《线性代数》教学中若干难点的探讨.doc
高校线性代数教育中的存在问题及解决措施
高校线性代数教育中的存在问题及解决措施《线性代数》是高校公共数学科目中一门非常重要的基础必修课，在很多学科的应用中都起了很重要的作用。
但在线性代数的整个教学过程当中却出现了诸如知识脱节、课程设计不合理等问题。
线性代数高素质教育存在问题解决措施一、前言线性代数是我国高等院校工科专业中的一门基础的数学学科，通过线性代数的学习，可以培养和提高学生思考问题、解决问题的能力，教育部将其列入重点评估课程，可见线性代数在高等院校数学教育中的重要性。
计算机技术的进一步发展，使得线性代数的重要性更加突出。
随着高等教育规模的不断扩大，如何保证高校人才的教育水平成为了当今高校教育的巨大挑战，而线性代数无疑首当其冲，线性代数面临着各种各样的问题，不仅存在着学生方面的问题，而且在学校方面更存在着非常严重的失误，以下是对高校数学当中非常具有代表性的一科——线性代数，做出了问题分析并提出几点改进的建议。
二、线性代数在高校数学教育中遇到的瓶颈1.传统教学内容的设置不合理目前线性代数教育仍然处于新旧交替的阶段，很多陈旧的教材中的内容仍然是处于应试教育的框架，重点在阶梯方法的传授而不是对数值的计算和对数学本身的现代应用。
同时，教材中很多的问题还处在上世纪七八十年代的水平，其中不仅包含的信息量不多而且也完全与现代生活脱节，更无法使用现代数学的方法提供解题思路，使得学生们无法真正具有学习线性代数的学前基础，进而导致对相应的知识无法牢固掌握。
2.传统教学目的占主导由于长期以来受应试教育的影响，学生的学习成绩被当作是教师教学水平的唯一衡量标准，教学的目的也从教书育人变成了如何让学生在考试中取得好的成绩，忽视了培养学生寻根溯源的学习思想。
而老师在讲解公式的时候也对方法欠缺指导，教学当中重结果、轻过程的做法泯灭了学生的求知欲。
在线性代数的教学过程中，更多的老师习惯通过“用题讲点（知识点）”的方法教育学生以此减少教学压力并且提高教学成绩，不能变通地完成学习计划，其结果只会培养出缺乏个性的学生，进而也就无法适应社会变化发展的需要。
对《线性代数》教学中的几点思考
对《线性代数》教学中的几点思考摘要：在线性代数的教学中，既要重视线性代数的工具价值，也要重视线性代数的育人价值，同时还要注重对学员实践创新能力的培养。
关键词：教学理念教学方法教学实施一、课程基本情况《线性代数》是本科教学中一门重要的数学基础课，通过课程的学习，不仅使学员较系统地获得线性代数的基础理论知识，培养学员的基本运算能力以及初步分析解决问题的能力：同时学员的抽象思维能力、逻辑思维能力、辩证思维能力和创新思维能力都能得以提高;通过数学史融入课堂教学，使学员了解数学家的科学精神和传承数学文化功绩，有助于对学员进行德育、智育、美育以及良好的心理素质的培养。
二、对课程教学的几点思考（一）教学理念的思考1.智育方面。
《线性代数》作为重要的基础课具有重要的工具价值，在教学实施中注重数学理论与思想、方法的传授：通过融入数学建模的思想，强化理论与实践的结合，培养学员应用数学解决实际问题的能力和意识。
另一方面，线性代数具有极强的抽象性和逻辑性，在教学实施中注重对学员的数学思维能力的培养，逐步形成科学精神和科学态度。
2.德育方面。
数学不仅是一门科学，也是一种文化，数学的严谨和求真的特点对学员形成正直、坚定不移、客观公正的品格，起著非常重要的作用。
另外，由于数学课程的特殊性，它既可以训练学员强烈的创造激情、探索欲、求知欲、好奇心、进取心和自信心等心理品质，也可以激发学员不畏艰险的勇气、锲而不舍的意志等品质。
3.美育方面。
数学的美体现为感性美和理性美，感性美是指学生在学习数学时能够直接感受到的感觉美。
感性美包括数学语言的简练，精确，言简意赅;理性美包括对具体问题抽象成数学问题的创造性，数学逻辑推理的严密性，数学结论的高度抽象美，它体现的是一种意境美和哲理美，这种美感只有经过特定的训练才能形成。
（二）教学方法的思考1.案例教学法。
通过贴合教学内容的案例的引入，引导、启发学员分析问题并构建数学模型，逐步引入教学内容。
关于线性代数教学的几点看法
关于线性代数教学的几点看法关于线性代数教学的几点看法：
一、注意以下几点。
1、由易而难，线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形；
2、由低而高，运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形；
3、由简而繁，一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等；
4、由浅而深，线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。
二、做到理解概念、牢记公式、注意关联、掌握方法。
特别要注意对象之间，定义运算之间的比较和关联，例如方阵和行列式的联系，矩阵多项式与一般多项式的比较、数组运算与数字运算的差异（如矩阵乘法、求逆）。
三、初等变换在线性代数中具有重要地位，初等变换方法几乎贯穿全程，计算行列式、求矩阵的秩和矩阵的逆、解方程组，讨论线性相关性等等，都要用到它，运用该方法要注意培养运算能力，认真细
心是非常必要的。
四、听讲、看书、记忆、练习加上多思是学好线性代数的基本保证。
线性代数中常见的难题,易错题目解析
线性代数中常见的难题,易错题目解析
1、代数精度：在数值分析中，精度指的是数值计算中所得结果的可靠性，也就是说计算结果是否正确取决于数值计算的精度。
此题目可能会难以回答，要求学生根据自身的数学定义和知识框架来理解和作答，其中的考点是数值计算的精度与数值计算成果的可靠性之间的关系。
2、矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵的数学定义，它表示某个矩阵的列数减去它的0行的数目，考察学生对该数学概念的理解程度。
因此，求解矩阵的秩需要对矩阵中的元素进行运算，并判断结果来计算矩阵的秩。
3、线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是一个线性方程组的重要概念，表示该线性方程组的解的性质。
系数矩阵的求解主要是根据矩阵操作的行列式计算方法、决定系统的可解性来确定系数矩阵的结构。
4、矩阵乘法：矩阵乘法是线性代数最重要的基本概念之一，它以秩、矩阵维数和矩阵中元素的乘法计算来表示两个矩阵的乘积结果。
矩阵乘法可以有效地解决实际问题，是解决线性方程组最常用的工具之一。
5、矩阵求逆：矩阵求逆是线性代数中常见的概念，它表示将矩阵转换成单位矩阵的变换。
考生在面对本题时，除了熟悉矩阵求逆的基本概念外，还需要掌握大量的乘法和除法运算，以及应用消元法计算矩阵求逆的过程。
6、行列式：行列式是一种矩阵形式的数形式，它由矩阵中各元素的行列式代数计算所构成的一种数字的结果。
通过行列式可以判断矩阵的可逆性、行列式的值与矩阵元素有关。
学生在解答本题时，要掌握行列式的基本概念和行列式的计算方法，以及应用行列式来确定矩阵的可逆性的过程。
线性代数难点解析
一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加减，化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
关于高校线性代数课程存在问题分析及应对策略探讨
关于高校线性代数课程存在问题分析及应对策略探讨【摘要】高校线性代数课程在教学中存在诸多问题，如课程内容设计不合理、教学方法单一、学生学习动力不足、师资力量不足以及学生素质参差不齐等。
为解决这些问题，可采取加强课程内容的实践性、多样化教学方法以及激发学生学习兴趣等策略。
通过不断改进课程设计和教学方式，可以提高学生的学习动力和学习效果，从而更好地促进线性代数课程的教学质量和教学效果。
【关键词】高校、线性代数、课程、问题、分析、应对策略、内容设计、教学方法、学习动力、师资力量、学生素质、加强实践性、多样化教学、激发兴趣1. 引言1.1 高校线性代数课程的重要性高校线性代数课程的重要性在于其在数学教育中的地位举足轻重。
线性代数是一门基础的数学课程，广泛应用于各个领域，如计算机科学、物理学、工程学等。
其独特的数学思维和解决问题的方法使得它成为一门不可或缺的学科。
在高校教育中，线性代数课程不仅可以培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力，更能够帮助学生理解现实世界中的复杂问题。
通过学习线性代数，学生可以掌握解决多元线性方程组、矩阵运算、向量空间等基本问题的方法，从而为未来的学习和工作奠定坚实的数学基础。
高校线性代数课程的重要性不可低估。
它既是数学学科中的一门重要课程，也是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径。
通过系统学习线性代数，学生可以在未来的学习和工作中更加游刃有余地应对各种复杂问题，同时也为自己的职业生涯打下坚实的数学基础。
1.2 线性代数课程存在的问题在高校线性代数课程中，存在着诸多问题需要重视和解决。
课程内容设计不合理是一个主要问题。
部分课程内容过于抽象难懂，缺乏实际案例和应用场景的引导，导致学生难以将理论知识与实际问题相结合。
教学方法单一也是一个突出问题。
传统的讲授式教学模式占据主导地位，缺乏足够的互动和实践环节，难以激发学生的学习兴趣和积极性。
学生学习动力不足是另一大难题。
部分学生对线性代数课程认识模糊，缺乏对该学科的认同和热情，导致学习动力不足，学习效果不佳。
线性代数教学常见问题及对策探析
线性代数教学常见问题及对策探析线性代数是大学理工类及经管类各专业学生必修的数学基础课,一般被安排在高等数学的后面来讲授。
这样的排课次序很重要的原因就是线性代数要比高等数学“抽象”,学生不容易学懂,教师不容易讲清楚(这里指降低它的抽象性),不易讲的精彩,因此需要学生通过学习高等数学来培养一些数学上的成熟性。
但是如果将线性代数放在更大的环境里,把学生在中学和大学初期所学的数学课作为整体来考虑,我们就会认识到在大学的所有数学课程中线性代数不是抽象的,是具体的,当然也不是距离学生遥远的,是距离学生很近的。
相比于高等数学,学生在中学里是一直在上代数课的,如果算上中学的空间解析几何,那么学生在代数方面接受的训练更多,而中学和微积分有关的内容只有一点点。
那么为什么到了大学,线性代数让学生觉得难学,给人以抽象了又抽象的印象呢(比如由方程组到向量的线性关系再到一般的线性空间)？笔者多年来一直在从事线性代数课程的教学工作,下面谈谈笔者积累的一些对这门课的相关认识和见解。
1 课程的教学现状对于线性代数这门课而言,大多数高校现在用的教材都是二三十年前的版本,有的虽然不断地出了第二版、第三版甚至更高的版本,但是基本的内容体系还是很多年前的(当然线性代数课的内容是一百多年前的,微积分的内容是三百多年前的,这是人类几千年来数学思想中的精华。
在此不是指数学内容,而是指内容的编排体系以及中学与大学在相关内容方面的重合度)。
但是中学的课本这些年可有不少新的元素被加了进去,比如微积分入门、古典概率、初步的统计知识,甚至简单的一些数理逻辑。
这样大学的“老教材”与中学数学的“新教材”显得很不匹配,这也是中学教育与大学教育衔接不够紧密的诸多环节中的一环。
线性代数对于不同专业不同层次的学生也不应该是同一副面孔,不是所有的学生都应该接受最一般的n维的线性代数,而是应该通过尽可能直观的例子让学生感受到线性代数的精华[1]。
笔者对此的认识是:二维以及三维的线性代数内容是和学生中学知识结合最密切的大学数学课程。
上海市考研数学线性代数重难点剖析
上海市考研数学线性代数重难点剖析线性代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科学生在考研数学中必修的一门课程。
而在上海市的考研数学中，线性代数更是属于重点考查的一部分。
本文将对上海市考研数学线性代数的重难点进行剖析，帮助考生深入了解这些难点，并提供相应的解题思路。
一、矩阵的主元与秩矩阵的主元与秩是考研数学中线性代数的重要内容，也是考生需要重点掌握的知识点。
在解题过程中，首先需要确定矩阵的主元位置，然后计算矩阵的秩。
对于复杂的矩阵问题，可以通过高斯消元法、初等变换等方法来求解。
考生可以结合具体例题进行练习，提高解题技巧和速度。
二、线性方程组的解法线性代数中，线性方程组是一个重点和难点。
对于给定的线性方程组，需要通过高斯消元法或矩阵求逆的方法来求解。
此外，线性方程组的解的存在性与唯一性也是一个需要重点关注的问题。
考生需要熟悉线性方程组的解的判定条件，掌握解的性质和计算方法。
三、特征值与特征向量特征值与特征向量是研究矩阵的一个重要概念，也是考生需要重点掌握的内容。
对于给定的方阵，需要通过求解特征值和特征向量来进行分析和计算。
在求解过程中，可以利用特征多项式和特征方程的性质来简化计算。
此外，特征值和特征向量的相关概念和定理也需要考生进行深入理解和掌握。
四、线性空间与基线性空间与基是线性代数中的基本概念，也是考生需要重点掌握的内容。
线性空间描述了向量空间的性质和结构，基是线性空间的一个重要组成部分。
考生需要熟悉线性空间和基的定义、性质，了解向量空间的子空间和维数的相关概念，并能够运用到解题过程中。
五、二次型与正交对角化二次型是线性代数中一个重要的概念，与正交对角化也是一个需要重点关注的内容。
考生需要掌握二次型的定义、矩阵表示和正定、负定以及半正定、半负定的判定条件。
此外，还需要了解正交对角化的方法和步骤，并能够应用到具体问题中。
总结：上海市考研数学线性代数的重难点主要包括矩阵的主元与秩、线性方程组的解法、特征值与特征向量、线性空间与基、二次型与正交对角化等内容。
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《线性代数》教学中若干难点的探讨-
摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。
本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。
关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩
《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。
通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。
通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。
另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。
因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。
由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。
本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。
一、线性相关性与线性无关性
线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。
教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。
线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。
如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。
单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。
例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。
如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。
若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。
对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。
对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。
线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。
对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。
四个向量，五个向量，…，研究方法类似。
结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。
二、极大线性无关组及向量组的秩
由于极大线性无关组和向量组的秩的概念比较抽象，学生较难理解，所以这一知识点也是《线性代数》教学的重点和难点。
我们所用的教材是在讲述了线性相关性和线性无关性之后，直接给出极大线性无关组及向量组秩的概念，学生很难理解并掌握这两个抽象的概念。
针对这一情况，在教学中可以通过一个例子提出问题，在解决该问题的过程中总结归纳出极大线性无关组和向量组秩的概念，用简单具体的实例阐明抽象的概念。
这样一来，教师在教学过程中会轻松些，学生学起来也不那么枯燥无味。
例如：判断向量组β1=100，β2=010，β3=121，β4= 1 0-1的线性相关性。
首先我们可以根据前面所学的知识判断出向量组β1，β2，β3，β4是线性相关的。
紧接着，让学生找出向量组β1，β2，β3，β4中线性无关的子组。
通过分析，学生们会发现，在线性相关的向量组β1，β2，β3，β4中，存在线性无关的子组，且这些线性无关的子组所含向量的个数都为2。
在此基础上，进一步引导学生总结出，向量组中的线性无关子组并不是唯一的，但是所含向量的个数是相同的，都是2，并且其余向量都可以由线性无关的子组线性表示。
最后总结出向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念。
向量组β1，β2，β3，β4的线性无关的子组β1，β2；β1，β3或β3，β4等称为向量组β1，β2，β3，β4的极大线性无关组，极大线性无关组所含向量的个数2称为向量组β1，β2，β3，β4的秩，记为R（β1，β2，β3，β4）=2。
然后再将这两个概念推广到更普遍的情况，归纳总结出向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念。
若向量组的一个子组线性无关，但将向量组中任何一个向量添加到这个线性无关子组中去，得到的都是线性相关的子组，则称该线性无关子组为向量组的极大线性无关组。
一个向量组的
极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。
通过恰当的例子引出新的概念，此种方法化抽象为具体，学生更容易接受并掌握相关概念。
由此可见，在《线性代数》的教学过程中，对于一些抽象的概念，直接阐述很难达到理想的教学效果。
面对这些教学难点，我们可以结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念；或者通过引入恰当的例子，在解决问题的过程中把要讲述的新概念归纳总结出来。
总之，在《线性代数》的教学过程中，要灵活运用多种教学方法，才能发挥最好的教学效果，达到教学设计的目标。