高三数学复习训练【空间几何体及其表面积和体积】
专题14 空间几何体的结构、面积与体积(练)【解析版】
第一篇 热点、难点突破篇
专题 14空间几何体的结构、面积与体积（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A．123π B．12π C．63π D．23π
【答案】C
【分析】根据圆柱的体积公式计算可得结果.
【详解】由题意知该圆柱的高和底面直径是23，
所以该圆柱的体积为2π(3)2363πVSh.
故选：C.
2．（2022·河南·统考一模）已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π、12π，高为6，则该圆台的体积为（ ）
A．36π B．40π C．42π D．45π
【答案】C
【分析】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.
【详解】由题意可知，该圆台的体积为13π12π3π12π642π3V.
故选：C.
3．（2022秋·江西宜春·高三校考阶段练习）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，23ABBCAC，1O为ABC的外接圆的圆心，球O的表面积为64π，则1OO的长度为（ ）
A．3 B．2 C．23 D．3
【答案】C
【分析】由已知求得球O的半径4R，根据正弦定理求出ABC外接圆半径2r，即可求出结果.
【详解】设圆1O的半径为r，球O的半径为R.
依题意得ABC为等边三角形，则由正弦定理得2sinABrC23432，即2.r
又因为球O的表面积为24π64πSR，所以4.R
如图，根据球的截面性质得1OO平面ABC，所以11OOOA，
所以2211OOdOAOA2223.Rr
故选：C.
4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为3，侧面展开图是圆心角为3π的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
2015高考数学(理)一轮题组训练：8-1空间几何体及其表面积与体积
1 第八篇 立体几何
第1讲 空间几何体及其表面积与体积
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数是________．
解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．
答案 1
2．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析 ①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD －A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件． 2
答案 ①③④⑤
3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．
解析 设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋3.
答案 3＋3
4．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．
解析 设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则 πrl＝2π，πr2＝π，∴ r＝1，l＝2.
∴h＝l2－r2＝22－12＝3.
∴圆锥的体积V＝13π·12·3＝33π.
答案 33π
5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为________．
高三数学第一轮复习课时作业(37)空间几何体的表面积和体积
课时作业(三十七) 第37讲 空间几何体的表面积和体积
时间：45分钟 分值：100分
基础热身
1．已知几何体的三视图如图K37－1所示，则该几何体的表面积为( )
A．80＋7π B．96＋7π
C．96＋8π D．96＋9π
图K37－1
图K37－2
2．一个空间几何体的三视图及其尺寸如图K37－2所示，则该空间几何体的体积是( )
A.143 B.73 C．14 D．7
3．2011·开封模拟 一个几何体按比例绘制的三视图如图K37－3所示(单位：m)，则该几何体的体积为(
)
图K37－3
A．4 m3 B.92 m3 C．3 m3 D.94 m3
4．某品牌香水瓶的三视图如图K37－4(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
图K37－4
A.95－π2 cm2 B.94－π2 cm2
C.94＋π2 cm2 D.95＋π2 cm2
能力提升
5．已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图K37－5所示，则这个四棱锥的体积是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图K37－5
图K37－6
6．一个棱锥的三视图如图K37－6，则该棱锥的全面积为( )
A．48＋122 B．48＋242
C．36＋122 D．36＋242
7．2010·安徽卷 一个几何体的三视图如图K37－7，该几何体的表面积为( )
图K37－7
A．280 B．292 C．360 D．372
8．某三棱锥的左视图和俯视图如图K37－8所示，则该三棱锥的体积为(
)
图K37－8
A．43 B．83 C．123 D．243
9．如图K37－9(单位：cm)，将图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为(单位：cm3)(
)
图K37－9
A．40π B.140π3 C．50π D.160π3
山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测40空间几何体的表面积与体积 Word版含解析
课时限时检测(四十) 空间几何体的表面积与体积
(时间：60分钟 满分：80分)命题报告
考查知识点及角度 题号及难度
基础 中档 稍难
求空间几何体的表(侧)面积 1,3,7
求空间几何体的体积 4 6,9
球与多面体 2,5 8,10
综合应用
11,12
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如图7－2－12，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )
图7－2－12
A.π4 B.π2 C.2π2 D.2π4
【解析】 此几何体是底面半径为12，母线长为1的圆锥，其侧面积S＝πrl＝π×12×1＝π2.
【答案】 B
2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )
A.72π B．56π C．14π D．64π
【解析】 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则 ab＝2，bc＝3，ac＝6，得 a＝2，b＝1，c＝3，
令球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋32＝14，
∴R2＝72，
∴S球＝4πR2＝14π.
【答案】 C
3．(2014·淄博一中期中)如图7－2－13，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯高图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为(
)
图7－2－13
A．23 B.3 C．22 D．4
【解析】 观察三视图可知，该几何体是正三棱柱，底面边长、高均为2，所以，其侧视图是一个矩形，边长分别为2,2sin 60°＝3，其面积为23，选A.
【答案】 A
4．如图7－2－14所示，已知三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1—ABC1的体积为(
)
图7－2－14
A.312 B.34 C.612 D.64
高考数学二轮复习第1讲 空间几何体的表面积与体积
[学生用书P46]
第1讲 空间几何体的表面积与体积
考点一 空间几何体的表面积和体积
[学生用书P47]
[典型例题]
命题角度1 求空间几何体的表面积
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(
)
A．64π B．48π
C．36π D．32π
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
【解析】 (1)如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin 60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO21＋r2＝(23)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.
(2)设正方体的棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1AB1C为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶3. 【答案】 (1)A (2)1∶3
求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．
命题角度2 求空间几何体的体积
(1)(2020·南充市第一次适应性考试)
如图，在正三棱锥A-BCD中，AB＝BC，E为棱AD的中点．若△BCE的面积为2，则三棱锥A-BCD的体积为( )
A.23 B．33
C.233 D．223
(2)(一题多解)(2020·福建省质量检测)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
2015年高考数学一轮复习课时训练第2节 空间几何体的表面积和体积
第2节 空间几何体的表面积和体积
课时训练 练题感 提知能
【选题明细表】
知识点、方法 题号
几何体的表面积 6、9、11、12、14、15
几何体的体积 1、2、3、4、5、7、8、11
与球有关的问题 5、15
折叠与展开问题 10、13、16
A组
一、选择题
1.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥体积是( B )
(A)8 (B)
(C)4 (D)
解析:由题意可以得到原四棱锥的底面正方形的边长为2,四棱锥的高为2,
体积为V=×4×2=,
故选B.
2.(2013陕西宝鸡市模拟)若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于( A
)
(A)1 (B) (C) (D)
解析:由正视图知,该三棱柱的底面两直角边的长为,高为1,所以该三棱柱的体积V=×××1=1.故选A.
3.(2013西安联考)某个容器的三视图中正视图与侧视图相同,如图所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为( B
)
(A)π (B)π (C)π (D)π
解析:由三视图知,原几何体为圆锥和圆柱的组合体,其中圆锥和圆柱的底面半径为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,
所以这个容器的容积为
V=π×12×2+×π×12×1=,
故选B.
4.(2013兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( C
)
(A) (B)8-
(C)8- (D)8-2π
解析:由三视图知,几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,
所以该几何体的体积为V=23-×π×12×2=8-,
故选C.
5.(2012年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C
)
(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π
解析:由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公式可得组合体的体积为30π,故选C.
高三数学(理)二轮复习专题通关攻略：课时巩固过关练 十二 1.5.1空间几何体的三视图、表面积及体积
- 1 - 课时巩固过关练 十二
空间几何体的三视图、表面积及体积
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 (
)
【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.
【方法技巧】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角与距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征.
2.(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( ) - 2 -
A. B. C. D.1
【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.
3.(2016·广州一模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为 ( )
A.20π B. C.5π D.
【解析】选D.由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,
所以球半径为R===,
所以该球的体积V=πR3=×·π=.
【加固训练】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,
AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为 ( )
A. B.2 C. D.3 - 3 - 【解析】选C.因为直三棱柱中AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
4.(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
专题四 立体几何
第一讲 空间几何体的表面积与体积
——小题备考
微专题1 空间几何体的表面积和体积
常考常用结论
1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积 S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
2．柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝43πR3.
保 分 题
1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( )
A．√6π B．√3π
C．√63π D．√33π
2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
3．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )
A．2√23 B．43
C．4√23 D．83
提 分 题
例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝( )
A．13 B．12
C．2−√32 D．√3−12
(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )
A．2 B．√3
C．√2 D．1
听课笔记：
【技法领悟】
1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
新高考数学复习知识点讲解与练习14---空间几何体的表面积与体积
1 / 25 新高考数学复习知识点讲解与练习
空间几何体的表面积与体积
知识梳理
1．多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面
展开
图
侧面
积公
式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh 2 / 25 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h
球 S＝4πR2 V＝43πR3
1．表面积应为侧面积和底面积的和，要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡．
2．求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．
诊断自测
1．判断下列说法的正误．
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()
(2)球的体积之比等于半径比的平方．()
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.()
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确．
(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确．
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为() 3 / 25 A．1 cm B．2 cm C．3 cm D.32 cm
答案B
解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
高中数学必修二 8 简单几何体的表面积与体积(精练)(含答案)
8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)
【题组一 旋转体的体积】
1．(2021·吉林·延边二中高一期中)阿基米德(Archimedes，公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球(如图所示)，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36，则圆柱的体积为 ( )
A．36 B．45 C．54 D．63π
【答案】C
【解析】因为该球的体积为36，设球的半径为R，则34363R，解得3R。
所以圆柱的体积为：23654V，故选：C.
2．(2021·河北·保定市第二十八中学高一月考)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如图2所示，设酒杯上部分(圆柱)的体积为1V，下部分(半球)的体积为2V，若122VV，则半球的半径与圆柱的高之比为( )
A．4:3 B．3:4 C．1:2 D．5:3
【答案】B
【解析】设圆柱的高为h，半径为r，则圆柱的体积为21=Vrh. 而半球的体积为332412==323Vrr.
因为122VV，所以324=3rrh，所以3=4rh.
故选：B
3(2021·全国·高一课时练习)如图所示，半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为_____，体积为_____．
【答案】21132R 356R
【解析】如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA=90°，
又∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=3R，BC=R，CO1=32R，∴1AOS圆锥侧=π×32R×3R=32πR2，1BOS圆锥侧=π×32R×R=32πR2，