2010～2013年考研数学二真题及答案
(C) (D)
2010～2013年考研数学二真题及答案
2010考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．)
(1)三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y= ．
(2)曲线的渐近线方程为 ．
(3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 ．
(4)当 0≤θ≤π 时，对数螺线 r=eθ的弧长为 ．
(5)已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s 的速率增加，
则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 ．
(6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|= ．
二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)
(7) 函数的无穷间断点数为
(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．
(8) 设 y1，y2 是一阶线性非齐次微分方程的两个特解．若常数 λ，μ 使该方程的解是对应的齐次方程的解，则
(9) 曲线 y=x2 与曲线 y=aln x(a≠O)相切，则 a= (A)
4e． (B) 3e． (C) 2e． (D) e．
(10) 设 m，n 是正整数，则反常积分的收敛性
(A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关．
(C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关．
(11) 设函数 z=z(x，y)由方程确定，其中 F 为可微函数，且
(A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12)
三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) 求函数的单调区间与极值．
(16) (Ⅰ) 比较的大
小，说明理由；
(Ⅱ) 记，求极限
(17) 设函数 y=f(x)由参数方程所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且φ(1)=
(18) 一个高为 j 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图 2)，计算油的质量．
(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ρkg/m3)
(14) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且A2+A=0，若 A 的秩为 3，则 A 与 相似于 (19) 设函数 u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式
，确定 a，b 的值，使等式在变换
(20) 计算二重积分
(21) 设函数 f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且
。证明：存在
f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2
(22) 设
已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个小同的解． (Ⅰ) 求 λ，a；
(Ⅱ) 求方程组 Ax=b 的通解.
(23) 设 正交矩阵使得为对角矩阵，若Q 的第 1
例为
一、填空题
参考解答
(1) (2) y=2x (3) -2n·(n-1)!
(4) (5) 3cm/s (6) 3
二、选择题
(7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) A (14) D
三、解答题
(15) 分析：求变限积分 f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．
解
令
因为当 x＞1 时
当-1＜x
＜0 时 时
所以 f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(-1， 0)，(1，+∞)；极小值为 f(1)=f(-1)=0，极大值为
评注：也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．
(16) 分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分
，再用夹逼定理求极限。
解：(Ⅰ)当 0≤t≤1 时，0≤ln(1+t)≤t，故|lnt|[ln(1+t)]n≤|ln|．由积分性质得
(Ⅱ)
于是
有 由夹逼定理得
评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．
(17) 分析：先求 可得关于ψ(t)的微分方程，进而求出
ψ(t)
解：由参数方程确定函数的求导公式 可得
评注：此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度．
(18) 分析：先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积．
解：建立如图 3 所示的直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为
油的质量M=ρV。其中油的体积 V=S 底·l．
故
评注：此题若不能记住公式 则运
算量稍显大．
(19) 分析：利用复合函数的链导法则变形原等式即可． 解：由复合函数的链导法则得 因而
解得
评注：此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核. 所以 所以 (20) 分析：化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分．
解：如图 4，直角坐标系下，D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，
(21) 分析：这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理。
证明：
两式相加得f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2 评注：一般来说，对双介值问题，若两个介值有关联同时用两次中值定理，若两个介值无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理．
(22) 分析：本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2 个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解．
解：(Ⅰ)解法一
由线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同解，得λ=-1，a=-2．
解法二 由线性方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，因此方程组的系数行列式
得 λ=1 或-1；而当 λ=1 时， 此时，Ax=b 无解， 所以 λ=-1．由
(Ⅱ)当 λ=-1，a=-2 时，
故方程组 Ax=b 的通解为： 为任意常数．
(23) 分析：本题考查实对称矩阵的正交对角化问题．由Q 的列向量都是特征向量可得 a 的值以及对应的特征值，然后由A 可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q．
解：记 2 2
3 3
得 a=-1，λ=2，因此 由
得 A 的特征值为 λ1=2，λ2=-4，λ3=5，且对应于 λ1=2 的特征向量为
当 λ2=-4 时，(-4E-
A)
由(-4E-A)x=0 得对应于 λ =-4 的特征向量为 α =(-1，0，1)T．
当 λ3=5 时，(5E-A)
由(5E-A)x=0 得对应于 λ =5 的特征向量为α =(1，-1，1)T．
因 A 为实对称矩阵，α1，α2，α3 为对应于不同特征值的特征向量，所以η1， η2，η3 为单位正交向量组．令
2011考研数学二真题及答案
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)
(1) 已知当0x时，3sinsin3fxxx与kcx是等价无穷小，则( )
(A) 1,4kc． (B) 1,4kc． (C) 3,4kc． (D) 3,4kc． (2) 已知fx在0x处可导，且00f，则23302limxxfxfxx=( )
(A) 20f． (B) 0f． (C) 0f． (D) 0．
(3) 函数()ln(1)(2)(3)fxxxx的驻点个数为( )
(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．
(4) 微分方程2(0)xxyyee的特解形式为( )
(A) ()xxaee． (B) ()xxaxee．
(C) ()xxxaebe． (D) 2()xxxaebe．
(5) 设函数(),()fxgx均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,fg且(0)(0)0fg，则函数()()zfxgy在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) (0)0,(0)0.fg (B) (0)0,(0)0.fg
(C) (0)0,(0)0.fg (D) (0)0,(0)0.fg
(6) 设40lnsinIxdx，40lncotJxdx，40lncosKxdx，则,,IJK的大小关系是( )
(A) IJK． (B) IKJ． (C) JIK． (D) KJI．
(7) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A( )
(A) 12PP． (B) 112PP． (C) 21PP． (D) 121PP．
(8) 设1234(,,,)A是4阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax的一个基础解系，则*0Ax的基础解系可为( )
(A) 13,． (B) 12,． (C) 123,,． (D) 234,,．
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)
(9) 1012lim()2xxx．
(10) 微分方程'cosxyyex满足条件(0)0y的解为．
(11) 曲线0tan(0)4xytdtx的弧长s．
(12) 设函数,0,()0,0,0,xexfxx则()xfxdx．
(13) 设平面区域D由直线,yx圆222xyy及y轴围成，则二重积分Dxyd．
(14) 二次型222123123121323(,,)3222fxxxxxxxxxxxx，则f的正惯性指数为 ．
三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
(15) (本题满分10分)
已知函数20ln(1)()xatdtFxx，设0lim()lim()0,xxFxFx试求a的取值范围．
(16) (本题满分11分)
设函数()yyx由参数方程3311,3311,33xttytt确定，求()yyx的极值和曲线()yyx的凹凸区间及拐点．
考研数学一二次型历年真题试卷汇编1_真题-无答案
考研数学一（二次型）历年真题试卷汇编1
(总分150,考试时间180分钟)
选择题
1. 1.[2015年] 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换X=PY下的标准形为y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换X=QY下的标准形为( )．
A. 2y12一y22+y32
B. 2y12+y22一y32
C. 2y12—y22一y32
D. 2y12+y32+y32
2. 2.设，则在实数域上与A合同的矩阵为( )．
A. B.
C. D.
3. 3.[2007年]设矩阵，则A与B( )．
A. 合同且相似
B. 合同但不相似
C. 不合同但相似
D. 既不合同又不相似
填空题
4. 4.[2002年] 已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变
换X=PY可化成标准形f=6y12，则a=_______．
5. 5.[2011年] 若二次曲面方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y12+4z12=4，则a=______．
6. 6.[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是______．
7. 7.若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是______．
解答题
[2005年] 已知二次型
f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
8. 8.求a的值；
9. 9.求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
10. 10.求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
[2018年] 设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．
考研数学二一元函数微分学历年真题试卷汇编21_真题-无答案
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编21
(总分150,考试时间180分钟)
选择题
1. 1.[2014年] 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )．
A. 当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B. 当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C. 当f″(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D. 当f″(x)≥0时，f(x)≤g(x)
2. 2.[2018年] 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )．
A. 当f′(x)＜0时，f()＜0
B. 当f″(x)＜0时，f()＜0
C. 当f′(x)＞0时，f()＜0
D. 当f″(x)＞0时，f()＜0
3. 3.[2005年] 设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．
A. (1／8)ln2+3
B. (一1／8)ln2+3
C. 一8ln2+3
D. 8ln2+3
4. 4.[2010年] 曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．
A. 4e B. 3e
C. 2e D. e
5. 5.[2016年] 设函数fi(x)(i=l，2)具有二阶连续导数，且f″i(x0)＜0(i=1，2)，
若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有( )．
A. f1(x)≤f2(x)≤g(x)
B. f2(x)≤f1(x)≤g(x)
C. f1(x)≤g(x)≤f2(x)
D. f2(x)≤g(x)≤f1(x)
6. 6.[2014年] 曲线上对应于t=l的点处的曲率半径是( )．
A. B.
C. D.
2010年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考
2010年 • 第1页 2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一．选择题：1 - 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
(1)极限2
lim()
()()x
xx
xaxb
®¥=
-+
(A)1
(B)e
(C)abe-
(D)bae-
【答】 应选
(C)
.
【解】 因22lnln()ln()
limln()lim
()()1/x
xxxxxaxb
xaxbx
®¥®¥---+
=
-+
()
()()32
2211
2
=limlim
1
xxabxabx
xxaxb
ab
xxaxb
x®¥®¥--
-+
-+
==-
-+
-，所以2
lim()
()()xa
xbx
xaxbe
®¥-
=
-+，故选
(C)
.
(2)设函数(,)zzxy=由方程(,)0yz
F
xx=
确定，其中F
为可微函数，且
20F¢
¹，则
zz
xy
xy¶¶
+=
¶¶
(A)x
(B)z
(C)x-
(D)z-
【答】 应选
(B)
.
【解】 在方程两边分别对x
和对y
求偏导，得
122211
()0yz
FzF
xxxx¶
¢¢
-+-=
¶，
1211
0z
FF
xxy¶
¢¢
+=
¶
于是有
22()zz
xyFzF
xy¶¶
¢¢
+=
¶¶， 即zz
xyz
xy¶¶
+=
¶¶，故选
(B)
.
(3)设,mn
均是正整数，则反常积分2
1
0ln(1)m
nx
dx
x-
ò
的收敛性郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考
2010年 • 第2页 (A)仅与m
的取值有关(B)仅与n
的取值有关
(C)与,mn
的取值都有关(D)与,mn
的取值都无关
【答】 应选
(D)
.
【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1xx==
，于是需分成两个积分加以考察：
()
()
()
222
1
11
2
1
00
2ln1ln1ln1
mmm
nnnxxx
dxdxdx
xxx---
2010考研数学一真题答案
数学（一）试题 第 1 页 共 14 页 2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题参考答案
一、选择题
(1)【答案】 (C).
【解析】本题属于未定式求极限,极限为1
型,故可以用“e
的抬起法”求解．
2
limx
xx
xaxb
2
ln
limx
x
xaxb
xe
2
limln
xx
x
xaxb
e
,
其中又因为
22
2
2()()
limlnlimln1
()()
()()
lim
()()
()
lim
()()xx
x
xxxxaxb
xx
xaxbxaxb
xxxaxb
xaxb
abxabx
xaxb
ab
故原式极限为ab
e
,所以应该选择(C).
(2)【答案】 (B). 【解析】12
22
12
12
22
21x
zyz
yz
FF
FF
FyFzFz
xx
xx
x
FFxF
F
x
,
1
1
2
21
1y
zF
F
Fz
x
y
FF
F
x
,
1212
222yFzFyFFzzz
xyz
xy
FFF
．
(3) 【答案】 (D).
【解析】0x
与1x
都是瑕点.应分成
222
1
11
2
1
00
2ln1ln1ln1
mmm
nnnxxx
dxdxdx
xxx
,
数学（一）试题 第 2 页 共 14 页 用比较判别法的极限形式,对于
2
1
2
0
ln1mnx
dx
x
,由于1
2
1
0
12[ln(1)]
lim1
1m
n
x
nmx
x
x
.
显然,当12
01
nm
,则该反常积分收敛. 当12
0
nm
,1
2
1
0[ln(1)]
limm
x
nx
x
存在,此时
2
1
2
0ln1
m
nx
dx
x
实际上不是反常积分,故收
敛.
故不论,mn
是什么正整数,
2
1
2
0ln1
m
nx
dx
x
2010年考研数学一真题及答案
20XX年考研数学一真题
一、选择题（ 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ）
(1) 极限
(A)1
(B)
(C)
(D)
【考点】 C。
【解析】
【方法一】
这是一个“
”型极限
【方法二】
原式
而
(等价无穷小代换 )
则
【方法三】
对于“ ”型极限可利用基本结论：
若 , ,且
则 ,求极限
由于
则
【方法四】
综上所述，本题正确答案是 C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限
(2)
设函数 由方程 确定，其中
为可微函数，且
,则
。
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】
【解析】
B。
因为 ,
所以
综上所述，本题正确答案是 (B)。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微
分
(3) 设 为正整数，则反常积分 的收敛性
(A)仅与 的取值有关 (B)仅与 的取值有关
(C)与 的取值都有关 (D)与 的取值都无关
【答案】 D。
【解析】
本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在
和 时无界
在反常积分 中，被积函数只在 时无界。
由于 ，
已知反常积分 收敛，则 也收敛。
在反常积分 中，被积函数只在 时无界，由于
(洛必达法则 )
且反常积分 收敛，所以 收敛
综上所述，无论 取任何正整数，反常积分 收敛。
综上所述，本题正确答案是 D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(4)
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】
【解析】
因为
D。
综上所述，本题正确答案是 C。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(5)
设 为 矩阵， 为
矩阵， 为 阶单位矩阵，若
2010年考研数学一真题及答案 2
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四
个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括
号内.)
(1)极限2lim()()xxxxaxb→−+=
(A)1 (B)e
(C)eab− (D)eba− (2)设函数(,)zzxy=由方程(,)0yzFxx=确定,其中F为可微函数,且
20,F则zzxyxy+=
(A)x (B)z
(C)x− (D)z−
(3)设,mn为正整数,则反常积分210ln(1)mnxdxx−的收敛性
(A)仅与m取值有关 (B)仅与n取值有关
(C)与,mn取值都有关 (D)与,mn取值都无关 (4)2211lim()()nnxijnninj→==++= (A)12001(1)(1)xdxdyxy++ (B)1001(1)(1)xdxdyxy++ (C)11001(1)(1)dxdyxy++ (D)112001(1)(1)dxdyxy++
(5)设A为mn型矩阵,B为nm型矩阵,若,=ABE则
(A)秩(),m=A秩()m=B (B)秩(),m=A秩()n=B
(C)秩(),n=A秩()m=B (D)秩(),n=A秩()n=B
(6)设A为4阶对称矩阵,且20,+=AA若A的秩为3,则A相似于
(A)1110 (B)1110−
(C)1110−− (D)1110−−−
(7)设随机变量X的分布函数()Fx= 00101,21e2 xxxx−−则{1}PX==
(A)0 (B)1 (C)11e2−− (D)11e−−
(8)设1()fx为标准正态分布的概率密度2,()fx为[1,3]−上均匀分布
的概率密度,
()fx= 12()()afxbfx 00xx (0,0)ab
2010年考研数学一真题及参考答案
第 1 页 共 13 页 2010考研数学（一）真题及参考答案
一、选择题
（1）、极限2lim()()xxxxaxb（ C）
A、1 B、e C、abe D、bae
【详解】
2222ln1()()()()()()()()limlimlim()()limlimxxxxxxaxbxaxbxxxabxababxabxxxaxbxaxbxxabxeexaxbeee
（2）、设函数(,)zzxy，由方程(,)0yzFxx确定，其中F为可微函数，且20F，则zzxyuy（ B）
A、x B、z C、x Dz
【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0xxyyzzFuFvdxFuFvdyFuFvdz，
所以有，1212xxzzFuFvzxFuFv，1212yyzzFuFvzyFuFv，
其中，2xyux，1yux，0zu，2xzvx，0yv，1zvx，代入即可。
（3）、设,mn是正整数，则反常积分210ln(1)mnxdxx的收敛性( D )
(A)仅与m的取值有关 (B)仅与n有关
(C)与,mn都有关 (D)都无关
【详解】：显然0,1xx是两个瑕点，有
22211121002ln(1)ln(1)ln(1)mmmnnnxxxdxdxdxxxx
对于2120ln(1)mnxdxx的瑕点0x，当0x时212ln(1)ln(1)mmnnxxxx等价于221(1)mmnx，而21120mnxdx收敛（因,mn是正整数211mn），故2120ln(1)mnxdxx收敛；对于2112ln(1)mnxdxx
2010年考研数学一真题及解析
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中山大学考研数学分析2010年真题及答案
中山大学2010年数学分析真题
题目
一、（每小题6分，共48分）
（1） 求极限lim
𝑛→∞1
𝑛√(
𝑛+1)(
𝑛+2)
…(
2𝑛+1
)𝑛
；
（2） 求不定积分∫𝑚𝑎𝑥(|
x|
,1)
𝑑𝑥；
（3） 已知𝑓(
𝑥)
=
∫𝑠𝑖𝑛𝑡
𝜋−𝑡𝑑𝑡x
0，求定积分
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥π
0；
（4） 求二元函数极限lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)(
𝑥2
+𝑦2
)𝑥2
𝑦2
；
（5） 求二次积分
∫𝑑𝑦1
0∫𝑒𝑥2
𝑑𝑥1
𝑦；
（6） 计算I=
∮𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥
𝑥2
+𝑦
2𝐿，其中L是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续封闭曲
线，L的方向为逆时针方向；
（7） 讨论函数项级数∑(
1−𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥
√𝑛+𝑥∞
𝑛=1在[0,2]上的一致收敛性；
（8） 计算
∬(
𝑥2
+𝑦2
)
𝑑𝑆
𝑆，其中S为曲线
z=√x2
+𝑦2
与平面z=1所围几何体的表面。
二、单位圆盘中切去圆心角为θ的扇形，余下部分粘合成一锥面，问θ为多少时，该锥面加上
底面所围的椎体体积最大。
三、设在𝑓(
𝑥)
在x=0某邻域内有二阶连续导数，且lim
𝑥→0𝑓(
𝑥)
𝑥=0，证明∑
𝑓(1
𝑛)∞
𝑛=1绝对收敛。
四、设𝑓(
𝑥,𝑦)
={(𝑥2
+𝑦2
)𝑝
sin1
𝑥2
+𝑦2,𝑥2
+𝑦2
≠0
0,𝑥2
+𝑦2
=0，其中p为正数，试分别确定p的值，使
得如下结论分别成立
（1） 𝑓(
𝑥,𝑦)
在点(0,0)处连续
（2） 𝑓
𝑥(0,0)与𝑓
𝑦(0,0)都存在
（3） 𝑓
𝑥(𝑥,𝑦)与𝑓
𝑦(𝑥,𝑦)在(0,0)点连续
五、计算由曲面(x
a+𝑦
𝑏)2
+(𝑧
𝑐)2
=1,(𝑥≥0,𝑦≥0,𝑧≥0,𝑎>0,𝑏>0,𝑐>0)所围成几何体
之体积，其中a,b,c为正常数。 六、求幂级数∑𝑛2
+1
𝑛!2𝑛∞
2010考研数一真题及解析
2010
数学（一）试题 第 1 页 共 14 页 2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)
(1) 极限2lim()()xxxxaxb ( )
(A) 1. (B) e. (C) abe. (D) bae.
(2) 设函数(,)zzxy,由方程,0yzFxx确定,其中F为可微函数,且20F,则zzxyxy( )
(A) x. (B) z. (C) x. (D) z.
(3) 设,mn是正整数,则反常积分210ln1mnxdxx的收敛性 ( )
(A) 仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关.
(C) 与,mn取值都有关. (D) 与,mn取值都无关.
(4) 2211limnnnijnninj ( )
(A) 1200111xdxdyxy. (B) 100111xdxdyxy.
(C) 1100111dxdyxy. (D) 11200111dxdyxy.
(5) 设A为mn矩阵,B为nm矩阵,E为m阶单位矩阵,若ABE,则 ( )
(A) 秩rAm,秩rBm. (B) 秩rAm,秩rBn.
(C) 秩rAn,秩rBm. (D) 秩rAn,秩rBn.