平均变化率问题ppt课件
平均变化率问题
1
1．分析平均变化率问题的数量关系
问题1 思考，并填空： 1．某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年 的产量为 60 000 kg，第二年的产量为__6_0_0_0_（0__1_+_x_）_ kg， 第三年的产量为__6_0_0_0_0（__1_+__x）_变化率问题的数量关系
2．某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2013 年的产量将是 __a（__1_-_x_）__．2014 年的产量将是__a（__1_-__x）__2 _．
3
1．分析平均变化率问题的数量关系
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量 关系吗？
b为降低n次后的量。
5
2．解决实际问题
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技 术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元， 生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的 年平均下降率较大？
两年后： 变化后的量 = 变化前的量 ×（1±x）2
4
总结
1、增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定
的模式 a(1 x)n b
其中x为平均增长百分率, a为增长前的量, b为增长n次后的量。
2、降低率的问题在实际生活普遍存在,有一定
的模式 a(1 x)n b
其中x为平均降低百分率, a为降低前的量,
，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每
月的增长率为x，那么x满足的方程是( C )
A．50(1＋x)2＝196
B．50＋50(1＋x)2＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
11
7
2．解决实际问题
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由 方程
6 000（1-x）2 =3 600 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
8
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的 营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？
分析：今年到后年间隔2年， 今年的营业额×（1+平均增长率）2 =后年的营业额。 解：平均每年增长的百分率为x,根据题意得：
280 (1 x)2 403 .2 (1 x)2 1.44
1+x=±1.2 x1 2.2 舍去 x2 0.2
答：平均每年的增长20%
9
平均变化率问题 4．(4分)(2013·兰州)据调查，2011年5月兰州市的房价 均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/m2，假设 这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方 程为( C ) A．7 600(1＋x%)2＝8 200 B．7 600(1－x%)2＝8 200 C．7 600(1＋x)2＝8 200 D．7 600(1－x)2＝8 200
10
5．(4分)某商品的原价为289元，经过连续两次降价后售
价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方
程中正确的是( A ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289
C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289
6．(4分)(2013·黔西南)某机械厂七月份生产零件50万个
6
2．解决实际问题
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x 一年后甲种药品成本为 5 000（1-x）元， 两年后甲种药品成本为 5 000（1-x）2 元． 列方程得 5 000（1-x）2 =3 000． 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小 于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均 下降率约为 22.5%．
1
1．分析平均变化率问题的数量关系
问题1 思考，并填空： 1．某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年 的产量为 60 000 kg，第二年的产量为__6_0_0_0_（0__1_+_x_）_ kg， 第三年的产量为__6_0_0_0_0（__1_+__x）_变化率问题的数量关系
2．某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2013 年的产量将是 __a（__1_-_x_）__．2014 年的产量将是__a（__1_-__x）__2 _．
3
1．分析平均变化率问题的数量关系
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量 关系吗？
b为降低n次后的量。
5
2．解决实际问题
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技 术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元， 生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的 年平均下降率较大？
两年后： 变化后的量 = 变化前的量 ×（1±x）2
4
总结
1、增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定
的模式 a(1 x)n b
其中x为平均增长百分率, a为增长前的量, b为增长n次后的量。
2、降低率的问题在实际生活普遍存在,有一定
的模式 a(1 x)n b
其中x为平均降低百分率, a为降低前的量,
，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每
月的增长率为x，那么x满足的方程是( C )
A．50(1＋x)2＝196
B．50＋50(1＋x)2＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
11
7
2．解决实际问题
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由 方程
6 000（1-x）2 =3 600 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
8
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的 营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？
分析：今年到后年间隔2年， 今年的营业额×（1+平均增长率）2 =后年的营业额。 解：平均每年增长的百分率为x,根据题意得：
280 (1 x)2 403 .2 (1 x)2 1.44
1+x=±1.2 x1 2.2 舍去 x2 0.2
答：平均每年的增长20%
9
平均变化率问题 4．(4分)(2013·兰州)据调查，2011年5月兰州市的房价 均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/m2，假设 这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方 程为( C ) A．7 600(1＋x%)2＝8 200 B．7 600(1－x%)2＝8 200 C．7 600(1＋x)2＝8 200 D．7 600(1－x)2＝8 200
10
5．(4分)某商品的原价为289元，经过连续两次降价后售
价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方
程中正确的是( A ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289
C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289
6．(4分)(2013·黔西南)某机械厂七月份生产零件50万个
6
2．解决实际问题
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x 一年后甲种药品成本为 5 000（1-x）元， 两年后甲种药品成本为 5 000（1-x）2 元． 列方程得 5 000（1-x）2 =3 000． 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小 于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均 下降率约为 22.5%．
合集下载
平均变化率与瞬时变化率详解课件
瞬时变化率
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
函数的平均变化率(上课用)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
平均变化率PPT优秀课件7
别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f ( x )及 g ( x )
的平均变化率。
y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化 率有什么特点？
知识运用
请分别计算出下面两个图象表示的函 数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
h
10
h
10
hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
O
1
A
10 3
3
t
O
1
3
B
t
O
1
3
C
t
10 3
10 3
建构数学
形 曲线陡峭程度
数 平均变化率
变量变化的快慢
知识运用
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图 所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月 到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11 8.6
6.5
3.5 3 6 9 12 T(月)
知识运用
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
10 2 0
A (1, 3.5)
2
10
20
30
34 t(d)
(以3月18日作为第1天)
建构数学
平均变化率
一般地，函数 均变化率为
f ( x)
在区间上
[ x1, x2 ] 的平
f (x2 ) f (x1) x2 x1
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”； 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
课堂小结
今天这节课，你学到了 哪些知识？
课堂小结
形 曲线陡峭程度
数 平均变化率
变量变化的快慢
课后作业
1、国家环保局在规定的排污达标日期前， y W1(t) 对甲乙两家企业进行检查，连续检测结 果如图所示（其中W1(t),W 2(t) 分别表示 W2(t) 甲乙两企业的排污量），试比较两个企 业的治污效果。 O
函数的平均变化率课件
函数的平均变化率ppt课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
01平均变化率--课件 32页PPT文档
y
1
3
x
例3引申： 已知函数 f (x) x2
问题(1)求函数在[1,a] (a>1)上的平均变化率；
(1)函数在[1,a] (a>1)上的平均变化率为a+1 问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a] 上 的平均变化率有何趋势？ (2)当a趋近于1时，函数在[1,a] 上的
平均变化率趋近于2
在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]；（3）[1，1.1]； （2）[1，2]；（4）[1，1.001]。
(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为4 (2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为3 (3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为2.1
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为2.001
hr 由题意知 n t
h x2y
r 2y 3
r
3
3h 2
y 3
3nh2 r 2
3
t
在[0,t]内水面上升的平均速率为:
x
h
y
3
y v
t
3 nr2h 2 3t03 t0
3nh 2 r2t2(cm /s)
可见当t越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小
例3、已知函数 f (x) x2，分别计算 f ( x )
甲
10 0
乙
注：负号表示容器甲中水在减少
变式1： 一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容 器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水 前t s容器里水的体积的平均变化率.
解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3
由题意知 V=nt
r
平均变化率PPT优秀课件1
20
30 34 t(d)
总结与思考
如何刻画变量f(x)在区间[x1，x2]上随x 变化（增加或减少）的“快”与 “慢”？
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均
变化率为： f x2 f x1
x2 x1
讨论交流: (1)你能举出一些用函数的平均变化率刻画因 变量随自变量变化“快慢”的例子吗?
3. f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是在其局部 区间上f(x)随x变化的快慢以及曲线y=f(x)陡峭程 度的一种粗略刻画.
作业 P：7 练习1，2，3，4
思考题（选做）：
吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径 增加得越来越慢。 （1）你能从数学的角度作出解释吗？ （2）请判断下面哪个是半径r随体积v变化的示意图?
1982年到1990年人口的平均变化率为 1160021031881601.8 （万人/年） 19901982
1990年到2000年人口的平均变化率为 129 25 03 03 0 11196900021353.（1万人/年）
例2、已知函数f(x)=2x+1，g(x)=-2x，分别计算 在区间[-3,-1]，[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率。
(2)函数平均变化率的数值如ห้องสมุดไป่ตู้刻画因变量随 自变量变化（增加或减少）的“快慢”?
例1、中华人民共和国人口普查登记的结果公布如下
年份 1953年 1964年 1982年 1990年 2000年 人口 总数 60193 72307 103188 116002 129533 （万）
年份 1953年 1964年 1982年 1990年 2000年 人口 总数 60193 72307 103188 116002 129533 （万）
一元二次方程实际问题平均变化率问题 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的 成本是 5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，则现在 生产1吨甲种药品的成本是 5000(1-x)2 元.
第一次降 下降率量
低前的量
低后的量
5000
试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元 时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元， 则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？
涨价 售价
成本
0
3
2
1 3+1 2
每
2 3+2 2
涨 一3 3+3 2
元4 3+4 2
x 3+x 2
单件利润
3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 3-2+x
讲授新课
一 平均变化率问题与一元二次方程
合作探究
填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时， 可卖100斤. (1)此时的利润w= _1_0_0_元_;
(2)若售价涨了1元，每斤利润为___2__元，同时少买 了10斤，销售量为_9_0___斤，利润w=1_8_0_元__ (3)若售价涨了2元，每斤利润为__3___元，同时少 买了20斤，销售量为_8_0__斤，利润w=_2_4_0_元_
少卖量
销售量
总利润
0
10×1
少 1卖0×2 1十0×3 1斤0×4
10x
100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4
100-10x
w=(3-2) ×100
w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+2)× (100-10×2）
平均变化率 课件
1 2 1 2 ������ ×3 . 1 ������ ×3 2 2 =29.89(m/s).
1 2
.(g 取 9.8
=
0. 1
答案:29.89 m/s
-18-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知识梳理
典型透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图,试指出哪一个厂 治污效果较好.
易错辨析 易错点 不理解平均变化率的概念而致误 【例 3】 若函数 f(x)=x2-1,其图像上点 P(2,3)及其邻近点
Q(2+Δx,3+Δy),则 =( ) Δ������ A.4Δx+(Δx)2 B.4Δx C.4+Δx D.Δx 错解:∵3+Δy=(2+Δx)2-1=4+4Δx+(Δx)2-1, ∴Δy=4Δx+(Δx)2.故选 A. 错因分析:因对平均变化率的概念理解不透彻而导致求解错误 , 其实,平均变化率就是 的值. 正解:∵Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
典型透析
随Байду номын сангаас演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即
目标导航
知识梳理
典例透析 典型透析
随堂演练
【变式训练1】 求函数y=-2x2+3在区间[2,2+Δx]内的平均变化率, 1 并求当 Δx= 时平均变化率的值 . 2
1 2
.(g 取 9.8
=
0. 1
答案:29.89 m/s
-18-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知识梳理
典型透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图,试指出哪一个厂 治污效果较好.
易错辨析 易错点 不理解平均变化率的概念而致误 【例 3】 若函数 f(x)=x2-1,其图像上点 P(2,3)及其邻近点
Q(2+Δx,3+Δy),则 =( ) Δ������ A.4Δx+(Δx)2 B.4Δx C.4+Δx D.Δx 错解:∵3+Δy=(2+Δx)2-1=4+4Δx+(Δx)2-1, ∴Δy=4Δx+(Δx)2.故选 A. 错因分析:因对平均变化率的概念理解不透彻而导致求解错误 , 其实,平均变化率就是 的值. 正解:∵Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
典型透析
随Байду номын сангаас演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即
目标导航
知识梳理
典例透析 典型透析
随堂演练
【变式训练1】 求函数y=-2x2+3在区间[2,2+Δx]内的平均变化率, 1 并求当 Δx= 时平均变化率的值 . 2
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．