变化率问题 导数的概念 课件
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5-1导数的概念及其意义课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
v(2) lim y lim (t 6) 6
x x0
x0
在第2 h 附近，汽车的速度 每秒大约增加 2m / s
在第6 h 附近，汽车的速度 每秒大约减少 6m / s
练习
设f (x) x ，求f (1)
解：f (1) lim f (1 x) f (1)
x0
x
(1 x) 1
lim
x0
记为 lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
当时间间隔 | t | 无限趋近于0 时，平均速度v 就无限趋近于t 1 时的瞬时速度。
因此，运动员在t 1 s 时的瞬时速度v(1) 5 m / s
思考 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h ( 单位：m)
与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
在第2 h 时，原油温度的瞬时变化率是 f (2)
y f (2 x) f (2)
x
x
在第6 h 时，原油温度的瞬时变化率是f (6)
y f (6 x) f ()
x
x
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x2 7x x 3 x
f (2) lim y lim (x 3) 3
t 0
t 0
质点A 在t 2.7 s 时的瞬时速度为10.8 m / s
3.设函数f (x) x2 1 ，求 (1)当自变量x 由1 变到1.1 时，函数的平均变化率
(2) 函数在x 1 处的导数
解：(1) f (1.1) f (1) (1.1)2 1 (12 1) 2.1
4.8 9.8t0)
4.8 9.8t0
lim x 0
x0
【课件】第5章 5.1 5.1.1 变化率问题【新教材】人教A版(2019)选择性必修第二册
)
A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率
B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的速率
C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率
D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的平均速率
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确．]
变化率．(重点) 率及瞬时速度的学习，培养逻辑
3.理解函数的平均变化率，瞬时变 推理及数学运算的核心素养.
化率及瞬时速度的概念．(易混点)
3
情境 导学 探新 知
4
1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的 高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关系 h(t) ＝－4.9t2＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些 时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
20
1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量 Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量 Δy＝f (x2)－f (x1)； 第三步，求平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. 2．求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率，可用fx0＋ΔΔxx－fx0的形式．
切线的斜率为 k＝lim Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim Δx→0
1＋Δx2＋1－12＋1 Δx
＝ lim Δx→0
Δx2＋2Δx Δx
＝lim (Δx＋2) Δx→0
＝2.
故切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.
34
求函数 y＝f (x)在点 x0 处的导数的三个步骤
35
[跟进训练] 2．求函数 y＝x42在 x＝2 处的切线方程．
42
1.1.1变化率问题与导数概念
2004年雅典奥运会
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题
A.v1
1 2 3 4
B.v2
C.v3
D.v4
解析 由题意知,汽车在时间[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]内的平均速度的大小分别
为1 , 2 , 3 , 4 ,设路程 y 与时间 t 的函数关系为 y=f(t),则1 =
(2 )-(1 )
,即为经
2 -1
规律方法 求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度 =
( 0 +Δ)-( 0 )
.
Δ
(3)求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0
的瞬时速度.
( 0 +Δ)-( 0 )
时,
无限趋近于常数
Δ
v,即 t0 时刻
解
2.25-0.25
(1)所求平均速度为
0.5-0.1
=
2
=5(m/s).
0.4
(2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为5,且直线通
过点(0.1,0.25),因此,x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).
在上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即t=0.2时物体的位移可以估计为0.75 m.
过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率 k1,同理2 为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线
的斜率 k2,3 为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k3,4 为经过点
(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k4,如图,由图可知,k3 最小,即3 最小.故选 C.
1 2 3 4
B.v2
C.v3
D.v4
解析 由题意知,汽车在时间[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]内的平均速度的大小分别
为1 , 2 , 3 , 4 ,设路程 y 与时间 t 的函数关系为 y=f(t),则1 =
(2 )-(1 )
,即为经
2 -1
规律方法 求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度 =
( 0 +Δ)-( 0 )
.
Δ
(3)求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0
的瞬时速度.
( 0 +Δ)-( 0 )
时,
无限趋近于常数
Δ
v,即 t0 时刻
解
2.25-0.25
(1)所求平均速度为
0.5-0.1
=
2
=5(m/s).
0.4
(2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为5,且直线通
过点(0.1,0.25),因此,x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).
在上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即t=0.2时物体的位移可以估计为0.75 m.
过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率 k1,同理2 为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线
的斜率 k2,3 为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k3,4 为经过点
(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k4,如图,由图可知,k3 最小,即3 最小.故选 C.
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问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.