专题08 相似形 初升高数学衔接教材系列一(原卷版)
专题08 一元一次方程 重难点题型12个(原卷版)
专题08 一元一次方程 重难点题型12个题型1 方程与一元一次方程的辨别1．（2022·河南七年级期中）下列四个式子中，是方程的是（ ） A ．2x =B ．1a +C ．23x -D ．3 25+=2．（2022·山西七年级期中）下面的式子中，（ ）是方程． A ．25xB ．15312-=C ．616x +=D ．479x +<3．（2022·成都市七年级月考）在下列各式中：①341x -=-；①2523y y +=；①71x -；①20x -≠；①1x x <+；①π3π322⨯=；①320y x-=．其中是方程的有（ ）个． A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．（2022·仁寿县七年级期中）下列方程中，一元一次方程共有( )个 ①4x -3=5x -2；①3x -4y =5；①3x +1=1x ； ①314x -+15=0；①2310x x ++=；①x -1=12A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2022·吉林·大安市七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A ．x +2y =5B ．x 2+x -1=0C ．1xD ．3x +1= 106．（2022·福建七年级期末）下列是一元一次方程的是（ ） A ．231x y += B ．20x -=C ．3x +D ．11x=题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x 的次数为1，系数不为0方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．1．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）若关于x 的方程kx |k ﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k 的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．0或22．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程(2)1m x +=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ） A ．2m ≠-B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m >-3．（2022·四川·安岳县七年级期中）已知方程(1)10m m x ++=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是______．4．（2022·福建泉州·七年级期末）若3x =是关于x 的方程5ax b -=的解，则622a b --的值为（ ） A ．2B ．8C ．－3D ．－85．（2022·河南·七年级期中）若关于x 的一元一次方程23132x k x k---=的解是x ＝﹣1，则k 的值是（ ） A ．27B ．1C ．1311-D ．06．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a ，b 为定值，关于x 的方程2136kx a x bk++=-，无论k 为何值，它的解总是x ＝2，则a ＋b ＝________．题型3 等式的性质及应用 【解题技巧】等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．1．（2022·海南·海口中学七年级期末）已知a b =，根据等式的性质，可以推导出的是（ ） A ．21a b +=+B ．33a b -=-C ．232a b -=D ．a bc c= 2．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（ ） A ．若5x =7-4x ，则5x -4x =7 B ．若7x =2，则x =3.5 C ．若x -3(4x -1)=9，则x -12x -3=9D ．若322136x x -+=-，则2(3x -2)=x +2-6． 3．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ） A ．由a b =，得44a b=- B ．由33x y -=-，得x y =-C ．由14x=，得14x =D ．若()()2211m a m b +=+，则a b =4．（2022·四川成都·八年级期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a ）（b ）中天平保持左右平衡，现要使（c ）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）A ．25克B ．30克C ．40克D ．50克5．（2022·江苏泰州·七年级期末）已知方程x -2y =5，请用含x 的代数式表示y ，则y =_______．6．（2022·江苏·七年级专题练习）有8个球编号是①至①，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+①比①+①重，第二次①+①比①+①轻，第三次①+①+①和①+①+①一样重．那么，两个轻球的编号是（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①题型4 一元一次方程中的同解问题解题技巧：通过前一个方程求得x 的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程。
专题08一元二次方程(4大考点)(原卷版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)
专题08一元二次方程（4大考点）（原卷版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解一元二次方程---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02一元二次方程根的判别式--------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03根与系数的关系---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4四、考点04一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------5考点01解一元二次方程一、考点01解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．123．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（）A ．4B ．4-C ．3D ．3-4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．136．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02一元二次方程根的判别式二、考点02一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．116．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．23．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法．．．解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．考点03根与系数的关系三、考点03根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12cx x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．考点04一元二次方程的实际应用四、考点04一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（）A ．5m 或6mB ．2.5m 或3mC ．5mD ．3m45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（）A ．()136x x ++=B ．()2136x +=C ．()1136x x x +++=D ．2136x x ++=46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x 步，根据题意列方程正确的是（）A ．22(12)864x x ++=B ．22(12)864x x ++=C ．(12)864x x -=D ．(12)864x x +=47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（）A ．()6720x x -=B ．()6720x x +=C ．()6360x x -=D ．()6360x x +=48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A ．8B ．10C ．7D ．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．(1)求y 与,x s 与x 的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 的篱笆围成．生态园的面积能否为240m 如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位；元/2m ）与其种植面积x （单位：2m ）的函数关系如图所示，其中200700x ≤≤；乙种蔬菜的种植成本为50元/2m ．(1)当x =___________2m 时，35y =元/2m ；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降%a ，当a 为何值时，2025年的总种植成本为28920元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m ．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．。
专题08 一次函数-备战2023年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)(原卷版)
专题08 一次函数了解一次函数的概念，掌握一次函数的图像和性质，能正确画出一次函数的图像，并能根据图像探索一次函数的性质；能根据具体条件求出一次函数的解析式，运用函数的观点，分析、探索实际问题中的数量关系和变化规律均是中考的热点，运用数形结合的数学思想方法，强化数学的建模意识，培养数学的建模能力。
一、一次函数的图形与性质正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。
一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤：1、设函数解析式2、将已知条件带入到解析式中2、解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中k>0时，y 随x 增大而增大，必过一、三象限。
k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。
（正比例函数）k<0时, y 随x 增大而减小，必过二、四象限。
k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）k<0，b=0直线y 1=kx＋b 与y 2=kx 图象的位置关系：1、当b>0时，将y 2=kx 图象向x 轴上方平移b 个单位，就得到y 1=kx＋b 的图象．2、当b<0时，将y 2=kx 图象向x 轴下方平移－b 个单位，就得到了y 2=kx＋b 的图象．k，b 符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。
专题08 立体几何解答题常考全归类(精讲精练)(原卷版)
专题08 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin h l，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知AB 为圆锥SO 底面的直径，点C 在圆锥底面的圆周上，2BS AB ==，6BAC π∠=，BE 平分SBA ∠，D 是SC 上一点，且平面DBE ⊥平面SAB .(1)求证：SA BD ⊥；(2)求二面角E BD C --的正弦值.例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形11OAAO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.(1)在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAAO 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值.例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且AB CD ，点E 是下底面圆周上一点，AB =(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余泫值.例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台1OO 中，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆O 的半径为4，过1OO 的平面截圆台得截面为11ABB A ，M 是弧AB 的中点，MN 为母线，cos NMB ∠=(1)证明：1AB ⊥平面1AOM ； (2)求二面角M NB A --的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【典型例题】例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AB C 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点，将DAE 沿AE 折起，使得点D 到达点P 的位置，且PB ＝PC ，如图2所示．F 是棱PB 上的一点．(1)若F 是棱PB 的中点，求证：//CF 平面P AE ；(2)是否存在点F ，使得二面角F AE C --？若存在，则求出PF FB 的值；若不存在，请说明理由．例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE 翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF AE ⊥；(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C --的余弦值；(2)三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的一半？并说明理由．例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C --的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．核心考点四：立体几何作图问题 【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线 （3）利用平面与平面垂直作平面的垂线 【典型例题】例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，112CD CC AC ===，3DCB π∠=且113cos cos 4C CD C CB ∠=∠=.(1)试在平面ABCD 内过点C 作直线l ，使得直线//l 平面1C BD ，说明作图方法，并证明：直线11//l B D ； (2)求点C 到平面1A BD 的距离.例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，//EF BC ，且332EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点.（1）求二面角C FH G --的余弦值；（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P ，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB π∠=.ACBD O =,且PO ⊥平面ABCD ，PO =点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅰ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅰ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题 【规律方法】 利用传统方法解决 【典型例题】例17．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例18．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点.(1)设G 为11B C 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；(2)若2AB AC ==，直线1BB 与平面1ACB 所成角的正切值为2，求多面体1B EFGC -的体积V .核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【规律方法】 构造垂直的全等关系 【典型例题】例20．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例21．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系． 【典型例题】例22．如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心()O PO OQ >． （1）若二面角P AB Q --的正切值为3-，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例23．在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2ED BC ==，3EB =，F 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅰ）若二面角F BE C --为60︒，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．例24．三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11BCC B 为矩形，123A AB π∠=，二面角1A BC A --的正切值为12． （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅰ）侧棱1CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面1A BC ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求 【规律方法】 方程组思想 【典型例题】例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台111ABC A B C 的体积为143，且π2ABC ∠=，1A C ⊥平面11BB C C . (1)证明：平面11A B C ⊥平面111A B C ；(2)若11AC B C =，11112A B B C ==，求二面角1B AA C --的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA ，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面,//BCE DE 平面,ABC AD DE ⊥.(1)证明；DE ⊥平面ACD ；(2)若22AC CD ==，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时,AM 与CD 所成角的余弦值.核心考点九：创新定义 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S ）与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C ，圆锥S 的轴线l 与平面α所成角θ是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T ，使球T 与圆锥S 和平面α都相切，记球T 与平面α的切点为F ，直线l 与平面α交点为A ，直线AF 与圆锥S 交点为O ，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为M ，OM a =，MS b =．(1)求证：平面SOA ⊥平面α，并指出a ，b ，θ关系式； (2)求证：曲线C 是抛物线．例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒， ①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．【新题速递】1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC =，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥-P ABC 中，侧面P AB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体P AOC 的体积.7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N --的余弦值.9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E --的大小.10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE -.12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD -（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE PE BE 的值.。
专题08 一次函数与反比例函数的实际应用-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)
专题08 一次函数与反比例函数的实际应用（原卷版）类型一一次函数的实际应用（1）方案选择问题1．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品的单价；（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．2．（2021•东莞市校级二模）某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．（1）求a的值；（2）结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；（3）通过计算，写出当月主叫通话时间y（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．（2）最大利润问题3．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．4．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57万元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于12.32万元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）行程问题5．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B 地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．6．（2022•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）m＝ ，n＝ ；（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．类型二反比例函数的实际应用7．（2022•广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求储存室的容积V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．8．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．类型三一次函数与反比例函数的综合运用9．（2022•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值．（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排．使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．10．（2021秋•东平县校级月考）教室里的饮水机接通电就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待 min？第二部分专题提优训练1．（2019•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．2．（2021•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．4．（2022•鄂州一模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）a＝ ，b＝．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．4．（2022春•孝感期末）民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如表，商品甲乙进价（元/件）6050售价（元/件）100100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．（1）求y与x的函数关系式；（2）若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．①问共有多少种购进方案？②直接写出总利润的最大值（总利润＝总销售额﹣总进货费用）．。
人教版数学七年级上学期专题08 线段上动点问题的三种考法(原卷版+解析版)(人教版)
专题08 线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A ，B ，C 三点，A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <，点C 在B 的右侧，2AC AB -=．(1)如图1，若多项式()371231mn x x x +--+-是关于x 的二次三项式，请直接写出m ，n 的值：(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A ，B 之间沿数轴水平滑动（不与A ，B 重合），点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点，在EF 滑动过程中，线段MN 的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m ，n 的式子表示）； ②若24AD BD +=，试求线段AB 的长．【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．【变式训练3】如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．类型二、证明定值问题例.如图，已知线段AB m =，CD n =，线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧），若()21260m n -+-=． （1）求线段AB ，CD 的长；（2）若点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =，求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段AB 的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PB PC -是定值，②PA PBPC+是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【变式训练2】如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【变式训练3】(1)如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PBPC+的值不变.类型三、数量关系例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8,CE =点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时，若1CF =，则AB =_________，点C 对应的数为________，BE =________；（2）如图2，当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时，画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝43 AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝_______；（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求ADCE的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．课后作业1.已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB ． （1）填空：a= ，b= ，c=（2）点D 从点A 开始，点E 从点B 开始， 点F 从点C 开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间为t 秒．试问： ①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F 在追上E 点前，是否存在常数k ，使得DF k EF +⋅的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由．2．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若18AB =，8DE =，线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；(2)点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，3AF AD =，3CE EF +=，求AD 的长．3.已知线段AB ，点C 在直线AB 上，D 为线段BC 的中点．(1)若8AB =，2AC =，求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点，请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由．4.已知：如图1，M 是定长线段AB 上一定点，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）(1)若AB ＝11cm ，当点C 、D 运动了1s ，求AC +MD 的值． (2)若点C 、D 运动时，总有MD ＝3AC ，直接填空：AM ＝ BM ． (3)在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求2MN3AB的值．5．如图，在数轴上A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ，C 点表示的数为c ，b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________，b =________，c =________．（2）点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，13PA PB PC ++=，求x 的值． （3）点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.（1）发现：C E F在线段AB上，当点,E F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为如图1，线段12AB ，点,,_________；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB，其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F点的理由.7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为（直接写出答案）．(2)当x＝1时，代数式a3x+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a3x+bx+2021的值．(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求ACAB的值；②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时ADAB的值．8．已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB ＝12cm ，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）（1）若AM ＝4cm ，当点C 、D 运动了2s ，此时AC ＝ ，DM ＝ ；（直接填空） （2）当点C 、D 运动了2s ，求AC +MD 的值．（3）若点C 、D 运动时，总有MD ＝2AC ，则AM ＝ （填空） （4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求MNAB的值．9．如图，数轴正半轴上的A ，B 两点分别表示有理数a ，b ，O 为原点，若3a =，线段5OB OA =.（1）=a ______，b =______；（2）若点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度向x 轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍；（3）数轴上还有一点C 表示的数为32，若点P 和点Q 同时从点A 和点B 出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C 点运动，P 点到达C 点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A ，求点P 和点Q 运动多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为4.10．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.（直接写出答案）11．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有1CD AB2，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．专题08 线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A ，B ，C 三点，A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <，点C 在B 的右侧，2AC AB -=．(1)如图1，若多项式()371231mn x x x +--+-是关于x 的二次三项式，请直接写出m ，n 的值： (2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A ，B 之间沿数轴水平滑动（不与A ，B 重合），点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点，在EF 滑动过程中，线段MN 的长度是否发生变化，请判断并说明理由； (3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m ，n 的式子表示）； ②若24AD BD +=，试求线段AB 的长．【答案】(1)5m =-，1n =；(2)不变化，理由见解析；(3)①12m n ++；②103【解析】(1)解：由题可知，n -1=0，7+m =2， ∠1n =，5m =-故答案为：5m =-，1n =(2)解：MN 的长不发生变化，理由如下： 由题意，得点C 表示的数为3，设点E 表示的数为x ，则点F 表示的数为1x +∠6AB = ，2BC = ，5AE x =+ ，6AF x =+ ，3EC x =- ，BF x =-， ∠点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点 ∠32x MC ME -==，2x NF -=，即311222x x MN ME EF FN --=--=--=(3)解：①∠A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <又点C 在B 的右侧，∠AB =n -m ∠2AC AB -=，∠AC = n -m +2∠点D 是AC 的中点，∠AD =12AC = 12（n -m +2）∠D 表示的数为：m +12（n -m +2）=12m n ++ ②依题意，点C 表示的数分别为2n + ∠AB n m =-，1122m n n mAD m +-=+-=+ ∠1122m n m n BD n +-=+-=+，22122m nBD m n -=+=-+ ∠24AD BD +=，即1242n mm n -++-+= 当20m n -+>时．()1242n mm n -++-+=，2m n -= ∠m n <，∠2m n -=不符合题意，舍去 当20m n -+<时．()1242n m m n -+--+=，103n m -= 综上所述，线段AB 的长为103.【变式训练1】如图1，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB ，AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB ＝15cm ．动点P 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BA 向点A 匀速运动，点P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t （s ），当t ＝__s 时，Q 为A ，P 的“巧点”．【答案】是 7.5或457【解析】（1）若线段中点为C 点，AB ＝2AC ，所以中点是这条线段“巧点”（2）设A 点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t 秒；t 最大＝7.5，A ：0，P ：0+2t ＝2t ，Q ：15﹣t ，①Q为AP中点，20152tt+-=，∠t＝7.5；②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，∠AQ＝2PQ，∠15﹣t＝2（3t﹣15），∠457t=；③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∠t＝9>7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或457．故答案为：（1）是；（2）7.5或457．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．【答案】(1)7cm；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∠AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∠AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∠AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∠BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∠AM=13 BM故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∠BM＝AB﹣AM∠AB﹣AM＝3AM，∠AM＝14 AB，①当点N在线段AB上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣AM ＝MN ，∠BN ＝AM ＝14AB ，∠MN ＝12AB ，即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣BN ＝AB ，∠MN ＝AB ，∠MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或23【变式训练3】如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．【答案】1或53【解析】设运动的时间为t 秒，点M 表示的数为m则OC=t ，BD=4t ，即点C 在数轴上表示的数为-t ，点D 在数轴上表示的数为b -4t ， ∠AC=-t -a ，OD=b -4t ，由OD=4AC 得，b -4t=4（-t -a ），即：b=-4a ， ①若点M 在点B 的右侧时，如图1所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（m -b ）=m ，即：m=b -a ； ∠=1b a B O mA m M m-== ②若点M 在线段BO 上时，如图2所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（b -m ）=m ，即：m=a+b ；∠=4543b a b a a a m a AB b a a OM ----===+- ③若点M 在线段OA 上时，如图3所示：由AM -BM=OM 得，m -a -（b -m ）=-m ，即：433a b a am a +-===- ∠此时m ＜0，a ＜0，∠此种情况不符合题意舍去； ④若点M 在点A 的左侧时，如图4所示：由AM -BM=OM 得，a -m -（b -m ）=-m ，即：m=b -a=-5a ；而m ＜0，b -a ＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述，AB OM 的值为1或53． 类型二、证明定值问题例.如图，已知线段AB m =，CD n =，线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧），若()21260m n -+-=． （1）求线段AB ，CD 的长；（2）若点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =，求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段AB 的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PB PC -是定值，②PA PBPC+是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1）12AB =，6CD =；（2）9；（3）②正确，2PA PBPC+=，见解析 【解析】（1）由()21260m n -+-=，()212600m n ≥--≥，，12=06=0m n --，， 得12m =，6n =，所以12AB =，6CD =； （2）当点C 在点B 的右侧时，如图，因为点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =， 所以()()1124118222AM AC AB BC ==+⨯+==，()()111645222DN BD CD BC ===++=， 又因为124622AD AB BC CD =++=++=， 所以22859MN AD AM DN =--=--=， 当点C 在点B 的左侧时，如图，因为点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点， 所以()()1111244222AM MC AC AB BC ===--==，()()111641222BN ND BD CD BC ===--==， 所以126414AD AB CD BC =+-=+-= 所以14419MN AD AM DN =--=--=． 综上，线段MN 的长为9； （3）②正确，且2PA PBPC+=．理由如下： 因为点D 与点B 重合，所以BC DC =，所以6AC AB BC AB DC =-=-=，所以AC BC =， 所以()()222PC AC PC BC PA PB PC AC BC PCPC PC PC PC++-++-====．【变式训练1】已知线段AB ＝m ，CD ＝n ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧，C 在D 的左侧），且m ，n 满足|m －12|＋（n －4）2＝0. （1）m ＝ ，n ＝ ；（2）点D 与点B 重合时，线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C 在线段AB 上，若M 是线段AC 的中点，N 是线段BD 的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）∠|m－12|＋（n－4）2＝0，∠m－12=0，n－4=0，∠m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∠AB=12，CD=4，∠M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∠AM=CM=12AC ，DN=BN=12BD∠MN=CM+CD+DN=12AC +CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=12(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：81013231a a，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∠E是线段BC的中点，∠CE= BE=12BC=2+t；∠．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∠FC-5 DE =0；∠．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∠FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；∠．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∠FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【变式训练2】如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【答案】（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=4，NP=23BP=2，∠MN=MP+NP=6；若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=8，NP=23BP=2，∠MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．（2）MN的长不会发生改变，理由如下：设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=23（a+6），NP=23BP=23（3-a），∠MN=MP+NP=6；当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．∠M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∠MP=23AP=23（a+6），NP=23BP=23（a-3），∠MN=MP-NP=6．综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．【变式训练3】(1)如图1，在直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PBPC+的值不变.【答案】（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由见解析；（2）见解析.【详解】解：（1）①∠关于x 的方程()46n x n -=-无解．∠4n -=0，解得：n=4．故AB=4． ②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由如下： ∠M 为线段PB 的中点，∠PM= 12PB ．同理：PN=12AP ．．∠MN=PN+PM= 12（PB+AP ）=12AB=12×4=2．∠线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关． （2）设AB=a ，BP=b ，则PA+PB=a+b+b=a+2b ． ∠C 是AB 的中点，1122BC AB a ∴== 12PC PB BC a b ∴=+=+，2212PA PB a bPC a b ++∴==+， 所以PA PBPC+的值不变.类型三、数量关系 例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8,CE =点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时，若1CF =，则AB =_________，点C 对应的数为________，BE =________；（2）如图2，当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时，画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【答案】（1）16；2；2；（2）2BE CF =，画图见解析． 【解析】（1）数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，12(4)16AB ∴=--=8,1CE CF ==7EF CE CF ∴=-=点F 是AE 的中点，7AF EF ∴==，6AC AF CF ∴=-=6AC AO CO =+=，2CO ∴=，C ∴对应的数是2，2BE AB AF EF ∴=--=故答案为：16；2；2； （2）,BE AB AE CF CE EF =-=-，点F 是AE 的中点，2AE EF ∴=162,8BE AB AE EF CF CE EF EF ∴=-=-=-=-，2BE CF ∴=故答案为：（1）16；2；2；（2）2BE CF =，画图见解析．【变式训练1】如图，已知线段AB ，延长线段BA 至C ，使CB ＝43AB ．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm ，点D 从点B 出发，点E 从点A 出发，分别以3cm/s ，1cm/s 的速度沿直线AB 向左运动．①当点D在线段AB 上运动，求ADCE的值； ②在点D ，E 沿直线AB 向左运动的过程中，M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．当点C 恰好为线段BD 的三等分点时，求MN 的长． 【答案】（1）13，（2）3，（3）12cm 或24cm ．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB ＝43AB ，∴CA ＝13BC AB AB -=，13AC AB =，故答案为：13； （2）①AB ＝ 9cm ，由（1）得，133CA AB ==（cm ），设运动的时间为t 秒， (93)DA t =-cm ，(3)CE t =-cm ，93=33AD tCE t-=-，②当3BD CD =时，∠AB ＝ 9cm ， 3CA =cm ，∠212CB CD ==cm ， ∠6CD =cm ，318BD CD ==cm ，运动时间为：18÷3=6（秒），则6AE =cm ，15BE BA AE =+=cm ，3ED BD BE =-=cm ，∠M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．∠ 1.5DM =cm ， 4.5BN =cm ， 12MN BD DM BN =--=cm ，当3BD CB =时，∠AB ＝ 9cm ， 3CA =cm ，∠12CB =cm ，∠336BD CB ==cm ，运动时间为：36÷3=12（秒），则12AE =cm ，21BE BA AE =+=cm ，15ED BD BE =-=cm ， ∠M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．∠7.5DM =cm ， 4.5BN =cm ，24MN BD DM BN =--=cm ，综上，MN 的长是12cm 或24cm ．【变式训练2】已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧，（1）若AB ＝18，DE ＝8，线段DE 在线段AB 上移动， ①如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长； ②当点C 是线段DE 的三等分点时，求AD 的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）1742或116【详解】解：（1）∠AC＝2BC，AB＝18，∠BC＝6，AC＝12，①∠E为BC中点，∠CE＝3，∠DE＝8，∠CD＝5，∠AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∠点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∠CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，∠CD＝163或CD＝83，∠AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=283；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∠AB＝3x，∠AB＝2DE，∠DE＝1.5x，设CE＝y，∠AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∠AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∠32AD ECBE+=，∠0.532x y yx y++=-，∠y＝27x，∠CD＝1.5x﹣27x＝1714x，∠171714342==xCDAB x；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∠DC＝EC+DE＝y+1.5x，∠AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∠32AD ECBE+=，BE＝EC+BC＝x+y，∠0.532y x yx y-+=+，∠y＝4x，∠CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∠AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∠5.51136==CD x AB x ， 当点E 在线段AC 上及点E 在点B 右侧时，无解， 综上所述CD AB 的值为1742或116． 故答案为：1742或116． 课后作业1.已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB ． （1）填空：a= ，b= ，c=（2）点D 从点A 开始，点E 从点B 开始， 点F 从点C 开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间为t 秒．试问：①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F 在追上E 点前，是否存在常数k ，使得DF k EF +⋅的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 【解析】（1）∠最小正数为1．最大的负整数为小-1，a 在最大的负整数左侧1个单位长度 ∠点A 表示的数a 为-1-1=-2，点B 表示的数b 为1， ∠AB=1-（-2）=3∠223=6BC AB ==⨯，∠点C 表示的数为c=1+6=7， 故答案为：-2，1，7；（2）①依题意，点F 的运动距离为4t ，点D 、E 运动的距离为t,∠点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t ，1-t ， 7-4t,当点F 追上点D 时，必将超过点B ， ∠存在两种情况，即DE=EF 和DF=EF ，如图，当DE=EF ，即E 为DF 的中点时，()21=274t t t ----+，解得，t=1，如图，当EF=DF ，即F 为DE 中点时，()74=21t t t ---+-2，解得t=52，综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝52时，满足题意． ②存在，理由：点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t ，1-t ，7-4t,如图，F 在追上E 点前， ()74-2=93DF t t t =----，()74-1=63EF t t t =---， ()()93639633DF k EF t k t k k t +⋅=-+-=+-+，当DF k EF +⋅与t 无关时，需满足3+3k=0， 即k=-1时，满足条件．故答案为：（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 2．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若18AB =，8DE =，线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；(2)点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，3AF AD =，3CE EF +=，求AD 的长． 【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)2AC BC =，18AB =，6BC ∴=，12AC =， 如图1，E 为BC 中点，3CE BE ∴==，8DE =，∴8311BD DE BE =+=+=，∴18117AD AB DB =-=-=，(2)Ⅰ、当点E 在点F 的左侧，如图2，或∵3CE EF +=，6BC =，∴点F 是BC 的中点， ∴3CF BF ==，∴18315AF AB BF =-=-=，∴153AD AF ==，∵3CE EF +=，故图2（b ）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点E 在点F 的右侧，或12AC ，3CE EF CF +==，∴9AF AC CF =-=， ∴39AF AD ==， 3AD ∴=．∵3CE EF +=，故图3（b ）这种情况求不出； 综上所述：AD 的长为3或5．3.已知线段AB ，点C 在直线AB 上，D 为线段BC 的中点．(1)若8AB =，2AC =，求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点，请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由． 【答案】(1)3或5(2)2AB DE =，理由见解析【解析】(1)解：如图1，当C 在点A 右侧时，∠8AB =，2AC =，∠6C AB C B A =-=， ∠D 是线段BC 的中点，：∠132CD BC ==； 如图2，当C 在点A 左侧时，∠8AB =，2AC =，∠10BC AB AC =+=， ∠D 是线段BC 的中点，∠152CD BC ==；综上所述，3CD =或5； (2)解：2AB DE =．理由是：如图3，当C 在点A 和点B 之间时，∠E 是AC 的中点，D 是BC 的中点，∠2AC EC =，2BC CD =， ∠222AB AC BC EC CD DE =+=+=； 如图4，当C 在点A 左侧时，同理可得：()2222AB BC AC CD CE CD CE DE =-=-=-=； 如图5，当C 在点B 右侧时，同理可得：()2222AB AC BC EC CD EC CD DE =-=-=-=．4.已知：如图1，M 是定长线段AB 上一定点，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）(1)若AB ＝11cm ，当点C 、D 运动了1s ，求AC +MD 的值． (2)若点C 、D 运动时，总有MD ＝3AC ，直接填空：AM ＝ BM ． (3)在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求2MN3AB的值． 【答案】(1)7cm ；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C 、D 运动了1s 时，CM ＝1cm ，BD ＝3cm ∠AB ＝11cm ，CM ＝1cm ，BD ＝3cm∠AC +MD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝11﹣1﹣3＝7cm ．(2)解：设运动时间为t ，则CM ＝t ，BD ＝3t ，∠AC ＝AM ﹣t ，MD ＝BM ﹣3t ， 又MD ＝3AC ，∠BM ﹣3t ＝3AM ﹣3t ，即BM ＝3AM ，∠AM =13BM ，故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∠BM ＝AB ﹣AM ，∠AB ﹣AM ＝3AM ，∠AM ＝14AB ，①当点N 在线段AB 上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣AM ＝MN ，∠BN ＝AM ＝14AB ，∠MN ＝12AB ，即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图∠AN ﹣BN ＝MN ，又∠AN ﹣BN ＝AB ，∠MN ＝AB ，，∠MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或235．如图，在数轴上A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ，C 点表示的数为c ，b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________，b =________，c =________．（2）点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，13PA PB PC ++=，求x 的值．（3）点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）3-，1-，9；（2）13x =或1x =或53x =或233x =；（3）167t =，1，2617，8，12【详解】解：（1）∠b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=， ∠b=-1，a+3=0，c -9=0， ∠a=-3，c=9．故答案为：-3；-1；9．（2）由题意知，此过程中，当点P 在AB 上时． ∠PA+PB=AB=b -a=-1-(-3)=2． ∠()13-=13-2=11PC PA PB =+．又∠BC=c-b=9-(-1)=10．∠PB=PC-BC=11-10=1．当P从B到A时，如图所示：∠PB=1，可以列方程为：3x=1，解得：x=1；当P从A到C时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示：可以列方程为：3x=3,解得：x=1，②当P在线段BC之间时，如图所示：∠PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∠PB+PC=10∠PA=13-10=3，∠PB=PA-AB=3-2=1，可列方程为：3x=5，解得：53x=．当P从C到B时，如图所示：可列方程为：3x=23，解得：233x=．综上所述，13x=或1x=或53x=或233x=．（3）当点从为PN中点时，当0<t<23时，点P向A运动，．此时，P=-1-3t，M=-3+4t，N=9-5t．（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t=78（舍去）．当23≤t≤43时，点P从A返回向B运动．此时，P=-3+3（t-23）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．当P为MN中点时，t>43．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t=167．当点N为PM中点时，t>43．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=2617．综上所述，t的值为1，167或2617．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.（1）发现：如图1，线段12AB=，点,,C E F在线段AB上，当点,E F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为_________；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB，其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F点的理由.【答案】（1）6；补图见解析，12EF AB=（2）①见解析（答案不唯一）②见解析.【详解】解：（1）点,,C E F在线段AB上时，因为点E是线段AC的中点，所以CE=12AC，因为点F是线段BC的中点，所以CF=12BC，所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB，又AB=12，所以EF=6．。
专题08 立体几何中的计算(原卷版)
衡水中学内部资料群：591993305，高中各科学霸资料群：680662798，专题08 立体几何中的计算1、【2019年江苏数】.如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.2、【2018年高考江苏数】.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．3、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BCP 到平面ABC 的距离为___________．4、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48衡水中学内部资料群：591993305，高中各科学霸资料群：680662798，的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.6、【2019年高考北京卷文数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．7、【2019.若圆柱的一个底衡水中学内部资料群：591993305，高中各科学霸资料群：680662798，面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.8、【2018年高考全国II 卷文数】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30 ，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．一、柱、锥、台和球的侧面积和体积注意：(1)分的处理.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.衡水中学内部资料群：591993305，高中各科学霸资料群：680662798，二、在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题. 三、方法与技巧(1)棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状. (2)要注意将空间问题转化为平面问题.(3)求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. (4)一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决. 四、失误与防范（1）几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.（2）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.题型一 多面体的表面积与体积求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图衡水中学内部资料群：591993305，高中各科学霸资料群：680662798，形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。
中考数学一轮复习 专题08 一元二次方程(基础训练)(原卷版)
专题08 一元二次方程【基础训练】一、单选题1．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．26.5(1) 5.265x -=B ．26.5(1) 5.265x +=C ．25.265(1) 6.5x -=D ．25.265(1) 6.5x +=2．（2021·辽宁丹东市·中考真题）若实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根，且k b <，则一次函数y kx b =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．（2021·贵州毕节市·中考真题）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．（2021·贵州毕节市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2410ax x --=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．4a ≥-B ．4a >-C ．4a ≥-且0a ≠D ．4a >-且0a ≠ 5．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（ ） A ．()2418x -=B ．()2414x -= C ．()2864x -= D ．()241x -= 6．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()50712833.6x +=B ．()50721833.6x ⨯+=C ．()25071833.6x +=D ．()()250750715071833.6x x ++++= 7．（2021·山东临沂市·中考真题）方程256x x -=的根是（ ）A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-， 8．（2021·广西河池市·）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定9．（2021·山东滨州市·中考真题）下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）A ．2230x x --=B ．2320x x ++=C ．2210x x -+=D ．2230x x ++=10．（2021·贵州遵义市·）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0 11．（2021·湖南湘潭市·）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程得（ ）A ．()2100164x -=B ．()2100164x += C ．()1001264x -= D ．()1001264x += 12．（2021·山东潍坊市·）若菱形两条对角线的长度是方程x 2﹣6x +8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）A B ．4 C ．25 D ．513．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·）若关于x 的一元二次方程26=0x ax -+ 的一个根是2，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．514．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（ ）A ．1281x +=B ．2181x +=C ．2181x x ++=D ．1(1)81x x x +++= 15．（2021·辽宁大连市·中考真题）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x ，根据题意，可列方程为（ ）A ．()5001800x +=B ．()50012800x +=C ．25001800()x +=D ．()25001800x += 16．（2021·广西贵港市·中考真题）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x ，则年平均增长率x 应满足的方程为（ ）A ．2800(1)968x -=B ．2800(1)968x +=C ．2968(1)800x -=D ．2968(1)800x +=17．（2021·广西贵港市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程x 2－kx ＋k －3＝0的两个实数根分别为12,x x ，且22125x x +=，则k 的值是（ ）A ．－2B ．2C ．－1D ．118．（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A ．6B ．12C ．12D ．6 19．（2021·山东菏泽市·）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 20．（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．()2500014050x +=B ．()2405015000x += C ．()2500014050x -= D ．()2405015000x -= 21．（2021·吉林长春市·中考真题）关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1122．（2021·山东济宁市·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．202223．（2021·黑龙江中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）A ．14B ．11C ．10D ．924．（2021·湖南张家界市·中考真题）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根25．（2021·海南中考真题）用配方法解方程2650x x -+=，配方后所得的方程是（ ） A ．2(3)4x +=- B ．2(3)4x -=- C ．2(3)4x += D ．2(3)4x -= 26．（2021·广西玉林市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程：2x 2x m 0-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ，则（ ）A ．120x x +<B ．120x x <C ．121x x >-D ．121x x <27．（2021·山东聊城市·）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（ ） A ．2或4 B ．0或4 C ．﹣2或0 D ．﹣2或228．（2021·湖南怀化市·）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根29．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 30．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．531．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x 的方程x 2-4x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞4D ．m ＜4二、填空题32．（2021·山东济南市·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x a +-=的一个根是2，则另一个根是__________．33．（2021·辽宁锦州市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2＋2x ﹣k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________．34．（2021·江苏南通市·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2310x x +-=的两个实数根，则3231m m n m +-的值为___________． 35．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）实数m ，n 是一元二次方程2320x x -+=的两个根，则多项式mn m n --的值为____．36．（2021·四川成都市·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，则242m m n ++的值是______．37．（2021·四川雅安市·中考真题）已知一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n ，则11m n+的值为______． 三、解答题38．（2021·辽宁沈阳市·）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？39．（2021·江苏徐州市·中考真题）（1）解方程：2450x x --=（2）解不等式组：213238x x x -≤⎧⎨+>+⎩40．（2021·山东淄博市·）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．解答过程中可直接使用表格中的数据哟！（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．41．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于x的一元二次方程2220x mx m m+++=有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x、2x，且221212x x+=，求m的值．42．（2021·山西中考真题）2021☆7☆1☆☆☆100☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆65☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆43．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）解方程：(7)8(7)x x x-=-．44．（2021·江苏无锡市·中考真题）（1）解方程：2(1)40x；（2）解不等式组：231,1 1.3xxx-+≤⎧⎪⎨-<+⎪⎩45．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：a 是不等式()()528617a a -+<-+的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程2210x ax a +++=．46．（2021·山东菏泽市·）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？47．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程()()2333x x -=-的过程如下框：答过程．48．（2021·湖南常德市·中考真题）解方程：220x x --=49．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）解方程：2(2)x x x -=-．。
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专题08相似形高中必备知识点1：平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图 3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有ABDE BCEF .当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.典型考题【典型例题】已知：∠1＝∠2，EG 平分∠AEC ．（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD；（2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝°时，AB∥CD；（3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD；（4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．【变式训练】已知，如图，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，求证：FE平分∠BED.【能力提升】如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．高中必备知识点2：平行线分线段成比例定理的推论推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：AB BDAC DC.证明 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//,.BA BDAD CE AEDCAD 平分,,BAC BAD DAC由//AD CE 知,,BADE DAC ACE,,EACE AEAC 即AB BDAC DC. 上述试题的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.典型考题【典型例题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△ABC 中， AD 是角平分线． 求证：DCBDAC AB．证明：过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E ． ∴Ð1=ÐE ,Ð2=Ð3． ①AD 是角平分线，∴Ð1=Ð2．∴E ∠=∠3．AE AC =∴． ②又CE AD // ，DC BDAE AB =∴． ③ ∴DC BDAC AB =． （1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC 中，AD 是角平分线，AB=7cm ，AC=4cm ，BC=6cm ，求BD 的长；D（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD 和△ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理．【变式训练】如图，PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线。
①求证：∠BPC=90°-12∠BAC ． ②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？【能力提升】在直角三角形△中，的角平分线交于点,交于点,取,连接.求证：⑴; ⑵.高中必备知识点3：射影定理我们把下面试题的结论称为射影定理：如图,在直角三角形ABC中，BAC为直角，AD BC D于.求证：（1）2AC CD CB；AB BD BC，2（2）2AD BD CD证明（1）在Rt BAC与Rt BDA中，B B，BAC ∽BDA ，2,.BA BCAB BD BC BD BA即同理可证得2AC CD CB .（2）在Rt ABD 与Rt CAD 中，90oCCADBAD ，Rt ABD ∽Rt CAD ，2,.AD DCAD BD DC BD AD即典型考题【典型例题】如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝BC ，O 是△ABC 内部的一个动点，△OBD 是等腰直角三角形，OB ＝BD ．（1）求证：∠AOB ＝∠CDB ；（2）若△COD 是等腰三角形，∠AOC ＝140°，求∠AOB 的度数．【变式训练】如图所示，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，若13AE AD =，求ACAE的值．【能力提升】如图，AD ⊥BC ，垂足为D ．如果CD ＝1，AD ＝2，BD ＝4， (1)求出AC 、AB 的长度；(2)△ABC 是直角三角形吗？证明你的结论．专题验收测试题1．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB=70°，则弧AC的长为（）A．6πB．7πC．7 2πD．63 2π2．如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，∠1＝120°，∠2＝50°，则∠3为（）A．70°B．60°C．45°D．30°3．给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）不相等的两个角不是同位角；（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条。
其中真命题的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列说法不正确的是（）A ．过任意一点可作已知直线的一条平行线B ．在同一平面内两条不相交的直线是平行线C ．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短5．如图，a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，若∠1=36°，则∠2的大小为（ ）A ．34°B ．54°C ．56°D ．66°6．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30︒角直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45︒角的三角板的一个顶点在纸条的另一边，则1∠的度数是（ ）A ．14°B ．15°C ．20°D ．30°7．如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a ∥b （ ）A ．∠2=∠4B ．∠1+∠4=180°C ．∠5=∠4D ．∠1=∠38．在同一平面内，设a 、b 、c 是三条互相平行的直线，已知a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，则a 与c 的距离为（ ）A ．1cmB ．3cmC ．5cm 或3cmD ．1cm 或3cm 9．如图所示，直线c 截直线a ， b ，给出下列以下条件：①48∠=∠；②17∠=∠；③26∠=∠；④47180∠+∠=︒．其中能够说明a ∥b 的条件有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．①两点之间线段最短； ②同旁内角互补； ③若，则点 是线段的中点；④经过一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的说法有A ． 个B ． 个C ． 个D ． 个11．如图，A 、B 、C 表示三位同学所站位置，C 同学在A 同学的北偏东方向，在B 同学的北偏西方向，那么C 同学看A 、B 两位同学的视角______．12．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．13．如图，四边形ABCD 中，点MN 分别在AB ，AC 上，∠C=80°，按如图方式沿着MN 折叠，使FN ∥CD ，此时量得∠FMN=40°，则∠B 的度数是_____．14．如图，四边形ABCD 中， 0//,110AD BC A ∠=，则B ∠=____________.15．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是_____．16．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB∥CD，∠BAE=87，∠DCE=121，则∠E的度数是______．17．如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD ∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．（1）求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；（2）一动点P从A出发（不与A点重合），以个单位/秒的速度沿AB向B点运动，在P点运动过程中，连接MP、OP，请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；（3）是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．18．如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.19．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．（1）AD与EF平行吗？请说明理由；（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．20．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：AD∥BE．21．如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求证：∠BDC＋∠DGF＝180°．22．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数.。