2015年北京房山区中考二模数学试题及答案
2015年北京中考数学二模各区29题汇总(含答案)
2015北京中考数学二模各区29题（含答案）昌平29. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如()()2y a x m a x m =-+-与()()2y a x m a x m =---的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”． （1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ； （2）判断二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．备用图朝阳29.如图，顶点为A （－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P 在该图象上，OP 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点A 对称，连接PN ，ON .（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P 的坐标是（－6,3），求△OPN 的面积； （3）当点P 在对称轴l 左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：① 求证：∠PNM ＝∠ONM ；② 若△OPN 为直角三角形，请直接写出所有符合 条件的点P 的坐标.丰台29.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ≤，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2． （1）分别判断函数1y x=-（0x ＜）和23y x =-（2x ＜） 是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界； （2）如果函数2y x =-+ （,a x b b a ≤≤＞）的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围；（3）如果函数222y x ax =-+（15x ≤≤）是以3为上确界的 有上界函数，求实数a 的值.怀柔29. 阅读理解：学习了三角形全等的判定方法:“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”和直角三角形全等的判定方法“HL ”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA ”的情形进行研究．我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D . 初步探究：如图1，已知AC=DF, ∠A =∠D ,过C 作CH ⊥射线AM 于点H ，对△ABC 的CB 边进行分类，可分为“CB<CH ，CB=CH ，CH<CB<CA ，”三种情况进行探究．深入探究： 第一种情况，当BC<CH 时，不能构成△ABC 和△DEF ．第二种情况，（1）如图2，当BC=CH 时，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，根据 ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．HNANA第三种情况，（2）当CH<BC<CA 时，△ABC 和△DEF 不一定全等．请你用尺规在图1的两个图形中分别补全△ABC 和△DEF,使△DEF 和△ABC 不全等（表明字母，不写作法，保留作图痕迹）．（3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH 时，才一定能使△ABC ≌△DEF ． 除了上述三种情况外，BC 边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC ≌△DEF ？写出结论,并利用备用图证明.石景山29．对于平面直角坐标系xOy 中的点(),P m n ，定义一种变换：作点(),P m n 关于y 轴对称的点'P ，再将'P 向左平移()0k k >个单位得到点'k P ，'k P 叫做对点(),P m n 的k 阶“ℜ”变换．（1）求()3,2P 的3阶“ℜ”变换后3'P 的坐标；（2）若直线33y x =-与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点A 的2阶“ℜ”变换后得到点C ，求过,,A B C 三点的抛物线M 的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线M 的对称轴与x 轴交于D ，若在抛物线M 对称轴上存在一点E ，使得以,,E D B 为顶点的三角形是等腰三角形，求点E 的坐标．房山29.如图1，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两抛物线L 1、L 2互称为“友好”抛物线. （1）一条抛物线的“友好”抛物线有_______条.A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数 （2）如图2，已知抛物线L 3：2284y x x =-+与y 轴交于点C ，点C 关于该抛物线对称轴的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的表达式;（3）若抛物线21()y a x m n =-+的“友好”抛物线的解析式为22()y a x h k =-+,请直接写出1a 与2a 的关系式为 .ANH图2图1平谷29．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为（1，0）点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线CD 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为（p ，q ），且∠BOD =120°．请画出图形，并直接写出p ，q 的关系式； （3）如图3，点M 的“距离坐标”为（1，且∠AOB =30°，求OM 的长．顺义29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，其中B （6，0），与y 轴交于点C （0，8），点P 是x 轴上方的抛物线上一动点（不与点C 重合）． （1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，点E 关于直线PC 的对称点为'E ，若点'E 落在y 轴上（不与点C 重合），请判断以P ，C ，E ，'E 为顶点的四边形的形状， 并说明理由； （3）在（2）的条件下直接写出点P 的坐标．图1O D C B A 图2 图3备用图西城29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 半径为1．在A ，B两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画 出一个即可）（2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，且线段EF 关于原点O 的τ，求m 的值； （3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．东城29．定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的等分线。
2015初三二模数学试题参考答案
初三二模数学试题参考答案一．选择题：1-5：BDCAC ，6-10：BDCDA二．填空题：11． 1，-1 ；12． 12 ；13.A. 120°；B. 2.64；14. 3324-.17.解：原式=÷=•=﹣， ……2分解方程x 2﹣4x +3=0得，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，x 1=1，x 2=3．……3分 当x =1时，原式无意义； ……4分当x =3时，原式=﹣=﹣51．……5分18.（1）证明：∵DF ∥BE ， ∴∠FDO=∠EBO ，∠DFO=∠BEO ， ∵O 为AC 的中点， ∴OA=OC ， 又∵AE=CF ，∴OA ﹣AE=OC ﹣CF ，即OE=OF ， 在△BOE 和△DOF 中，，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；……3分（2）若OD=AC ，则四边形ABCD 是矩形，理由如下： 证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB=OD ，∵OD=AC∴OA=OB=OC=OD ，即BD=AC ， ∴四边形ABCD 为矩形．……6分≈0.9，sin44°=，，的图象过 y=，的图象上，=，解得y=，+22.（1）2……3分（2）树状图（或列表法）略.共有16种等可能结果，其中两张卡片都是中心对称图形的有4种 P （两张都是中心对称图形）＝164=41………8分23.（1）证明：连接OB∵OB ＝OA ，CE ＝CB ，∴∠A ＝∠OBA ，∠CEB ＝∠又∵CD ⊥OA ，∴∠A ＋∠AED ＝∠A ＋∠CEB ＝90° ∴∠OBA＋∠ABC ＝90°，∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ………3分 （2）过点C 作CG ⊥BE 于点G ， ∵CE ＝CB ，∴EG ＝12BE ＝5 又Rt △ADE ∽Rt △CGE ，∴sin ∠ECG ＝sin A ＝ 5 13∴CE ＝EGsin ∠ECG＝13，∴CG ＝CE 2－EG 2＝12又CD ＝15，CE ＝13，∴DE ＝2 由Rt △ADE ∽Rt △CGE ，得 ADCG ＝DEGE∴AD ＝DE GE·CG ＝245∴⊙O 的半径为2AD ＝485……8分24.解：（1）∵y=2x+2， ∴当x=0时，y=2， ∴B（0，2）．当y=0时，x=﹣1， ∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点B （0，2），D （3，﹣4）， ∴解得：，∴y=﹣x 2+x+2； ……4分（2）E(49,21) ……6分（3）设直线BD 的解析式为y=kx+b ，由题意，得，解得：，∴直线BD 的解析式为：y=﹣2x+2； 设P （b ，﹣b 2+b+2），H （b ，﹣2b+2）．如图3，∵四边形BOHP 是平行四边形， ∴BO=PH=2．∵PH=﹣b 2+b+2+2b ﹣2=﹣b 2+3b ． ∴2=﹣b 2+3b ∴b 1=1，b 2=2．当b=1时，P （1，2）， 当b=2时，P （2，0）∴P 点的坐标为（1，2）或（2，0）．……10分 25.解：∵AB=10cm，AC=8cm ，BC=6cm ，∴由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，∠C 为直角． （1）BP=2t ，则AP=10﹣2t ． ∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，∴当t=s 时，PQ∥BC． ……3分（2）如答图1所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ． ∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6﹣t ．S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t ）=﹣t 2+6t=﹣（t ﹣）2+，∴当t=s 时，S 取得最大值，最大值为cm 2．……6分（3）假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分， 则有S △AQP =S △ABC ，而S △ABC =AC•BC=24，∴此时S △AQP =12．由（2）可知，S △AQP =﹣t 2+6t ，∴﹣t 2+6t=12，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．……9分 （4）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ． 如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC， ∴，即，解得：PD=6﹣t ，AD=8﹣t ，∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t．在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（﹣t2+6t）=2×[﹣×（）2+6×]=cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．…12分。
房山二模答案
房山区中考二模数学试题答案 数学试卷参考答案和评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分） CBDC ABDA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 0 10. 20 11. 有两个不相等的实数根 12. 2，，，413三、解答题（本题共30分，每小题5分）13、原式333231=-+-----------------------------------------4分 534= -----------------------------------------------------5分 14、 2(1)2(2)(2)(1)x x x x +--=-+------------------------------1分2221242x x x x x ++-+=------------------------------------3分7x =- -----------------------------------4分经检验，7x =-是原方程的根．----------------------------------5分15、∵AB ∥ED,∴∠ABC=∠DEF. -----------------------------------------------------1分 ∵BE=CF,∴ BC=EF. --------------------------------------------------------------2分 又∠ACB=∠F, ---------------------------------------------------------3分 ∴△ABC ≌△DEF ．--------------------------------------------------4分 ∴AC=DF ．-------------------------------------------------------------5分16、原式22221943x x x x x =-++-+-+------------------------3分2364x x =-+ -------------------------------------------------4分∵2220x x --=F EDCBA∴ 222x x -= ∴原式23(2)4x x =-+64=+10=-------------------------------------------------------------5分17、依题意得，反比例函数k y x =的解析式为3y x=-．-------------2分 因为点A （-1，n ）在反比例函数3y x=-的图象上， 所以n=3． -----------------------------------------------------------------5分 18、解法1：设第一天捐款x 人，则第二天捐款（x +50）人，------1分依题意得 x4800=506000+x ． ---------------------------------------2分解得 x =200． -----------------------------------------------3分 经检验x =200是原方程的解． ----------------------------------------4分 两天捐款人数x +（x +50）=450， 人均捐款x4800=24（元）． 答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元． ------------5分解法2：设人均捐款x 元， 由题意列方程 6000x －4800x＝50 ． 解得 x =24． 以下略．四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分） 19、过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F,---------------------------------------1分 ∵AD ∥BC ，∴四边形ABFD 是平行四边形． ∴BF=AD=1，AB=DF ∴FE=BE-BF=4-1=3.C---------------------------------------2分∵DF ∥AB ，∴∠DFC=30B ∠=．在Rt △DFC 中，3tan 303DC FC FC =⋅=, 在Rt △DEC 中，tan603DC EC EC =⋅=,∴3FC= )EC +=, ∴EC=32．-----------------------------------------------------------------4分∴AB=DF=33cos303FC+==--------------5分20、(1)连结OP,AP. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠APB=90. ∴∠APC=90. ∵Q 为AC 的中点 ∴PQ=AQ=QC.-------------------------------------------1分 ∴∠PAQ=∠APQ ∵OA=OP, ∴∠OAP=∠OPA∴∠PAQ+∠OAP=∠APQ+∠OPA 即∠OAQ=∠OPQ∵∠BAC=90, ∴∠OPQ=90, ∴PQ ⊥OP∴PQ 与⊙O 相切.--------------------------2分 （2）∵PQ=2 ∴AC=4.∵∠BAC=90，AP ⊥BC 于P ，∴△ACP ∽△BCA.------------------------------------3分 ∴AC PCBC AC= ∴2AC PC BC =⋅ ∵BP=6， ∴16=PC(6+PC)∴ PC=2 (负值舍去)--------------------------------4分 ∴BC=8,∴=∴所求圆的半径为．----------------5分21、（1）15，20，略 -----------------------------------3分 （2）60020%120⨯= ----------------------------5分 答：由于“长时间看电视”影响眼睛健康的有120人. （3）略． ---------------------------------------------------------------------------6分 22、-6-6-1-2-3-5-412345-46-5-3-2-1654321yxCBAO DP Q注1：画出“矩形”或“等腰梯形”，各给1分；画出另一类图形（后两种可以看作一类），给2分；注2：如果在类似图③或图④的图中画出凹四边形，同样给分（两种都画，只给一种的分）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23、（1）因为点(4)C n ，在直线334y x =+上， 所以n=6．---------------------------------------------------------------------1分由点(4)C n ，在反比例函数ky x=的图象上， 可求得k=24．∴反比例函数的解析式为24y x=．------------------------------------------------3分(2) A(-4,0), B(0,3) C(4,6) ,AD=8,CD=6,AC=10,AQ=10-m ，AO=4,OB=3,AB=5当△APQ ∽△AOB,即AP AQAO AB =, 1045m m -∴=， 409m =-------------------5分当△AQP ∽△AOB, 即AP AQAB AO=,1054m m -∴=， 509m = -------------------7分综上所述，当409m =或509m =时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．24.（1）PQ=PB.过点P 作PC ⊥x 轴于点C,PD ⊥y 轴于点D ． ∵点P 在直线1y x =-上， ∴PC=PD.∵∠PCO=∠COD=∠ODP=90, ∴∠CPD=90. 又∵∠BPQ=90,∴∠BPC=∠QPD,------------1分 ∵∠PCB=∠PDQ=90, ∴△PCB ≌△PDQ.∴PB = PQ ．（2）△POQ 可能成为等腰三角形．设P(-x, x)①当点P 与点A 重合时，PQ ＝QO ，△POQ 是等腰三角形，此时P （-1，1）； ------------------------------------------3分 ②当点Q 在x 轴负半轴上，且OP ＝OQ 时，△POQ 是等腰三角形（如图）． 此时，QN ＝PM ＝1-x ，ON ＝x ，DE所以OQ＝QN－ON＝1-2x，当时，解得x=．∴P()．-------5分(3) OB+OQ ---------6分OB-OQ= ----------7分25、（1）证明：过E点作EN⊥CH于∵E F⊥BD，CH⊥BD，∴四边形EFHN是矩形.∴EF=NH，FH∥EN．∴∠DBC=∠NEC.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且互相平分∴∠DBC=∠ACB. ∴∠NEC =∠ACB.∵EG⊥A C，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°，又EC=EC，∴△EGC≌△CNE. -------------------------------------------------------3分∴EG=CN .∴C H=CN+NH=EG+EF -----------------------------------------------4分（2）猜想ＣH=EF－EG．------------------------------------------------------5分（3）EF+EG=12BD . -----------------------------------------------------------6分（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高. 如图①，有CG=PF-PN.注：图1分（画一个图即可），题设的条件和结论1分．。
2015北京各区中考数学二模26、27、28题汇编(带答案)
（用含 x 的式子表示） ，
【问题解决】
2015 北京模拟 2 / 18
已知，如图 2，点 M、N、P 为圆 O 上的三点，且∠P=β，tanβ = 1 ，求 sin2β 的值. 2
y
C B
2α
M
β
P
A
D
D
O
α
A
N
O
B
O C
x
图1
图2
26． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 各边都平行于坐标轴，且 A（-2，2） ，C（3，-2） ．对矩形 ABCD 及其内部的点进行如下操作： 把每个点的横坐标乘以 a， 纵坐标乘以 b， 将得到的点再向右平移 k （k 0） 个单位，得到矩形 A ' B ' C ' D ' 及其内部的点（ A ' B ' C ' D ' 分别与 ABCD 对应） ．E（2，1）经过上述操作后的对应 点记为 E ' ． （1）若 a=2，b=-3，k=2，则点 D 的坐标为 ，点 D ' 的坐标为 ； （2）若 A ' （1，4） ， C ' （6，-4） ，求点 E ' 的坐标． 26．阅读下面的材料： 小明遇到一个问题：如图 1，在□ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G. 如果 AF 3 ，求 CD 的值． CG EF 他的做法是：过点 E 作 EH∥AB 交 BG 于点 H，那么可以得到△BAF∽△HEF． 请回答： （1）AB 和 EH 之间的数量关系是 ，CG 和 EH 之间的数量关系是 ， CD 的值为 ．
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 o –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5
2015北京中考数学二模试题28题汇编及答案
2015北京中考数学二模试题28题汇编及答案28．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC =α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，DAE∠+BAC∠=180°．（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．图1 图2 图328．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH 的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．28. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD . (1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2) 若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.28． 已知△ABC 是锐角三角形，BA =BC ，点E 为AC 边的中点，点D 为AB 边上一点，且∠ABC =∠AED =α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE = °；（2） 如图2，取BC 边的中点F ，联结FD ，将∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN ，EM 与BA 的延长线交于点M ， EN 与FD 的延长线交于点N ． ①依题意补全图形；②猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论．图3EAC图1 图228．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心．（1）将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转︒90，点E 的对应点为点F ，连结EF ，AE ，BF ，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE 与BF 的关系；（3）如图2，点G 是OA 中点，△EGF 是等腰直角三角形，H 是EF 的中点，︒=∠90EGF，AB =2=GE ，△EGF 绕G 点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH 的最大值．ECCBH EFGODA图1图228．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,连接PB，那么P A、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A2+PC2=PB2 .小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法.这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：（1）如图2，点P在∠ABC的内部，①P A=4，PC=PB= .②用等式表示P A、PB、PC之间的数量关系，并证明.（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.图1 图228．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．EF OA BCD28.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F . BE 与FC 相交于点H .（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN = 22FC ;（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .28.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ． （1）补全图形； （2）求证：OG =OH ；（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．图3CDD图2图1ABPCBCPA图2图1图328．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°，∠B =80°．则∠C = 度，∠D = 度． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．28．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A到BP 的距离．图1 图2DAB CPDC AB图1图228．如图①，∠MON =60°，点A ，B 为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B 不与点O 重合），且AB =34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP =BP ，∠APB =120°． （1）求AP的长；（2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，P A 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ．当A B ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 周长的值．图① 图②OO答案28．(本小题满分7分) （1）∠ADE=90α︒-．…………………………………………………………… ……………………….…1分（2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=． …………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒． …………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ， ∴BD =CD ．……………………………………………………………………………………..……………4分 ②证明：∵AB =AC ，∠ABC =， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AE ∥BF , AE =BF ． ∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………………………………………5分由（1）知，2DAE α∠=， ∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠．α∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ． ∴BD =CF ．………………………………………………………………………………………………………7分28．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1．∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分 （3）3．………………………………………………………………………7分28．（1）①解： BE AD =，BE AD ⊥；……2分 ②BE AD =，BE AD ⊥仍然成立；证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，如图1. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠. 在ACD △和BCE △中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD BCE △≌△.∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠.……3分∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BE AD ⊥.……4分（2）证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 的延长线与AD 的交点为点G ，如图2. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠.∵8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，∴43CA CD CB CE ==. ∴ACD BCE △∽△.……5分∴CAD CBE ∠=∠.∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒，∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BG AD ⊥.……6分 ∴90AGE BGD ∠=∠=︒.∴222AE AG EG =+，222BD BG DG =+. ∴222222BD AE AG EG BG DG +=+++. ∵222AG BG AB +=，222EG DG ED +=，∴22222222125BD AE AB ED CA CB CD CE +=+=+++=.……7分28. 解：（1）°70ADE ∠=；…….1分（2）①见右图；…….2分②EM EN =．…….3分 证明：∵ABC AED α∠=∠=，BAC BAC ∠=∠． ∴°902EDA ACB α∠=∠=-．∵BA BC =， ∴ACB BAC ∠=∠，即EDA BAC ∠=∠． ∴EA ED = . …….4分 ∵E 是AC 中点，∴EA EC =． ∴EA EC ED ==． ∴点,,A D C 在以AC 为直径的圆上．∴°90ADC ∠=．. …….5分 而°°°°180180(90)9022EAM EAD αα∠=-∠=--=+．∵点F 是BC 中点，∴FD FB =．∴FDB ABC α∠=∠=． ∴°°909022EDN EDA ADN EDA FDB ααα∠=∠+∠=∠+∠=-+=+.∴EAM EDN ∠=∠．…….6分 ∵ ∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ， ∴ ∠AED=∠MEN ，∴∠AED - ∠AEN=∠MEN -∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED ． ∴ ΔEAM ≌ΔEPN ． ∴ EM=EN ．…….7分28．解：（1）正确画出图形；………………1分（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分 ∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF ∴OF OE =∴∠AOB ＝∠EOF ＝90∴∠EOA ＝∠FOB ……4分 在△EOA 和△FOB 中，OF OE =，OB OA =，∠EOA ＝∠FOB ，∴△EOA ≌△FOB ∴BF AE =.……5分 ∴∠OEA ＝∠OFB ∵∠OEA +∠OHA ∴∠OFB +∠FHG =90 ∴AE ⊥BF ……6分（3）BH 的最大值为25+……8分28. （1）①72；……………………………………………………………………………1分②222PB PC PA =+. …………………………………………………………2分证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分∴∠1＝∠2. ∵AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP ′. …………………………4分 ∴PA ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′. 在四边形ABCP 中，∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°， ∴∠A ＋∠BCP ＝270°.∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形. ∴PP ′＝PB .在Rt △PCP ′中，222''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴222PB PC PA =+.（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P 在CB 的延长线上时，结论为222PC PB PA =+.（说明：答案不惟一）……………………………………………………………………………………………7分28．解：（1）∵边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ， ∴BA = BP ，∵α=60°，∴△ABP 是等边三角形，..................................1分 ∴∠BAP =60º，AP = AC ， 又∵∠BAC =90°，∴∠PAC =30º，∠ACP =75º，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC=15º．....................................................................2分（2）结论：∠DPC=75º．..................................................3分（3）画图.............................................................................4分过点A作AE⊥BP于E．∴∠AEB=90º，∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，又∵BA= BP，∴∠2=∠3=15º，∴∠PAE=75º，∵∠BAC=90°，∴∠4=75º，∴∠PAE=∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP=∠ADP =90º，∴△APE≌△APD，..............................................................5分∴AE= AD，在Rt△ABE中，∠1=30º，∴12AE AB=，又∵AB=AC，∴1122AE AD AB AC ===，∴AD=CD，又∵∠ADP=∠CDP=90º，∴△ADP≌△CDP，.............................................................6分∴∠DCP=∠4=75º，∴∠DPC=15º．.......................................................................7分4123EDBAC PEBC P321EAPC BD28.（1）=BE CF ． ………………………………………………………………2分 （2）证明：如图2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，BD 为斜边中线 ∴BD =AD =CD =12AC ，BD ⊥AC∵ △EFD 是由△ABD 旋转得到的，∴DE =DF =DB =DC ，∠EDF =∠ADB =∠BDC =90° ∴∠EDF +∠BDF =∠BDC +∠BDF ，即∠BDE =∠FDC ∴△BDE ≌△FDC ∴BE =FC 且∠1=∠2 又∵∴ ,即…………………………………………3分 连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG . ∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点 ∴MG ∥BE ，MG =12BE ；NG ∥FC ，NG =12FC 又∵EB =FC ，BE ⊥FC ∴MG =NG ，∠MGN =90° ∴△MGN 为等腰直角三角形∴MN =22FC …………………………………………………………………5分 （3） ……………………………………………………………7分28．解：（1）………………………………∠3=∠4FHE FDE ︒==90∠∠BE CF ⊥222BF CE AC +=B图2………… 1分 （2）证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ． ∴∠DAE =∠AEB，∠BAE =∠DPA ． ……………………………………… 2分∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DPA ． ∴BA =BE，DA =DP ， ……………………………………………………… 3分又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ， ∴G为AE中点，H为AP中点． …………………………………………… 4分又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-， ()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． …………………………… 5分∴OG =OH ． ………………………………………………………………… 6分 （3）717． ……………………………………………………………………………… 7分28．解：（1）∠D =80°， (1)B∠C =130°； (2)（2）①如图2，连接BD ， ∵AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB ．………………………………………………3 ∵∠ABC =∠ADC ，∴∠ABC ﹣∠ABD =∠ADC ﹣∠ADB ． ∴∠CBD =∠CDB ．∴CB =CD ．………………………………………………………4 （3）（Ⅰ）如图，当∠ADC =∠ABC =90°时，延长AD ，BC 相交于点E ， ∵∠ABC =90°，∠DAB =60°，AB =5， ∴AE =10．∴DE =AE ﹣AD =10﹣4═6．……………………………………5 ∵∠EDC =90°，∠E =30°，∴CD∴AC=2 (6)（Ⅱ）如图，当∠BCD =∠DAB =60°时，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ， ∵DM ⊥AB ，∠DAB =60°，AD =4， ∴AM =2，DM=2∴BM =AB ﹣AM =5﹣2=3．………………………………………7 ∵四边形BNDM 是矩形， ∴DN =BM =3，BN =DM∵∠BCD =60°， ∴CN∴BC =CN +BN∴AC=2……………………………………………………8 即AC28．（本小题满分7分）解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分 ② ∠ADC +∠CDE =180°．……………………………………………2分 （2）线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系是AE =BE +2CM ，理由如下： ∵ 线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ， ∴ CD =CE ，∠DCE =90°． ∴ ∠CDE =∠CED =45°．又∵ ∠ADC =135°， ∴ ∠ADC +∠CDE =180°，∴ A 、D 、E 三点在同一条直线上.∴ AE =AD +DE . …………………………………………………………3分 又∵ ∠ACB =90°，AAMDABCE∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．………………………………………………………………4分∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．…………………………………………………………5分∴AE=BE+2CM．……………………………………………………6分（3）点A到BP的距离为．…………………………………………7分。
2015北京各区中考数学二模25题全面总结及答案
2015北京各区中考数学25题汇编及答案25．如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上， CE =CA ， AB ，CE 的延长线交于点F ． （1） 求证：CE 与⊙O 相切；（2） 若⊙O 的半径为3，EF =4，求BD 的长．25．如图1，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 在线段ED 上．连接AF 并延长交 ⊙O 于点G ，在CD 的延长线上取一点P ，使PF=PG ．（1）依题意补全图形，判断PG 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E 为半径OA 的中点，DG ∥AB，且OA PG 的长．25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于 点D ，交⊙O 的切线BE 于点E ，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；F（2）若DF =3，DE =2．①求值；②求FAB ∠的度数．25．如图，点A B C D E 、、、、在⊙O 上，AB CB ⊥于点B ，tan 3D =，2BC=，H为CE 延长线上一点，且AH =CH =（1）求证：AH 是⊙O 的切线；（2）若点D 是弧CE 的中点，且AD 交CE 于点F ，求EF 的长．25．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD 是⊙O的直径，P A ∥BC ，与DB 的延长线交于点P ，连接AD ． （1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）若BC =4 ，求AD 的长．25．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 上一点，且AD =DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE是⊙O 的直径，连结DE ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；BEADCC（2）若4sin 5C =，AC =6，求⊙O 的直径．25．如图，AB 是⊙O 的直径．半径OD 垂直弦AC 于点E ．F 是BA 延长线上一点，CDB BFD ∠=∠．（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AB =10，AC =8，求DF 的长．25．如图，AB 是⊙O 的直径，以AB 为边作△ABC ，使得AC = AB ，BC 交⊙O 于点D ，联结OD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ．25．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B 作BD ⊥AE 于D ．（1）求证：∠DBA =∠ABC ；（2）如果BD =1，tan ∠BAD =12，求⊙O 的半径．25.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点， AD ⊥ DC 于D , 且AC 平分∠DAB ，延长DC 交AB 的延长线于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若tan ABC =43∠，BE =PC 的长．25．如图，△ABC 内接于⊙O ，OC ⊥AB 于点E ，点D 在OC 的延长线上，且∠B =∠D =30°.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AB =求⊙O 的半径．25．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 边上，过点E 作EF ⊥BC ，延长FE 交⊙O 的切线AG 于点G ． （1）求证：GA =GE ．PE（2）若AC =6，AB =8，BE =3，求线段OE 的长．答案25．(本小题满分5分) 证明：连接OE ，OC ．在△OEC 与△OAC 中， ,,,OE OA OC OC CE CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩F∴△OEC ≌△OAC ． (1)分∴∠OEC =∠OAC ．∵∠OAC =90°，∴∠OEC =90°． ∴OE ⊥CF 于E ． ∴CF与⊙O相切．………………………………………………………………………………...2分（2）解：连接AD ．∵∠OEC =90°， ∴∠OEF =90°． ∵⊙O 的半径为3， ∴OE =OA=3．在Rt △OEF 中，∠OEF =90°，OE = 3，EF = 4，∴5OF ，………………………………………………………………………3分3tan 4OE F EF ==． 在Rt △F AC 中，∠F AC =90°，8AF AO OF =+=， ∴tan 6AC AF F =⋅=．…………………………………………………………………………4分∵AB 为直径，∴AB =6=AC ，∠ADB =90°． ∴BD =2BC． 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∴BC =F∴BD=．…………………………………………………………………………………….5分25. 解：（1）补全图形如图5所示. ………………………………………………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切. 证明：如图6，连接OG .∵ PF =PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG =OA ， ∴ ∠3=∠A .∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A +∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ，∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG . ∵ OG 为⊙O 的半径，∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG . ∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC =90°. ∵ DG ∥AB ，∴∠GDC =∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点， ∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE =30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP =90°，2CG OA ==A∴tan 4PG CG GCP =⋅∠==. …………………………… 5分25. （1）连结OD ， ∵AD 平分∠BAC ∴∠DAF ＝∠DAO ∵OA =OD ∴∠OAD ＝∠ODA ∴∠ DAF ＝∠ODA ∴AF ∥OD ．┉┉1分 ∵DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ∴DF 是⊙O 的切线┉┉2分 （2）①连接BD ∵直径AB ， ∴∠ADB =90° ∵圆O 与BE 相切 ∴∠ABE =90°∵∠DAB +∠DBA =∠DBA +∠DBE =90° ∴∠DAB =∠DBE ∴∠DBE =∠F AD ∵∠BDE=∠AFD =90° ∴△BDE ∽△AFD ∴32==DF DE AD BE ┉┉3分 ②连接OC ，交AD 于G 由①，设BE =2x ，则AD =3x ∵△BDE ∽△ABE ∴BE DE AE BE =∴xx x 22232=+∵AB BC ⊥于点B∴AC 是⊙O 的直径…………………………………1分 ∵D ACB ∠=∠，∴tan tan 3D ACB =∠= 在Rt ABC ∆中，2BC =，∴36AB BC == 由勾股定理AC =在CAH ∆中，由勾股定理逆定理：22250AC AH CH +==∴90CAH ∠=°即CA AH ⊥∴AH 是⊙O 的切线…………………………………2分 （2）解：∵点D 是弧CE 的中点∴EAD DAC ∠=∠…………………………………3分 ∵AC 是⊙O 的直径 ∴AE CH ⊥∴90H EAH H HCA ∠+∠=∠+∠=° ∴EAH HCA ∠=∠∴EAD EAH DAC HCA ∠+∠=∠+∠ 即AFH HAF ∠=∠∴HF HA =∵CA AH ⊥AE CH ⊥∴2AH EH CH =⨯可得EH = ∴EF =5分25.（1）证明：连接OA 交BC 于点E ，由AB =AC 可得OA ⊥BC ．………………………1分C B∵PA ∥BC ， ∴∠PAO =∠BEO =90°. ∵OA 为⊙O 的半径，∴PA 为⊙O 的切线. …………………………… 2分 （2）解：根据（1）可得CE =21BC=2． Rt △ACE 中，122=-=CE AC AE . ………………………………3分∴tan C =21=CE AE ． ∵BD 是直径，∴∠BAD =90°．…………………………………………………………4分 又∵∠D =∠C ， ∴AD =52tan =DAB.………………………………………………………5分25． （1）证明：∵AB =AC ，AD =DC ，∴∠1=∠C =∠B ，..................................................1分 又∵∠E =∠B ，∴∠1=∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE =90°， ∴∠E +∠EAD =90°， ∴∠1+∠EAD =90°，∴AC 是⊙O 的切线．...........................................2分 （2）解：过点D 作DF ⊥AC 于点F ， ∵DA =DC ，AC =6， ∴CF =12AC =3，..................................... ............3分 ∵4sin 5E =，∴4sin 5C =， ∴在Rt △DFC 中，DF =4，DC =5， ∴AD =5，∵∠ADE =∠DFC =90°，∠E =∠C ，∴△ADE ∽△DFC ，.............................................4分C∴AD DFAE DC =， ∴545AE =， ∴AE =254，∴⊙O 的直径为254．....................5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠，∴BFD CAB ∠=∠． ∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，∴DF OD ⊥． ∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8，∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEORt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆． ∴DF AEOD OE = ． ∴DF453=． ∴321DF CEB A O320=DF ． ………………………………………………… 5分25．（1）证明：联结AD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，AD ⊥BC .∵AC = AB ，∴12∠=∠．…….1分 ∵OA OD =，∴13∠=∠． ∴23∠=∠，∴OD ∥AC ．…….2分（2）∵AC = AB =10，∴B C ∠=∠．∴cos C=cos 5ABC ∠=． 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，cos 5BD ABC AB ∠==， ∴BDCD = BD….3分∵EF 为⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，由∵OD ∥AC ，∴∠DFC =90°. …….4分 在Rt △CDF 中，cos C=5CF CD =，∴CF =2．∴AF =8． ∵OD ∥AC ，∴ODE ∆∽AFE ∆．∴OE OD AE AF =．∴OB BE ODAB BE AF+=+． ∵152OB OA OD AB ====,∴103BE =．…….5分 25．（本小题满分5分）（1）证明：连接OA .（如图）∵ AE 为⊙O 的切线，BD ⊥AE ， ∴ ∠DAO =∠EDB =90°. ∴ DB ∥AO .∴ ∠DBA =∠BAO . …………1分 又 ∵OA =OB ， ∴ ∠ABC =∠BAO .∴ ∠D B A =∠A B C . ………………………………………………2分（2）在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，C∵ BD =1，tan ∠BAD =12， ∴ AD =2，……………………………………………………………………3分由勾股定理得AB .∴ cos ∠DBA 又∵ BC 为⊙O 的直径， ∴ ∠BAC =90°. 又∵∠DBA =∠ABC .∴ cos ∠ABC = cos ∠DBA∴ 5.cos ABBC ABC===∠…………………………………………4分 ∴ ⊙O 的半径为5.2…………………………………………………………5分25.解：（1）∵ OC =OA∴ ∠CAO =∠OCA ∵ AC 平分∠DAB ∴ ∠DAC =∠CAO ， ∴ ∠ACO =∠DAC ． ∴ OC ∥AD ．…………………………………………………………………….1分 ∵ AD ⊥PD ， ∴OC ⊥PD ． ∴ PD 是⊙O 的切线……………………………………………………………...2分（2）连接AE ．∵CE 平分∠ACB ，∴AE BE =，∴AE BE == ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°．在Rt △ABE 中，14AB =………………………………………3分 ∵ ∠P AC =∠PCB ，∠P =∠P ， ∴ △P AC ∽△PCB ， ∴ PC AC PB BC =．…………………………………………………………………..4分 又∵4tan 3ABC =∠，∴43AC PCBC PB==， 设PC =4k ，PB =3k ，则在Rt △POC 中，PO =3k +7，OC =7，∵ PC 2+OC 2=OP 2， ∴()()2224737k k +=+， ∴ 126,0k k ==(舍去)．∴ PC =4k =4×6=24． …………………………………………………………..5分25证明：（1）连接OA .∵∠B =∠D =30°，∴∠AOC =2∠B =60°，……………………….(1分) ∴∠OAD =180°-∠AOD -∠D =90°，…………….(2分) 即OA ⊥AD ,∴AD 是⊙O 的切线.……………….(3分)（2）∵OA =OC ,∠AOC =60°，∴△ACO 是等边三角形， ∵CO ⊥AB ∴ ……………………….(4分)在Rt △ABC 中∴⊙O 的半径为6.……………………………….(5分)1122AE AB ==⨯=sin sin60AEACE AC∠==︒6AC ===。
房山区初三二模数学试卷及答案
D.C.B.A.房山区2011年九年级学题统一练习（二）一、选择题（本大题共32分，每小题4分）： 1．-3的相反数等于A ．3B ．－3C ．31 D ．－312．上海世博会永久地标建筑世博轴获“全球生态建筑奖”，该建筑占地面积约为104500平方米．其中104500这个数用科学记数法表示为A ．1.045610⨯ B ．0.1045 510⨯ C ．10．45410⨯ D ．1.045510⨯ 3．下列说法正确的是A ．3B ．对角线相等的四边形是矩形C ．近似数0.2050有4个有效数字D ．两个底角相等的梯形一定是等腰梯形 4．如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是 A ．10 B ．9 C ．8 D ．75．已知两圆的半径分别为3cm ，和5cm ， 圆心距是6cm ，则两圆的位置关系 A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切6．如图所示，电路图上有A 、B 、C 三个开关和一个小灯泡，闭合开关C 或者同时闭合开关A 、B ，都可使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 A ．14 B ．13 C ．23 D ．127．对于一组数据：75，73，75，71，76，下列说法正确的是A ．这组数据的平均数是75B ．这组数据的方差是3.2C ．这组数据的中位数是74D ．这组数据的众数是76 8．将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，以阴影部分为底面放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是二、填空题（本大题共16分，每小题4分）：CDF EBA 9．若分式121x x +-有意义，则x_____________． 10．因式分解：39x x -=______________．11．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离是____________．12．如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）联结DE ，作DE 的中垂线，交AD 于点F ． （1）若E 为AB 中点，则DFAE= ． （2）若E 为AB 的n 等分点(靠近点A)， 则DFAE= ． 三、解答题（本大题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）计算：01(π4)tan 602----． 解：14．（本小题满分5分）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：15．（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°点D 是AB 的中点，延长BC 到点F ， 延长CB 到点E ，使CF=BE ，联结DE 、DC 、DF ．求证：DE=DF ． 证明：16．（本小题满分5分）已知2(2)(2)40x x x y ---+=，求代数式2x -解：FEDCAy-52x 13-4123-1-2-3-1-2O17．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：九年级（1）班的学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度． 解：18．（本小题满分5分）已知反比例函数y ＝ kx 的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点A （2，2）（1）求反比例函数与二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为B ，判断点B 是否在反比例函数的图象上，并说明理由；（3）若反比例函数图象上有一点P ，点P 的横坐标为1，求△AOP 的面积． 解：（1）（2）（3）四、解答题（本大题共20分，每小题5分）： 19．（本小题满分5分）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，过点C 作CD ∥AB ，且CD=2AB ，联结BD ，BD=2．求△ABC 的面积． 解：D C20．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若2BC =，BD =52，求ADAO的值．解：（1）判断：证明：（2）21．（本小题满分5分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“春节”期间，小记者刘凯随机调查了我区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：D BD CB A图① 图②（1）求这次调查的家长人数，并补全图①； （2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？ 解：（1）（3） 22．（本小题满分5分）已知菱形纸片ABCD 的边长为8，∠A=60°，E 为AB 边上的点，过点E 作EF ∥BD 交AD 于点F ．将菱形先沿EF 按图1所示方式折叠，点A 落在点A '处，过点A '作GH ∥BD 分别交线段BC 、DC 于点G 、H,再将菱形沿GH 按图1所示方式折叠，点C 落在点C '处， C G '与C 'H 分别交A E '与A F '于点M 、N ．若点C '在△A 'EF 的内部或边上，此时我们称四边形A MC N ''（即图中阴影部分）为“重叠四边形”．图1 图2 备用图（1）若把菱形纸片ABCD 放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A 、B 、C 、D 、E 恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形A MC N ''的面积；（2）实验探究：设AE 的长为m ，若重叠四边形A MC N ''存在．试用含m 的代数式表示重叠四边形A MC N ''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． 解：（1）重叠四边形A MC N ''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠四边形A MC N ''的面积为______________；m 的取值范围为_____________．五、解答题（本大题共22分，其中第23小题7分，第24小题7分，第25小题8分）： 23．（本小题满分7分）已知：二次函数y=22(2)x n m x m mn +-+-． （1）求证：此二次函数与x 轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数1y nx am=+与222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与1y nx am =+、222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点C 、D ，若CD=6，求点C 、D 的坐标.（1）证明：（2）解：（3）解：24．（本小题满分7分）如图，已知二次函数()220y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ． （1）求一次函数解析式； （2）求顶点P 的坐标； （3）平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标； （４）设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值． 解：（1）（2）（3）（4） 25．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形AOCB 是梯形，AB ∥OC ，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，且2OA 80-=（），OB ＝OC ． （1）求点B 的坐标；（2）点P 从C 点出发，沿线段CO 以5个单位/秒的速度向终点O 匀速运动，过点P 作PH ⊥OB ，垂足为H ，设△HBP 的面积为S （S≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点P 作PM ∥CB 交线段AB 于点M ，过点M 作MR ⊥OC ，垂足为R ，线段MR 分别交直线PH 、OB 于点E 、G ，点F 为线段PM 的中点，联结EF ．①判断EF 与PM 的位置关系； ②当t 为何值时，2EG =？解：（1）（2）（3）房山区2011年九年级数学统一练习（二）答案及评分标准二、 填空题：9. 12≠； 10. (+3)(3)x x x -； 11. 12.251,42n n + ．三、解答题：13．解：原式=112- -----------------------------------------------------------4分=32- ----------------------------------------------------------------------5分 14．解：去括号：5x-1286x ≤- --------------------------------------------------------------1分移项： 58126x x -≤- ------------------------------------------------------------------2分 合并同类项：36x -≤ ---------------------------------------------------------------------3分 系数化1：2x ≥- --------------------------------------------------------------------4分 这个不等式的解集在数轴上表示如下：数轴表示（略） ----------------------------------------------5分 15．证明：∵在△ABC 中，∠ACB=90°,点D 是AB 的中点∴CD=BD ------------------------------------------------------------1分 ∴∠DCE=∠DBF------------------------------------------------------2分 ∵CF=BE ， ∴CE = BF ---------------------------------3分 ∴△DCE ≌△DBF------------------------------------4分∴DE=DF ． -------------------------------------------------5分 16．解：∵2(2)(2)40x x x y ---+=∴222240x x x y --++= --------------------------------------------------2分 ∴2x y -= ---------------------------------------------------3分 当2x y -=时，222x xy y -+=2()x y - ---------------------------------------------------4分 =4 ----------------------------------------------------------------5分 17．解：设慢车的速度为x 千米/小时，则快车速度为1.5x 千米/小时，由题意得：12012011.5x x-= -------------------------------2分 解得： x=40 ------------------------------4分 经经验x=40是所列方程的根，且符合题意 ------------------5分 答：慢车的速度为40千米/小时．18．解：（1）∵反比例函数y ＝ kx的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点A （2，2） ∴k =4 ，a =14∴反比例函数的解析式为：4y x =二次函数的解析式为：2114y x x =+- ------------------------------------2分（2）∵二次函数2114y x x =+-的图象的顶点为B （-2，-2），在4y x= 中，当x=-2时，y=422=-- ∴顶点B （-2，-2）在反比例函数的图象上----------------------------------------------3分 （3）∵点P 在4y x=的图象上，且点P 的横坐标为1 ∴P （1，4） ------------------------------------------------------------------------- 4分FEDCA∴AOP 3S ∆= ------------------------------------------------------------------------ 5分19．解：过点B 作BE ⊥AC 交CD 于E ，过点A 作AF ⊥CB 于F∵CD ∥AB ，AB=AC ， ∴四边形ABEC 是菱形---------------------------------------1分∴BE=CE=AB∵∠BAC=120° ∴∠ABC=30°，∠ABE=60°，∠BED=60° ∵CD=2AB ，BD=2∴△ABC 是等边三角形 ，AB=2 --------------------------------------------------------------------2分 在△ABF 中，∠AFB=90°, ∠ABC=30°，AB =2 ∴AF=1 ---------------------------------------------------------------------------3分 ∴-------------------------------------------------------------------------------4分 ∴△ABC-------------------------------------------------------------------------------5分20．解：（1）直线BD 与O 相切．------------------------------------------------------------------1分证明：如图1，连结OD ．OA OD =，∴A ADO ∠=∠．90C ∠=， ∴90CBD CDB ∠+∠=．又CBD A ∠=∠，∴90ADO CDB ∠+∠=． ∴90ODB ∠=． ∴直线BD 与O 相切． ---------------------------------------------------------------------------2分（2）解法一：如图1，连结DE ．90C ∠=， 2BC =，BD =52∴4cos 5BC CBD BD ∠==． ---------------------------------------------------------------------------3分AE 是O 的直径， ∴90ADE ∠=．∴cos ADA AE=． ∵CBD A ∠=∠， ∴AD AE =BC BD =45．----------------------------------------------------------------------------------------4分 ∵AE=2AO ∴AD AO =85---------------------------------------------------------------------------------------------------5分 F E A BCD解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． ∴12AH DH AD ==． ∴cos AH A AO = 90C ∠=， 2BC =，BD =52 ∴4cos 5BC CBD BD ∠==．-------------------------------------------------------------------------- 3分∵CBD A ∠=∠， ∴AHAO =BCBD =45．-------------------------------------------------------------------------------------4分 ∴ADAO =85 -----------------------------------------------------------------------------------------5分21．解：（1）家长人数为80÷20%=400 ----------------------------------------1分正确补图① -----------------------------------------------------------2分(2)表示家长“赞同”的圆心角度数为︒=︒⨯3636040040--------------------3分（3）学生持“无所谓”态度的人数为30人，调查的学生数为140+30+30=200人-------------------------------------------4分学生恰好持“无所谓”态度的概率是15.0303014030=++ -----------------5分22．解：（1）重叠四边形A MC N ''的面积为 32； - -----------------------------------2分（2）用含m 的代数式表示重叠四边形A MC N ''的面积为 2m -823）（；-----4分m 的取值范围为 316≤m ＜8 ----------------------------5分23．（1）证明：令0y =，则有22(2)0x n m x m mn +-+-=△=222(2)4()n m m mn n ---= -----------------------------------------------------------1分∵20n ≥∴△≥0 -----------------------------------------------2分∴二次函数y=22(2)x n m x m mn +-+-与x 轴有交点（2）解：解法一：由101m m -==得，方程22(2)0x n m x m mn +-+-=可化为 2(2)10x n x n +-+-=解得：11x x n ==-或 -------------------------------------------------------------------3分∴方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1 ----------------------------------4分解法二：由101m m -==得，方程22(2)0x n m x m mn +-+-=可化为 2(2)10x n x n +-+-=当x=1时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0方程右边=0∴左边=右边 -----------------------------------------------------------3分∴方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1 -------------------4分（3）解：方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的根是：121,1x x n ==- ∴1a n =-当x =2时，11y n =+，22251y n n =-++ ----------------------------------5分设点C （,1b b +）则点D （2,251b b b -++）∵CD=6 ， ∴221(251)62b 51(1)6b b b b b +--++=-++-+=或∴31b b ==-或 -----------------------------------------------------------6分∴C 、D 两点的坐标分别为C （3，4），D （3，-2）或C （-1，0），D （-1，-6）------7分24．解：（1）∵A （-1，0）,∴OA=1∵OB=3OA ，∴B （0，3）----------------------------------------------------------------------------1分∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3 -----------------------------------------2分(2)∵二次函数()220y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3）， ∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++ ------------------------------------------------------3分∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）-----------------------------------------------------4分(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+∵直线3y x b =+过P （1，4）∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=设M （x,3x+1）① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11(,2)3M --------------------------------------------------------------------5分 ②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M -23-） ----------------------------------------------------------------6分 （4）作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N-----------------------------------------------------------7分25．解：（1）如图1，过点B 作BN ⊥OC ，垂足为N∵2OA 80-+=（），OB=OC ∴OA=8，OC=10 -------------------------------1分∴OB=OC=10, BN=OA=8 ∴.6==22BN -OB ON∴B(6,8) ----------------------------------------------2分（2）如图1，∵∠BON=∠POH, ∠ONB=∠OHP=90°.∴△BON ∽△POH ∴PHBN OH ON PO BO == ∵PC=5t. ∴OP=10-5t. ∴OH=6-3t. PH=8-4t.∴BH=OB-OH=10-(6-3t)=3t+4 ∴1646)48)(43(2++-=-+=t t t t 21S ------------------------------------ 3分 ∴t 的取值范围是：0≤t ＜2 ------------------------------------------4分（3）①EF ⊥PM ----------------------------------------------------5分∵MR ⊥OC ，PH ⊥OB∴∠RPM+∠RMP=90°，∠HPD+∠HDP=90°∵OC=OB ∴∠OCB=∠OBC.∵BC ∥PM∴∠RPM=∠HDP ，∴∠RMP=∠HPD ，即：∠ EMP=∠HPM∴EM=EP∵点F 为PM 的中点 ∴EF ⊥PM ----------6分②如图2过点B 作BN′⊥OC ，垂足为 N′，BN′=8,CN′=4∵BC ∥PM,MR ⊥OC∴△MRP ≌△B N′C∴PR=C N′=4设EM=x,则EP=x在△PER 中，∠ERP=90°，RE=MR-ME=8-x有222(8)4x x --=，∴x=5∴ME=5∵△MGB ∽△N′BO ∴ON MB B N MG '=' ∵ PM ∥CB ，AB ∥OC∴四边形BMPC 是平行四边形. ∴ BM=PC=5t.第一种情况：当点G 在点E 上方时（如图2）∵EG=2，∴MG=EM-EG=5-2=3 ∴3586t = ∴t=209 --------------------7分第二种情况：当点G 在点E 下方时（如图3） MG=ME+EG=5+2=7， ∴7586t = ，∴t=2021 -------------------------------------------8分 ∴当t=209或2021时，EG =2.。
北京2015初中二模几何汇总及答案
EF OA BCD1昌平.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ． （1）补全图形； （2）求证：OG =OH ；（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．2朝阳．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接PB ，那么P A 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A 2+PC 2=PB 2 .小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB 错误！未找到引用源。
后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，①P A =4，PC =23，PB= .②用等式表示P A 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.图1图23东城. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD . (1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，(2) 如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.4海淀．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ，DAE ∠+BAC ∠=180°． （1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD =CF ．ECAB DFEBCAD图3DEBACFEBCA D图1 图2 图35门头沟 ．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．DAB CPDC AB图1 图26顺义．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结P A ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ． （1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．图3PCABDD图2图1ABPC B CPA7西城．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．8丰台．已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D为AB边上一点，且∠ABC=∠AED=α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE= °；（2）如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M，EN与FD的延长线交于点N．①依题意补全图形；②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．A BECD DCEBA9石景山．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心． （1）将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转︒90，点E 的对应点为点F ，连结EF ，AE ，BF ，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE 与BF 的关系；（3）如图2，点G 是OA 中点，△EGF 是等腰直角三角形，H 是EF 的中点，︒=∠90EGF ，22AB =，2=GE ，△EGF 绕G 点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH 的最大值．10平谷．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°，∠B =80°．则∠C = 度，∠D = 度． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．11怀柔．在△ABC 内侧作射线AP ，自B ，C 分别向射线AP 引垂线，垂足分别为D ，E,M 为BC 边中点，连接MD ，ME. （1）依题意补全图1； （2）求证：MD=ME ； （3）如图2，若射线AP 平分∠BAC ，且AC>AB ，求证：MD=1()2AC AB -.OBDC AEC B H EFGODA图1ACDB图2B DA CPC BA M 图1图2P CBAMa HFEDABC12房山.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F . BE 与FC 相交于点H .（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =22FC ; （3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .13通州．如图①，∠MON =60°，点A ，B 为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B 不与点O 重合），且AB =34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP =BP ，∠APB =120°． （1）求AP 的长；（2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，P A 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ． 当AB ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 周长的值．图① 图②图2a H FEMNDA BC图1aH FEDABC图 3N MO A BP EFDC NOMA BP1昌平．解：（1）HG E FODCBA……………………… 1分（2）PHG E FODCBA证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． …………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， …………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． ……… 5分∴ OG =OH ． ………………… 6分（3）717． ……………………………………………………… 7分2朝阳. （1）①72；……………………………………………………………………………1分图1CGF EBAD②222PB PC PA =+. …………………………………………………………2分 证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分 ∴∠1＝∠2. ∵AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP′. …………………………4分 ∴P A ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′. 在四边形ABCP 中，∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°， ∴∠A ＋∠BCP ＝270°. ∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形. ∴PP ′＝PB .在Rt △PCP ′中，222''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴222PB PC PA =+.（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P 在CB 的延长线上时，结论为222PC PB PA =+. （说明：答案不惟一）……………………………………………………………………………………………7分3东城①解BE AD =，BE AD ⊥；……2分②∴BE AD ⊥.……4分BE AD =，BE AD ⊥仍然成立；证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，如图1.∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠. 在ACD △和BCE △中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD BCE △≌△.∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠.……3分 ∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒.（2）证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 的延长线与AD 的交点为点G ，如图2. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠.∵8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，∴43CA CD CB CE ==. ∴ACD BCE △∽△.……5分∴CAD CBE ∠=∠.∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BG AD ⊥.……6分 ∴90AGE BGD ∠=∠=︒.∴222AE AG EG =+，222BD BG DG =+. ∴222222BD AE AG EG BG DG +=+++.∵222AG BG AB +=，222EG DG ED +=，∴22222222125BD AE AB ED CA CB CD CE +=+=+++=.……4海淀（1）∠ADE =90α︒-．………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=．…………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒．…………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ， ∴BD =CD ．………………………………………………..……………4分②证明：∵AB =AC ，∠ABC =α， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE ∥BF , AE =BF ． ∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………5分由（1）知，2DAE α∠=，∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠． ∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ．∴BD =CF ．…………………………………………………………………7分5门头沟解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分② ∠ADC +∠CDE =180°．……………………………………………2分 （2）线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系是AE =BE +2CM ，理由如下： ∵ 线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，∴ CD =CE ，∠DCE =90°．∴ ∠CDE =∠CED =45°． 又∵ ∠ADC =135°， ∴ ∠ADC +∠CDE =180°，∴ A 、D 、E 三点在同一条直线上.∴ AE =AD +DE .…………………………………………………………3分 又∵ ∠ACB =90°，∴ ∠ACB －∠DCB =∠DCE －∠DCB ，F EB CADF EBCA D MD A B C E即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．………………………………………………………………4分∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．…………………………………………………………5分∴AE=BE+2CM．……………………………………………………6分（3）点A到BP 的距离为312-．…………………………………………7分6顺义（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，∴BA= BP，∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，..................................1分∴∠BAP=60º，AP= AC，又∵∠BAC=90°，∴∠P AC=30º，∠ACP=75º，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC=15º．....................................................................2分（2）结论：∠DPC=75º．..................................................3分（3）画图.............................................................................4分过点A作AE⊥BP于E．∴∠AEB=90º，∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，又∵BA= BP，∴∠2=∠3=15º，∴∠P AE=75º，∵∠BAC=90°，∴∠4=75º，∴∠P AE=∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP=∠ADP =90º，∴△APE≌△APD，..............................................................5分∴AE= AD，在Rt△ABE中，∠1=30º，∴12AE AB=，又∵AB=AC，∴1122AE AD AB AC ===，∴AD=CD，又∵∠ADP=∠CDP=90º，4123EDBAC P321EAPCBD∴△ ADP ≌△CDP ，.............................................................6分 ∴∠DCP =∠4=75º， ∴∠DPC =15º．.......................................................................7分 另法：作平行，构造平行四边形．7西城．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．……………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．…………………………………… 6分（3）323+．………………………………………………7分8丰台. 解：（1）°70ADE ∠=；…….1分 （2）①见右图；…….2分 ②EM EN =．…….3分证明：∵ABC AED α∠=∠=，BAC BAC ∠=∠．∴°902EDA ACB α∠=∠=-．∵BA BC =，E APCBD EDBACP图10图11∴ACB BAC ∠=∠，即EDA BAC ∠=∠． ∴EA ED = . …….4分∵E 是AC 中点，∴EA EC =． ∴EA EC ED ==．∴点,,A D C 在以AC 为直径的圆上．∴°90ADC ∠=．. …….5分 而°°°°180180(90)9022EAM EAD αα∠=-∠=--=+．∵点F 是BC 中点，∴FD FB =．∴FDB ABC α∠=∠=．∴°°909022EDN EDA ADN EDA FDB ααα∠=∠+∠=∠+∠=-+=+.∴EAM EDN ∠=∠．…….6分 ∵ ∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ， ∴ ∠AED=∠MEN ， ∴∠AED - ∠AEN=∠MEN -∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED ． ∴ ΔEAM ≌ΔEPN ． ∴ EM=EN ．…….7分9石景山．解：（1）正确画出图形；………………1分（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分 ∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分 ∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF ∴OF OE =∴∠AOB ＝∠EOF ＝90∴∠EOA ＝∠FOB ……4分 在△EOA 和△FOB 中，OF OE =，OB OA =，∠EOA ＝∠FOB ， ∴△EOA ≌△FOB ∴BF AE =.……5分 ∴∠OEA ＝∠OFB∵∠OEA +∠OHA ∴∠OFB +∠FHG =90 ∴AE ⊥BF ……6分 （3）BH 的最大值为25+……8分10平谷．解：（1）∠D=80°， (1)∠C=130°； (2)（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB． (3)∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB．∴CB=CD． (4)（3）（Ⅰ）如图，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10．∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6． (5)∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD =23．∴AC =27． (6)（Ⅱ）如图，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∵DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=4，∴AM=2，DM =23．∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3． (7)∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM =23．∵∠BCD=60°，∴CN =3．∴BC=CN+BN =33．∴AC =213． (8)即AC =27或213．11怀柔．解：（1）补全图形，如图1所示.………1分（2）延长DM交CE于点F.∵BD、CE分别垂直AP于点D、E.∴BD∥CE.，∴∠1= ∠2.∵M为BC边中点，∴BM=CM, 又∵∠DMB= ∠FMC,∴△DMB≌△FMC (ASA)，∴DM=FM.∵∠DEF=90°.∴EM=12 DF,∴MD=ME.……………………………4分（3）延长BD交AC于点G.………………… 5分∵BD⊥AP于点D，射线AP平分∠BAC,∴△A DB≌△ADG (ASA)，ECDBANMCDA B21FEDCBAPM图1图1PEDMAB C∴BD=DG,AB=AG.又∵△DMB ≌△FMC, ∴BD=CF ，DM=MF, ∴CF=DG, 又∵BG ∥CF,∴四边形DFCG 为平行四边形. ∴DF=CG, ∴2MD=CG, ∴2MD=AC-AB, ∴MD=12(AC-AB). ……………………………7分 12房山.（1）=BE CF ． ………………………………………………………………2分（2）证明：如图2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，BD 为斜边中线 ∴BD =AD =CD =12AC ，BD ⊥AC∵ △EFD 是由△ABD 旋转得到的，∴DE =DF =DB =DC ，∠EDF =∠ADB =∠BDC =90° ∴∠EDF +∠BDF =∠BDC +∠BDF ，即∠BDE =∠FDC ∴△BDE ≌△FDC ∴BE =FC 且∠1=∠2 又∵∠3=∠4∴FHE FDE ︒==90∠∠ ,即BE CF ⊥…………………………………………3分 连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG . ∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点 ∴MG ∥BE ，MG =12BE ；NG ∥FC ，NG =12FC又∵EB =FC ，BE ⊥FC ∴MG =NG ，∠MGN =90° ∴△MGN 为等腰直角三角形 ∴MN =22FC …………………………………………………………………5分 （3）222BF CE AC += ……………………………………………………………7分13通州.解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线， ∴12CD AB =， ∴CD =BD ．∴∠BCE ＝∠ABC ．……………………………….(1分) ∵BE ⊥CD ，P GME DCBAF∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．……………………………….(2分)∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴12PBC ABC∠=∠，12PCB ACB∠=∠．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴1807A∠=．∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．…………….(6分)。
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2015年房山区初三统一练习二数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1. 4的算术平方根是A ．16B ．2C ．﹣2D ．±22. 舌尖上的浪费让人触目惊心! 据统计，中国每年浪费的食物总量折合成粮食约为50000000000千克，把50000000000用科学记数法表示为 A ．5×1010B ． 50×109C ． 5×109D ．0.5×10113. 计算62a a 的结果是A.3aB.4aC. 8aD. 12a4. 如图，BC⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B =55°，则∠DCE 等于A .35°B . 45°C .55°D .65°5.在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是E DCBAA B C D6.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ，垂足为点E ，连接OC ，若CD =6，OE =4，则OC 等于A ．3B ．4C ．5D ．67.有11名同学参加了书法比赛，他们的成绩各不相同．若其中一位同学想知道自己能否进入前6名，则他不仅要知道自己的成绩，还要知道这11名学生成绩的 A.方差 B.平均数 C.众数D.中位数8. 如图，AD 、BE 是△ABC 的两条中线，则EDC ABC S S △△：等于A ．1:2B ．2:3C ．1:3D ．1:49.学校组织春游，每人车费4元．一班班长与二班班长的对话如下：E D CBA由上述对话可知，一班和二班的人数分别是A． 45，42 B．45，48 C．48，51 D．51，4210. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 分解因式:12.若分式12x-有意义，则x的取________________．13.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，点H是AF的中点，那么CH的长是.14.如图1，将长为20cm，宽为2cmA B C D8822+-xx图2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为cm 2.15.如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了()n a b +（n 为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，()2222a b a ab b +=++展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字．请认真观察此图，写出()3a b +的展开式()3a b += ．16．正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…，和点1C ，2C ，3C ，…，分别在直线1y x =+和x 轴上，则点B 1的坐标是;点B n 的坐标是 ．（用含n 的代数式表示）图2三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17101()6sin 60(22)2---.18．已知0132=-+x x ，求)1(3)1()2(422---++x x x x 的值.19．已知：如图，C 是AE 的中点，BC =DE ，BC ∥DE ．求证：∠B =∠D20. 解方程：32322x x x +=+-21.如图，矩形OABC , A （0，5），C （4，0）,正比例函数)0(≠=m mx y 的图象经过点B ．（1）求正比例函数的表达式； （2）反比例函数4(0)y x x =>的图象与正比例函数的图象和边BC 围成的阴影区域BNM 如图所示,请直接写出阴影区域中横纵坐标都是整数的点的坐标（不包括边界）．22.列方程或方程组解应用题元钱根据对话中的信息，请你求出这些小伙伴的人数．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分ADC∠，EF∥DC交AD边于点F，连结BD.(1) 求证：四边形FECD是正方形;(2) 若BE ED==1，求tan DBC∠的值.24.网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．请根据图中的信息，回答下列问题：（1）这次抽样调查中共调查了 人; （2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是 ；（4）据报道，目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．25.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点， AD ⊥ DC 于D , 且AC 平分∠DAB ，延长DC 交AB 的延长线于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若tan ABC =43∠，BE =PC全国12-35岁的网瘾人群分布条形统计图人数全国12-35岁的网瘾人群分布扇形统计图PE26.在平面内，将一个图形G 以任意点O 为旋转中心，逆时针．．．旋转一个角度θ，得到图形'G ，再以O 为中心将图形'G 放大或缩小得到图形''G ，使图形''G与图形G 对应线段的比为k ，并且图形G 上的任一点P ，它的对应点''P 在线段'OP 或其延长线上；我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为()O θ,k ，其中点O 叫做旋转相似中心，θ叫做旋转角，k 叫做相似比. 如图1中的线段''OA 便是由线段OA 经过()302︒O ,得到的. （1）如图2，将△ABC 经过☆ ()901,︒后得到△'''A B C ，则横线上“☆”应填下列四个点()00O ，、()01D ，、()0E ，-1、()12C ，中的点 .（2）如图3，△ADE 是△ABC 经过()A θ,k 得到的，90︒=EAB ∠，12cos EAC =∠ 则这个图形变换可以表示为(),A .图3O五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27.已知关于x 的一元二次方程()23130kx k x +++= (k ≠0). （1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根； （2）点()()120,0A x B x ，、在抛物线()2313y kx k x =+++上，其中12x x ＜0＜，且12x x 、和k 均为整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值； （3） 设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得ABE ABC S S =，若存在，求出E 点坐标，若不存在，说明理由.yx11O28.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F .BE 与FC 相交于点H .[（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN = 22FC ;（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .图2图1图329.如图1，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两抛物线L 1、L 2互称为“友好”抛物线.（1）一条抛物线的“友好”抛物线有_______条.A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数（2）如图2，已知抛物线L 3：2284y x x =-+与y 轴交于点C ，点C 关于该抛物线对称轴的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的表达式;（3）若抛物线21()y a x m n =-+的“友好”抛物线的解析式为22()y a x h k =-+,请直接写出1a 与为 .图2 图12015年房山区初中毕业会考试卷数学参考答案和评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分，）1.B2.A3.B4.A5.A6.C7.D8.D 9.B 10.C二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 2(x -2)2 12.2x ≠ 13.14. 36 15.322333a a b ab b +++16. ()111B ， ,()121,2n n n B -- (分别为1分，2分)三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．原式=621-………………………………………………………………4分 =1…………………………………………………………………………………5分18．原式331284222+-+-++=x x x x x ………………………………………………3分4622++=x x ……………………………………………………………………4分∵0132=-+x x ，∴132=+x x .∴原式4)3(22++=x x=2×1+4=6 …………………………………………………… 5分19．∵C 是AE 的中点，∴AC ＝CE .…………………………………………………………………………1分∵BC ∥DE ，∴∠ACB =∠E . …………………………………………………………………2分在△ABC 和△CDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE AC EACB DE BC ，∴△ABC ≌△CDE . ………………………………………………………………4分∴∠B =∠D . ………………………………………………………………………5分20.3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x -++=+- ……………………………………………………1分223624312x x x x -++=-……………………………………………………………2分4x =………………………………………………………………3分经检验：4x =是原方程的解.…………………………………………………………4分∴原方程的解是4x =. ………………………………………………………………5分21.（1）B (4，5)………………………………………………………………………………1分正比例函数解析式:x y 45= ……………………………………………………3分（2）（3，3），（3，2）……………………………………………………………………5分22.解：设小伙伴的人数为x 人 (1)分根据题意，得：360 x-2×60% =360-72x………………………………………………………….2分解得x=8 ……………………………………………………………3分经检验x=8是原方程的根且符合题意．……………………………………………4分答：小伙伴的人数为8人．……………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.(1)∵矩形ABCD∴AD//BC，∠ADC=∠C=90°∵EF//DC∴四边形FECD为平行四边形………………………………………………………1分∵DE平分∠ADC∴∠ADE=∠CDE∵AD//BC∴∠ADE=∠DEC∴∠CDE=∠DEC∴CD =CE ……………………………………………………………………….2分又∵∠C =90°∴ 平行四边形FECD 是正方形 ………………………………………………….3分(2)∵四边形FECD 是正方形，ED = ∴CD =CE=2， ……………………………………………………………………….4分∴BC=BE+EC=1+2=3 ∴2tan 3DC DBC BC ==∠……………………………………………………………….5分24. （1）1500 ………………………………………………………………………………1分（2）…………………………………………………2分（3）108°……………………………………………………………………………3分（4）2000=⨯………………………………………………50%万人1000………5分25.解：（1）∵ OC=OA∴ ∠CAO=∠OCA∵ AC平分∠DAB∴ ∠DAC=∠CAO，∴ ∠ACO=∠DAC．∴OC∥AD．…………………………………………………………………….1分∵ AD ⊥PD ，∴OC ⊥PD ．∴ PD 是⊙O 的切线……………………………………………………………...2分（2）连接AE ．∵CE 平分∠ACB ，∴AE BE =， ∴AE BE ==∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB =90°．在Rt△ABE 中，14AB ==………………………………………3分∵ ∠PAC =∠PCB ，∠P =∠P ，∴ △PAC ∽△PCB ， ∴PC AC PB BC=．…………………………………………………………………..4分 又∵4tan 3ABC =∠， ∴ 43AC PC BC PB==，设PC =4k ，PB =3k ，则在Rt△POC 中，PO =3k +7，OC =7，∵ PC 2+OC 2=OP 2，∴()()2224737k k +=+，∴ 126,0k k ==(舍去)．∴ PC =4k =4×6=24． …………………………………………………………..5分26.（1）E ………………………………………………………………………………2分（2）60,k ︒………………………………………………………5分五、解答题（本题22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. （1）∵()()222Δ=3112961310k k k k k +-=-+=-≥∴方程总有两个实数根.……………………………………………………2分（2）由求根公式得：()()31312k kx k-+?=∴3x =-或1x k=-∵12x x 、和k 均为整数∴=1k ± 又∵120x x ＜＜∴1k =-…………………………………………………………………………3分∴A (-3,0),B (1,0) ……………………………………………………4分 （3）()()()2,3131，，--+--- …………………………………………7分 28.（1）=BE CF．…………2分（2）证明：如图2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，BD 图2∴BD=AD=CD=12AC，BD⊥AC∵△EFD是由△ABD旋转得到的，∴DE=DF=DB=DC，∠EDF=∠ADB=∠BDC=90°∴∠EDF+∠BDF=∠BDC+∠BDF，即∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC∴BE=FC且∠1=∠2又∵∠3=∠4∴FHE FDE︒==90∠∠ ,即BE CF⊥…………………………………………3分连接BF，取BF中点G，连接MG、NG.∵M为EF中点，G为BF中点，N为BC中点∴MG∥BE，MG=12BE；NG∥FC，NG=12FC又∵EB=FC，BE⊥FC∴MG=NG，∠MGN=90°∴△MGN为等腰直角三角形∴MN=22 FC…………………………………………………………………5分（3）222BF CE AC+=……………………………………………………………7分29.(1)D ……………………………………………………………………………………2分(2) 由L 3:2284y x x =-+=2(x -2)2-4∴C (0，4) ，对称轴为x =2，顶点坐标（2，-4）………………………………3分∴点C 关于对称轴x =2的对称点D （4，4）……………………………………4分设L 4：()2y a x h k =-+将顶点D (4，4)代入得，()244y a x =-+再将点（2，-4）代入得，-4=4a +4 解得：a = -2L 3的友好抛物线L 4的解析式为：()2244y x =--+ (6)分(3)12a a =-（或120a +a =） (8)分。