平均变化率课件
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明
一、教学目标
1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生运用导数概念理解实际问题中的变化率。
3. 训练学生运用极限思想分析问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容
1. 平均变化率的定义：引入变化率的概念，解释平均变化率的含义。
2. 平均变化率的计算：讲解如何计算函数在某一区间的平均变化率。
3. 平均变化率与导数的关系：阐述导数的几何意义，引导学生理解导数与平均变化率之间的联系。
三、教学重点与难点
1. 教学重点：平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：导数与平均变化率之间的关系。
四、教学方法与手段
1. 教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、讨论法等，引导学生主动探究、合作学习。
2. 教学手段：利用多媒体课件、板书、图形等辅助教学。
五、教学过程
1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注变化率的概念。
2. 讲解平均变化率：给出平均变化率的定义，解释其几何意义。
3. 演示计算平均变化率：利用多媒体课件，展示计算过程。
4. 分析导数与平均变化率的关系：引导学生理解导数与平均变化率的联系。 5. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 布置作业：设计课后作业，巩固所学知识。
教案说明：
本教案以学生为主体，注重培养学生的动手操作能力、思考能力和合作精神。在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导学生运用所学知识解决实际问题。通过案例分析、讨论等形式，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。在教学内容上，重点讲解平均变化率的定义和计算方法，引导学生理解导数与平均变化率之间的关系。在教学手段上，充分利用多媒体课件和板书，直观展示概念和计算过程，有助于学生更好地理解和掌握知识。
六、教学拓展
1. 引导学生思考实际生活中的其他例子，运用平均变化率解释。
2. 探讨平均变化率在物理学、经济学等领域的应用。
平均变化率教学案例
龙源期刊网
平均变化率教学案例
作者：陈碧云
来源：《读写算·教研版》2015年第07期
摘 要：平均变化率” 是导数概念的第一节课，虽然是个辅助性概念，但它是研究瞬时变化率及导数概念的基础，是“进军”导数的必经之路。对变化率概念的建构将直接影响导数概念的学习。平均变化率蕴含了丰富的生活背景，体现了数学的实用价值，缩短了数学与生活的距离，是培养学生学习数学兴趣，认识数学价值不可多得的好材料。
关键词：平均变化率；教学案例
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）07-174-02
一、内容与内容解析
“平均变化率” 是导数概念的第一节课，虽然是个辅助性概念，但它是研究瞬时变化率及导数概念的基础，是“进军”导数的必经之路。对变化率概念的建构将直接影响导数概念的学习。平均变化率蕴含了丰富的生活背景，体现了数学的实用价值，缩短了数学与生活的距离，是培养学生学习数学兴趣，认识数学价值不可多得的好材料。学生亲自经历将生活原形概括抽象为数学模型的过程，隐含了特殊到一般、类比、数形结合等数学思想方法，在概念的构建过程中通过对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释发展了学生数学语言表达能力，同时培养了学生的抽象意识、推理意识、数学审美意识等，促使学生用数学的眼光去观察、分析和表示各种事物的数量关系，能主动地用数学思想、方法来思考问题。
二、教学实录
教师：有些同学认为数学很抽象，离我们的生活很远。其实只要大家能常常戴上“数学”的眼镜观察生活中的一些现象，你一定会发现原来生活离我们这么近。下面我们来看几个例子。
近几年房价成为全社会关注的焦点，下图是某小区的房价曲线图（幻灯出示图片），大家观察图像后有什么发现？
学生：房价一直在增长而且增长得越来越快。
平均变化率
江苏省盱眙中学高二数学组 张勇
平均变化率
【创设情境】
1.同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢,这种现象我们如何去解释呢!
2.请观察教材中图，随着时间的推移，气温的变化趋势；从图中我们可以看出：
在整个区间[1，32]这个31天内，气温仅仅上升了15.1； 0问题1：平均每小时上升了多少度？而在区间[32，34]这两天内，气温就上升了14.80，
问题2：平均每小时上升了多少度？
我们把这个比值叫做在给定的区间上的平均变化率;
虽然A，B之间的温差与点B，C之间的温差几乎不同，但它们的平均变化率却相差很大；因此我们可以利用平均变化率的大小来刻画变量平均变化的趋势，快慢程度；
问题3：观察这个比值与这两点连线斜率之间有什么关系？
【探索研究】
1、平均变化率：
f(x)f(x)12上的平均变化率为[x一般地，函数f(x)在区间,x] 21 xx12
点拨：xxx○x,1本质：如果函数的自变量的“增量”为相应的函数值的“增量”为,且12f(x)f(x)y21 )f(x)fy(xxxxxx)(fxy 到,则函数,从的平均变化率为122121．
江苏省盱眙中学高二数学组 张勇
○；连线的斜率（割线的斜率）2几何意义：两点 )) ))，(x，f(x(x，f(x1122○，或说在某个区平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢）3间上曲线陡峭的程度；
课件展示平均变化率；
【例题评析】
2+2x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率1：已知函数f(x)=x; 例1.[1，2] 2. [3，4] 3.
北师大版九年级数学上册《应用一元二次方程》第2课时示范公开课教学设计
第二章 一元二次方程
6 应用一元二次方程
第2课时
一、教学目标
1.利用一元二次方程解决平均变化率问题和销售问题.
2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程.
3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤.
4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.
二、教学重难点
重点：利用一元二次方程解决决平均变化率问题和销售问题.
难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一
知识回顾 【复习回顾】
教师活动：学生已学过列一元一次方程解应用题，通过想一想环节让学生说出列方程解应用题的一般步骤，再通过试一试初步体会平均变化率及销售问题，为新课的学习做准备.
想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？
预设：
①审：即审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
②设：即设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；
③列：即根据题中的等量关系列方程；
④解：即求出所列方程的解；
思考并举手回答.
复习、回顾已学知识，也是为新课的学习做准备.
⑤验：“检验”，即验证是否符合题意；
⑥答：即回答题目中要解决的问题.
【试一试】
(1)某企业五月份的利润是25万元，平均每月的增长率是20%,求预计七月份的利润将达到多少万元？
预设：
6月份：25+25×20%=25×(1+20%)
7月份：25×(1+20%)+25×(1+20%)×20%=
25×(1+20%)²=36万元.
因此，预计七月份的利润将达到36万元.
(2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_____元，销售利润 _____元.
高一数学复习考点知识讲解课件43---导数
1 / 15 高一数学复习考点知识讲解课件
第3课时导数 考点知识
1.理解导数及导函数的概念.
2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数． 导语
同学们，大家知道，从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗？那就是对函数的精细化研究，人们为了更好的研究函数的性质，400年前法国数学家首次提出了导数的概念，在此基础上，大数学家牛顿，莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来也一定能取得惊人的成就．
一、导数的概念
问题1瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
提示瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数． 知识梳理
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数2 / 15 f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
注意点：f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)＝k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.
例1设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0f()x0＋3Δx－f()x02Δx＝1，则f′()x0等于()
A.23B．－23C．1D．－1
答案A
解析由题意知limΔx→0f()x0＋3Δx－f()x02Δx＝limΔx→032×f()x0＋3Δx－f()x03Δx＝32f′()x0＝1，
所以f′()x0＝23.
反思感悟利用定义求函数在某点处的导数，仍然采用“无限逼近”的思想，由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率，其格式采用的是两点的斜率，故要注意分子、分母的对应关系．
【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用
《5.1.1变化率问题》教学设计
第2课时
1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.
2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．
教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法
教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念
PPT课件．
【新课导入】
问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：
（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．
（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2：什么叫直线与圆相切？
师生活动：学生回顾并回答．
预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？
设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课． ◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点
◆ ◆ 教学目标 【探究新知】
知识点1：曲线在某点处的切线
我们以抛物线f（x）=x2为例进行研究．
问题3：如何定义抛物线2()fxx在点0(11)P，处的切线？
师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()fxx在点0(11)P，处的切线，我们通常在点0(11)P，的附近任取一点2()Pxx，，考察抛物线2()fxx的割线0PP的变化情况.
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案
一、教学目标
1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。
3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
二、教学内容
1. 函数的平均变化率的定义
2. 函数的平均变化率的计算
3. 函数的平均变化率的应用
三、教学重点与难点
1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。
四、教学方法
1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。
2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。
3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
五、教学过程
1. 导入：
通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。
2. 新课讲解：
讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。
讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。 3. 案例分析：
给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。
4. 课堂练习：
布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、课后作业
1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。
七、教学评价
1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。
八、教学反思
在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。
平均变化率教案
平均变化率
教学目标：
一、知识与技能：通过对实际背景的分析，理解平均变化率的概念，会用平均变化率公式来求某一区间上的平均变化率。
二、过程与方法：体会平均变化率的思想及内涵。
三、情感态度与价值观：使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神
教学重点：在实际背景下，借助函数图像直观的理解平均变化率，得到平均变化率公式。。
教学难点：对生活现象中的变化情况作出相对应的数学解释。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：气球，多媒体、实物投影仪。
教学过程：
（一）创设情景
1：观看刘翔奥运会夺冠，引出平均速度的数学意义。
2：通过对经济增长的分析，引出对函数变化进行数学描述的深入思考。
（二）实践活动
学习线索一：探索对函数变化的数学描述。
学习活动：各个小组配备一个气球，进行下面的活动：
吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气
观察：气球变大的速度
思考：每次吹入差不多大小的气体，气球变大的速度一样吗？为什么？对思考的问题给出一个科学的回答，就需要从数学的角度，用数学语言把这个生活现象进行描述，解决问题。
目的：从对生活现象的感性认识转移到理性的数学分析上。
引入平均膨胀率，从具体的平均增长率过渡到一般函数的平均变化率。
具体过程：在这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况怎样？
分析：由气球的体积V（单位：L）与半径（单位：dm）之间的函数关系式引入气球平均膨胀率的概念。
3333362035.0)()43)(43)(34)(VVrVVrVVrrrV（）（
当空气容量V从0增加１Ｌ时，半径增加了)(62.0)0()1(dmrr
气球的平均膨胀率为 )/(62.001)0()1(Ldmrr
当空气容量2从1加2L时，半径增加了)(16.0)1()2(dmrr
气球的平均膨胀率为
)/(16.012)1()2(Ldmrr
《平均变化率》教案及教案说明 2
《平均变化率》教案及教案说明
一、教学目标：
1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 让学生能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学内容：
1. 平均变化率的定义
2. 平均变化率的计算方法
3. 平均变化率的应用
三、教学重点与难点：
1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法及应用。
四、教学方法：
1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，增强学生对概念的理解。
3. 开展小组讨论，让学生在合作中思考、交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程：
1. 导入新课：通过生活中的实例，引出平均变化率的概念。
2. 讲解与演示：讲解平均变化率的定义，展示相关图形，让学生直观理解。
3. 自主学习：学生自主探究平均变化率的计算方法。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法，互相学习。
5. 练习与应用：布置练习题，让学生巩固所学知识，并应用到实际问题中。 6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平均变化率解决实际问题。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
教案说明：
本教案以学生为主体，注重培养学生的自主学习能力、合作意识及解决问题的能力。在教学过程中，充分利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，有助于学生更好地理解概念。通过生活中的实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。在练习与应用环节，注重让学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的数学素养。本教案旨在让学生掌握平均变化率的知识，培养学生的数学思维能力。
六、教学评估：
1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平均变化率定义的理解程度。
2. 练习题：收集学生的练习作业，评估学生对平均变化率计算方法的掌握情况。
《导数的概念》教学反思(精选7篇)
第 1 页 共 22 页 《导数的概念》教学反思〔精选7篇〕
《导数的概念》教学反思〔精选7篇〕
《导数的概念》教学反思1
1教学预设
1.1教学标准
〔1〕通过情境的介绍，让学生知道导数的实际背景，体验学习导数的必要性；
〔2〕通过大量的实例的分析^p ，让学生知道平均变化率的意义，体会平均变化率的思想及内涵，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；
〔3〕通过实例的分析^p ，让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描绘刻画现实世界的过程，体会数学知识来于生活，又效劳于生活，感悟数学的价值；
〔4〕通过问题探究、观察分析^p 、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描绘变化率，进而抽象概括出函数的平均变化率，会求函数的平均变化率.
1.2标准解析
1.21内容解析 第 2 页 共 22 页 本节是导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何意义.实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度.首先，从平均变化率开场，利用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上准确描绘，即导数；然后，从数转向形，借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系，说明导数的几何意义.根据教材的安排，本节内容分4课时完成.第一课时介绍平均变化率问题，在“气球膨胀率”、“高台跳水”两个问题的根底上，归纳出它们的共同特征，用f〔x〕表示其中的函数关系，定义了一般的平均变化率，并给出符号表示.本节内容通过分析^p
研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此根底上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的根底.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的浸透.
教学重点在实际背景下直观地解释函数的变化率、平均变化率.