投资学5.资产组合理论

一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边 界为一条直线。
证明：假定风险组合(基金）已经构成， 其期望收益为r1，方差为σ 1，无风险资产 的收益为rf ，方差为0。w1为风险组合的投 资比例，− w1为无风险证券的投资比例， 1 则组合的期望收益rp为 rp = w1r1 + (1 − w1 ) rf (1)
两种完全负相关风险资产的可行集
收益r 收益 p
(r1 , σ 1 )
r −r2 1 σ2 +r2 σ1 +σ2
(r2 , σ 2 )
风险σ 风险 p
完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线， 其截距相同，斜率异号。
两种不完全相关的风险资产的组合的可行集
当1 > ρ > −1时 rp ( w1 ) = w1r1＋(1 − w1 )r2
收益Er 收益 p
r1 − r2 σ +r σ1 + σ 2 2 2
( r1 , σ 1 )
ρ=1
( r2 , σ 2 )
ρ=0
ρ= - 1
风险σ 风险 p
由图可见，所有两资产组合都通过2个点。无论相关系数 取什么值，组合曲线都向左凸出，其凸出的程度由相关系数 决定；ρ越小，凸出程度越大；当ρ＝－1，达到最大曲度； ρ越大，曲线越显得平滑；当ρ＝1时，曲线最为平滑。
组合的标准差为
一种风险资产与无风险资产构 成的组合， 成的组合，其标准差是风险资 产的权重与标准差的乘积。 产的权重与标准差的乘积。
σp = w1σ1
(2)
由（）和（）可得 1 2
σp σp (r1 − rf ) rp = r1 + (1− )rf ＝rf + σp σ1 σ1 σ1
r1 − rf 可以发现这是一条以rf 为截距以 , 为斜率的直线。
有效边界的构建
min σ = ∑∑ wi w jσ ij
{ w} 2 P
s.t.
r P = ∑ wi r i
i =1
n
n
∑w
i =1
i
=1
L = ∑∑ wi w jσ ij − λ (∑ wi r i − r p ) − µ (∑ wi − 1)
∂L ∂L ∂L = 0, (i = 1,..., n); = 0; =0 ∂wi ∂λ ∂µ
投 资
学
投资组合分析：有效投资组合的描述
引言：投资组合理论的发展（一）
分散投资的理念早已存在，如我们平时所说的“不 要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。 虽然传统的投资管理 传统的投资管理管理的也是多种证券构成的组 传统的投资管理 合，但其关注的是证券个体，是个体管理的简单集 投资组合管理将组合作为一个整体，关注的是 合。投资组合管理 投资组合管理 组合整体的收益与风险的权衡。 Hicks（1935,1939）提出风险补偿的概念和资产选 择问题。认为投资有风险，风险可以分散。 Harry Markowiz（1952）：Portfolio Selection，标 志着现代投资组合理论（the modern portfolio theory，MPT）的开端。
= | w1σ 1 − (1 − w1 )σ 2 | r p ( w1 ) = w1 r1＋ (1 − w1 ) r2
σ2 当 w1 = 时 ,σ p = 0 σ1 + σ 2 σ2 当 w1 ≥ 时 ， σ p ( w1 ) = w1σ 1 − (1 − w1 )σ 2 σ1 + σ 2 σ2 当 w1 ≤ 时 ， σ p ( w1 ) = (1 − w1 )σ 2 − w1σ 1 σ1 + σ 2
由于 w1＋ w2 = 1，则 rp ( w1 ) = w1r1＋(1 − w1 ) r2
σ p ( w1 )＝ w12σ 12 + (1 − w1 ) 2 σ 22 + 2 w1 (1 − w1 )σ 1σ 2 ρ12
如果不允许卖空行为，那么投资组合的预期收益总是处于两种 资产的预期收益之间，
两种完全正相关风险资产的可行集
σ p ( w1 )＝ w12σ 12 + (1 − w1 ) 2 σ 22 + 2w1 (1 − w1 )σ 1σ 2 ρ12
尤其当ρ＝0时
σ p ( w1 )＝ w12σ 12 + (1 − w1 ) 2 σ 22
这是一条二次曲线， 事实上，当1 > ρ > −1时，可行集都是二次曲线。
不同相关系数下两种风险资产构成的可行集
投资组合理论的发展（二）
Harry Markowiz（1952）：Portfolio Selection，标志着现代 投资组合理论（the modern portfolio theory，MPT）的开端。 William Sharpe（1963）提出了均值-方差模型的简化方法----单指数模型（single-index model）。 William Sharpe（1964）、John Lintner及（1965）Jan Mossin（1966）提出了市场处于均衡状态条件下的定价模 型—CAPM。 Fama（1970）提出了有效市场假说。 Richard Roll（1976）对CAPM提出了批评，认为这一模型 永远无法实证检验。 Stephen Ross（1976）突破了CAPM，提出了套利定价模 型（arbitrage pricing model , APT ）。
两种资产完全正相关， 两种资产完全正相关，即ρ12 ＝1
收益 Erp
( r2 , σ )
( r1 , σ 1 )
完全正相关的 两种资产构成 的可行集是一 条直线。 风险σ 风险 p
2
两种完全负相关风险资产的可行集 两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，则有
σ p ( w1 ) = w12σ 12 + (1 − w1 ) 2 σ 22－ 2 w1 (1 − w1 )σ 1σ 2
投资组合理论的主要假设
投资组合理论（Markowitz）主要有以下假设： （一）证券市场是有效的，每个投资者都掌握充分信息，了解 证券市场上证券收益与风险的变动及其原因。 （二）证券投资者以期望收益率来衡量未来收益的水平，以期 望收益率的方差（标准差）来衡量收益率的波动情况（即风 险），并以这两个指标作为选择投资方案的依据。 （三）投资者都是风险规避型的。如果要他们选择风险较高的 方案，他们都要求有额外的投资收益率作为补偿。追求在给定 风险上收益最大，或者在给定收益水平上风险最低。 （四）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不 断重复。
整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。 从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S （具有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。
最优风险资产组合
1. 由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投 资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的 组合可以首先被排除。 2. 虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同， 因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合， 则取决于投资者的风险规避程度。 3. 度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界 共同决定了最优的投资组合。
投资的“可行集”或“机会集”
所谓投资组合，是指由一系列资产所构成的集合。 所谓投资组合，是指由一系列资产所构成的集合。
所有可供选择的投资组合所构成的集合，称为 投资的“可行集”（Feasible set）或“机会集” “可行集” ） “机会集” （Opportunity set）。 ）。
投资组合的两种表示： 投资组合的两种表示： （1）不同资产的投资比重 ； 期望收益率－标准差”图上的一个点。 （2） “期望收益率－标准差”图上的一个点。 以（2）的表示方式，资产可构造出的所有组合的期望 ）的表示方式， 收益和方差，即证券组合收益风险可能的构成点， 收益和方差，即证券组合收益风险可能的构成点，组 成的区域即为可行域。 成的区域即为可行域。
n种风险资产组合可行集的二维表示
在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可 行集合将是一个二维的实体区域。可行区域是向左侧凸出的。
风险资产组合的有效集
在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这 两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合，其特 点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在 同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两 个条件的资产组合，称之为有效资产组合。 由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集(E (Efficient (E set)或有效边界(Efficient frontier) 。投资者的最优资产 ) ( ) 组合将从有效集中产生，对于不在有效集内的其它投资组 合则无须考虑。
σ1
命题成立，证毕。
不可行
收益r 收益 p
rf
非有效
风险σ 风险 p
加入无风险资产后的最优资产组合 收益 M
新组合的 有效边界 原组合 有效边界 风险
无风险收 益率r 益率 f
F
两种风险资产构成的组合的风险与收益 （不允许卖空）
若已知两种风险资产的期望收益、方差和它们之间的相 关系数，两种资产构成的组合之期望收益和方差为
rp = w1r1＋ w2 r2
2 2 σ p＝ w12σ 12 + w2 σ 22 + 2 w1 w2σ 12 2 2 ＝ w12σ 12 + w2 σ 2 + 2 w1 w2σ 1σ 2 ρ12
回忆：投资者对风险偏好程度的描述——无差异曲线
同一条无差异曲线, 给投资者所提供的效用（即满足程度） 是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜, 高风险被其具有的 高收益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该 曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。
最优组合的确定
最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点Ｏ处。
无风险借贷条件下的有效边界 （THE EFFICIENT FRONTIER WITH RISKLESS LENDING AND BORROWING） 前面，我们讨论了由风险资产构成的组合，但未讨 论资产中加入无风险资产的情形。 假设无风险资产具有正的期望收益，且其方差为0。 将无风险资产加入已经构成的风险资产组合中，形 成了一个无风险资产+风险资产组合的新组合，则 可以证明：新组合的有效边界将是一条直线。