高三测试卷集合-数列

测试卷-集合-数列一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.设集合{1,2,3}A =，{4,5}B =，{|,,}M x x a b a A b B ==+∈∈，则M 的子集个数共有 个.【难度】★【答案】16；考察子集个数问题，注意审题，不是求M 中的元素个数。

2.函数()f x =的定义域为 .【难度】★【答案】1(,1]2；纯粹考察函数的定义域。

3.若()x x f x e ae -=+为偶函数，则1(1)f x e e --<+的解集为 . 【难度】★★【答案】(0,2)；考察函数的奇偶性和单调性之间的关系。

4.函数212log (43)y x x =-+-的单调递增区间是 .【难度】★★【答案】(2,3)；考察复合函数单调性，同时注意函数定义域。

5.设函数，若，则 .【难度】★★ 【答案】-46.若对于任意实数x ，不等式a x x >--+|1||2|恒成立，则实数a 的取值范围是【难度】★★【答案】()3-∞-，7.设等差数列{}n a 的公差2=d ，前n 项的和为n S ，则nn n S n a 22lim-∞→= . 【难度】★★【答案】38.函数f （x ）=x +cos x）x –sin x ）的最小正周期是 .3)1ln()(2+++=x x x f 10)(=a f =-)(a f【难度】★★ 【答案】π9.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则=n a . 【难度】★★ 【答案】13-n10.已知函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于 .【难度】★★ 【答案】2211.已知关于x 的方程222sin 2sin cos cos 10x x x x m +---=有解，则实数m 的取值范围为 . 【难度】★★m ≤≤12.设()x f 1-为()[]2,0,222∈+=-x xx f x 的反函数，则()()x f x f y 1-+=的最大值为 .【难度】★★ 【答案】413.已知函数3,3||)(2≥---=a a a x x x x f .若函数)(x f 恰有两个不同的零点21,x x ，则|11|21x x -的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】]1,31(，()⎩⎨⎧≤-->-=a x a ax x ax a ax x f ,32,32知当a x ≤时有两个零点，又()03,02422≥-=>+=∆a a a f a a ，所以a x x x x x x 24131|11|212121+=-=-，因为3≥a 从而可得范围为]1,31( 14.已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +==+211,21，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++111111201621a a a 的值等于 ．【难度】★★★【答案】1；函数与数列综合性题目；由n n n a a a +=+21知数列为单调递增数列；注意到11621,4332>==a a 可得1102017<<a . ∵()()1111111+-=+=+n n n n n a a a a a 即11111+-=+n n n a a a 从而2017120162111111111a a a a a -=++++++ 可得最终答案为1 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15.已知，，且，则（ ）A.B. C. D.【难度】★【答案】C16.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是（ ）A ．B ．C ．D ． 【难度】★★ 【答案】C17.定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）12个（B ）14个（C ）16个（D ）18个【难度】★★★ 【答案】B18.已知()|1||2|...|2014||1||2|...|2014|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x R ∈），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素x y R ∈0x y >>110x y->sin sin 0x y ->11()()022x y -<ln ln 0x y +>)64sin(3)(π+=x x f 6π)(x g y =)(x g y =12π=x 6π=x 3π=x 32π=x 2k m ≤12,,,k a a a个数为（ ）A. 无数个B. 3个C. 4个D. 2个 【难度】★★ 【答案】D三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程． 19.（5+7）已知函数.3cos 33cos 3sin)(2x x x x f += (Ⅰ)求函数)(x f 图象对称中心的坐标；(Ⅱ)如果ABC Δ的三边c b a ,,满足ac b =2，且边b 所对的角为B ，求)(B f 的取值范围。

【难度】★【答案】（Ⅰ）23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f由)332sin(π+x =0即Z k π,213)∈(π3π32∈==+k x z k k x 得 即对称中心为Z k π,0),21-3(∈k （Ⅱ）由已知b 2=ac ，212-2≥2-2-cos 22222=+=+=ac ac ac ac ac c a ac b c a B231≤)3π32sin(3∴1≤)3π32sin(3πsin ∴|2π-9π5||2π-3π|9π5≤3π323π3π≤01cos ≤21∴++<+<>+<<<B B B B B ，，，即)(B f 的范围是]231,3(+20.（6+8）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在[2,3]上有最小值1和最大值4，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若不等式(2)20x x f k -∙≥在[1,1]-上有解，求实数k 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩，解得1,0a b ==.（2）由（1）知，2()21g x x x =-+，∴1()2f x x x=+-， ∴(2)20x x f k -∙≥可化为2111()222x x k +-∙≥，令12x t =，则221k t t ≤-+，∵[1,1]x ∈-，∴1[,2]2t ∈，∴2max (21)1t t -+=，所以k 的取值范围是(,1]-∞.21.（6+8）为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．【难度】★★ 【答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人）离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） （2）当0)()(≥-n g n f 时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时， 园内游客人数递减． ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；当3229≤≤n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当4533≤≤n 时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数． 进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． 综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人.22.（8+8）已知函数22()32log ,()log f x x g x x =-=. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()()1()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的12,2nn x +⎡⎤∈⎣⎦，n N ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）2222()(42log )log 2(log 1)2h x x x x =-⋅=--+ 因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2x ∈， 故函数()h x 的值域为[]0,2（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅令2log t x =，因为12,2nn x +⎡⎤∈⎣⎦，所以[]2log ,1t x n n =∈+所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[],1t n n ∈+恒成立① 当0n =时，若0t =时，k R ∈；当(]0,1t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-函数9415t t+-在(]0,1t ∈单调递减，于是1t =时取最小值2-，此时2x =，于是(),2k ∈-∞-；○2当1n =时，此时[1,2]t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号，所以9415t t+-的最小值为3-，(),3k ∈-∞-；○3当2n ≥时，此时[,1]t n n ∈+时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-函数9415t t +-在[,1]t n n ∈+单调递增，于是t n =时取最小值9415n n-+，此时2nx =，于是9,415k n n ⎛⎫∈-∞-+⎪⎝⎭23.（3+7+8）已知数列{}n a 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列称为数列{}n a 的排序数列，例如：数列123,,a a a 满足231a a a <<，则排序数列为2，3，1.（Ⅰ）写出数列2，4，3，1的排序数列；（Ⅱ）求证：数列{}n a 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}n a 为单调数列； （Ⅲ）若数列{}n a 的排序数列仍为{}n a ，那么是否一定存在一项k a k =，证明你的结论.【难度】★★★ 【答案】（Ⅰ）排序数列为4,1,3,2.（Ⅱ）证明：充分性：当数列{}n a 单调增时，∵12a a <<…n a <,∴排序数列为1,2,3，…，n.∴排序数列为等差数列.当数列{}n a 单调减时，∵1n n a a -<<…1a <, ∴排序数列为n,n-1,n-2，…，1 . ∴排序数列为等差数列.综上，数列{}n a 为单调数列时，排序数列为等差数列. 必要性：∵排序数列为等差数列∴排序数列为1,2,3，…，n 或n,n-1,n-2，…，1. ∴12a a <<…n a <或1n n a a -<<…1a <∴数列{}n a 为单调数列.（Ⅲ）∵数列{}n a 的排序数列仍为{}n a ∴数列{}n a 是1,2,3，…，n 的某一个排序，假设不存在一项k a k =，即i a j =，(,1,2,3,,1,2,3,)i j i j ≠==…………则在各项从小到大排列后i a 排在第j 位 ∴排序数列{}n a 中j a i =，∴n 为偶数12分. ∴当n 为奇数时，一定存在一项k a k =,当n 为偶数时，不一定存在一项k a k .。