平均变化率与一元二次方程
实际问题与一元二次方程2——平均变化率问题
平均变化率问题 4．(4分)(2013· 兰州)据调查，2011年5月兰州市的房价 均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/m2，假设
这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方
程为( C )
A．7 600(1＋x%)2＝8 200 B．7 600(1－x%)2＝8 200 C．7 600(1＋x)2＝8 200
15．(10分)(2013·巴中)某商场今年2月份的营业额为400 万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额 达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率． 解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据
题意得，400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得，x1＝0.2＝
D．7 600(1－x)2＝8 200
5．(4分)某商品的原价为289元，经过连续两次降价后售
价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方
程中正确的是( A ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289
C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289
6．(4分)(2013· 黔西南)某机械厂七月份生产零件50万个 ，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每 月的增长率为x，那么x满足的方程是( C ) A．50(1＋x)2＝196 B．50＋50(1＋x)2＝196 C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
解是否符合 实际意义 ．
，传染性很强，曾有2人同时患 上甲肝，在一天内，一人能传染x人，经过两轮传染后共有
128人患上甲肝，则x的值为( D )
A．10 B．9 C．8 D．7 2．(4分)有一人患了流感，经过两轮后共有225人患上此 病，求每轮传染中平均一人传染了几人？设每轮传染中平 均一人传染了x个人，则可列方程 1＋x＋(1＋x)x＝225．
《营销问题及平均变化率问题与一元二次方程》课件 2022年数学北师大版九上PPT
求证:四边形ABEF是菱形.
A
F D
B
EC
3.如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点 E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形
A
F ：，四在 边正 形方AE形CFA是BC菱D中形，. 点E、F在BDA上，且BF=DE.D OE
台灯的利润为〔x-30〕元,那么每月总利润为〔x - 30〕(600 - 10 (x -
4解0):设). 台灯的售价因定位x元.根据题意，得
〔x - 30〕(600 - 10 (x - 40) ) =10000.
整理,得： x2 - 130x + 4000 = 0 .
解得:
x1 = 50 , x2= 80.
当x = 50 时 , 应进台灯数：600- 10〔50 - 40〕=500
〔个〕.
2.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加 到7.5万册.求这两年的年平均增长率.
解：设每年的平均增长率为x,根据题意得：
5 ( 1 + x )2 = 7.5 那么 ( 1 + x )2 =
所以 1 x 6 . 2
解析：销售利润=〔每件售价-每件进价〕×销售件数，假设设每件涨价x元 ，那么售价为〔50+x〕元，销售量为〔500-10x〕件，根据等量关系列方程
即解可：. 设每件商品涨价x元，根据题意，得
〔50+ x - 40〕〔500 - 10x〕= 8000.
即
x2 - 40x + 300 = 0.
解得 x1 = 10，x2 = 30.
∴ OA＝OC
又∵AC⊥BD
图 2 0 .3 .3
2022人教版数学《精品 平均变化率与一元二次方程》配套教案(精选)
第2课时平均变化率与一元二次方程1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型三】方案设计问题菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.第1课时单项式与单项式、多项式相乘一、新课导入1.导入课题：有一块长方形的大型画布，它的长为5×103cm，宽为3×102cm，你能计算出它的面积吗？画布的面积是(5×103)×(3×102)cm2，你能计算出它的结果是多少吗？2.学习目标：（1）能叙述出单项式乘以单项式,单项式乘以多项式的运算法则.（2）灵活地运用法则进行计算和化简.3.学习重、难点：重点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则及应用.难点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则的应用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究单项式乘以单项式的运算法则.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：采用“计算、观察、比较、归纳”的学习方法获取结论.（4）自学参考提纲：①怎样计算（5×103）×（3×102）？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（5×103）×（3×102）=5×3×103×102运用了乘法交换律.=（5×3）×（103×102）运用了乘法结合律.=15×105=1.5×106.运用了乘法的运算.②如果将上式中不是指数的数字改为字母，能得到怎样的算式，写出试试看.计算ac5·bc2=ab·c7; 3a2b·2ab3=6a3b4.③通过刚才的尝试，能归纳出单项式与单项式相乘的运算法则吗？④完成教材第99页“练习”第2题.2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：抽查不同层次的学生，了解学生完成探究的过程和结果是否正确.②差异指导：引导学困生复习回顾幂的乘方、同底数幂的乘法，积的乘方法则及运算律.（2）生助生：学生之间相互交流帮助解决疑难问题.4.强化：（1）单项式与单项式相乘的法则.（2）计算：(1)2c5·5c2；（2）(-5a2b3)·(-4b2c).解：（1）10c7；（2）20a2b5c1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页例4.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真观察例4解题的过程，注意符号变化和运算顺序.（4）自学参考提纲：①请你回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则.②计算(2x)3·(－5xy2)时，先算（2x）3，再与(-5xy2)相乘.为什么？因为有理数的混合运算法则为：①先算乘方，再乘除，最后加减;②同级运算，从左到右进行;③如有括号按小括号、中括号、大括号依次进行.③计算：3x2·5x3=15x5；2ab·5ab2·3a2b=30a4b4；4y·（－2xy2）=-8xy3；（a3b）2·（a2b）3=a12b5.2.自学：结合自学指导，研读课本例题.3.助学：（1）师助生：①明了学情：抽查不同层次学生的计算情况，了解存在的主要问题.②差异指导：对理解运算顺序的确定有困难的学生进行指导.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：交流与总结：①运算顺序；②运算符号.1.自学指导：（1）自学内容教材第99页到教材第100页例5上面.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真看书，重要的内容打上记号，有疑问的地方做上记号.（4）自学参考提纲：①等式p(a+b+c)=pa+pb+pc，是根据矩形的面积关系得出来的，你能根据分配律得到这个等式吗？②等式p(a+b+c)=pa+pb+pc提供了单项式与多项式相乘的方法，你是如何理解的？③单项式乘以多项式应用了乘法的什么运算律？乘法分配律.④试标出单项式乘以多项式的运算法则中的关键字词.⑤试一试：－2x(x+y)=-2x2-2xy;3ab(a+b)=3a2b+3ab2;－(m－n+2)=-m+n-2.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师采取交谈、抽查方式了解自学进度及存在的问题.②差异指导：强调法则要点：“乘多项式的每一项”，“把所得的积相加”，并注意符号法则.（2）生助生：生生互相交流帮助解决疑难.4.强化：（1）运算法则:①文字表达：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.②式子表达：p（a+b+c）=pa+pb+pc.（2）单项式乘以多项式中的每一项，不要漏掉任何一项，并要注意符号的确定，合并同类项之前的项数与多项式的项数相同.（3）计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）.=-6a3b2+10a3b31.自学指导：（1）自学内容：教材第100页例5.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真观察例5的计算过程的依据，要注意去括号后的符号变化.（4）自学参考提纲：①标出例5题目中的单项式和多项式.②通过例5尝试归纳单项式乘多项式的计算步骤.③单项式乘以多项式的运算法则，就是把单项式乘以多项式的问题转化为单项式乘以单项式的问题.④思考：结合例5，你能说说当式子中含有负号时的简化方法吗？2.自学：结合自学参考提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否领会单项式乘多项式的方法和依据.②差异指导：重点对第（1）、（2）小题符号问题进行指导.（2）生助生：学生之间互助交流解决疑难.4.强化：（1）将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式的乘法，将新知识转化为已学过的知识.（2）计算：①(－2a)·(2a+1) ②2x2(3x2－5y) ③3a(5a－2b)=-4a2-2a =6x4-10x2y =15a2-6ab（3）根据提示填空：计算：(12ab2－13a2b－6ab)·(－6ab)方法一：原式=12ab2·（－6ab）+（-13a2b）·（－6ab）+（-6ab）·（－6ab）＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2方法二：原式=12ab2·（－6ab）-13a2b·（－6ab）－6ab·（－6ab）.＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2三、评价1.学生的自我评价：各小组组长汇报本组的学习情况，总结经验、收获和不足.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、收效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学应由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.一、基础巩固（第1题25分，第2题20分，第3题15分，共60分）1.细心填一填.（1）（-2a2b3）（-3ab）=6a3b4;（2）（4×105）·(5×104)=2×1010;（3）（-2ab2）2·（-a2b)3=-4a8b7;（4）(x2-2y)·(-xy)=-x3y+2xy2;（5）(-a2)·(ab+abc)=-a3b-a3bc.2.认真选一选.（1）化简x(2x－1)－x2(2－x)的结果是（B）A.－x3－x 3－x C.－x2－1 3－1（2）化简a(b－c)－b(c－a)+c(a－b)的结果是（B）A.2ab+2bc+2acB.2ab－2bc D.－2bc（3）如图是L形钢条截面，它的面积为（B）A.ac+bcB.ac+(b-c)cC.(a-c)c+(b-c)cD.a+b+2c+(a-c)+(b-c)（4）下列各式中计算错误的是（C）A.2x·(2x3+3x－1)=4x4+6x2－2xB.b(b2－b+1)=b3－b2+bC.－12x(2x2－2)=－x3－xD.23x(32x3－3x+1)=x4－2x2+23x3.计算：(3x2+12y－23y2)·(－12xy)3解：原式=(3x2+12y-23y2)·(-18x3y3)=-38x5y3-116x3y4+112x3y5.二、综合应用（每题10分，共20分）4.某地有一块梯形实验田，它的上底为m （m），下底为n （m），高是h （m）.（1）用m、n、h表示这块梯形的面积S；（2）当m=8m，n=14m，h=7m时，求S.解：（1）S=12(m+n)h（2）S=12×（8+14）×7=77（m2）5.某商家为了给新产品做宣传，向全社会征集广告用语及商标图案，结果下图商标中标，求此商标图案阴影部分的面积.解：S阴影=14πa2+2a·a-12·3a·a=1 4πa2+12a2三、拓展延伸（每题10分，共20分）6.已知：单项式M、N满足2x(M+3x)=6x2y2+N，求M、N. 解：2x(M+3x)=6x2y2+N,2x·M+6x2=6x2y2+N∴N=6x22x·M=6x2y2M=3xy27.若（a m+1b n+2）·(a2n-1b2m)=a5b3,求m+n的值.解：(a m+1b n+2)(a2n-1b2m)=a5b3a m+2n b2m+n+2=a5b3m+2n=52m+n=3-2∴3m+3n=6∴m+n=2.。
最新北师版九年级初三数学上册《营销问题及平均变化率问题与一元二次方程》名师精品教案
第2课时 营销问题及平均变化率问题与一元二次方程教学目标：知识技能目标通过探索，学会解决有关营销的问题和平均比变化率的问题.过程性目标经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系.情感态度目标 通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：列一元二次方程解决实际问题.难点：寻找实际问题中的相等关系.教学过程：一、创设情境 我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q 元，比去年同期增长x %；环境污染比去年降低y %；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．二、探究归纳例1 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2．解 设原值为1，平均年增长率为x ,则根据题意得2)1(12=+⨯x解这个方程得 12,1221--=-=x x ． 因为122--=x 不合题意舍去，所以%4.4112≈-=x ．答 这两年的平均增长率约为41.4%．探索 若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：原数（1 ＋ 平均增长率）n= 。
（n 为相距时间）原数（1 － 平均减少率）n = 。
例２、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。
针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）课堂练习1.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率．（精确到0.1%）2、某种服装，平均每天可销售20件，若每件降价1元，则每天可多售5件。
28.3一元二次方程的应用——平均变化率问题
滦南县胡各庄镇初级中学 学习目标
1．能正确列出方程并求解，并能根据题意检验根的取舍； 能正确列出方程并求解，并能根据题意检验根的取舍； 2．探究并掌握住平均变化率问题的模型，会运用模型解决同类问题。 探究并掌握住平均变化率问题的模型，会运用模型解决同类问题。 掌握住平均变化率问题的模型 学习过程
【回顾与思考】 回顾与思考】
这节课你学会了哪种解题模型？这种模型的使用前提是什么？ 这节课你学会了哪种解题模型？这种模型的使用前提是什么？你还有何收 获？
【作业】 作业】
1、完成点津 P37 第 3 题、第 10 题 、 2、预习课本 P44 例 2 、
3
刘媛媛
【温故知新】 温故知新】
1.小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 a 分，第 学习笔记： 小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 学习笔记： 小明学习非常认真 二次月考增长了 10%， 第三次月考又增长了 10%， 他第二次数学成绩 ， ， 是 ，第三次数学成绩是 。 2.国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，某品牌上衣原价 a 元，第 国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动， 国庆节期间 一次价格降低了 10%，第二次价格又降低了 10%，第一次促销活动中该上 ， ， 衣价格是 ，第二次促销活动中该上衣的价格是 温馨提示： 的量， 区分增长了和增长后、降低了和降低后。 温馨提示：找准单位 1 的量，会区分增长了和增长后、降低了和降低后。
温馨提示： 市用于“改水工程”的投资： 温馨提示：若设年平均增长率为 x，那么 A 市用于“改水工程”的投资： 万元， 万元。 万元， 增加到 万元。 2009 年比 2008 年增加了 万元， 万元。 2010 年比 2009 年增加了 万元， 增加到 万元。 根据题意， 根据题意，列方程得
最新部编人教版九上数学实际问题与一元二次方程(1)平均变化率问题习题
分层训练
A组
3. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108
元.已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率
为x，根据题意列方程得 A. 168（1-x）2=108
（ A）
B. 168（1-x2）=108
C. 168（1-2x）=108
D. 168（1+x）2=108
4. 某市加大对绿化的投资，2016年绿化投资a万元，
解：（1）设11月，12月两月平均每月降价的百分率 是x，则11月份的成交价是14 000（1-x）， 12月份的成交价是14 000（1-x）2. ∴14 000（1-x）2=11 340.∴（1-x）2=0.81. ∴x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）. 答：11月，12月两月平均每月降价的百分率是10%.
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测 到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10 000 元/m2？请说明理由.
（2）会跌破10 000元/m2.理由如下： 如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份 该市的商品房成交均价为 11 340（1-x）2=11 340×0.81=9 185.4＜10 000. 答：今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10 000元/m2.
第9课时
实际问题与一元二次方程（1） ——平均变化率问题
典型例题 知识点1：病毒传染问题 【例1】已知有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人；
解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 依题意，得1+x+（x+1）x=64. 解得x1=7,x2=-9（不符题意，舍去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.
营销问题及平均变化率问题与一元二次方程同步练习
第2课时营销问题及平均变化率问题与一元二次方程1.会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题；（重点、难点）2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.一、情景导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？二、合作探究探究点一：利用一元二次方程解决营销问题某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可.解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解.当x＝10时，售价为10＋50＝60（元），销售量为500－10×10＝400（件）.当x＝30时，售价为30＋50＝80（元），销售量为500－10×30＝200（件）.∵要尽量减少库存，∴售价应为60元.方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，“尽量减少库存”不能忽视，它是取舍答案的一个重要依据.探究点二：利用一元二次方程解决平均变化率问题某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率.解析：设3，4月份销售额的月平均增长率为x ，那么2月份的销售额为60（1－10%）万元，3月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）万元，4月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）2万元.解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x .根据题意，得60（1－10%）（1＋x ）2＝121.5，则（1＋x ）2＝2.25，解得x 1＝0.5，x 2＝－2.5（不合题意，舍去）.所以，3，4月份销售额的月平均增长率为50%. 方法总结：解决平均增长率（或降低率）问题的关键是明确基础量和变化后的量.如果设基础量为a ，变化后的量为b ，平均每年的增长率（或降低率）为x ，则两年后的值为a （1±x ）2.由此列出方程a （1±x ）2＝b ，求出所需要的量.三、板书设计营销问题及平均变化率⎩⎪⎨⎪⎧营销问题平均变化率问题经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣.第2课时 营销问题及平均变化率问题与一元二次方程教学目标：知识技能目标通过探索，学会解决有关营销的问题和平均比变化率的问题.过程性目标经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系.情感态度目标 通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：列一元二次方程解决实际问题.难点：寻找实际问题中的相等关系.教学过程：一、创设情境 我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q 元，比去年同期增长x %；环境污染比去年降低y %；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．二、探究归纳例1 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2． 解 设原值为1，平均年增长率为x ,则根据题意得2)1(12=+⨯x解这个方程得 12,1221--=-=x x ． 因为122--=x 不合题意舍去，所以%4.4112≈-=x ．答 这两年的平均增长率约为41.4%．探索 若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：原数（1 ＋ 平均增长率）n= 。
九年级数学 第一部分课内容 一元二次方程 实际问题与一元二次方程(1)平均变化率问题
拓展提升
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%） =13.31（万件）. ∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业 务员能完成的快递投递任务是0.6×21=12.6＜13.31. ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月 份的快递投递任务.∴需要增加业务员（13.31-12.6） ÷0.6= ≈2（人）. 答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6 月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员.
第一部分 新课内容
第二十一章 一元二次方程
第9课时 实际问题与一元二次方程 （1）——平均变化率问题
12/12/2021
核心知识
1. 连续增长两次问题、病毒传染问题：原量×（1+增 长百分率）2=新量. 2. 连续下降两次问题：原量×（1-下降百分率）2=新量.
12/12/2021
典型例题
知识点1：病毒传染问题 【例1】已知有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
12/12/2021
巩固训练
6. （2017襄阳）受益于国家支持新能源汽车发展和 “一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零 部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润 为2亿元，2016年利润为2.88亿元. （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变， 则该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
12/12/2021
典型例题
解：（1）设年平均增长率为x. 根据题意,得3（1+x）2=6.75. 解得x1=0.5，x2=-2.5（不符题意，舍去）. 答：每年回收旧物的增长率为50%. （2）6.75×（1+50%）=10.125（万件）. 答：预测2018年全年回收旧物能够达到10.125万件.
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解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 答：这个增长率为50%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
当堂练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,
平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500
甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方
程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
注意
下降率不能超过1.
练一练
现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年 平均下降率？
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总 额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率 2 是x,则可列方程为 2（1+x)+2(1+x) =8 .
3.青山村种的水稻2013年平均每公顷产7200千克，2014
年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均
增长率. 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前 的量，x为增长率，2为增长 次数，b为增长后的量.
平均变化率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的 量，x为降低率，2为降低次 数，b为降低后的量.注意1 与x位置不可调换.
降低率问题
课后作业
见《学练优》本课时练习
根据题意，得
系数化为1得， 直接开平方得， 则 x1=0.1,
7200（1+x)2=8712
（1+x)2=1.21
1+x=1.1, x2=-1.1, 1+x=-1.1
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
能力提升
菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批 发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销， 李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后， 以每千克3.2元的价格对外批发销售.
则下降率是 7% .如果保持这个下降率，则现在生产1
吨甲种药品的成本是 4324.5 元. 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产
技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成 本是 5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，则现在生产
2 5000(1x ) 1吨甲种药品的成本是 元.
第一次降低前的量
下降率x
第二次降低前的量 第一次降低后的量
下降率x
第二次降低后的量
5000
5000(1-x)
5000(1-x)(1-x) 5000(1-x)2
典例精析
例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多， 李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折 销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选 择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; (2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）， ∵14400＜15000，
导入新课
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数 学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长
了10%，问他第三次数学成绩是多少？
讲授新课
一 平均变化率问题与一元二次方程
探究归纳
填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产
技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，
就大呢？ 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为 （5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额 为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平
均下降额较大．
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢? 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均 下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对 量（年平均下降率）也可能相等．
.
作为等量关系列方程为： 一月、二月、三月的营业额共950万元.
例2 某公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万
元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营
业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0，
问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量
关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有 一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)
前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可
表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
例2 某公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200
前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，
解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列
方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. y1≈0.225，y2≈－1.775.
解方程，得
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均 下降率约为22.5％.
解后反思
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）
优翼 课件
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）
万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月
营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为x，则 200(1+x) 二月份营业额为：__________________.
2 200(1+ x ) 三月份营业额为：_______________. 2=950 200+200(1+ x ) +200(1+ x ) 根据：