北师大版必修5高中数学第三章《基本不等式》word教案1
北师大版高中数学必修五学案：第三章3.1 基本不等式(1)
例3 B [第二年的产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．
若平均增长率为x，则第三年产量为
A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a＞0，b＞0，x＞0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤1＋a＋1＋b,2)))2，
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
跟踪训练2 证明 ∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
D．b>a>>
3．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4 C．2 D．8
4．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；
③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________．(填序号)
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．
跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
类型二 用基本不等式证明不等式
例2 已知x，y都是正数．
求证：(1)＋≥2；
3.3.1基本不等式 教案(北师大版必修五)
1.了解基本不等式的证明过程及其几何 解释(难点).
基本不等式 【问题导思】 如图 3－3－1 是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标．将其抽象 成如图 3－3－2 形式．设直角三角形的长为 a、b(a≠b)，那么正方形的边长为 a2＋b2.
图 3－3－1 根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？
下列不等式的推导过程正确的是________． 1 ①若 x＞0，则 cos x＋cos x≥2 1 cos x· cos x＝2.
4 4 ②若 x＜0，则 x＋ x＝－[(－x)＋(－x )]≤ －2 4 （－x）· （－ x）＝－4. ba a· b＝2.
b a ③若 a，b∈R，则a＋b≥2 【解析】 【答案】
比较真数的大小 →
结合对数的性质确 定P、Q、M的大小
【自主解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】
a＋b 因为 P＝log1 2 ， 2
1 Q＝2(log1a＋log1b)＝log1 ab， 2 2 2 1 M＝2log1(a＋b)＝log1 a＋b， 2 2 a＋b 所以只需比较 2 ， ab， a＋b的大小． a＋b a＋b （a＋b）2 a＋b 显然 2 ＞ ab，又因为 2 ＜ a＋b，(由 a＋b＞ 也就是 4 4 ＜1 a＋b 可得)，所以 a＋b＞ 2 ＞ ab.而 y＝log1x 为减函数，故 Q＞P＞M. 2 【答案】 B
B．②③
依据基本不等式成立的条件逐个检验作出判断．
【自主解答】
b a ①∵a、b 为正实数，∴a、b为正实数，符合基本不等式的
条件，故①的推导正确． ②虽然 x、y 为正实数，但当 x∈(0，1)或 y∈(0，1)时，lg x 或 lg y 是负数， ∴②的推导过程是错误的． ③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， 4 ∴a＋a≥2 4 a＝4 是错误的． a·
高中数学第三章不等式3.1基本不等式教案北师大版必修5
3.1基本不等式[规范解答] 证明1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc(2分)精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
高中数学北师大版必修5教案-3_基本不等式_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标不等式与绝对值不等式2. 教学重点/难点不等式与绝对值不等式3. 教学用具4. 标签教学过程命题点解绝对值不等式1．不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法．|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．方法1(分类讨论思想)：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集；方法2(函数与方程思想)：构造函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c，写出f(x)的分段解析式，作出图象，找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可．方法3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|x－a|＋|x－b|表示数轴上点P(x)到点A(a)，B(b)距离的和．关键是找出到A(a)，B(b)两点距离之和为c的点，“≤”取中间，“≥”取两边．注意：这里c≥|a－b|，若c<|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c的解集为∅，|x－a|＋|x－b|≥c的解集为R.2．绝对值不等式的性质(1)定理1：|a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，当且仅当ab≥0时等号成立；(2)定理2：如果a，b，c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立；(3)||a|－|b||≤|a＋b|.注意：含绝对值的三角不等式|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中，对于等号成立的条件应注意：|a＋b|＝|a|＋|b|中，ab≥0，而|a－b|＝|a|＋|b|中，ab≤0等．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得3(2)＜x＜1；当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.所以f(x)＞1的解集为＜x＜2(2).(2)由题设可得f(x)＝－x＋1＋2a，x＞a.(3x＋1－2a，－1≤x≤a，)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，0(2a－1)，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为3(2)(a＋1)2.由题设得3(2)(a＋1)2＞6，故a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．1．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能平方．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．2．解含参数的绝对值不等式问题的两种方法：(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数问题来解决．(2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式子的最值或值域，然后再根据题目要求求解．课时规范训练1. (2016·衡水中学质检)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若EB(EC)＝3(1)，EA(ED)＝2(1)，求AB(DC)的值；(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，第十四章不等式选讲∴∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△EBA，∴EB(ED)＝EA(EC)＝AB(DC)，∴EB(ED)·EA(EC)＝AB(DC)2，即2(1)×3(1)＝AB(DC)2，∴AB(DC)＝6(6).(2)证明：∵EF2＝FA·FB，∴FA(EF)＝FE(FB)，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠FBE，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.2. 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知FA(BC)＝EA(DC)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，得CE＝DC.又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为2(1).3．(2016·河南商丘二模)已知直线l经过点P，1(1)，倾斜角α＝6(π)，圆C 的极坐标方程为ρ＝·cos4(π).(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．解：(1)直线l的参数方程为.(π)(t为参数)即t.(1)(t为参数)．由ρ＝cos4(π)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得x2＋y2＝x＋y，即圆C的直角坐标方程为2(1)2＋2(1)2＝2(1).(2)把t.(1)代入2(1)2＋2(1)2＝2(1)，得t2＋2(1)t－4(1)＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2＝－4(1)，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝4(1).4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈2(π).(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为y＝sin t(x＝1＋cos t，)(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝3(π).故D的直角坐标为3(π)，即3().5．(2015·高考陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2＜ x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解：(1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a，则b－a＝4，(－b－a＝2，)解得b＝1.(a＝－3，)(2)＋＝＋≤＝2 ＝4，当且仅当3(4－t)＝1(t)，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.6.(2016·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，a∈R.(1)当a＝3时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)＝|x－1＋a|，求x的取值范围．解：(1)当a＝3时，f(x)＝|2x－1|＋|x－3|＝，(1)其图象如图所示，与直线y＝4相交于点A(0,4)和B(2,4)，∴不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤2}．(2)∵f(x)＝|2x－1|＋|x－a|≥|(2x－1)－(x－a)|＝|x－1＋a|，∴f(x)＝|x－1＋a|⇔(2x－1)(x－a)≤0，①当a<2(1)时，x的取值范围是2(1)；②当a＝2(1)时，x的取值范围是2(1)；③当a>2(1)时，x的取值范围是≤x≤a(1).。
数学北师大版高中必修5北师大版数学必修五不等式《基本不等式——第一课时》doc教案
课题: §3.1基本不等式第1课时授课类型：新授课【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】2a b +≤的证明过程； 【教学难点】2a b +≤等号成立条件 【教学过程】1.课题导入2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +2）2a b +≤用分析法证明：要证 2a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
高二数学北师大版必修5教学教案3-3-1基本不等式(3)Word版含解析
3.1 基本不等式（第一课时）一、教学目标1.知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算术平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2.过程与方法目标：启动观察、分析、归纳、总结等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3.情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
二、教学重点和难点重点：理解基本不等式，探索基本不等式的证明过程，并用不等式解决简单的最值问题． 难点：由重要不等式特殊化得到基本不等式，并理解证明基本不等式．三、教学过程：1．情景引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。
探究：这张“弦图”中的面积相等关系和不等关系？4个直角三角形的面积之和ab S 21=，正方形的面积222b a S +=．由图可知12S S >，即ab b a 222>+．特别地，当a>0,b>0时，在不等式abb a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．带着问题进入课堂。
2．新课探究问题1：不等式成立的条件（推广到一切实数）形的角度 数的角度重要不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）设计意图：利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。
北师大版高中数学必修五基本不等式复习教案(1)
§3.3.2基本不等式
第2课时
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
进一步掌握基本不等式 ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
过程与方法
通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式 ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
情感态度与价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德
（2）段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由 ，
可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
3.随堂练习
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少?
2．课本第113页的练习1、2、3、4
4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
北师大版必修5高中数学不等式教案1
不等式教学目的：1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法； 2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值； 3．掌握含绝对值的不等式的性质；4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质 授课类型：复习课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、讲解范例：例1 解关于x 的不等式ax x alog log<解：原不等式等价于x x a alog 1log<即 0log )1)(log 1(log <-+x x x a a a∴1log 01log <<-<x x a a 或若a>1 ，a x a x <<<<110或若0<a<1 ，11<<>x a a x 或例2 解关于x 的不等式)22(223xx x x m --<- 解：原不等式可化为02)1(24<+⋅+-m m x x ，即0)2)(12(22<--m x x 当m>1时， m x<<221 ∴m x 2log 210<<当m=1时，0)12(22<-x ∴x ∈φ当0<m<1时， 122<<xm ∴0log 212<<x m当m ≤0时， x<0例3 解关于x 的不等式34422+>+-m m mx x 解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-<m 时， x ∈R例4 解关于x 的不等式)20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x解：当1cot >θ即θ∈(0,4π)时， 0232<-+-x x ∴x>2或x<1当1cot =θ即θ=4π时， x ∈φ当)1,0(cot ∈θ即θ∈(4π,2π)时， 0232>-+-x x ∴1<x<2例5 满足13-≥-x x 的x 的集合为A ；满足0)1(2≤++-a x a x 的x 的集合为B1︒ 若A ⊂B 求a 的取值范围；2︒ 若A ⊇B 求a 的取值范围；3︒ 若A ∩B 为仅含一个元素的集合，求a 的值 解：A=[1,2] ， B={x|(x-a)(x-1)≤0}当a ≤1时， B=[a,1] 当a>1时 B=[1,a] 当a>2时， A ⊂B 当1≤a ≤2时， A ⊇B当a ≤1时， A ∩B 仅含一个元素 例6 方程)0,10(,021cos 21sin 2π≤≤<<=-++x a a x x a 有相异两实根，求a 的取值范围解：原不等式可化为01cos cos 22=--x x a令 x t cos = 则]1,1[-∈t ，设12)(2--=t at t f 又∵a>0 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⇒-<>≥≥->⇒<<-≥-=≥=->+=∆1414110811411022)1(02)1(081a a a a a a a a f a f a 或二、小结 ： 三、课后作业：1．01log )1(log 21221<++-x a a x⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈±=<<-<<<<<<<->φx a x a a a x a a aa a a 时时或当时或当1,)21()21(110)21()21(011112．}13|{-≥-=x x x A ，}0,|1||{>>-=a a x x B 若φ=⋂B A ，求a 的取值范围 (a ≥1)3．)0(,322>+>-a a x x a)02(<<-x a4．)0(,21log >>+a x a x x a )01,10(2222--<<>><<<<a x a x a a x aa 或时当时当5．当a 在什么范围内方程：01log 41)4(log 2222=-+--a x a x 有两个不同的负根⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃)24,4()41,0(6．若方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都对于2，求实数m 的范围 (]()4,5-四、板书设计（略）五、备用习题： 1选择题(1)不等式6x2+5x<4的解集为（ B ）A (-∞,-34)∪(21,+∞)B (- 34,21)C (- 21,43)D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a>0,b>0,不等式a>x 1>-b 的解集为（ C ） A-b 1 <x<0或0<x<a 1 B- a 1<x<b 1 Cx<-b 1或x>a 1 D- a 1<x<0或0<x<b 1 (3)不等式11+x (x-1)(x-2)2(x-3)<0的解集是（ B ）A (-1,1)∪(2,3)B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3) DR(4)若a>0,且不等式ax2+bx+c<0无解,则左边的二次三项式的判别式（C ） A Δ<0 B Δ=0 C Δ≤0 D Δ>0(5)A={x|x2+(p+2)x+1=0,x ∈R},且R*∩A=∅,则有（ B ） Ap>-2Bp ≥0 C-4<p<0 Dp>-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ D ）Am<-5或m>3 B3<m<9 Cm=0或m=8 Dm=8(7)已知不等式loga(x2-x-2)>loga(-x2+2x+3)在x=49时成立,则不等式的解集为（ B ）A{x|1<x<2} B{x|2<x<25} C{x|1<x<25} D{x|2<x<5} (8)设0<b<21,下列不等式恒成立的是（ C ）Ab3>b21Blogb(1-b)>1 Ccos(1+b)>cos(1-b) D (1-b)n<bn,n ∈N(9)若不等式x2-logax<0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ A ）A 161≤a<1 B 161<a<1 C0<a ≤161 D0<a<161(10)不等式112+<-x x 的解集是（ A ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D ［-1,1］(11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ D ）A ∅B (1,2)C (2,+∞)D (1,+∞)(12)不等式(x-1)2+x ≥0的解集是（ B ）A{x|x>1} B{x|x ≥1或x=-2} C{x|x ≥1} D{x|x ≥-2且x ≠1}(13)函数f(x)=822--x x 的定义域为A,函数g(x)=a x --11的定义域为B,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ D ）A{a|-1<a<3} B{a|-2<a<4} C{a-2≤a ≤4} D{a|-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x+a(a>0)的解集为（ B ）A (0,a)B (0,a ］C (0,+∞)∪(-∞,-54a) D ∅2填空题(1)不等式1≤|x-2|≤7的解集是 答案:［-5,1］∪［3,9］(2)不等式x 1>a 的解集是 a=0时x>0;a>0时,0<x<a 1;a<0时,x<a 1或x>0(3)不等式lg|x-4|<-1的解集是 答案:{x|4<x<1041或1039<x<4} (4)不等式x b c -<a(a>0,b>0,c>0)的解集是 答案:{x|x<b 或x>b-a c}(5)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x<5,则a= 答案:4(6)不等式1lg -x <3-lgx 的解集是 答案:10≤x<100 (7)函数f(x)=log2(x2-4),g(x)=2kx 2-(k<-1),则f(x)g(x)的定义域为 答案:［2k-2)∪(2,+∞) 3解下列不等式(1)(x+4)(x+5)2>(3x-2)(x+5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3解:(1)当x ≠-5时,(x+5)2>0,两边同除以(x+5)2得x+4>3x-2,即x<3且x ≠-5∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x-1)(x-3)(x+1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x<-1,当x=4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x|1≤x ≤3或x<-1或x=4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞)4设不等式(2x-1)>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解:①若x2-1=0,即x=±1,且2x-1>0,即x>21时,此时x=1,原不等式对|m|≤2恒成立;②若x2-1>0,要使1122--x x >m,对|m|≤2恒成立,只要1122--x x >2,即⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x<231+③若x2-1<0时,要使1122--x x <m,对|m|≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x<1综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x<231+。
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基本不等式
（1）教学目标
(a)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(b)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
基本不等式的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(c)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
（2）教学重点、难点
教学重点：基本不等式的证明和几何解释
教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵
（3）学法与教学用具
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。
定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
1、设置情境
(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x 、y ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：y x 22+，y x 22+
提问2：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：2xy
提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，y x 22+≥2xy 。
什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x=y 时，正方形EFGH 变成一个点，这时有
y x 22+=2xy
2、新课讲授
（1）一般地，对于任意实数 x 、y ，我们有
xy y x 222≥+，当且仅当x=y 时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明: y x 22+-xy 2=)
(2y x -, 当y x ≠时)(2y x ->0 ,当x=y 时，等号成立。
所以 xy y
x 222≥+
即
xy y x ≥+222 ，当且仅当x=y 时，等号成立。
（2） 设x=a ,y=b ,则由这个不等式可以得出下列结论：
如果a,b 都是非负数，那么
ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立。
我们称上述不等式为基本不等式，
其中2
a b +称为a,b 的算术平均数，ab 为a,b 的几何平均数。
因此，基本不等式，又被称为均值不等式。
（3） 基本不等式的一种几何解释。
如图1所示,AB 是圆O 的直径，AC=a, CB=b,过点C 作AB CD ⊥交圆O 上半圆于D ， 连接AD ，BD ，由射影定理可知： CD=ab ，而OD=2
a b +， 因为OD ≥CD
所以ab b a ≥+2
当且仅当C 于O 重合，即a=b 时，等号成立。
（4） 应用
例1 设a,b 均为正数，证明不等式ab b a 112
+≥.
证明 因为a,b 均为正数，由基本不等式，可知
ab
b a 1211≥+ 也即ab b a 112
+≥，当且仅当a=b 时，等号成立。
下面给出这个不等式的几何解释。
如上图，AB 是圆O 的直径，AC=a, CB=b,过点C 作AB CD ⊥交圆O 上半圆于D ，过点C 作OD CE ⊥于E ，
在Ｒｔ∆ＯＣＤ中，由射影定理可知：
ＤＣ２
＝ＤＥ∙ＯＤ 即 DE=OD DC ２=2b a ab +=b
a 112+ 由DC ≥DE ，可得 a
b b a 112
+≥ 当且仅当a=b 时，等号成立。
3.学生思考交流
基本不等式的的几种叙述。
（学生交流完成）
4.课堂练习
课本90页练习题
5.课时小结
1.两个重要的不等式
2.基本不等式的联系和理解
3.对基本不等式和例1及练习题的总结b a ab b a b 1122222a +≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时，等号成立。
6.课后作业
1.课本94页A 组3和B 组1题
2.预习
3.2节。