变化率问题课件
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课件1：5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
《变化率问题》课件
从以上的例子中，我们可以了解到，平均变化率 是指在某个区间内数值的平均变化量. 如果上述问题中的函数关系用 f ( x) 表示，那么问 f x2 f x1 题中的变化率可用式子： 表示。 x2 x1
函数f ( x)从x1到x2的平均变化率
f x2 f x1 平均变化率： x2 x1
习惯上：用 x表示x2 -x1，即：x x2 x1
注意：x是一个整体符号，而不是与x相乘。
可把x看作是相对于x1的一个增量， 可用x1 x代替x2 ;
“增量”：x
x2 x1
令“增量” x x2 x1
f f x2 f x1
可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的 平均膨胀率逐渐变小。
思 考 ？
当空气பைடு நூலகம்量从V1增加到V2时，气
球的平均膨胀率是多少？
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把
这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均
变化率:
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
3.1.1 变化率问题
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。
发现：
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加 的越来越慢。 从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)之 间的函数关系是：
4 3 3V 3 V (r ) r r (V ) 3 4
f x2 f x1 f x1 x f x1 f x x2 x1 x
f 于是：平均变化率可以表示为： x
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
变化率问题 课件
解析：(1)∵Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝15， ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度 v 1＝ΔΔst＝5(m/s)． (2)∵Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝7， ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度 v 2＝ΔΔst＝7(m/s)． (3)∵Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝(2t0＋2)·Δt＋(Δt)2， ∴该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度 v ＝ΔΔst ＝2t0＋2＋ Δt.
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
点评：求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s＝t2＋2t(s的单位：m，t的单位： s)．求： (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度； (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度； (3)该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度．
π 2
附近的平均变化率．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fxx0＋ 0＋ΔΔxx－ －fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
变化率问题通用课件
变化率问题解析方法
导数与微分解析法
总结词 详细描述
差分解析法
总结词 详细描述
近似解析法
总结词
近似解析法是通过建立近似函数来研究变化率问题的方法。
详细描述
当函数过于复杂或难以直接求解时，可以采用近似解析法，通过近似函数的性质和结论来研究原函数的变化率问 题。常用的近似解析法包括泰勒级数展开、幂级数展开等。
数值解析法
总结词
详细描述
变化率问题应用实例
经济领域应用
总结词
经济领域中变化率问题应用广泛，涉及 经济增长、通货膨胀、利率变化等方面。
VS
详细描述
在经济学中，变化率问题广泛应用于分析 经济增长、通货膨胀、利率变化等现象。 例如，研究国内生产总值的变化率可以了 解经济增速；分析通货膨胀率的变化有助 于制定货币政策和财政政策；研究利率变 化率则对投资和储蓄决策具有指导意义。
MATLAB具有友好的用户界面和图形化编程方式，使得用户可以更加便捷地进行数值计算和数据处理。
Python软件介绍
Python是一种解释型、高级编程语言，具有简单易学、语法简洁、可读 性强等特点。
Python拥有丰富的第三方库和框架，如NumPy、Pandas、SciPy等，可 以进行科学计算、数据分析、机器学习等多种任务。
工程领域应用
总结词
详细描述
生物领域应用
总结词 详细描述
物理领域应用
总结词
详细描述
变化率问题求解软件介绍
MATLAB软件介绍
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的商业数学软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分 析以及数值计算等领域。
MATLAB提供了丰富的函数库和工具箱，支持多种编程语言和脚本语言，方便用户进行算法设计和数据 分析。
变化率问题 课件
rV 3
3V
4
.（气2）球当的空平气均容膨积胀率V从1L增加到2L时
（1）当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径显增然加了
r1 r0 0.62cm,
气球的平均膨胀率为
r
1
1
r0
0
0.62>0.16
0.62dm / L.
（2）类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径
增加了r2 r1 0.16dm,
问题4：用怎样的数学模型刻画函数 值变化的快慢程度？
比值称为函数在某一区间上的平均变化率
思考1：你能给出函数 f (x) 从x1到x2的平均变
化率的定义吗？
函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率为
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
❖ 习惯上：Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
运动员的运动状态有什 h 么问题吗？
h( 65) h(0)
v 49 65 0 49
0(s / m)
O
t 65 98
65 49
t
练一练
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)
在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)
（1）[1, 3];
4
（2）[1, 2];
这4年我国人均GDP“猛增”？ 比值反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的
快慢程度？
某小区近十年来的房价变化如下图所示
y y元/m2
11000
((1132,,1111000000))
情境2 8000
5500
(121,8000) (101,5500)
2400 (1,2400)
变化率问题(2课时) 高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
l
(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0 的瞬时速度？
l
解(1)：因为ℎ() = −4.92 + 4.8 + 11，所以运动员在时间段[2，2＋]
(或[2＋ ，2])的平均速度为ҧ =
=
ℎ(2+∆)−ℎ(2)
∆
－4.9(2+∆)2＋4.8(2+∆)＋11−(－4.9×22＋4.8×2＋11)
确定位置0 的直线称为抛物线() = 2 在
点0 (1,1)处的切线.
新知探索
问题6：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线() = 2 在点
l
0 (1,1)处的切线0 的斜率0 呢？
l
从上述切线的定义可见，抛物线() = 2 在点0 (1,1)处的切线0 的斜率与
解：
∆
=
(+∆)−()
∆
(1)：当 = 2，∆ =
=
2(+∆)2 +3−(2 2 +3)
∆
∆
0.01时，
∆
= 4 + 2∆.
= 4 × 2 + 2 × 0.01 = 8.02(/).
练习
例2.已知质点做直线运动，且位移(单位：)随时间(单位：)变化的函数为
答案：12 − − 11 = 0.
(2+∆)−(2)
∆
∆→0
解：切线的斜率为
= 12 + 3∆ = 12，
∵切线过点(2，13)，
∴所求切线方程为 − 13 = 12( − 2)，即12 − − 11 = 0.
练习
题型一：运动物体的平均速度
例1.已知() = 5 2 .
(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0 的瞬时速度？
l
解(1)：因为ℎ() = −4.92 + 4.8 + 11，所以运动员在时间段[2，2＋]
(或[2＋ ，2])的平均速度为ҧ =
=
ℎ(2+∆)−ℎ(2)
∆
－4.9(2+∆)2＋4.8(2+∆)＋11−(－4.9×22＋4.8×2＋11)
确定位置0 的直线称为抛物线() = 2 在
点0 (1,1)处的切线.
新知探索
问题6：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线() = 2 在点
l
0 (1,1)处的切线0 的斜率0 呢？
l
从上述切线的定义可见，抛物线() = 2 在点0 (1,1)处的切线0 的斜率与
解：
∆
=
(+∆)−()
∆
(1)：当 = 2，∆ =
=
2(+∆)2 +3−(2 2 +3)
∆
∆
0.01时，
∆
= 4 + 2∆.
= 4 × 2 + 2 × 0.01 = 8.02(/).
练习
例2.已知质点做直线运动，且位移(单位：)随时间(单位：)变化的函数为
答案：12 − − 11 = 0.
(2+∆)−(2)
∆
∆→0
解：切线的斜率为
= 12 + 3∆ = 12，
∵切线过点(2，13)，
∴所求切线方程为 − 13 = 12( − 2)，即12 − − 11 = 0.
练习
题型一：运动物体的平均速度
例1.已知() = 5 2 .
变化率问题 课件
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
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半径的增加量越来越小
半径的增加量
即 随着气球体积的增大，比值体积的增加量越来越小
我们知道, 气球的体积V 单位: L与半径r(单位: dm)之间
的函数关系是 V r 4 r 3 ,
3
如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
rV 3
3V
.
4
当空气容积V从0增加到1L时, 气球半径增加了
r1 r0 0.62cm, 气球的平均膨胀率为 r1 r0 0.62dm / L.
示.如何求他在某时刻的 速 度 ? 他 距水面的最大 高度是多少?
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
很多人都吹过气球.回忆一下吹气球的过程, 可以发现, 随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来 越慢.从数学的角度, 如何描述这种现象呢 ?
“气球半径增加得越来越慢”意思就是说
随着气球体积的增大，当气球体积增加量相同时，相应
如果上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，
那么问题中的变化率可用式子：
f x2 f x1 表示，我们把这个式子称为：
x2 x1
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。
习惯上将x2-x1表示为: x 即x x2 x1
习惯上将y2-y1表示为: y 即y y2 y1
f
所以，平均变化率可以表示为：数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微 积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直 接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意 时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
类似地,当空气容量从1L增加1到02L时, 气球半径增加了
r2 r1 0.16dm, 气球的平均膨胀率为 r2 r1 0.16dm / L.
2 1 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 :当空气的容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率
是多少? r(V2 ) r(V1) V2 V1
直线AB的斜率
3.函数的平均变化率的几何意义和物理意义
几何意义：函数y=f(x)图象上割线AB的斜率。
物理意义：函数s=s(t)在时间段﹝t1,t2﹞上的平均速度，即
v st2 st1
t2 t1
二、典型例题 题型一：求函数的平均变化率
例1：求函数y=2x2+1在x0到x0+△x之间的平 均变化率。并计算当x0=1，△x=2时平均变化 率的值。
导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变 化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比
赛的瞬间.已知起跳 1s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m可用函数
ht 4.9t2 6.5t 10表
则平均变化率又可表示为：
f x2 f x1 f ( x1 x) f ( x1 )
x2 x1
x
y
fx2 f x 1
y fx
B
A
x2 x1
fx2 fx1
思考 观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
变化率
y f x2 f x1
x
x2 x1
O
x1
x2
x 表示什么?
图1.1 1
题型二：求割线的斜率
例2：经过曲线f(x)=x2+1上A,B两点作割线， 已知xA=1, xB=2, 求割线AB的斜率.
题型三：平均变化率的应用
例3：试比较正弦函数y=sinx在x=0和
x
2
附近的平均变化率哪一个大？
题吗?
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合
图形可知：
h
h( 65) h(0)
v 49
0(s / m)
65 0
虽 但然 是在运动409员 t并 没4695有这静段止时，间所里以平说均，速用度平为均0
速度并不能精确地描述运动员的运动状态
o
t
一、平均变化率的概念
0.5 0
在1 t 2这段时间里 , v h2 h1 8.2 m / s.
2 1
在t1
t
t2这段时间里, v
ht2
t2
ht1
t1
探究: 计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度, 49
并思考下面的问题 :
1运动员在这段时间里是 静止的吗?
2你认为用平均速 度描述运动员运动状态有什么问
问题2 高台跳水
人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水
面的高度 h 单位 : m与起跳后的时间 t单位 : s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里 , v h0.5 h0 4.05m / s;
x2
f
x1
y
x2 x1
x
注意: 1. x 是相对于x1的一个“增量”，它可 以为正，也可以为负，但不能为等于0. 而 y
是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以
等于0。特别是当函数为常数函数时，y 0
2.如果把 x看作是相对于x1的一个“增量”，
则x2可以用 x1 x 来代替。