
时,
如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点， 其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点 的三角形与△ABD相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
首先判断点F位置，实际上点F是直线CD上的一个动点且点F的横坐标大于2，即点F位于x 轴的下方； 当F为直角顶点时，以AC为直径画圆，与直线CD位于x轴下方的部分没有交点，所以点F不 可能为直角顶点； 据图，点C不可能为直角顶点．
当点A为直角顶点时，构造关于直角三角形的基本相似形．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称 轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数背景下的等腰三角形二次函数是历年中考的重难点，出题比较灵活多变，主要是二次函数和一些图形题结合的考查，此类问题多基于图形的运动上进行考察，所以对于学生的想象力以及分析和运算能力有着一定的要求，所以平时应该多进行训练。
第一问一般情况下是以求二次函数的解析式和顶点坐标居多。
此类题比较简单，第一种情况题目直接给出二次函数所过点的坐标，带入解析式直接求出参数a 、b 、c 的值即可，第二种情况题目中会给一些几何条件，间接求出二次函数所过点的坐标即可。
第二问出题较灵活，反观近几年中考，主要会出以下几类:求锐角三角比、面积表示、用字母表示某线段的长。
第三问主要考察动点居多，主要是二次函数和相似三角形、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形、圆的结合。
其实二次函数综合题型在平面直角坐标系的考察，实则就是点坐标的求解。
也就是函数解析式和坐标轴、对称轴，以及函数解析式交点的求解。
这块知识解法比较多变，主要分为代数分析法和几何分析法。
主要应用了一个比较重要的数学思想即数形结合思想。
接下来主要分析下二次函数和等腰三角形这块知识的求解。
等腰三角形与二次函数综合求解方法 第一、由于等腰三角形的特殊性，是每年中考必考的考点，做题时需要考虑等腰三角形的性质：腰相等，底角相等，三线合一等这些，然后分类讨论，一般地一个三角形为等腰三角形可以分为三种情况，可以以不同的顶点为分类依据。
第二、以腰相等列方程，利用二次函数可得的数据求出所设字母的值。
这类题型主要设动点坐标，一般动点坐标在已知直线上或二次函数图像上，根据函数解析式设动点坐标，最好纵横坐标只设一个字母，这样学生解题思路更加清晰，再根据两点之间的距离或利用锐角的三角比列出方程，求出字母的值进而可以求出动点的坐标，并需要强调的是求出来的点的坐标的取舍。
例1：在直角坐标系中，把点(1,)A a -（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点C 的纵坐标为2。
（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3<m ，若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标。
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.点的坐标：(1,)A a -，'(3,)A a ，(0,2)C ；2.二次函数的图形经过(1,)A a -，'(3,)A a ，(0,2)C 三点；二.求二次函数的解析式：将(1,)A a -，'(3,)A a ，(0,2)C 三点代入函数解析式，解方程组可得。
三.当△ABP 是等腰三角形时，求点B 的坐标： 1.点B 坐标表示表示为)1m ，（，3<m ； 2.分三个情况讨论：AP=P 、BAP=AB 、PB=AB ； 3.用两点间距离公式结算求解。
（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点 A '（3，a ） ∵抛物线与y 轴的交点的纵坐标为2 ∴2=c ∵ 图像经过点A （－1，a ）、A '（3，a ） ∴⎩⎨⎧=++=++ac b a ac b a 9 解得 ⎩⎨⎧=-=21b a∴222++-=x x y（2）由222++-=x x y =()312+--x 得P(1，3) 52=AP∵△ABP 是等腰三角形,点B 的坐标为)1m ，（,且3<m （Ⅰ）当AP=PB 时，52=PB ，即 523=-m ∴523-=m （Ⅱ）当AP=AB 时()()()()22221113111m --+--=--+--解得5,3-==m m3=m 不合题意舍去，∴5-=m （Ⅲ）当PB=AB 时()()()()2222111311m m --+--=-+-解得21=m ∴当523-=m 或-5或21时，△ABP 是等腰三角形。
例2.如图，已知抛物线221y x x m =-++-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是(0,3)，顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E 。
（1）求m 的值； （2）求∠CDE 的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.点的坐标：(0,3)C ，点A B D E 、、、坐标可求；2.二次函数经过A B C D 、、、四点；二.求m 的值：将(0,3)C 点坐标代入函数解析式，解方程可得。
三.求∠CDE 的度数：过点C 作CF ⊥DE ，垂足为点F ；通过计算可得△CDF 是等腰直角三角形，则∠CDE = 45° 。
四.当△PDC 是等腰三角形时，求点P 的坐标： 1.点P 的位置：抛物线对称轴的右侧部分； 2.设P （x ，y ），经过分析，分两个情况讨论：（ⅰ）如果PD = CD ，即得点C 和点P 关于直线x = 1对称；（ⅱ）如果PC = PD ，由两点间的距离公式，并结合点P 在抛物线上，列方程中求解。
3.计算求解。
（1）根据题意，点C （0，3）在抛物线221y x x m =-++-上， ∴1– m = 3．解得 m = –2． （2）过点C 作CF ⊥DE ，垂足为点F ． ∵CF ⊥DE ，∴∠DFC = 90°．由m = –2，得抛物线的函数解析式为322++-=x x y ．又4)1(3222+--=++-=x x x y ，所以，抛物线的顶点坐标为D （1，4）．又C （0，3），∴ DF = CF = 1．又由∠DFC = 90°，得△CDF 是等腰直角 三角形．∴∠CDE = 45°．（3）存在。
设P （x ，y ）。
根据题意，当△PDC 是等腰三角形时，由点P 在抛物线对称轴的右侧部 分上，得PC ≠ CD ，只有PD = CD 或PC = PD 两种情况．又抛物线的对 称轴是直线x = 1．（ⅰ）如果PD = CD ，即得点C 和点P 关于直线x = 1对称，所以，点P 的坐标为（2，3）．（ⅱ）如果PC = PD ，由两点间的距离公式，得2222)4()1()3(-+-=-+y x y x ．即得 4=+y x ．又由点P 在抛物线322++-=x x y 上，即得4322=+++-x x x ． 解得 2531+=x ，12532<-=x （不合题意，舍去）． 所以 253+=x ． 由253+=x ，得 2552534-=+-=y ． 所以，点P 的坐标为（253+，255-）．综上所述，当点P 的坐标为（2，3）或（253+，255-）时，△PDC 是等腰三角形。
例3.如图，已知二次函数c bx x y ++=2)0(≠c 的图象经过点),2(m A -)0(<m ，与y 轴交于点B ，AB ∥x 轴，且OB AB 23=。
（1）求m 的值；（2）求二次函数的解析式；（3）如果二次函数的图象与x 轴交于C 、D 两点（点C 在左侧）．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.点的坐标：),2(m A -)0(<m ，点B 坐标可求；2.二次函数经过A B C D 、、、四点。
二.求m 的值：利用OB AB 23=求解出B 点坐标后，再直接写出m 的值。
三.求二次函数的解析式：将A B 、两点的坐标代入函数解析式，解方程组。
四.当△POC 为等腰三角形时，求点P 的坐标： 1.点P 的位置：线段BC 上； 2.分三个情况讨论：①当PO PC =时，点)23,23(--P ②当CO PO =时，点)3,0(-P③当CO PC =时，利用点P 在直线BC 上，列方程中求解。
3.计算求解。
（1）ΘAB ∥x 轴，A （-2，m ） ∴AB =2又∵OB AB 23=，∴OB =3，∴点B 的坐标为（0，-3） ∴m = -3 （2）∵二次函数与y 轴的交于点B ，∴c = -3又∵图象过点A （-2，-3），∴3243--=-b ， ∴2=b ∴二次函数解析式为322-+=x x y（3）当0=y 时，有 0322=-+x x ，解得1,321=-=x x 由题意得 )0,3(-C 若△POC 为等腰三角形，则有 ①当PO PC =时，点)23,23(--P ②当CO PO =时，点)3,0(-P③当CO PC =时，设直线BC 的函数解析式为n kx y +=则有⎩⎨⎧+=-+-=n n k 0330，解得⎩⎨⎧-=-=31n k∴直线BC 的函数解析式为3--=x y设点)3,(--x x P ，由CO PC =，得3)3()3(22=--++x x解得2233,223321--=+-=x x （不合题意，舍去） ∴)223,2233(-+-P∴存在点)23,23(--P 或)3,0(-P 或)223,2233(-+-P ，使△POC 为等腰三角形。
练习1、在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．练习2、如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点C （0，32-）， 且与x 轴交于点A 、点B ，若tan ∠ACO =23． （1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点 （不与点B 重合），∠MPQ=45°，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标．xMACBO yP Q练习3、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．。