函数的平均变化率
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
第三章 3.1.1函数的平均变化率
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量 y和平均变化率ΔyΔx； ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量 y和平均变化率ΔyΔx. (2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取 x都为13，哪一点附近的平均变化率 最大？ 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 解 (1)因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以 y＝f(x1＋ x)－f(x1) ＝2(x1＋ x)2＋3(x1＋ x)－5－(2x21＋3x1－5) ＝2[( x)2＋2x1 x]＋3 x ＝2( x)2＋(4x1＋3) x. ΔyΔx＝2Δx2＋4x1＋3ΔxΔx＝2 x＋4x1＋3. ①当x1＝4，x2＝5时， x＝1，
(1)在平均变化率的定义中，自变量x的增量 x＞0.( × ) (2)对于函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率也可以表示为fx2－fx1x2－x1.( √ ) (3)ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx是f(x)在区间[x0，x0＋ x]( x＞0)上的平均变化率，也可以 说是f(x)在x＝x0处的变化率．( × )
A．1 B．－1 C．2 D．－2 考点 题点 答案 B 解析 ΔyΔx＝1－33－1＝－1.
3．在曲线y＝f(x)＝x2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋ x,6＋ y)，则ΔyΔx为( )
A． x＋1Δx＋4
B． x－1Δx－4
C． x＋4
D．4＋ x－1Δx
考点
题点
答案 C
(2)当 t＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)． (3)当 t＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s).
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B 解析 s2.1－s22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2. 2．如图，函数y＝f(x)在1到3之间的平均变化率为( )
函数的平均变化率(上课用)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
函数的平均变化率课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教学目标：1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；2. 学会计算函数的平均变化率；3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的平均变化率的概念1.1 引入函数的平均变化率的概念1.2 解释函数的平均变化率的含义1.3 举例说明函数的平均变化率的应用第二章：函数的平均变化率的计算2.1 引入计算函数的平均变化率的方法2.2 讲解如何计算函数的平均变化率2.3 给出计算函数的平均变化率的例题第三章：函数的平均变化率的性质3.1 引入函数的平均变化率的性质3.2 讲解函数的平均变化率的性质3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题第五章：巩固练习5.1 给出巩固练习的题目5.2 讲解巩固练习的解法5.3 给出巩固练习的答案教学资源：1. 教学PPT；2. 教材或教案；3. 练习题。
教学评估：1. 课堂参与度；2. 练习题的完成情况；3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。
教学步骤：Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）1. 讲解函数的平均变化率的定义；2. 举例说明函数的平均变化率的应用。
Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）1. 讲解如何计算函数的平均变化率；2. 给出计算函数的平均变化率的例题。
Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）1. 讲解函数的平均变化率的性质；2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。
Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。
Step 5：巩固练习（15分钟）1. 给出巩固练习的题目；2. 讲解巩固练习的解法；3. 给出巩固练习的答案。
函数的平均变化率教案
§1.1 导 数1.1.1 函数的平均变化率【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.填一填：知识要点、记下疑难点1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商f x 0＋Δx －f x 0Δx＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一 函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y B x C －x B近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5－3.53－0＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．跟踪训练1如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案 (1)12 (2)34探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为f 3－f 13－1＝32－122＝4； (2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝22－121＝3； 3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f 1.1－f 11.1－1＝1.12－120.1＝2.1； (4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f 1.001－f 11.001－1＝1.0012－120.001＝2.001. 小结 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．解 自变量x 从0变到1时，函数f (x )的平均变化率为1－3×1－1－01－0＝－3， 自变量x 从m 变到n 时，函数f (x )的平均变化率为1－3n －1－3m n －m＝－3. 问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，则s 1t 0－s 10t 0<s 2t 0－s 20t 0， 所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．小结 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)． 所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__－9 ________．解析 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝5－3×22－5－31＝－9. 2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为__2______．3. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是___乙_____．解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ， 所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．课堂小结：1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
函数平均变化率
函数平均变化率函数平均变化率是数学中的一个重要概念，用来描述函数在一定区间内的平均变化速度。
在实际应用中，平均变化率可以帮助我们理解和分析函数的变化趋势，从而做出合理的决策。
我们来看一下函数平均变化率的定义。
给定一个函数f(x)，在区间[a,b]上的平均变化率可以用以下公式表示：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中，f(b)表示函数在点b处的取值，f(a)表示函数在点a处的取值，b和a分别是区间的上限和下限。
这个公式的含义是，函数在区间[a,b]上的平均变化率等于函数在点b和点a处的取值之差除以区间的长度。
平均变化率可以帮助我们理解函数在某个区间内的变化趋势。
如果平均变化率为正，表示函数在该区间内递增；如果平均变化率为负，表示函数在该区间内递减；如果平均变化率为零，表示函数在该区间内保持不变。
举个例子来说明。
假设我们有一个函数f(x)表示某个商品的价格随时间的变化情况。
我们可以选择一个时间段，比如一周，来计算该时间段内商品价格的平均变化率。
如果平均变化率为正，说明商品价格在这一周内上涨；如果平均变化率为负，说明商品价格在这一周内下跌；如果平均变化率为零，说明商品价格在这一周内保持不变。
平均变化率的应用不仅仅局限于函数的变化趋势分析，还可以用来解决实际问题。
比如，我们可以利用平均变化率来计算速度、密度、增长率等。
在物理学中，速度的平均变化率等于位移的变化量除以时间的变化量；在经济学中，增长率的平均变化率等于GDP的变化量除以时间的变化量。
除了平均变化率，还有一个相关概念叫做瞬时变化率。
瞬时变化率是平均变化率的极限情况，即取区间长度趋于0的情况。
瞬时变化率可以用微分来表示，是微积分中的重要概念之一。
瞬时变化率描述了函数在某一点的变化速度，比如速度、加速度等。
总结一下，函数平均变化率是描述函数在一定区间内的平均变化速度的概念。
它可以帮助我们理解函数的变化趋势，解决实际问题。
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RB . 数学 . 选修2-2
求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g (x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率． 【思路探究】 后代入公式求解． 先求自变量的增量和函数值的增量，然
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f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表
示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐 标为(x1，y1)．
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RB . 数学 . 选修2-2
图 1－1－1
1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变 量x和函数值y的改变量分别是多少？
【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移， Δs 所以 就是质点在Δt 这段时间内的平均速度． Δt
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， Δs ∴平均速度为 v＝ ＝8 m/s. Δt (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. Δs ∴平均速度为 v＝ ＝12 m/s. Δt
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两
点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平
均变化率．
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RB . 数学 . 选修2-2
Δy 4．能用 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ Δx
Δy 【提示】 因 表示 A，B 两点所在直线的斜率 k，显 Δx 然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说， Δy 竖直位移与水平位移之比 越大，山坡越陡，反之，山坡 Δx 越缓．
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RB . 数学 . 选修2-2 平均变化率的大小比较
Hale Waihona Puke 求函数 f(x)＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化率， 1 取Δ x 的值为3，哪一点附近平均变化率最大？ Δy 【思路探究】 先求出平均变化率 ，再把 x0，Δ x Δx
代入比较大小即可．
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差的符号(商与1的大小)．
(3)下结论．
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RB . 数学 . 选修2-2
本例中的“函数f(x)＝x2”变为“f(x)＝x2＋a”和“f(x)＝
－x2”，则结论如何？
【解】 当 f(x)＝x2＋a 时， f(x) 在 x ＝ 1 附 近 的 平 均 变 化 率 为
k1 ＝
由于k1>k2>k3， ∴函数f(x)＝－x2在x＝1附近的平均变化率最大.
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RB . 数学 . 选修2-2 平均变化率的应用
已知某质点按规律 s＝(2t2＋ 2t)(单位：m)作直线运动，
求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度．
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 在 x ＝ 1 附近的平均变化率为 k1 ＝
f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）2－1 ＝ ＝2＋Δx； Δx Δx 在 x＝2 附近的平均变化率为 f（2＋Δx）－f（2） （2＋Δx）2－22 k2＝ ＝ ＝4＋Δx； Δx Δx 在 x＝3 附近的平均变化率为 f（3＋Δx）－f（3） （3＋Δx）2－32 k3＝ ＝ ＝6＋Δx. Δx Δx
已知函数 f(x) ＝ x2 ＋ x ，分别计算 f(x) 在区间 [1 ， 3] ， [1 ， 2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率．
【解】 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 3] 的 平 均 变 化 率 为
f（3）－f（1） 32＋3－（12＋1） ＝ ＝5； 2 3－1 f（2）－f（1） 函数 f(x)在区间[1，2]的平均变化率为 ＝ 2－1 22＋2－（12＋1） ＝4； 1
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RB . 数学 . 选修2-2
f（1.5）－f（1） 函数 f(x)在区间[1， 1.5]的平均变化率为 ＝ 1.5－1 1.52＋1.5－（12＋1） ＝3.5. 0.5 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 1 ＋ Δ x] 的 平 均 变 化 率 为 f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1） ＝ （1＋Δx）－1 Δx 3Δx＋（Δx）2 ＝ ＝3＋Δx. Δx
【解】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化 h（0.5）－h（0） 率为 ＝4.05(m/s)； 0.5－0 (2) 在 1≤t≤2 这段时间内，高度 h 的平均变化率为 h（2）－h（1） ＝－8.2(m/s)． 2－1
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RB . 数学 . 选修2-2
课标 解读
1.通过实例了解函数平均变化率的意义.
2.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 的方法与步骤．(重点、难点)
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率 【问题导思】 假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示 平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝
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【自主解答】 (1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δ y＝ f(－ 1)－ f(－ 3)＝ [3×(－ 1)＋ 1]－ [3×(－ 3)＋ 1]＝ 6， Δy 6 ∴ ＝ ＝3，即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为 Δx 2 3. ②∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝g(－1)－g(－ 3)＝ [2×(－1)2＋1]－ [2×(－3)2＋1]＝ －16， Δy －16 ∴ ＝ ＝－8， 2 Δx 即 g(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为－8.
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用定义法求平均变化率的基本步骤是： (1)作差求Δx； (2)求出Δy，对Δy 进行变形，通常用到的变形有：通分、配 Δy 方、分母(子)有理化等；(3)作商求出 . Δx
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f（1＋Δx）－f（1） [（1＋Δx）2＋a]－（1＋a） ＝ ＝2＋Δ Δx Δx x；
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f（2＋Δx）－f（2） 在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝ Δx [（2＋Δx）2＋a]－（22＋a） ＝ ＝4＋Δx； Δx f（3＋Δx）－f（3） 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝ Δx [（3＋Δx）2＋a]－（32＋a） ＝ ＝6＋Δx. Δx 1 1 7 1 13 1 若Δx＝ ，则 k1＝2＋ ＝ ，k2＝4＋ ＝ ，k3＝6＋ ＝ 3 3 3 3 3 3 19 . 3
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由于 k1<k2<k3， ∴函数 f(x)＝x2＋a 在 x＝3 附近的平均变化率最大． 当 f(x)＝－x2 时， f（1＋Δx）－f（1） f(x)在 x＝1 附近的平均变化率为 k1＝ ＝ Δx [－（1＋Δx）2]－（－1） ＝－2－Δx； Δx f（2＋Δx）－f（2） 在 x ＝ 2 附近的平均变化率为 k2 ＝ ＝ Δx [－（2＋Δx）2]－（－4） ＝－4－Δx； Δx
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教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 选 资 源
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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1． 1 1．1.1
●三维目标 1．知识与技能
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1．求质点运动的平均速度，实质与求函数的平均变化率
相同．
2．解答此类问题，首先要明确自变量与函数值的实际意 义，弄清楚函数的单调性，然后利用定义求平均变化率，并 结合题意回答有关问题．
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RB . 数学 . 选修2-2
变量作差顺序不对应致误
已知曲线y＝－2x3＋2和这条曲线上的两个点P(1，
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－ 4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
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f（3＋Δx）－f（3） 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝ Δx [－（3＋Δx）2]－（－9） ＝ ＝－6－Δx. Δx 1 1 7 1 13 若Δx＝3，则 k1＝－2－3＝－3，k2＝－4－3＝－ 3 ，k3 1 19 ＝－6－3＝－ 3 .