函数与方程期末复习

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高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题:1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34.设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2 + )的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =; ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧,则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题: 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 ()(上下求导)A .2,B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是( D )A. {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D. {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = ( B )A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ,且 F 具有导数,则∂z + ∂z= (D )∂x ∂yA. 2x + 2 y ;B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ;C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ;D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t , y = a sin t , z = amt ,在 t = 处的切向量是 ( D )4A . (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ,原点(0,0)( A )A .是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8.设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy , 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域, 则必有( ) A .I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零,但符号不能确定。

2022-2023高一上期末复习重难点函数的应用(二)(解析版)

2022-2023高一上期末复习重难点函数的应用(二)(解析版)

2022-2023高一上期末复习重难点函数的应用(二)一、单选题1.关于用二分法求方程的近似解,下列说法正确的是( )A .用二分法求方程的近似解一定可以得到()0f x =在[],a b 内的所有根B .用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的重根C .用二分法求方程的近似解有可能得出()0f x =在[],a b 内没有根D .用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的精确解 【答案】D【分析】根据二分法求近似解的定义,可得答案.【解析】利用二分法求方程()0f x =在[],a b 内的近似解,即在区间[],a b 内肯定有根存在,而对于重根无法求解出来,且所得的近似解可能是[],a b 内的精确解. 故选:D.2.函数f (x )=x 2﹣4x +4的零点是( ) A .(0,2) B .(2,0)C .2D .4【答案】C【分析】由函数零点的定义列出方程x 2﹣4x +4=0,求出方程的根是函数的零点. 【解析】由f (x )=x 2﹣4x +4=0得,x =2, 所以函数f (x )=x 2﹣4x +4的零点是2, 故选:C .3.若函数()f x 在区间[]1,1-上的图像是连续不断的曲线,且()f x 在()1,1-内有一个零点,则()()11f f -⋅的值( ) A .大于零 B .小于零C .等于零D .不能确定【答案】D【分析】由题意,分类讨论()()1,1f f -不同情况下的正负,从而得出不同的结论.【解析】因为()f x 在区间[]1,1-上的图像是连续不断的曲线,且()f x 在()1,1-内有一个零点,若()()10,10-<>f f (或()()10,10-><f f ),此时()()110f f -⋅<;若()10f -=(或()10f =),此时()()110-⋅=f f ;若()()10,10->>f f (或()()10,10-<<f f ),此时()()110f f -⋅>,所以()()11f f -⋅的值不能确定. 故选:D4.函数()()ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是( )A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,4【答案】B【分析】计算区间端点处函数值,根据零点存在定理确定.【解析】()()21ln 11ln 2201f =+-=-<,()()2ln 21ln 31022f =+-=->由()21201f x x x'=+>+,则()f x 在()0,∞+上单调递增. 所以函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是()1,2故选:B5.函数()22xf x x =+的零点所在的区间为( )A .0,1B .1,0C .1,2D .()2,3【答案】B【分析】根据函数解析式,判断()1f -、()0f 等函数值的符号,由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.【解析】()3102f -=-<,()010f =>,且函数为增函数,由函数零点存在定理,()f x 的零点所在的区间是1,0.故选:B.6.已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若函数()()g x f x m =-有3个零点,则实数m 的取值范围( )A .()1,0-B .[]1,0-C .(0,1)D .[]0,1【答案】C【分析】作出f (x )图像,判断y =m 与y =f (x )图像有3个交点时m 的范围即可.【解析】∵()()g x f x m =-有3个零点, ∴()()0g x f x m =-=有三个实根,即直线y m =与()y f x =的图像有三个交点. 作出()y f x =图像,由图可知,实数m 的取值范围是(0,1). 故选:C.R (2,2)-内的零点个数至少为( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【分析】根据奇函数()f x 的定义域为R 可得(0)0f =,由(2)(1)0f f -=≠和奇函数的性质可得(2)(1)0f f <、(2)(1)0f f --<,利用零点的存在性定理即可得出结果.【解析】奇函数()f x 的定义域为R ,其图象为一条连续不断的曲线, 得(0)0f =,由(2)(1)0f f -=≠得(2)(1)0f f -=≠, 所以(2)(1)0f f <,故函数在(12),之间至少存在一个零点,由奇函数的性质可知函数在(21)--,之间至少存在一个零点, 所以函数在(22)-,之间至少存在3个零点. 故选:C8.已知定义在R 上的函数()f x 的图像连续不断,若存在常数R λ∈,使得()()0f x f x λλ++=对于任意的实数x 恒成立,则称()f x 是“回旋函数”.若函数()f x 是“回旋函数”,且2λ=,则()f x 在[]0,2022上( ) A .至多有2022个零点 B .至多有1011个零点 C .至少有2022个零点 D .至少有1011个零点 【答案】D【分析】根据已知可得:()()2200f f +=,当()00f ≠时利用零点存在定理,可以判定区间()0,2内至少有一个零点,进而判定()2,4,()4,6,…,()2020,2022上均至少有一个零点,得到()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点.可以构造“回旋函数”,使之恰好有1011个零点;当()00f =时,可以得到()()()0220220f f f ==⋅⋅⋅==,此时()f x 在[]0,2022上至少有1012个零点.从而排除BC,判定D 正确;举特例函数()0f x =,或者构造函数()(1),022(2),222()x x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩,可以排除A .【解析】因为()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立,令0x =,得()()2200f f +=.若()00f ≠,则()2f 与()0f 异号,即()()200f f ⋅<,由零点存在定理得()f x 在()0,2上至少存在一个零点.由于()()220f k f k ++=,得到()20()f k k Z ≠∈,进而()()()220f k f k f k +=-<⎡⎤⎣⎦,所以()f x 在区间()2,4,()4,6,…,()2020,2022内均至少有一个零点,所以()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点.构造函数()1,022(2),222()x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩,满足()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立,是“回旋函数”,在[]0,2022上恰好有1011个零点.若()00f =,则()()()()()024620220f f f f f ====⋅⋅⋅==,此时()f x 在[]0,2022上至少有1012个零点. 综上所述,()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点,且可能有1011个零点,故C 错误,D 正确; 可能零点各数个数至少1012,大于1011,故B 错误;对于A,[解法一]取函数()0f x =,满足()()220f x f x ++=,但()f x 在[]0,2022上处处是零点,故A 错误.[解法二] 构造函数()(1),022(2),222()x x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩,满足()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立,是“回旋函数”,在[]0,2022上恰好有2023个零点,故A 错误. 故选:D .9.对于函数()f x ,若()00f x x =,则称0x 为函数()f x 的“不动点”;若()()00f f x x =,则称0x 为函数()f x 的“稳定点”.如果函数()()2R f x x a a =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”,那么实数a 的取值范围是( )A .14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,B .34∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, C .3144⎛⎤- ⎥⎝⎦,D .3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,【答案】D【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”,而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,即不存在非“不动点”的“稳定点”,所以()f x x =有解,但方程组()()()121221f x x x x f x x ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩无解,然后利用判别式即得. 【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”,而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,即不存在非“不动点”的“稳定点”,所以()f x x =有解,但方程组()()()121221f x x x x f x x ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩无解, 由()f x x =,得20x x a -+=有解,所以140a -≥,解得14a ≤. 由()()1221f x x f x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,,得212221x a x x a x ⎧+=⎨+=⎩,,两式相减,得()()121221x x x x x x -+=-,因为12x x ≠,所以211x x =--,消去2x ,得21110x x a +++=,因为方程21110x x a +++=无解或仅有两个相等的实根,所以()1410a -+≤,解得34a ≥-,故a 的取值范围是3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,.故选:D.10.已知()313log f x x x =-时,当0a b c <<<时,满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<,则关于以下两个结论正确的判断是( )①函数()y f x =只有一个零点;②函数()y f x =的零点必定在区间(a ,b )内. A .①②均对 B .①对,②错 C .①错,②对 D .①②均错 【答案】B【分析】由题可得函数在()0,∞+上为增函数,且()10f >,103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,再结合零点存在定理及符号法则即可判断.【解析】因为13y x =和13log y x=-均为区间()0,∞+上的严格增函数,因此函数1313log y x x =-也是区间()0,∞+上的严格增函数,且()10f >,103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.所以()y f x =只有一个零点,①对.因为()()()0f a f b f c ⋅⋅<, 所以()()(),,f a f b f c 的符号为两正一负或者全负,又因为0a b c <<<, 所以必有()0f a <,()0f b <,()0f c <或者()0f a <,()0f b >,()0f c >.当()0f a <,()0f b <,()0f c <时,零点在区间(),c +∞内;当()0f a <,()0f b >,()0f c >时,零点在区间(a ,b )内,所以②错. 故选:B .11.函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若函数()()()g x f x t t R =-∈有3个不同的零点a ,b ,c ,则222a b c ++的取值范围是( ) A .[)16,32 B .[)16,34C .(]18,32D .()18,34【答案】D【分析】作出函数()y f x =的图象和直线y t =,它们的交点的横坐标即为()g x 的零点,利用图象得出,,a b c 的性质、范围,从而可求得结论.【解析】作出函数()y f x =的图象和直线y t =,它们的交点的横坐标即为()g x 的零点,如图,则1221a b -=-,45c <<,222a b +=,2(16,32)c∈,所以1822234a b c <++<. 故选:D .【点睛】关键点点睛:本题考查函数零点问题,解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标,从而可通过作出函数图象与直线,得出零点的性质与范围.12.已知函数()2log ,01,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===(1234,,,x x x x 互不相等),则1234x x x x +++的取值范围是( )A .1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B .1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】先画函数图象,再进行数形结合得到122x x +=-和2324log log x x =,结合对勾函数单调性解得441x x +的范围,即得结果. 【解析】作出函数()y f x =的图象,如图所示:设1234x x x x <<<,则()12212x x +=⨯-=-.因为2324log log x x =,所以2324log log x x -=, 所以()2324234log log log 0x x x x +==,所以341x x =,即341x x=.当2log 1x =时,解得12x =或2x =,所以412x <≤.设34441t x x x x =+=+, 因为函数1y x x =+在()1,+∞上单调递增,所以441111212x x +<+≤+,即34522x x <+≤, 所以1234102x x x x <+++≤. 故选:D.二、多选题13.用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确到0.01时,所需二分区间的次数可以为( ) A .5 B .6C .7D .8【答案】CD【分析】由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n 此操作后,区间长度变为12n,由10.012n ≤即可求解. 【解析】由题意,知区间[]0,1的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半, 经过n 此操作后,区间长度变为12n, 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解,要求精确到0.01, ∴10.012n≤,解得7n ≥, 故选:CD .A .已知方程8x e x =-的解在()(),1k k k Z +∈内,则1k =B .函数()223f x x x =--的零点是()1,0-,()3,0C .函数3x y =,3log y x =的图像关于y x =对称D .用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内的近似解的过程中得到()10f <,()1.50f >,()1.250f <,则方程的根落在区间()1.25,1.5上 【答案】ACD【解析】由函数零点的概念判断选项B ,由函数零点存在性定理判断选项AD ,由函数3x y =与函数3log y x =互为反函数判断选项C.【解析】对于选项A ,令()=8xf x e x +-,因为()f x 在R 上是增函数,且()()2170,260f e f e =-<=->,所以方程8x e x =-的解在()1,2,所以1k =,故A 正确;对于选项B ,令2230x x --=得=1x -或3x =,故函数()f x 的零点为1-和3,故B 错误; 对于选项C ,函数3x y =与函数3log y x =互为反函数,所以它们的图像关于y x =对称,故C 正确; 对于选项D ,由于()()()()1.2550,1 1.250f f f f ⋅<⋅>,所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间()1.25,1.5上,故D 正确.故选:ACD15.(多选)已知函数f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线,若0f a f b ⋅<,则在区间[],a b 上( )A .方程()0f x =没有实数根B .方程()0f x =至多有一个实数根C .若函数()f x 单调,则()0f x =必有唯一的实数根D .若函数()f x 不单调,则()0f x =至少有一个实数根【答案】CD【分析】根据零点存在定理可得答案.【解析】由函数零点存在定理,知函数()f x 在区间[],a b 上至少有一个零点, 所以若函数()f x 不单调,则()0f x =至少有一个实数根,若函数()f x 单调,则函数()f x 有唯一的零点,即()0f x =必有唯一的实数根, 故选:CD .16.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩,令()()h x f x k =-,则下列说法正确的是( )A .函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞B .当(]43k ,∈--时,()h x 有3个零点C .当2k =-时,()h x 的所有零点之和为-1D .当(),4k ∈-∞-时,()h x 有1个零点 【答案】BD【分析】画出()f x 的图象,然后逐一判断即可. 【解析】()f x 的图象如下:由图象可知,()f x 的增区间为()()1,0,0,-+∞,故A 错误当(]43k ,∈--时,()y f x =与y k =有3个交点,即()h x 有3个零点,故B 正确; 当2k =-时,由2232x x +-=-可得12x =-±,由2ln 2x -+=-可得1x = 所以()h x 的所有零点之和为1212--+=-,故C 错误;当(),4k ∈-∞-时,()y f x =与y k =有1个交点,即()h x 有1个零点,故D 正确; 故选:BD三、填空题17.函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1,则其另一个零点为______. 【答案】3-【分析】由函数零点解出a 的值后再计算另一个零点,或利用韦达定理计算即可. 【解析】解法一:因为函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1, 将(1,0)代入得230a a ++=,解得1a =-. 所以223y x x =--+.令2x 2x 30--+=,解得11x =,23x =-, 所以函数的另一个零点为3-.解法二:由函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1,可得方程2230,(0)ax ax a ++=≠的一个根为1,根据根与系数的关系可得1222ax x a+=-=-,所以另一个根为3-.故函数的另一个零点为3-. 故答案为:3-.R ③当12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠,1212()()0f x f x x x ->-;④()f x 恰有两个零点,请写出函数()f x 的一个解析式________【答案】2()1f x x =- (答案不唯一)【分析】由题意可得函数()f x 是偶函数,且在(0,)+∞上为增函数,函数图象与x 轴只有2个交点,由此可得函数解析式【解析】因为x ∀∈R ,()()f x f x =-,所以()f x 是偶函数,因为当12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠,1212()()0f x f x x x ->-, 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数, 因为()f x 恰有两个零点,所以()f x 图象与x 轴只有2个交点,所以函数()f x 的一个解析式可以为2()1f x x =-, 故答案为:2()1f x x =- (答案不唯一) 19.已知()f x 是定义域为()(),00,∞-+∞的奇函数,函数()()g x f x x=+,()11f =-,当210x x >>时,()()12111222x x f x x x x f x x ->-恒成立.现有下列四个结论:①()g x 在()0,∞+上单调递增;②()g x 的图象与x 轴有2个交点;③()()1326f f +-<;④不等式()0g x >的解集为()()1,00,1-.___________【答案】②③【分析】根据给定条件,探讨函数()g x 的性质,再逐一分析各个命题即可判断作答. 【解析】因当210x x >>时,()()12111222x x f x x x x f x x ->-恒成立,则()()122111f x f x x x ->-恒成立, 即()()121211f x f x x x +>+恒成立,因此()()12g x g x >恒成立,则()g x 在()0,∞+上单调递减, 而()f x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数,1y x=是()(),00,∞-+∞上的奇函数,则()g x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数,因此函数()g x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数,且在()0,∞+上单调递减,命题①不正确;因()11f =-,即()()11101g f =+=,()10g -=,显然()g x 在(),0∞-上单调递减,于是得()g x 的图象与x 轴有2个交点,命题②正确;显然()()32g g <,即()()113232f f +<+,则()()1326f f -<,因此()()1326f f +-<,命题③正确;因奇函数()g x 在(),0∞-,()0,∞+上单调递减,且()1(1)0g g -==,则当()0,1x ∈时,()0g x >,当(),1x ∈-∞-时,()0g x >,不等式()0g x >的解集为()(),10,1-∞-⋃,命题④不正确. 故答案为:②③20.中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家、天文学家张隧(法号:一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法(又称一行算法,牛顿也创造了此算法,但是比我国张隧晚了上千年):对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()11y f x =,()22y f x =,()33y f x =,则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()()111212f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替,其中21121y y k x x -=-,3232y y k x x -=-,1231k k k x x -=-.若令10x =,22x π=,3x π=,请依据上述算法,估算2sin 5π的近似值是_______. 【答案】2425##0.96【分析】根据题意先求出123,,y y y ,进而求出12,,k k k ,然后求得()f x ,最后求得2sin 5π的近似值. 【解析】函数()sin y f x x ==在10x =,22x π=,3x π=处的函数值分别为()100y f ==,212y f π⎛⎫== ⎪⎝⎭,()30y f π==,故211212y y k x x π-==-,32322y y k x x π-==--,122314k k k x x π-==--, 故()22224442f x x x x x x πππππ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭, 即2244sin x x x ππ≈-+,所以2224242sin 555πππππ⎛⎫≈-⨯+⨯= ⎪⎝⎭2425. 故答案为:2425.四、解答题21.已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-.(1)证明:函数()f x 是偶函数;(2)求函数()f x 的零点. 【答案】(1)证明见解析; (2)22-和22【分析】(1)先证明函数()f x 的定义域关于原点对称,再证明()()f x f x -=即可;(2)利用对数运算对函数()f x 的解析式进行化简,求解方程()0f x =即可得到函数()f x 的零点. (1)证明:由3030x x +>⎧⎨->⎩,解得33x -<<,∴函数的定义域为{}33x x -<<,且定义域关于原点对称, 又∵()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=,∴()f x 是偶函数. (2)解:()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-,令()()2ln 90f x x =-=,∴291x -=,解得22x =±. ∴函数()f x 的零点为22-和22.22.已知函数3f x a =-(0a >且1a ≠),若函数y f x =的图象过点(2,24).(1)求a 的值及函数()y f x =的零点;(2)求()6f x ≥的解集. 【答案】(1)3,零点是0(2)[1,+∞)【分析】(1)代值求出函数的表达式,再根据零点的定义求解即可; (2)解不等式即可求出解集.【解析】(1)因为函数f (x )=ax +1﹣3(a >0且a ≠1),图象过点(2,24), 所以24=a 2+1﹣3,a 3=27,a =3.函数f (x )=3x +1﹣3=0,得x +1=1,x =0. 所以函数的零点是0.(2)由f (x )≥6得3x +1﹣3≥6,即3x +1≥32, 所以x ≥1.则f (x )≥6的解集为[1,+∞).23.由历年市场行情知,从11月1日起的30天内,某商品每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系是()()20025,,452530,,t t t N P t t N ⎧+<<∈⎪=⎨≤≤∈⎪⎩日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是()40030,Q t t t =-+<≤∈N . (1)设该商品的日销售额为y 元,请写出y 与t 的函数关系式(商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量);(2)求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最大.【答案】(1)()()220800025,,1800452530,.t t t t N y t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩(2)日销售额的最大值为900元,且11月10日销售额最大.【分析】(1)根据题目条件中给出的公式,直接计算,可得答案; (2)根据二次函数的性质,结合取值范围,可得答案. (1)由题意知()()()()()2040025,,45402530,,t t t t N y P Q t t t N ⎧+-<<∈⎪=⋅=⎨⨯-≤≤∈⎪⎩即()()220800025,,1800452530,.t t t t N y t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩(2)当025t <<,t ∈N 时,()222080010900y t t t =-++=--+, 所以当10t =时,max 900y =;当2530t ≤≤,t ∈N 时,180045y t =-,所以当25t =时,max 675y =. 因为900675>,所以日销售额的最大值为900元,且11月10日销售额最大.24.已知函数f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≤时,f x x mx =+,函数f x 在轴左侧的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()0f x a -=有4个不相等的实数根,求实数a 的取值范围.【答案】(1)()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩ (2)()1,0-【分析】(1)利用()20f -=可求0x ≤时()f x 的解析式,当0x >时,利用奇偶性()()=f x f x -可求得0x >时的()f x 的解析式,由此可得结果;(2)作出()f x 图象,将问题转化为()f x 与y a =有4个交点,数形结合可得结果. (1)由图象知:()20f -=,即420m -=,解得:2m =,∴当0x ≤时,()22f x x x =+;当0x >时,0x -<,()()2222f x x x x x ∴-=--=-,()f x 为R 上的偶函数,∴当0x >时,()()22f x f x x x =-=-;综上所述:()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩;(2)()f x 为偶函数,f x 图象关于y 轴对称,可得()f x 图象如下图所示,()0f x a -=有4个不相等的实数根,等价于()f x 与y a =有4个不同的交点, 由图象可知:10a -<<,即实数a 的取值范围为()1,0-. 25.已知函数()()20f x ax bx c a =++>,且()12a f =-.(1)求证:函数()f x 有两个不同的零点;(2)设1x ,2x 是函数()f x 的两个不同的零点,求12x x -的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2))2,⎡+∞⎣【分析】(1)根据()12a f =-可得32ac b =--,再代入证明判别式大于0即可;(2)根据韦达定理化简可得21222b x x a ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭,进而求得范围即可.(1)∵()12a f abc =++=-,∴32ac b =--.∴()232a f x ax bx b =+--.对于方程()0f x =,()222223464222a b a b b a ab a b a ⎛⎫∆=---=++=++ ⎪⎝⎭,∴0∆>恒成立.又0a >,∴函数()f x 有两个不同的零点. (2)由1x ,2x 是函数()f x 的两个不同的零点,得1x ,2x 是方程()0f x =的两个根.∴12b x x a+=-,1232b x x a =--.∴()2221212123442222b b b x x x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=----=++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴12x x -的取值范围是)2,⎡+∞⎣.26.已知函数33f x a =+⋅为偶函数.(1)求实数a 的值;(2)设函数()()33x g x f x x -=+--的零点为0x ,求证:()0529210f x <<.【答案】(1)1a = (2)证明见解析【分析】(1)由()()f x f x -=可得答案;(2)求出()g x ,利用函数()g x 在R 上单调性得3030log 2log 2.51x <<<<. 再利用单调性定义判断出()f x 在()0,+∞上单调递增,利用单调性可得答案. (1)由()()f x f x -=,得3333x x x x a a --+⋅=+⋅,()223131-=⋅-x xa ,所以1a =,此时()33-=+x x f x ,x R ∈时,()()33--=+=x xf x f x ,()f x 为偶函数,所以1a =; (2) 由(1)得()33x x f x -=+,所以()333333xx x x g x x x --=++--=+-,因为函数()g x 在R 上单调递增,且()3log 2g 32log 230=+-<,()3log 2.5g 332.5log 2.53log 30.50=+->-=,所以3030log 2log 2.51x <<<<,又对任意120x x <<,()()1211221212123333333333x x x x x x x x x x f x f x ----=+--=--⋅()12121331033x x x x⎛⎫=--< ⎪⋅⎝⎭,所以()()12f x f x <,即()f x 在()0,+∞上单调递增, 所以()()()303log 2log 2.5f f x f <<, 即()0529210f x <<. 27.给出下面两个条件:①函数()的图象与直线只有一个交点;②函数()的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数()f x 的解析式确定.已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-,且______.(1)求()f x 的解析式;(2)若对任意1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()32log 0f x m +≤恒成立,求实数m 的取值范围;(3)若函数()()()213232x xg x t f =--⨯-有且仅有一个零点,求实数t 的取值范围.【答案】(1)选①()22f x x x =-,选②()22f x x x =-(2)(],16-∞-(3)311,22⎧⎫+⎪⎪⎛⎫-+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭【分析】(1)利用已知条件求出a 、b 的值,可得出()22f x x x c =-+.选①,由题意可得出()11f =-,可得出c 的值,即可得出函数()f x 的解析式; 选②,由根与系数的关系求出c 的值,即可得出函数()f x 的解析式;(2)3log h x =,[]2,3h ∈-,由参变量分离法可得出()min 2m f h ≤-⎡⎤⎣⎦,结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围;(3)令30x n =>,所以关于n 的方程()()21220t f n n ---=有且仅有一个正实根,对实数t 的取值进行分类讨论,结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组,综合可解得实数t 的取值范围. (1)解:因为二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-,()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=-,所以221a a b =⎧⎨+=-⎩,解得12a b =⎧⎨=-⎩,所以()22f x x x c =-+.选①,因为函数()f x 的图象与直线1y =-只有一个交点,所以()1121f c =-+=-,解得0c ,所以()f x 的解析式为()22f x x x =-.选②,设1x 、2x 是函数()f x 的两个零点,则122x x -=,且440c ∆=->,可得1c <, 由根与系数的关系可知122x x +=,12x x c =, 所以()21212124442x x x x x x c -=+-=-=,解得0c ,所以()f x 的解析式为()22f x x x =-.(2)解:由()32log 0f x m +≤,得()32log m f x ≤-,当1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,[]3log 2,3x ∈-,令3log h x =,则[]2,3h ∈-,所以对任意1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()32log 0f x m +≤恒成立,等价于()2m f h ≤-在[]2,3h ∈-上恒成立,所以()()min 22216m f h f ≤-=--=-⎡⎤⎣⎦,所以实数m 的取值范围为(],16-∞-. (3)解:因为函数()()()213232x xg x t f =--⨯-有且仅有一个零点,令30x n =>,所以关于n 的方程()()21220t f n n ---=有且仅有一个正实根,因为()22f x x x =-,所以()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根,当210t -=,即12t =时,方程可化为220n --=,解得1n =-,不符合题意; 当210t ->,即12t >时,函数()22142y t x tx =---的图象是开口向上的抛物线,且恒过点()0,2-,所以方程()221420t n tn ---=恒有一个正实根;当210t -<,即12t时,要使得()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根, ()21682102021t t tt ⎧=+-=⎪⎨>⎪-⎩,解得312t +=-. 综上,实数t 的取值范围为311,22⎧⎫+⎪⎪⎛⎫-+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.28.已知函数10f x ax bx a =++≠的图象关于直线x =1对称,且函数2y f x x =+为偶函数,函数()12x g x =-.(1)求函数()f x 的表达式;(2)求证:方程()()0f x g x +=在区间[]0,1上有唯一实数根; (3)若存在实数m ,使得()()f m g n =,求实数n 的取值范围. 【答案】(1)()()21f x x =- (2)证明见解析 (3)(],0-∞【分析】(1)根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解,a b ,进而可求解析式, (2)根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断, (3)将条件转化为函数值域,即可求解. (1)∵()21f x ax bx =++的图象关于直线x =1对称,∴122bb a a-=⇒=-. 又()()2221y f x x ax b x =+=+++为偶函数,∴=2b -,=1a .∴()()22211f x x x x =-+=-. (2)设()()()()2112x h x f x g x x =+=-+-,∵()010h =>,()110h =-<,∴()()0?10h h <. 又()()21f x x =-,()12xg x =-在区间[]0,1上均单调递减,∴()h x 在区间[]0,1上单调递减,∴()h x 在区间[]0,1上存在唯一零点. ∴方程()()0f x g x +=在区间[]0,1上有唯一实数根. (3)由题可知()()210f x x =-≥,()121xg x =-<,若存在实数m ,使得()()f m g n =,则()[)0,1g n ∈, 即120n -≥,解得0n ≤.∴n 的取值范围是(],0-∞. 29.若函数()y f x =同时满足:①函数在整个定义域是严格增函数或严格减函数;②存在区间[],a b ,使得函数在区间[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦,则称函数()f x 是该定义域上的“闭函数”.(1)判断()2f x x =-是不是R 上的“闭函数”?若是,求出区间[],a b ;若不是,说明理由; (2)若()()211f x x t x =-≥是“闭函数”,求实数t 的取值范围;(3)若()()2222f x x kx k =-+≤在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值()g k 是“闭函数”,求a 、b 满足的条件.【答案】(1)不是,理由见解析;(2)3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦;(3)222a b +=且11733a b ≤<≤. 【分析】(1)利用“闭函数”的定义判断函数()2f x x =-是否满足①②,由此可得出结论;(2)分析可知函数()21h m m m t =-+-在[)0,m ∈+∞有两个零点,利用二次函数的零点分布可得出关于实数t 的不等式组,由此可解得实数t 的取值范围;(3)利用二次函数的基本性质求得()21921,93312,23kk g k k k ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩,然后分13a b <≤、123a b <≤≤、123a b ≤<≤三种情况讨论,分析函数()g k 的单调性,结合“闭函数”的定义可得出关于a 、b 的等式,由此可得出a 、b 满足的条件.【解析】(1)函数()2f x x =-为R 上的增函数,若函数()2f x x =-为“闭函数”,则存在a 、()b a b <,使得函数()f x 在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦,则()()2222f a a a f b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩,则关于x 的方程220x x -+=至少有两个不等的实根, 因为180∆=-<,故方程220x x -+=无实根,因此,函数()f x 不是“闭函数”; (2)因为函数()21f x x t =-+为[)1,+∞上的增函数, 若函数()21f x x t =-+为[)1,+∞上的“闭函数”,则存在a 、[)()1,b a b ∈+∞<,使得函数()f x 在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦,则()()222211f a a t a f b b t b⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩,所以,关于x 的方程221x t x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根,令210m x =-≥,设()21h m m m t =-+-,则函数()h m 在[)0,m ∈+∞有两个零点,所以,()()1410010t h t ⎧∆=-->⎪⎨=-≥⎪⎩,解得314t <≤,因此,实数t 的取值范围是3,14⎛⎤⎥⎝⎦;(3)因为()()222f x x k k =-+-.当13k <时,函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,则()1192393k g k f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;当123k ≤≤时,()()22g k f k k ==-.综上所述,()21921,93312,23kk g k k k ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩. 所以,函数()g k 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上也为减函数.①当13a b <≤时,则()()221929319293a g a b b g b a⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩,上述两式作差得()()()23a b a b a b -=-+,因为a b <,故23a b +=,因为13a b <<,则23a b +<,矛盾;②当123a b <≤≤时,则有222192932ab b a⎧-=⎪⎨⎪-=⎩,消去2b 可得29610a a -+=,解得13a =,不合乎题意;③当123a b ≤<≤时,则()()222222g a a b g b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩,可得222a b +=.因此,a 、b 满足的条件为222a b +=且11733a b ≤<≤. 【点睛】方法点睛:“动轴定区间”型二次函数最值的方法: (1)根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论;(2)根据二次函数的单调性,分别讨论参数在不同取值下的最值,必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析;(3)将分类讨论的结果整合得到最终结果.。

九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习

九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习

九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程:二、二次函数解析式的确定:1、设顶点式,即:设2、设一般式,即:设3、设交点式,即:设【提醒:求二次函数解析式,根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外,还有:如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴,可设顶点在x轴上,可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题:2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒:1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现,解决此类问题时要将题目分解开来,讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一:二次函数的最值例1 (呼和浩特)已知:M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y=-abx2+(a+b)x ()A.有最大值,最大值为 B.有最大值,最大值为C.有最小值,最小值为 D.有最小值,最小值为对应训练1.已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,则a,b的大小关系为()A.a>b B.a<b C.a=b D.不能确定考点二:确定二次函数关系式例2 如图,二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.对应训练2.如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)写出顶点坐标及对称轴;(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.考点三:二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1、x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②m>;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3对应训练3.(株洲)如图,已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=-1,则该抛物线与x轴的另一交点坐标是()A.(-3,0) B.(-2,0) C.x=-3 D.x=-2考点四:二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- (x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是 m.例5 (重庆)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表:月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1(吨)12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:z1=x,该企业自身处理每吨污水的费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:z2=x-x2;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a-30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整数值.(参考数据:≈15.2,≈20.5,≈28.4)对应训练4.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来.考点五:二次函数综合性题目例6 如图,抛物线交x轴于点A(-3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,-3).将抛物线沿y轴翻折得抛物线.(1)求的解析式;(2)在的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大,并说出理由;(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点,若以EF为直径的圆恰与x轴相切,求此圆的半径.对应训练6.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,).(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.【聚焦中考】1.二次函数y=ax2+bx的图象如图,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()A.-3 B.3 C.-6 D.92.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是()A.3 B.2 C.1 D.03.(济南)如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.4.牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:销售单价x(元/件)…20 30 40 50 60 …每天销售量(y件)…500 400 300 200 100 …(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式;(2)当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价-成本总价)(3)洛阳市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?5.在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示:(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式;(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.6.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?【备考真题过关】一、选择题1、如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于()A. B. C.3 D.42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是()A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限4.(资阳)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是()A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1且x>5 D.x<-1或x>53、如图,已知抛物线y1=-2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:①当x>0时,y1>y2;②当x<0时,x值越大,M值越小;③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是或.其中正确的是()A.①② B.①④ C.②③ D.③④4、如图,一条抛物线与x轴相交于A、B两点,其顶点P在折线C-D-E上移动,若点C、D、E的坐标分别为(-1,4)、(3,4)、(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.45、若二次函数y=(x+1)(x﹣m)的图象的对称轴在y轴的右侧,则实数m的取值范围是()A.m<﹣1 B.﹣1<m<0 C.0<m<1 D.m>16、二次函数y=ax2+bx的图象如图,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()A.﹣3 B.3C.﹣6 D.9二、解答题7、如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h= (t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?8、某科技开发公司研制出一种新型的产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定为3000元,在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元.(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元?(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(3)该公司的销售人员发现:当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获得的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获得的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)9、某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这写薄板的形状均为正方向,边长在(单位:cm)在5~50之间.每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:元)有基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的.浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长(cm)20 30出厂价(元/张)50 70(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润为26元(利润=出厂价-成本价),①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式.②当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大?最大利润是多少?10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;(3)若射线NM交x轴于点P,且PA•PB=,求点M的坐标.11、如图,一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.(1)求这个抛物线的解析式;(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大第 11 页 共 11 页 值?最大值是多少?(3)在(2)的情况下,以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点D 的坐标.14.已知抛物线y= x 2+1(如图所示).(1)填空:抛物线的顶点坐标是( , ),对称轴是 ;(2)已知y 轴上一点A (0,2),点P 在抛物线上,过点P 作PB ⊥x 轴,垂足为B .若△PAB 是等边三角形,求点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,点M 在直线AP 上.在平面内是否存在点N ,使四边形OAMN 为菱形?若存在,直接写出所有满足条件的点N 的坐标;若不存在,请说明理由.。

反三角函数与最简三角方程期末复习

反三角函数与最简三角方程期末复习

反三角函数与最简三角方程
已知关于x的方程 3 sin 2 x cos 2 x k 1 在区间0, 内有相异的两个实数解 , 求k 2 的取值sin x a
当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
3 4 y sin x, x , 2 2

2
2三角方程 cos x a
当a 1时, x 一般地, 当 a 1时, x
. x 2k , k Z
2
, k Z
.
.
k (1) k arcsin a, k
当 a 1时, 方程无解; 当a 1时, x x 2k , k Z . 当a 1时, x x 2k , k Z . 一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
一、复习反三角函数,完成下列习题:
1 arcsin 1

2 y sin x, x , 2 2 arcsin 4 ; 2 2 2 7函数f x arccos x 1 的反函数是 3 arccos1 3 ; 2 y sin x, x 0, 2 5 2 3 4 arccos 6 ;8函数f x 2 arctanx的反函数是 2 x y tan , x , 5 arct an 1 4 ;
3三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
1.解下列三角方程
1 3 sin x cos x 1, x 0, 2cos2 x sin 2 x 1 37 cos x 3 cos2 x 0 46 sin 2 x 8 sin x cos x 1 2.求下列函数的反函数 1 y arcsin 2 x; 2 y arccos x ; 3 y arctan2 x 1;

期末高一复习专题02 一元二次函数、不等式(教师版)

期末高一复习专题02  一元二次函数、不等式(教师版)

专题02 一元二次函数、方程和不等式考点一:不等式性质及应用1.若A =a 2+3ab ,B =4ab -b 2,则A ,B 的大小关系是( ) A .A ≤B B .A ≥B C .A <B 或A >B D .A >B 答案 B解析 ∵A -B =a 2+3ab -(4ab -b 2)=⎝⎛⎭⎫a -b 22+34b 2≥0, ∴A ≥B . 2.若110a b<<,则下列不等式成立的是( ) A .a b ab -> B .a b ab -<C .b a ab ->D .b a ab -<【解答】解:由110a b<<, 对于A 、B ,因为110a b <<,则0a <,0b <,a b >,从而0ab >,0a b ->,即0a b ab ->,则可取1a bab-=,即a b ab -=,故A 、B 错误,对于C 、D ,因为110a b <<,则0a <,0b <,从而0ab >.又110b a->,即0a bab->,则0a b ->,所以0b a ab -<<,故D 正确,C 错误. 故选:D .3.对于任意实数a ,b ,c ,则下列四个命题:①若a b >,0c ≠,则ac bc >;②若a b >,则22ac bc >; ③若22ac bc >,则a b >;④若a b >,则11a b<. 其中正确命题的个数为( ) A .3 B .2C .1D .0【答案】C【解析】a b >时,若0c <,则ac bc <,①错误;若0c,则22ac bc =,②错误;若22ac bc >,则20c >,∴a b >,③正确;a b >,若0a b >>,仍然有11a b>,④错误. 正确的只有1个.故选:C .4.已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是( ) A .82,2⎡⎤⎣⎦B .81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .72,2⎡⎤⎣⎦D .71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩,∴12s t =⎧⎨=⎩,又11x y -≤+≤,…∴①13x y ≤-≤,∴()226x y ≤-≤…②∴①+②得137x y ≤-≤.则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭.故选C .5.证明不等式22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭(,a b ∈R ). 【答案】证明见解析.【解析】证明:因为222a b ab +≥,所以22222()2a b a b ab +≥++, 所以()()2222a ba b +≥+两边同除以4,即得22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭,当且仅当a b =时,取等号. 考点二:利用基本不等式求最值 6.函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为( ) A .8 B .7 C .6 D .5【答案】D因为13x >,所以3x -1>0,所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--, 当且仅当43131x x -=-,即x =1时等号成立,故函数413313y x x x ⎛⎫ ⎪⎝=>-⎭+的最小值为5. 故选:D .7.设0a >,0b >,41a b +=,则11a b+的最小值为( )A .7B .9C D 3【解答】解:0a >,0b >,41a b +=,111144()(4)()552549b a b a b a b a b a b a ∴+=++=++++=, 当且仅当4b a a b =,即126a b ==时取等号,∴11a b +的最小值为9.故选:B .8.已知a ,b R +∈,且23a b ab +=,则2a b +的最小值为( ) A .3B .4C .6D .9【解答】解:a ,b R +∈,且23a b ab +=,∴213a b+=,12152522(2)()()333333a b a b a b a b b a ∴+=++=+++⨯(当且仅当a b =时取“= “),即2a b +的最小值为3.故选:A .9.函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为( )A .3B .2C .1D .-1【答案】D2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++1[(1)]1(1)x x =--+++-+11≤-=-, 当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选:D.10.已知0x >,0y >,若28x y xy +=,则xy 的最小值是( )A B C .18D .14【答案】C因为0x >,0y >,由基本不等式得:2x y +≥所以8xy ≥解得:18xy ≥,当且仅当2x y =,即14x =,12y =时,等号成立故选:C11.已知0x >,0y >且141x y+=,若28x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是_________.【答案】(9,1)- 【详解】0,0x y >> ,且141x y+=,()144149y xx y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当4y x x y =,即36x y ==,时取等号.()min 9x y ∴+=,由28x y m m +>+ 恒成立,即()2min 89m m x y +<+=,解得:91m -<<, 故答案为:(9,1)-12.已知正数a ,b 满足21a b +=,则( ) A .ab 有最大值18 B .12a b +有最小值8 C .1b b a +有最小值4 D .22a b +有最小值15【解答】解:根据题意,依次分析选项: 对于A ,22112()248a b a b ab+⋅=⇒,当且仅当12a =,14b =时取等号,则A 正确; 对于B ,121222(2)()5459b aa b a b a b a b +=++=+++=,当且仅当13a b ==时取等号,B 错误;对于C ,12224b a bb a b a+=+++=,当且仅当13a b ==时取等号,则C 正确;对于D ,222222211(12)5415()(0)552a b b b b b b b +=-+=-+=-+<<,故最小值为15,则D 正确;故选:ACD .13.已知20a b >>,则4(2)a b a b +-的最小值为______________思路一:所求表达式为和式,故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式,分母为()2b a b -,所以可将a 构造为()112222a ab b ⋅=⋅-+⎡⎤⎣⎦,从而三项使用均值不等式即可求出最小值:4181(2)3(2)2(2)2a a b b b a b b a b ⎡⎤+=-++≥⋅=⎢⎥--⎣⎦ 思路二:观察到表达式中分式的分母()2b a b -,可想到作和可以消去b ,可得()()2222b a b b a b a +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦,从而244(2)a a b a b a +≥+-,设()24f a a a =+,可从函数角度求得最小值(利用导数),也可继续构造成乘积为定值:()24322a a f a a =++≥= 答案:314.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F=76 000v v 2+18v +20l . (1)如果不限定车型,l =6.05,则最大车流量为________辆/时;(2)如果限定车型,l =5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 答案 (1)1 900 (2)100解析 (1)当l =6.05时,F =76 000v v 2+18v +121=76 000v +121v +18≤76 0002v ·121v +18=1 900(辆/时).当且仅当v =121v ,即v =11时,等号成立.(2)当l =5时,F =76 000vv 2+18v +100=76 000v +100v +18≤76 0002v ·100v +18=2 000(辆/时).当且仅当v =100v ,即v =10时,等号成立.∴最大车流量为2 000(辆/时). 2 000-1 900=100(辆/时).∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加100(辆/时). 考点三:含参数与不含参数的不等式解法15.已知集合{}2230A x x x =-+≥,302x B x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬+⎩⎭Z,则A B =( ) A .{}23x x -<≤ B .{}1,0,1,2,3-C .{}2,1,1,2,3--D .R【答案】B解不等式2230x x -+≥ ,()2223120,x x x x R -+=-+>∈ ,解不等式302x x -≤+ 得23x -<≤,}{1,0,1,2,3B =- ,}{1,0,1,2,3A B ∴⋂=- ; 故选:B.16.不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________. 【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃【详解】不等式()()()()()()2135021350x x x x x x ++->⇔++-<,由数轴标根法画出图线,可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.故答案为:1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.17.已知二次不等式220x bx c -++<的解集为1{|3x x <或1}2x >,则关于x 的不等式220cx bx -->的解集为( )A .{|23}x x <<B .{|23}x x -<<C .{|32}x x -<<D .{|32}x x -<<-【解答】解:二次不等式220x bx c -++<的解集为1{|3x x <或1}2x >, 所以二次方程220x bx c -++=的解是13和12,由根与系数的关系知,1132211322bc ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩,解得53b =,13c =-;所以不等式220cx bx -->化为2152033x x --->, 即2560x x ++<,解得32x -<<-;所以所求不等式的解集为{|32}x x -<<-. 故选:D .18.25.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<,则下列说法错误的是( ) A .0a < B .不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C .0a b c ++>D .不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【详解】由已知可得-2,3是方程20ax bx c ++=的两根,则由根与系数的关系可得23,23,b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩且0a <,解得,6b a c a =-=-,所以A 正确;对于B ,0ax c +>化简为60x -<,解得6x <,B 正确;对于C ,660a b c a a a a ++=--=->,C 正确; 对于D ,20cx bx a -+<化简为:2610x x --<,解得1132x -<<,D 错误.故选:D.19.已知关于x 的不等式:()23130ax a x -++<.(1)当2a =-时,解此不等式; (2)当0a >时,解此不等式.【答案】(1)1{|2x x <-或}3x >(2)当13a =时,解集为∅;当103a <<时,解集为1{|3}x x a <<;当13a >时,解集为1{|3}x x a <<(1)当a =-2时,不等式-2x 2+5x +3<0整理得(2x +1)(x -3)>0,解得x <-12或x >3, 当a =-2时,原不等式解集为{x |x <-12或x >3}.(2)当a >0时,不等式ax 2-(3a +1)x +3<0整理得:(x -3)(x -1a )<0, 当a =13时,1a =3,此时不等式无解;当0<a <13时,1a >3,解得3<x <1a ;当a >13时,1a <3,解得1a <x <3;综上:当a =13时,解集为∅;当0<a <13时,解集为{x |3<x <1a };当a >13时,解集为{x |1a <x <3}.20.已知22()(3)3f x ax a x a =+--.(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|1x x >或3}x <-,求实数a 的值; (2)若关于x 的不等式()0f x x a ++<的解集中恰有2个整数,求正整数a 的值. 【解答】解:22()(3)3(3)()f x ax a x a ax x a =+--=-+,(1)若不等式()0f x <的解集为(-∞,3)(1-⋃,)+∞,则0a <,且1a -=,33a=-,解得1a =-; (2)不等式()0f x x a ++<,即22(2)20ax a x a +--<有两整数解, 所以(2)()0ax x a -+<;又a 为正整数,所以2a x a-<<, 由解集中必含0,两整数解为1-,0或0,1;当2a >时,整数解为2-,1-,0,不符合; 所以1a =或2a =.考点四:恒成立、有解与根分布问题21.函数()()20.8log 23f x x ax =-+在()1,-+∞有意义,则a 的取值范围( )A .(-B .5,⎡-⎣C .[]5,4--D .(],4-∞-【答案】B 【详解】由题意可知2230x ax -+>对任意的1x >-恒成立,令223u x ax =-+, 二次函数223u x ax =-+的图象开口向上,对称轴为直线4ax =. ①当14a≤-时,即当4a ≤-时,此时函数223u x ax =-+在()1,-+∞上单调递增, 所以,230a ++≥,解得5a ≥-,此时54a -≤≤-;②当14a>-时,即当4a >-时,则有2240a ∆=-<,解得a -<4a -<<综上所述,实数a 的取值范围是5,⎡-⎣. 故选:B.22.已知函数y =x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,y ≥a 恒成立,求a 的取值范围; (2)当a ∈[4,6]时,y ≥0恒成立,求x 的取值范围.解 (1)当x ∈R 时,x 2+ax +3-a ≥0恒成立,则Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0, 解得-6≤a ≤2,故a 的取值范围为{a |-6≤a ≤2}.(2)将y =xa +x 2+3看作关于a 的一次函数,当a ∈[4,6]时,y ≥0恒成立,只需在a =4和a =6时y ≥0即可,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x +3≥0,x 2+6x +3≥0, 解得x ≤-3-6或x ≥-3+6,故x 的取值范围是{x |x ≤-3-6或x ≥-3+6}. 23.已知a R ∈,“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是( ) A .10a -<< B .10a -<≤C .10a -≤<D .10a -≤≤【答案】B当0a =时,221=10ax ax +--<,对x R ∀∈恒成立;当0a ≠时,若2210ax ax +-<,对x R ∀∈恒成立,则必须有20(2)4(1)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩,解之得10a -<<, 综上,a 的取值范围为10a -<≤.故“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是10a -<≤,故选:B24.若命题“R x ∃∈,使得不等式22(3)0mx m x m +-+<”成立,则实数m 的取值集合是( ) A .(3,1)-- B .(,1)(3,)-∞+∞C .(,0]-∞D .(3,1)(1,3)--【答案】B命题“R x ∃∈,使得不等式22(3)0mx m x m +-+<”成立, 当0m =时,不等式为30x -<,显然有解,成立;当0m <时,开口向下,必然R x ∃∈,使得不等式22(3)0mx m x m +-+<成立,; 当0m >,0∆>即222(3)40m m -->,解得29m >或21m <,所以01m <<或3m >. 综上可得1m <或3m >. 故选:B .25.已知关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立,则有( ) A .4m ≤- B .3m ≥- C .30m -≤< D .40m -≤<【答案】A因为关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立,所以2min (4)m x x ≤-, 令224(2)4y x x x =-=--,(]0,3x ∈,所以当2x =时,24y x x =-取得最小值4-, 所以4m ≤- 故选:A26.若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a 的取值范围是________. 【答案】(52,+∞)【详解】设2()24f x x ax =-+,由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩,解得52a >,故答案为:5(,)2+∞.27.2022年11月23日,贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列,这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽,全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中,某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户种养羊,每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导,养羊的投资减少了x ()0x >万元,且每万元创造的利润变为原来的()10.25x +倍.现将养羊少投资的x 万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为()0.150.875a x -万元,其中0a >. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x 的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a 的最大值. 【答案】(1)x 的取值范围为06x <≤;(2)a 的最大值为6.5. 【详解】解:(1)由题意,得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯,整理得260x x -≤,解得06x ≤≤,又0x >,故06x <≤. (2)由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元,技术指导后,养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元,则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立,又010x <<,∴5101.58x a x≤++恒成立, 又51058x x +≥,当且仅当4x =时等号成立,∴0 6.5a <≤,即a 的最大值为6.5. 答:(1)x 的取值范围为06x <≤;(2)a 的最大值为6.5.对点练习一、单选题1.不等式21560x x +->的解集为( )A .{1x x 或1}6x <- B .116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C .{1x x 或3}x <- D .{}32x x -<<【答案】B【分析】解一元二次不等式,首先确保二次项系数为正,两边同时乘1-,再利用十字相乘法,可得答案, 【详解】法一:原不等式即为26510x x --<,即()()6110x x +-<,解得116x -<<,故原不等式的解集为116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.法二:当2x =时,不等式不成立,排除A ,C ;当1x =时,不等式不成立,排除D .故选:B .2.已知正数x y ,满足 4x y +=,则xy 的最大值( )A . 2B .4C . 6D .8【答案】B【分析】直接使用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数x y ,满足 4x y +=,所以有424x y xy =+≥⇒≤,当且仅当2x y ==时取等号, 故选:B3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则不等式20ax bx c ++>的解集是( )A .{}21x x -<<B .{|2x x <-或1}x >C .{}21x x -≤≤D .{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系,结合函数图象确定不等式解集. 【详解】由二次函数图象知:20ax bx c ++>有2<<1x -. 故选:A4.已知02x <<,则y =的最大值为( ) A .2B .4C .5D .6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为02x <<,所以可得240x ->,则()22422x x y +-==,当且仅当224xx =-,即x =y =的最大值为2.故选:A .5.关于x 的不等式()210x a x a -++< 的解集中恰有1个整数,则实数a 的取值范围是( )A .(][)1,02,3-B .[)(]2,13,4--C .[)(]2130,-⋃,D .()()2134--⋃,, 【答案】C【分析】分类讨论一元二次不等式的解,根据解集中只有一个整数,即可求解.【详解】由()210x a x a -++<得()()10x x a --< ,若1a =,则不等式无解.若1a >,则不等式的解为1x a <<,此时要使不等式的解集中恰有1个整数解,则此时1个整数解为2x =,则23a <≤.若1a <,则不等式的解为1<<a x ,此时要使不等式的解集中恰有1个整数解,则此时1个整数解为0x =,则10a -≤<.综上,满足条件的a 的取值范围是[)(]2130,-⋃, 故选:C .6.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >,则下列说法正确的是( )A .0a >B .不等式20ax cx b ++>的解集为{|22x x <<C .0a b c ++<D .不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【分析】根据解集形式确定选项A 错误;化不等式为2430,x x --<即可判断选项B 正确;设2()f x ax bx c =++,则(1)0f >,判断选项C 错误;解不等式可判断选项D 错误.【详解】解:因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >,所以a<0,所以选项A 错误; 由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩,所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<所以选项B 正确;设2()f x ax bx c =++,则(1)0f a b c =++>,所以选项C 错误;不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<,所以选项D 错误.故选:B二、多选题7.(多选)给出下列命题,其中正确的命题是( )A .a >b ⇒ac 2>bc 2B .a >|b |⇒a 2>b 2C .a >b ⇒a 3>b 3D .|a |>b ⇒a 2>b 2答案 BC解析 A 当c 2=0时不成立;B 一定成立;C 当a >b 时,a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)=(a -b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a +b 22+34b 2>0成立; D 当b <0时,不一定成立.如|2|>-3,但22<(-3)2.a b >,则222a b b >=,D 正确.故选:BD .8.对任意两个实数,a b ,定义{},,min ,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩,若()22f x x =-,()2g x x =,下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是( )A .函数()F x 是偶函数B .方程()0F x =有三个解C .函数()F x 在区间[1,1]-上单调递增D .函数()F x 有4个单调区间【答案】ABD【分析】结合题意作出函数()()(){}min ,F x f x g x =的图象,进而数形结合求解即可.【详解】解:根据函数()22f x x =-与()2g x x =,,画出函数()()(){}min ,F x f x g x =的图象,如图.由图象可知,函数()()(){}min ,F x f x g x =关于y 轴对称,所以A 项正确;函数()F x 的图象与x 轴有三个交点,所以方程()0F x =有三个解,所以B 项正确;函数()F x 在(,1]-∞-上单调递增,在[1,0]-上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,)+∞上单调递减,所以C 项错误,D 项正确.故选:ABD三、填空题9.函数()1311y x x x =+>-的最小值是_____【答案】3+【分析】利用基本不等式可求得原函数的最小值.【详解】因为1x >,则10x ->,所以()1313331y x x =-++≥=-,当且仅当()1311x x -=-,因为1x >,即当x =.所以函数()1311y x x x =+>-的最小值是3.故答案为:3+10.已知[]0,2a ∀∈时,不等式()231102ax a x a +++-<恒成立,则x 的取值范围为__________. 【答案】()2,1--【分析】由题意构造函数关于a 的函数()f a 2312x x a x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭,则可得(0)0(2)0f f <⎧⎨<⎩,从而可求出x 的取值范围.【详解】由题意,因为当[]0,2a ∈,不等式()231102ax a x a +++-<恒成立, 可转化为关于a 的函数()f a 2312x x a x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭,则()0f a <对任意[]0,2a ∈恒成立, 则满足2(0)10(2)22310f x f x x x =+<⎧⎨=+-++<⎩,解得2<<1x --, 即x 的取值范围为()2,1--.故答案为:()2,1--四、解答题11.(1)已知一元二次不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,求不等式210qx px ++>的解集; (2)若不等式2(7)0x mx m -++>在实数集R 上恒成立,求m 的范围.【答案】(1){|23}x x -<<;(2)22m -<+【分析】(1)先将不等式问题转化为方程问题求出,p q 的值,然后就可以解不等式了;(2)一元二次不等式恒成立,即考虑其判别式.【详解】(1)因为20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭, 所以112x =-与213x =是方程20x px q ++=的两个实数根, 由根与系数的关系得11,3211,32p q ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩解得1,61.6p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不等式210qx px ++>, 即2111066x x -++>,整理得260x x --<,解得23x -<<.即不等式210qx px ++>的解集为{|23}x x -<<. (2)由题意可得,∆<0,即241(7)0-⨯⨯+<m m ,整理得24280m m --<,解得22m -<+12.为持续推进“改善农村人居环境,建设宜居美丽乡村”,某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示,两块完全相同的长方形种植绿草坪,草坪周围(斜线部分)均摆满宽度相同的花,已知两块绿草坪的面积均为400平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米,求草坪宽的最大值;(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米,求整个绿化面积的最小值.【答案】(1)最大值为16米;(2)最小值为(824+平方米.【分析】(1)设草坪的宽为x 米,长为y 米,依题意列出不等关系,求解即可;(2)表示400(26)(4)(26)(4)S x y x x=++=++,利用均值不等式,即得最小值. 【详解】(1)设草坪的宽为x 米,长为y 米,由面积均为400平方米,得400y x =. 因为矩形草坪的长比宽至少大9米,所以4009x x +,所以294000x x +-,解得2516x -. 又0x >,所以016x <.所以宽的最大值为16米.(2)记整个的绿化面积为S 平方米,由题意可得400300(26)(4)(26)(4)8248()(824S x y x x x x=++=++=+++(平方米)当且仅当x =.所以整个绿化面积的最小值为(824+平方米.。

第二章 函数 期末综合复习测评卷高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

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第二章 函数 期末综合复习测评卷一、单选题 1.函数()g x =) A .(2,0)(0,1)- B .[2,0)(0,1]- C .(1,0)(0,1]-⋃ D .[1,0)(0,2]-⋃2.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数,下列两个命题: ①若()f x 、()g x 都不是单调函数,则(())f g x 不是增函数. ①若()f x 、()g x 都是非奇非偶函数,则(())f g x 不是偶函数. 则( ) A .①①都正确B .①正确①错误C .①错误①正确D .①①都错误3.设()f x 为定义在R 上的奇函数,且满足()(4)f x f x =+,(1)1f =,则(1)(8)f f -+=( ) A .2-B .1-C .0D .14.设函数17,0()20xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥,若()1f a <,则实数a 的取值范围是( )A .(,3)-∞-B .(1,)+∞C .(3,1)-D .(,3)(1,)-∞-⋃+∞5.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减,且为奇函数,若()21f =-,则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围为( )A .[]22-,B .[]1,3-C .[]1,3D .[]1,1-6.函数y =331x x -的图象大致是( )A .B .C .D .7.已知函数()[]f x x x =-,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]1,81=,[]1,82-=-.下面说法错误的是( )A .当[)0,1x ∈时,()f x x =;B .函数()y f x =的值域是[)0,1;C .函数()y f x =与函数14y x =的图象有4个交点;D .方程()40f x x -=根的个数为7个.8.黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的,在高等数学中有着广泛的应用,()R x 在[]0,1上的定义为:当qx p =(p q >,且p ,q 为互质的正整数)时,()1R x p=;当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时,()0R x =.已知a ,b ,[]0,1a b +∈,则( )注:p ,q 为互质的正整数()p q >,即qp为已约分的最简真分数. A .()R x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C .()()()R a b R a R b +≥+D .以上选项都不对二、多选题9.函数()y f x =的图象如图所示,则( )A .函数()f x 的定义域为[-4,4)B .函数()f x 的值域为[)0,+∞C .此函数在定义域内是增函数D .对于任意的()5,∈+∞y ,都有唯一的自变量x 与之对应10.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图8-3-1所示(收支差额=车票收入-支出费用),由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两条建议:建议(1)不改变车票价格,减少支出费用;建议(2)不改变支出费用,提高车票价格.下面给出的四个图形中,实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系,则( )A .①反映建议(1)B .①反映建议(1)C .①反映建议(2)D .①反映建议(2)11.有下列几个命题,其中正确的是( ) A .函数y =2x 2+x +1在(0,+∞)上是增函数 B .函数y =11x +在(-∞,-1)①(-1,+∞)上是减函数C .函数y [-2,+∞)D .已知函数g (x )=23,0(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数,则f (x )=2x +312.对于定义在 R 上的函数()f x ,下列判断错误的有( ). A .若()()22f f ->,则函数()f x 是 R 的单调增函数 B .若()()22f f -≠,则函数()f x 不是偶函数 C .若()00f =,则函数()f x 是奇函数D .函数()f x 在区间 (−∞,0]上是单调增函数,在区间 (0,+∞)上也是单调增函数,则()f x 是 R 上的单调增函数三、填空题 13.若函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ,则实数k 的取值范围是__________ .14.已知函数()()3,01,0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩,则56f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______ 15.已知函数()f x x=()2g x x ,则()()f x g x +=_________. 16.已知偶函数()y f x =定义在(1,1)-上,且在(1,0]-上是单调增加的.若不等式(1)(31)f a f a -<-成立,则实数a 的取值范围是___________.四、解答题17.已知幂函数22()(22)m f x m m x +=+-,且在(0,)+∞上是减函数. (1)求()f x 的解析式;(2)若(3)(1)m m a a ->-,求a 的取值范围.18.已知函数11()1(0)2f x x x =-+>.(1)若0m n >>时,()()f m f n =,求11m n+的值; (2)若0m n >>时,函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ,求所有,m n 值.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≤时,()22f x x x =+.(1)求出函数()f x 在R 上的解析式,并补出函数()f x 在y 轴右侧的图像; (2)①根据图像写出函数()f x 的单调递减区间;①若[]1,x m ∈-时函数()f x 的值域是[]1,1-,求m 的取值范围.20.已知函数f (x )=221x x +.(1)求f (2)+f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭,f (3)+f 13⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2)由(1)中求得的结果,你发现f (x )与f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系?并证明你的发现.(3)求2f (1)+f (2)+f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (3)+f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+f (2017)+f 12017⎛⎫⎪⎝⎭+f (2018)+f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.21.已知函数2(1)(f x ax bx a b =++,均为实数),x ∈R , (),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.(1)若(1)0f -=,且函数()f x 的值域为[0)+∞,,求()F x 的解析式; (2)在(1)的条件下,当2][2x ∈-,时,()()g x f x kx =-是单调函数,求实数k 的取值范围; (3)设000mn m n a <+>>,,,且()f x 为偶函数,判断()()F m F n +是否大于零,并说明理由.22.已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()()2a x a x b ϕϕ++-=.给定函数()61f x x x =-+. (1)求函数()f x 图象的对称中心;(2)判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性(只写出结论即可);(3)已知函数()g x 的图象关于点()1,1对称,且当[]0,1x ∈时,()2g x x mx m =-+.若对任意[]10,2x ∈,总存在[]21,5x ∈,使得()()12g x f x =,求实数m 的取值范围.参考答案1.B 【分析】首先根据题中所给的函数解析式,结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求得结果.【解析】由题意得2200x x x ⎧--+≥⎨≠⎩,即2200x x x ⎧+-≤⎨≠⎩,解得21x -≤≤且0x ≠,所以函数()g x =[2,0)(0,1]-, 故选:B. 2.D【解析】解::当1,0()()0,0x f x g x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩,则(())f g x x =,故①不正确;当2()(1)f x x =+,()1g x x =-,则2(())f g x x =,故①不正确. ①①①都错误. 故选:D . 3.B 【解析】解:()f x 是定义在R 上的奇函数,(0)0f =,满足()(4)f x f x =+,(8)(4)(0)0f f f ∴===,又(1)(1)1f f -=-=-,(1)(8)1f f ∴-+=-.故选:B. 【点睛】本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值,属于基础题. 4.C 【分析】0a <时,()1f a <即1()712a-<,0a1<,分别求解即可.【解析】0a <时,()1f a <即1()712a-<,解得3a >-,所以30a -<<;0a1,解得01a <综上可得:31a -<< 故选:C . 【点睛】本题考查分段函数解不等式问题,考查了分类讨论思想的应用,属基本题,难度不大. 5.B【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x 的范围即可. 【解析】解:因为()f x 为奇函数, 所以()()221f f -=-=,于是()111f x -≤-≤等价于()()()212f f x f ≤-≤-, 又()f x 在(,)-∞+∞单调递减,212x ∴-≤-≤,13x ∴-≤≤.故选:B . 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题,考查转化思想,属于中档题. 6.C【解析】由函数解析式可得,该函数定义域为(-∞,0)①(0,+∞),故排除A ;取x =-1,y =1113--=32>0,故再排除B ;当x→+∞时,3x-1远远大于x 3的值且都为正,故331xx -→0且大于0,故排除D ,选C. 7.C 【分析】作出函数()[]f x x x =-的图像,结合图像可判断A ,B 均正确,再作出14y x =,14y x =的图像,结合方程的根与函数零点的关系,可判断C ,D 是否正确.【解析】解:作出函数()[]f x x x =-的图像如图所示,显然A ,B 均正确; 在同一坐标系内作函数14y x =的图像(坐标系内第一象限的射线部分), 作出14y x =的图像(图像中的折线部分),可以得到C 错误,D 正确. 故选:C.【点睛】本题考查了函数图像的应用,考查了函数值域的求解,考查了函数的零点与方程的根.本题的关键是由题目条件,作出()[]f x x x =-的图像.本题的难点是作图时,临界点空心圆、实心圆的标定. 8.B 【分析】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,(p q >,且p ,q 为互质的正整数) ,B ={x |x =0或x =1或x 是[0,1]上的无理数},然后对A 选项,根据黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义分析即可求解;对B 、C选项:分①a A ∈,b A ∈;①a B ∈,b B ∈;①a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a Bb A ∈⎧⎨∈⎩分析讨论即可.【解析】解:设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,(p q >,且p ,q 为互质的正整数),B ={x |x =0或x =1或x 是[0,1]上的无理数},对A 选项:由题意,()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,其中p 是大于等于2的正整数, 故选项A 错误; 对B 、C 选项:①当a A ∈,b A ∈,则()()()R a b R a R b +≤+,()()()R a b R a R b ⋅≥⋅; ①当a B ∈,b B ∈,则()()()R a b R a R b +=+,()()()R a b R a R b ⋅≥⋅=0;①当a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A ∈⎧⎨∈⎩,则()()()R a b R a R b +≤+,()()()R a b R a R b ⋅≥⋅,所以选项B 正确,选项C 、D 错误, 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义去分析. 9.BD 【分析】结合函数图象一一分析即可;【解析】解:由题图可知,函数()f x 的定义域为[][)4,01,4-⋃,故A 错误; 函数()f x 的值域为[)0,+∞,故B 正确; 函数()f x 在定义域内不单调,故C 错误;对于任意的()5,∈+∞y ,都有唯一的自变量x 与之对应,故D 正确. 故选:BD .【分析】由于图象表示收支差额y 与乘客量x 的函数关系,因此需要正确理解图中直线的倾斜角及纵截距的含义.同时对于建议(1)(2)前后图象的变化,也可以理解为对原图象做平移或旋转得到新的图象【解析】对于建议(1)因为不改变车票价格,故建议后的图象(虚线)与目前的图象(实线)倾斜方向相同(即平行),由于减少支出费用,收支差变大,则纵截距变大,相当于将原图象向上平移即可得到,故①反映建议(1);对于建议(2)因为不改变支出费用,则乘客量为0时前后的收支差是相等的,即前后图象纵截距相等,由于提高车票价格,故建议后的图象(虚线)比目前的图象(实线)的倾斜角大.相当于将原图象绕与y 轴的交点按逆时针旋转一定的角度得到的图象,故①反映建议(2). 故选:AC. 11.AD 【分析】根据简单函数的单调性,复合函数的单调性,以及由函数奇偶性求函数解析式,即可容易判断和选择.【解析】由y =2x 2+x +1=2217()48x ++在1[,)4-+∞上递增知,函数y =2x 2+x +1在(0,+∞)上是增函数,故A 正确; y =11x +在(-∞,-1),(-1,+∞)上均是减函数, 但在(-∞,-1)①(-1,+∞)上不是减函数, 如-2<0,但112101<-++故B 错误;y [),(5,)2,1--+∞上无意义, 从而在[-2,+∞)上不是单调函数,故C 错误; 设x <0,则-x >0,g (-x )=-2x -3,因为g (x )为奇函数,所以f (x )=g (x )=-g (-x )=2x +3,故D 正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查函数单调区间的求解,复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式,属中档题. 12.ACD利用单调性的定义及性质,奇偶函数定义进行判断即可.【解析】A 选项,由()()22f f ->,则()f x 在 R 上必定不是增函数; B 选项,正确;C 选项,()2f x x =,满足()00f =,但不是奇函数;D 选项,该函数为分段函数,在x =0 处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故错误. 故选:ACD 【点睛】本题考查了函数的单调性的定义和性质,考查了函数奇偶性的性质,属于基础题. 13.30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分析可知,对任意的x ∈R ,2430kx kx ++≠恒成立,分0k =、0k ≠两种情况讨论,结合已知条件可求得实数k 的取值范围. 【解析】因为函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ,所以,对任意的x ∈R ,2430kx kx ++≠恒成立. ①当0k =时,则有30≠,合乎题意;①当0k ≠时,由题意可得216120k k ∆=-<,解得304k <<. 综上所述,实数k 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为:30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14.12-【分析】利用函数()f x 的解析式可求得56f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】因为()()3,01,0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩,所以,511136662f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为:12-.15.()0x x -> 【分析】求出函数()f x 、()g x 的定义域,将函数()f x 、()g x 解析式相加即可得解.【解析】函数()f x x =()2g x x =的定义域均为()0,∞+, 因此,()()()0f x g x x x +=->.故答案为:()0x x ->.16.1(0,)2【分析】由()y f x =在(1,0]-上为单调增,结合函数的奇偶性,可得()y f x =在[)0,1上为单调减,将(1)(31)f a f a -<-转化为131a a ->-,结合定义域,解不等式可得a 的取值范围. 【解析】偶函数()y f x =在(1,0]-上为单调增,∴()y f x =在[)0,1上为单调减,∴(1)(31)f a f a -<-等价于1311111311a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩,解得:10202203a a a ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎩∴实数a 的取值范围是1(0,)2. 故答案为:1(0,)2. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题,考查计算能力,属于中档题. 17.(1)()1f x x=;(2){|23a a <<或1}a <. 【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论,(2)令3()g x x -=,根据其单调性即可求解结论.【解析】解:(1)函数是幂函数,2221m m ∴+-=, 即2230m m +-=,解得1m =或3m =-,幂函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,20m ∴+<,即2m <-,3m ∴=-,(2)令3()g x x -=,因为()g x 的定义域为(-∞,0)(0⋃,)+∞,且在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数,33(3)(1)a a --->-,310a a ∴-<-<或031a a <-<-或301a a ->>-,解得23a <<或1a <,故a 的取值范围为:{|23a a <<或1}a <.18.(1)2;(2)32m =,12n =. 【分析】(1)根据绝对值定义去掉绝对值,由()()f m f n =化简即可得出结果;(2)根据01n m <<≤,1m n >≥,01n m <<<三种情况去掉绝对值,根据函数的单调性,列出方程,计算求解即可得出结果.【解析】(1)因为()()f m f n =,所以11111122m n -+=-+ 所以1111m n -=-, 所以1111m n -=-或1111m n -=-,因为0m n >>,所以112m n+=. (2)1 当01n m <<≤时,11()2f x x =-在[],n m 上单调递减,因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ,所以()()f n m f m n=⎧⎨=⎩,两式相减得1mn =不合,舍去. 2 当1m n >≥时,31()2f x x =-在[],n m 上单调递增,因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ,所以()()f m m f n n =⎧⎨=⎩,无实数解. 3 当01n m <<<时,11,[,1],2()31,(1,],2x n x f x x m x⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩ 所以函数()f x 在[,1]n 上单调递减,在(]1,m 上单调递增.因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ,所以1(1)2n f ==,13()22m f ==.综合所述,32m =,12n =. 【点睛】本题考查分段函数的单调性及值域问题,考查分类讨论的思想,属于中档题.19.(1)()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩,图象答案见解析;(2)①减区间为:(),1-∞-和()1,+∞;①1m ⎡⎤∈⎣⎦.【分析】(1)由奇函数的定义求得解析式,根据对称性作出图象.(2)由图象的上升与下降得增减区间,解出方程221x x -+=-的正数解,可得结论.【解析】(1)当0x >,0x -<,则()()2222f x x x x x -=--=-因为()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-,即0x >时,()22f x x x =-+ 所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩, 图象如下:(2)如图可知,减区间为:(),1-∞-和()1,+∞()11f -=-,()11f =令22212101x x x x x -+=-⇒--=⇒==①1x >①1x =故由图可知1m ⎡⎤∈⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性,考查图象的应用,由图象得单调区间,得函数值域.是我们学好数学的基本技能.20.(1)f (2)+f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,f (3)+f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭=1;(2)f (x )+f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1;证明见解析;(3)2018. 【分析】(1)根据函数解析式,代值计算即可;(2)观察(1)中所求()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,结合函数解析式,即可证明; (3)根据(2)中所求,两两配对,即可容易求得结果.【解析】(1)因为f (x )=221x x +, 所以f (2)+f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=22212++2212112⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1 f (3)+f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭=22313++2213113⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1. (2)由(1)可发现f (x )+f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1.证明如下: f (x )+f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221x x ++22111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ =221x x ++211x +=2211x x ++=1,是定值. (3)由(2)知,f (x )+f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1, 因为f (1)+f (1)=1,f (2)+f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=1, f (3)+f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭=1, f (4)+f 14⎛⎫ ⎪⎝⎭=1, …f (2018)+f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,所以2f (1)+f (2)+f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (3)+f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+f (2017)+f 12017⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (2018)+f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭=2018.【点睛】本题考查函数值的求解,注意观察,属基础题.21.(1)22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩;(2)(][)26∞∞-,-,+;(3)大于零,理由见解析. 【分析】(1)由(1)0f -=,得10a b -+=及函数()f x 的值域为[0)+∞,,得240a b -=, 联立求解可得;(2)由222(2)()124()k k g x x --=++-,当2][2x ∈-,时,()()g x f x kx =-是单调函数,则222k -≤-或222k -≥得解; (3)()f x 为偶函数,则2()1f x ax =+,不妨设m n >,则0n <,由0m n +>,得0m n >->,则22m n >所以2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-+-+=->=得解【解析】(1)因为(1)0f -=,所以10a b -+= ①.又函数()f x 的值域为[0)+∞,,所以0a ≠. 由224()24b a b y a x a a-=++知2404a b a -=, 即240a b -=①.解①①,得12a b ==,. 所以22()21(1)f x x x x =++=+.所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩; (2)由(1)得2222(2()())()21()124k k g x f x kx x k x x --=-=-=++-++ 因为当2][2x ∈-,时,()()g x f x kx =-是单调函数, 所以222k -≤-或222k -≥, 即2k ≤-或6k ≥,故实数k 的取值范围为(][)26∞∞-,-,+(3)大于零.理由如下:因为()f x 为偶函数,所以2()1f x ax =+,所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>=⎨--<⎩不妨设m n >,则0n <由0m n +>,得0m n >->所以22m n >又0a >,所以2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-+-+=->=,所以()()F m F n +大于零.【点睛】本题考查函数性质的应用,涉及分段函数解析式、函数的值域,单调性,奇偶性,属于基础题.22.(1)()1,1--;(2)()f x 在区间()0,∞+上为增函数;(3)[]2,4-.【分析】(1)根据题意可知,若函数()f x 关于点(),a b 中心对称,则()()2f a x f a x b ++-=, 然后利用()61f x x x =-+得出()f a x +与()f a x -,代入上式求解; (2)因为函数y x =及函数61y x =-+在()0,∞+上递增,所以函数()61f x x x =-+在()0,∞+上递增; (3)根据题意可知,若对任意[]10,2x ∈,总存在[]21,5x ∈,使得()()12g x f x =,则只需使函数()g x 在[]10,2x ∈上的值域为()f x 在[]21,5x ∈上的值域的子集,然后分类讨论求解函数()g x 的值域与函数()f x 的值域,根据集合间的包含关求解参数m 的取值范围.【解析】解:(1)设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ,则()()20f a x f a x b ++--=. 即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++, 整理得()()()()22161a b x a b a a -=-+-+,于是()()()()21610a b a b a a -=-+-+=,解得1a b ==-.所以()f x 的对称中心为()1,1--;(2)函数()f x 在()0,∞+上为增函数;(3)由已知,()g x 值域为()f x 值域的子集.由(2)知()f x 在[]1,5上单增,所以()f x 的值域为[]2,4-.于是原问题转化为()g x 在[]0,2上的值域[]2.4A ⊆-.①当02m ≤,即0m ≤时,()g x 在[]0,1单增,注意到()2g x x mx m =-+的图象恒过对称中心()1,1,可知()g x 在(]1,2上亦单增,所以()g x 在[]0,2上单增,又()0g m =,()()2202g g m =-=-,所以[],2A m m =-.因为[][],22,4m m -⊆-,所以224m m ≥-⎧⎨-≤⎩,解得20m -≤≤. ①当012m <<,即02m <<时,()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减,,12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增, 又()g x 过对称中心()1,1,所以()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增,2,22m ⎛⎤- ⎥⎝⎦单减; 此时()()min 2,,max 0,222m m A g g g g ⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭. 欲使[]2,4A ⊆-,只需()()222022224g g m m m g m ⎧=-=-≥-⎪⎨⎛⎫=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩且()2042224224g m m m m g g m ⎧=≤⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式得24m -≤,又02m <<,此时02m <<.①当12m ≥,即2m ≥时,()g x 在[]0,1单减,在(]1,2上亦单减, 由对称性,知()g x 在[]0,2上单减,于是[]2,A m m =-.因为[][]2,2,4m m -⊆-,所以224m m -≥-⎧⎨≤⎩,解得24m ≤≤. 综上,实数m 的取值范围为[]2,4-。

第21章二次函数与反比例函数期末复习二次函数与方程、不等式的关系PPT课件(沪科版)

第21章二次函数与反比例函数期末复习二次函数与方程、不等式的关系PPT课件(沪科版)
y
没有实数根时,求k的取值范围. 2
问题可以转化为求函数
1
y=ax²+bx+c(a≠0)图象与直线 O y=k 没有交点时k的取值范围.
1 2 3x
(4)视察图象知,当抛物线y=ax²+bx+c与直线 y=k 没有交点时,k>2. ∴当关于x的方程ax²+bx+c=k没有实数根时, k的取值范围是k>2.
根是 x1=-1,x2=5 .
19.如果抛物线y=-3x2+2x+k和x轴只有 一个交点,则k的值是-___13_.
∵抛物线和x轴只有一个交点,
∴b2-4ac=0
∵b2-4ac=22 -4 ×(- 3) ·k =4 +12k
∴4 +12k=0
∴k=

1 3
20.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示,
y
bx+a>0
bx>-a
x<-
a b
a<0 b<0
Ox
16.抛物线y=2x2-4x+m如图所示,则关于
x的一元二次方程2x2-4x+m=0的根
是 x1=-1, x2=3 .
y
-2 -1 O 1
x
17.抛物线y=x2-2x-3在x轴上截得的线段
长是 4 .
18.若抛物线y=x2+bx的对称轴经过(2,0) 则关于x的一元二次方程x2+bx=5的两个
4
=1
A . 1个 B. 2个 x1
x1=-1
O
C. 3个 D. 4个
4x
11.已知m>0,关于x的一元二次方程 (x+1)(x-2)
-m=0的解为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是
( A ).
A. x1<-1<2<x2
C. -1<x1<x2<2 (x+1)(x-2)-m=0

函数期末复习1

函数期末复习1

求函数解析式 的方法
求函数解析式的方法 分别求下列条件下的f(x)
()已知 ( x x ) x x , 1 f 求f ( x ) 配凑法
2
1
2
(2)若 f ( x 1) x 2 x , 求f (x).
1 x (3)若 f ( 2) , 求f (x). x 1 x 换元法
一、已知 f ( x) 的定义域,求 f g ( x) 的定义域
其解法是:若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ,则在
f g ( x) 中, a ≤ g ( x ) ≤ b ,从中解得 x 的取值范围即为 f g ( x) 的定义域.
5 例1 已知函数 f ( x) 的定义域为 1, ,求 f (3 x 5) 的
七、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用 k 基本不等式不能求得 y=x+ x (k>0)的最值(等号不成立)时. 例7 求下列函数的值域: (1)y= 1-2x - x ; [- 1 , +∞) 2 4 [5, +∞) (2)y=x+ x (0<x≤1); (3)y= x+3 - x . (0, 3 ]
评注: 把 f(x), f( xx1 ), f( 11x ) 都看作“未知数”, 把已知条 1 件化为方程组的形式解得 f(x). 又如: 已知 af(x)+bf( )=cx, 其 x 中, |a|≠|b|, 求 f(x). c f(x)= 2 2 (ax- b ). x a -b 四、递推求和法
定义域.
二、已知 f g ( x) 的定义域,求 f ( x) 的定义域 其解法是:若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ,则
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(3)画出函数f(x)= -x的图象如图. 由图象可知,f(x)= -x在(0,1)内的 图象与x轴没有交点, 故f(x)= -x在(0,1)内不存在零点.
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判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1) f(x)x3x1,x [1,2]; 存在零点 (2) f(x)log2(x2)x,x [1,3].存在零点
(x1,0)或(x2,0)
零点个数 两个
一个
Δ<0
无交点 零个
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3.二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且_f_(a_)_·_f(_b_)_<_的函数y =f(x),通过不断地把函数f(x)的0零点所在的区间 _一__分__为__二___,使区间的两个端点逐步逼近_零__点__, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
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题型一 零点个数及零点求法
8
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判断函数f(x)=4x+x2- 点的个数,并说明理由.
在区间[-1,1]上零
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【解】 ∵f(-1)=-4+1+
<0,
f(1)=4+1
>0,
∴f(x)在区间[-1,1]上有零点.
又f′(x)=4+2x-2x2=
当-1≤x≤1时,0≤f′(x)≤
∴f(x)在[-1,1]上是单调递增函数,
练习 求函数 f(x)x32x2x2的零点,并画 出其大致图象.
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1、当 0 x 1时,函数yaxa1的值有正值也有
负值,则实数 a 的取值范围是( D )
A a1 2
B a 1
C a 1或a 1 D 1 a 1
2
2
2、函数 f (x)ln(x1)2的零点所在的大致区间
是( B )
x
A (0,1) B (1, 2) C (2, e) D (3, 4)
2
思考感悟 1.是否任意函数都有零点? 提示:并非任意函数都有零点,只有f(x)=0 有根的函数y=f(x)才有零点.
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(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有_f_(a_)_·_f(_b_)_<_0_,那么函 数y=f(x)在区间__(_a_,__b_) __内有零点,即存在 c∈(a,b),使得_f_(_c)_=__0_,这个_c_也就是f(x)= 0的根.
3.1函数与方程期末复习
1
基础梳理
1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使_f_(x_)_=__0___成立的实 数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与_x_轴__有 交点⇔函数y=f(x)有_零__点__.__
零点,且一个大于1,一个小于1,求实数m 的
取值范围;
m 21 4
②关于 x 的方程 m x 2 2 (m 3 )x 2 m 1 4 0有 两个实根且一根大于4,一根小于4,求实数 m
的取值范围. 19 m 0 13
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思考感悟 2.在上面的条件下,(a,b)内的零点有几个? 提示:在上面的条件下,(a,b)内的零点至少 有一个c,还可能有其他零点,个数不确定.
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2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的 关系
Δ>0
Δ=0
二次函数
y=ax2+
bx+c (a
>0)的图

与x轴的 交点
__(_x1_,0_)__, _(x_2_,0_)__
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函数零点问题常考虑的方法有: ①解方程,当能直接求解零点时,就直接求出进行 判断; ②用定理,零点存在性定理;
③利用图象的交点,有些问题可先画出某两个函数
图象,y f (x) , y g(x) 其交点的横坐标是 f (x)g(x) 的零点。
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题型二 二分法与实根的分布
若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的 函数值用二分法计算,其参考数据如下:
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题型三 函数与方程综合应用
例 ⑴ m 为何值时,f(x)x22m x3m 4
①有且仅有一个零点;②有两个不同零点且均比-1大;
⑵若函数 f(x)|4xx2|a有4个零点,求实数 a 的
取值范围。
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巩固练习
①函数 f(x ) x 2 2 (m 3 )x 2 m 1 4有两个
f(1)=-2
f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)

Байду номын сангаас
.
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【解析】 通过参考数据可以得到:f(1.40625)=-0.054<0, f(1.4375)=0.162>0,从而易知x0≈1.40625. 【答案】1.40625
∴f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点.
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解:(1)∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0, 又∵f(x)在区间[1,8]上连续, 故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. (2)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0, f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0,∴f(1)·f(3)<0, 又∵f(x)在区间[1,3]上连续 故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.
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