一元二次方程的解法
一元二次方程的解法
一般解法
1.配方法
（可解全部一元二次方程）
如：解方程：x^2+2x－3=0
解：把常数项移项得：x^2+2x=3
等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4
因式分解得：（x+1)^2=4
解得：x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
2.公式法
（可解全部一元二次方程）
首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）
2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2
3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a
来求得方程的根
3.因式分解法
（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0
解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0
解得：x1=x2=-1
4.直接开平方法
（可解部分一元二次方程）
5.代数法
（可解全部一元二次方程）
ax^2+bx+c=0
同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0
设：x=y-b/2
方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0
再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0
y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]
1、直接开平方法；
2、配方法；
3、公式法；
4、因式分解法。
1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .
例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)
例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。
例2x^2-8x=-5 x2^2;-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5
b^2;-4ac=(-8^2;-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b^2;-4ac)]/(2a)
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例x^2-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 x=-1或3
一元二次方程的解法有如下几种:
第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,
平方差公式,).（3）提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。
例2：X^2-8X+16=0
本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同）
例3：X^2-9=0
本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。
例4：X^2-5X=0
本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5
第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程：
X^2+2X-3=0
第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。
第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。
还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。
最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。
定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a 不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a
举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学）(4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3）x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解：x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。(选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即(5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求，必要时进行分类讨论。
练习：
（一）用适当的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0
2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0
4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x
6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0
2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2=
4.x1=x2=2
5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即(2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a• a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是∴x1= a，x2=a是
原方程的解。原方程的解。
测试
选择题
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（）
A、x=5
B、x=-5
C、x1=x2=5
D、x1=x2=-5
2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（）。
A、3或7
B、-3或7
C、3或-7
D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个
根是（）。
A、0
B、1
C、-1
D、±1
4．一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（）。
A、b≠0且c=0
B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0
D、c=0
5．方程x2-3x=10的两个根是（）。
A、-2，5
B、2，-5
C、2，5
D、-2，-5
6．方程x2-3x+3=0的解是（）。
A、B、C、D、无实根
7．方程2x2-0.15=0的解是（）。
A、x=
B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27
D、x1=, x2=-
8．方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）。
A、(x-)2=
B、(x- )2=-
C、(x- )2=
D、以上答案都不对
9．已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（）。
A、(x-1)2=m2+1
B、(x-1)2=m-1
C、(x-1)2=1-m
D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,
注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。
2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得a=3或a=-7.
3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时，
ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1
时，方程成立，则必有根为x=1。
4．分析：一元二次方程ax2+bx+c=0若有一个根为零，
则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以c=0.
另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！
5．分析：原方程变为x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。
8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，
x2-3x+(-)2=12+(- )2，
整理为：(x-)2=
方程可以利用等式性质变形，并且x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m, 则x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1．（甘肃省）方程的根是（）
（A）（B）（C）或（D）或
评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B 是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（辽宁省）方程的根为（）
（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。
评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。
5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（）
（A）x=3+2 （B）x=3-2
（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方
根，即可选出答案。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 一般解法 1.配方法 （可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 解：把常数项移项得：x^2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1)^2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 2.公式法 （可解全部一元二次方程） 首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中） 2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2 3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根 当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a 来求得方程的根 3.因式分解法 （可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。 如：解方程：x^2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0 解得：x1=x2=-1 4.直接开平方法 （可解部分一元二次方程） 5.代数法 （可解全部一元二次方程） ax^2+bx+c=0 同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0 设：x=y-b/2 方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0 再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以 此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
一元二次方程解法
一元二次方程解法 一、知识要点 一元二次方程是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。一般形式为：y=ax2+bx+c=0, (a≠0) 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 二、方法、例题精讲 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法； 2、配方法； 3、公式法； 4、因式分解法。1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m . 例1．解方程（1）(3x+1)^2;=7 （2）9x^2;-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2;，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。（1）解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3 （2）解：9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= ? 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )² 配方：(x-4/6)²= ? +(4/6 )² 直接开平方得：x-4/6=±√[? +(4/6 )² ] ∴x= 4/6±√[? +(4/6 )² ] ∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式
一元二次方程的4种解法
一元二次方程的4种解法 一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。其中ax²叫作 二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一 元二次方程。一元二次方程有四种解法，它们分别是直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法。 1. 直接开平方法 解决此类问题的关键在于观察一元二次方程等号是否可以直接开平方，若可以先移项，再两边开平方即可 例：一元二次方程 x²-36=0解法： x²-36=0 x²=36 x=±4 2. 因式分解法 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。 提公因式法 几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个 多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整 数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数。字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提净，全 家都搬走，留1把家守。要变号，变形看正负。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意： 把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式 例：用因式分解法解方程y2＋7y＋6＝0； 方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0；y＋1＝0或y＋6＝0；∴y1＝-1，y2＝-6。
一元二次方程解法
∴x=[(-b±√（b2-4ac)]/（2a) ∴原方程的解为x?=,x?= . 4．因式分解法（十字相乘法）：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（老教材中这种方法称为十字相乘法） 例4．用因式分解法解下列方程： ⑴ (x+3）（x-6）=-8 ⑵ 2x2+3x=0 ⑶ 6x2+5x-50=0 （选学）⑷x2-4x+4=0 （选学） ⑴解：（x+3）（x-6）=-8 化简整理得x2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零） （x-5）（x+2）=0 （方程左边分解因式） ∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 ⑵解：2x2+3x=0 x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式） ∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程） ∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 ⑶解：6x2+5x-50=0 （2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=,x2=- 是原方程的解。 ⑷解：x2-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） （x-2）（x-2）=0 ∴x1=2,x2=2是原方程的解。 小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。 但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：元法，配方法，待定系数法）。 5、十字相乘法
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法 解一元二次方程五种方法 一元二次方程是高中数学中比较重要的一种方程类型，解题方法也非常多样。下面介绍五种解一元二次方程的方法。 方法一：配方法 配方法是一种比较常用的解一元二次方程的方法。通过给方程两边添加一个适当的常数，使得方程左边变成一个平方式，从而利用完全平方公式求解。 例如，将方程x^2+6x-7=0配成(x+3)^2-16=0的形式，然后利用完全平方公式(x+3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)求解方程。 方法二：公式法 公式法是一种利用一元二次方程求根公式解方程的方法。一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。 例如，对于方程x^2+6x-7=0，利用公式x=(-6±√(6^2-4×1× (-7)))/2×1，化简得到x=-3±√16，即x=-7或x=1。
方法三：因式分解 当一元二次方程的系数a,b,c都是整数时，可以尝试使用因式分解的方法解方程。主要思路是将方程左边化成一个二次式的乘积。 例如，对于方程x^2+6x-7=0，可以将其因式分解为(x-1)(x+7)=0，从而解得x=1或x=-7。 方法四：图解法 图解法是一种利用平面直角坐标系中的图形来解一元二次方程的方法。主要思路是将方程左边的二次式与右边的常数b进行比较，从而确定图形的形状。 例如，对于方程x^2+6x-7=0，将其化为x^2+6x=7，可以发现这是一个开口向上的抛物线，与y=7的直线交于两点，即方程的两个解。 方法五：牛顿迭代法 牛顿迭代法是一种利用曲线的切线来近似求解方程的方法。它的基本思路是从一个初始值开始，利用切线和方程的导数来逐步逼近方程的
一元二次方程一般解法
一元二次方程一般解法 一元二次方程是一个二次方程，它的一般形式为ax²+ bx + c = 0，其中a、b 和c是系数，且a ≠0。这是一个非常基础的二次方程形式，它可以用于描述许多实际问题，例如物体运动、投资回报等。 在解一元二次方程时，我们通常使用以下三种方法： 1. 公式法 对于任何一元二次方程，我们都可以使用公式法来求解。公式法基于二次方程的根的判别式Δ= b²- 4ac。如果Δ> 0，方程有两个实根；如果Δ= 0，方程有一个实根；如果Δ< 0，方程没有实根。 实根的公式是x = [-b ±sqrt(Δ)] / 2a。通过将方程的系数代入这个公式，我们可以找到方程的解。 2. 因式分解法 因式分解法是将二次方程转化为两个一次方程，然后解一次方程的方法。通过将方程的左边分解为两个因式，我们可以找到这两个因式的根，从而得到原方程的解。 例如，对于方程x²- 2x - 3 = 0，我们可以将其转化为(x - 3)(x + 1) = 0的形式，
从而得到x = 3或x = -1。 3. 图解法 图解法是通过绘制二次方程的图形来找到解的方法。在坐标系中，我们将二次方程的左边看作一个抛物线，然后找到这个抛物线的顶点或与x轴的交点，这些点就是方程的解。 例如，对于方程x²- 2x - 3 = 0，我们可以将其看作y = x²- 2x - 3在坐标系中的图形，找到抛物线的顶点或与x轴的交点，从而得到方程的解。 在解一元二次方程时，我们可以根据实际情况选择合适的方法。公式法适用于任何情况，但计算可能比较复杂；因式分解法适用于能够分解因式的情况；图解法适用于能够绘制图形的情况。通过选择合适的方法，我们可以方便地解决实际问题。
一元二次方程四种解法总结
一元二次方程四种解法总结 一元二次方程是高中数学必修课，尤其是高考数学中比较常见的题型，因此，有必要了解一元二次方程的解法，以便在解题中更加熟练。本文将总结一元二次方程的四种解法：解析解法、因式分解法、配方法和求根公式法，为大家提供参考。 首先，解析解法是一种解决一元二次方程的最基础的方法。它的基本思路是将原方程化为两个一元一次方程，用整体求解的方法求出根。它有两个特点：一是消元法的思想，二是有良好的解析性。但是，它也有一些局限性，它不适合处理一些三角函数等不定方程。 其次，因式分解法是用因式拆解的方法求出一元二次方程的解。它的特点在于将多项式中的每一项拆开，再通过求解简化的子问题来得到结果，同时可以去除多项式中的因子，因此能够简化计算过程。但是，它也有其缺点，它只适用于特定的一元二次方程，对于一些复杂的一元二次方程无能为力。 第三，配方法是一种特殊的解法，它采用一元二次方程的原有方程格式，保证了方程的特点，在其基础上，利用变形来求出根。配方法需要考虑原方程的特点，把原方程变形成同类方程来求解：即恒等变换和代数变换。其优点是解析度极高，对于复杂的一元二次方程也可以解出，但是，它也有一些局限性，即它只能用于特定的一元二次方程，只要输入原式方程，就可以求出它的解。 最后，求根公式法是一种求解一元二次方程的简便方法，重点在于记忆求根公式，求根公式是一元二次方程的基本解法。它有三个特
点：一是可以直接求得一元二次方程的解；二是计算过程容易；三是有效果、简便。但是，它也有局限性，即当系数发生变化时，求根公式的解法就不适用了。 总之，一元二次方程有四种常见的解法：解析解法、因式分解法、配方法和求根公式法。从上面可以看出，这四种方法各有优点，也各有缺点，只有综合考虑，才能更好地求解一元二次方程。同时，各位考生在备考中也可以根据不同类型的题目，选择不同的解法，以节省时间，提高效率。
一元二次方程的三种详细解法
判别式法解一元二次方程详细过程 7x2−4x−3=0 a=7;b=−4;c=−3确定各项系数∆=b2−4ac=(−4)2−4×7×(−3) =16+84=100 x1=−b+√∆ 2a x2=−b−√∆ 2a 必背公式 代入数值： x1=4+√100 2×7 = 4+10 14 = 14 14 =1 x2=4−√100 2×7 = 4−10 14 = −6 14 =− 3 7 若∆<0，则方程无解。 此方法为解一元二次方程的万能方法。
配方法解一元二次方程详细过程7x2−4x−3=0 x2−4 7 x− 3 7 =0 除以7，二次项系数化1 x2−2×2 7 ×x− 3 7 =0 x2−2×2 7 ×x+( 2 7 ) 2 −( 2 7 ) 2 − 3 7 =0 x2−2×2 7 ×x+( 2 7 ) 2 −( 2 7 ) 2 − 3 7 =0 绿色部分为完全平方公式 (x−2 7 ) 2 −( 2 7 ) 2 − 3 7 =0 (x−2 7 ) 2 = 25 49 ① x−2 7 =± 5 7 x1=5 7 + 2 7 =1 x2=− 5 7 + 2 7 =− 3 7 此方法为解一元二次方程的万能方法 若上面①式中等号右边为负数，方程无解。
十字相乘法解一元二次方程详细过程 7x2−4x−3=0 二次项系数：7 一次项系数：-4 常数项：-3 对二次项系数和常数项进行拆分 7= 7 × 1 −3=3 × −1 交叉相乘之和等于中间一次项系数7×(−1)+3×1=−7+3=−4 则该方程可写为： (7x+3)(x−1)=0 则方程的解为： 7x+3=0 或 x−1=0 x1=−3 7 x2=1 此方程为解一元二次方程最快速的方法但仅适用于有解且解为整数或分数的方程当解为根式时不能用。
解一元二次方程的三种基本方法
解一元二次方程的三种基本方法 解一元二次方程的三种基本方法 一元二次方程是数学中的基础概念之一，它的解法有很多种。在这里，我们将介绍三种基本的解法。 一、配方法 （1）将方程写成“完全平方”的形式。 例如，对于方程x²+6x–16=0，将右边的常数项移到左边，变为x²+6x=16，然后再将6x一分为二，得到x²+3x+3x=16，继续变形，即可让其成为完全平方。 （2）设定新的变量，使其成为一个完全平方。 例如，对于x²+6x–16=0，令y=x+3，代入原方程，得到y²– 9+6y–16=0，简化后得到y²+6y–25=0，再将其变形成完全平方，可得(y+3)²=34，解得y= ± √34–3，代入y=x+3得到x=-3±√34。 二、公式法 在公式法中，我们将方程ax²+bx+c=0写成：x=[–b±√(b²– 4ac)]/2a，即可求得方程的两个根。 例如，对于方程x²+6x–16=0，可将a=1，b=6，c=–16带入公式中，计算得到x=-3±√34。 三、图像法 对于一元二次方程y=ax²+b x+c，我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来，相交坐标轴的两个点就是其解。 例如，对于方程x²+6x–16=0，我们可以作出相应的二次函数的图像，其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2，因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。 总结 以上三种方法都可以用来解一元二次方程。配方法被广泛地应用于题目的解答中，因为它在操作方式上比较简单，尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。公式法是一种少有的利用抽象公
式的方法，尤其是在解有较大常数的一元二次方程时，可以简化计算。图像法则不太常用，但在一些情况下，例如探究关于两个变量的函数 的等高线时，它是非常实用的。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。掌握一 元二次方程的解法对于学生来说是十分重要的，因为它不仅能够帮助学生解决实际问题，还能够培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。本文将介绍一元二次方程的解法，并通过实例进行说明。 一、解法一：因式分解法 对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来 解决。 例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。 根据乘法逆元的性质，我们知道只有当(x + 2) = 0或者(x + 3) = 0时，方程才能成立。因此，方程的解为x = -2或者x = -3。 二、解法二：配方法 如果一元二次方程无法通过因式分解法解决，我们可以尝试使用配方法。 例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 2)(x + 4) = 0。然后，我们可以得到(x + 2) = 0或者(x + 4) = 0，进而求得方程的解为x = -2或者x = -4。 三、解法三：求根公式 如果一元二次方程无法通过因式分解法或者配方法解决，我们可以尝试使用求 根公式。 一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。其中，a、b、c分别 为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以通过求根公式得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*3)) / (2*2)。进一步计算可得x = -1或者x = -1.5。因此，方程的解为x = -1或者x = -1.5。 四、解法四：图像法 除了上述的解法，我们还可以通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。 例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以绘制出它的图像。通过观察图像，我们可以发现方程的解为x = 1或者x = 3。 综上所述，一元二次方程的解法有很多种，包括因式分解法、配方法、求根公式和图像法。学生在解决一元二次方程的过程中，可以根据具体情况选择合适的解法。通过不断练习和掌握这些解法，学生能够更好地理解和应用一元二次方程，提高数学解题的能力。同时，家长也可以通过与孩子一起解决一元二次方程的问题，培养孩子的数学思维和解决问题的能力，帮助他们在数学学习中取得更好的成绩。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的解法 （1）一元二次方程的概念 一、考点、热点回顾 1、一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1) (2) (3) 2、一元二次方程的一般形式: 二、典型例题 例1：判断下列方程是否为一元二次方程： ①12=+x x ②12=x ③0322=+-y x x ④)4)(1(32--=-x x x ⑤02=++c bx ax ⑥02=mx （ｍ是不为零常数） 例2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (5)3)2(2=+x (6)0)3)(3(=-+x x 例3：当m ________时，关于x 的方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是一元二次方程。 三、课堂练习 1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） 2222211.3(1)2(1) .20.0 .21 A x x B x y C ax bx c D x x x +=++-=++=+=- 2、用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变形为（ ） 2(2)510 2.20x x +-=2(4)30 x x +=2(1)109000 x x --=2(3)2150x -=
A 、y 2＋y －6＝0 B 、y 2－y －6＝0 C 、y 2－y ＋6＝0 D 、y 2＋y ＋6＝0 3、已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 4、已知关于x 的一元二次方程2(1)60x k x -+-=的一个根是2，求k 的值． 四、课后练习 1.将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 . 2.方程2(4)5230k x x k -+++=是一元二次方程，则k 就满足的条件是 . 3. 已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式m 2-m=_____________ 4.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则x 满足的方程是（ ） （A ） 213014000x x +-= （B ）2653500x x +-= （C ）213014000x x --= （D ）2653500x x --= 5．关于x 的方程0)3(2=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程在什么条 件下是一元一次方程 （2）--直接开方法 一、考点、热点回顾 1、了解形如x 2=a(a ≥0)或(x ＋h)2= k(k ≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法