高三数学函数与方程2
高三数学函数与方程试题答案及解析
高三数学函数与方程试题答案及解析1.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据题中函数特征，当时，函数显然有两个零点且一正一负; 当时，求导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递增; 时函数单调递减，显然存在负零点; 当时，求导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递减; 时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，即得：，可解得：，则．【考点】1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用2.已知实数、、满足，，则的最大值为为_______.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，由，解得，故实数的最大值为.【考点】一元二次方程的根的判别式，容易题.3.给出定义：若m－<x≤m＋(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}＝m，在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题：①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，]；②函数y＝f(x)在[－，]上是增函数；③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ (k∈Z)对称．其中正确命题的序号是________．【答案】①③④【解析】m＝1时，x∈(，]，f(x)＝|x－1|＝f1(x)，m＝2时，x∈(，]，f(x)＝|x－2|＝f2(x)，显然，f2(x)的图象是由f1(x)的图象右移1个单位而得，一般地，m＝k时，x∈(，]，f(x)＝|x－k|＝fk (x)，m＝k＋1时，x∈(，]，f(x)＝|x－k－1|＝fk＋1(x)，f k＋1(x)的图象是由fk(x)的图象右移1个单位而得，于是可画出f(x)的图象如下：4.若函数f(x)＝x3－ax2(a>0)在区间上是单调增函数，则使方程f(x)＝1 000有整数解的实数a的个数是________．【答案】4【解析】令f′(x)＝3x2－2ax>0，则x>或x<0.由f(x)在区间上是单调增函数知⊆，从而a∈(0,10]．由f(x)＝1 000得a ＝x－，令g(x)＝x－，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且与x轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g(x)与y＝a(0<a≤10)的大致图像(如图所示)．当a＝10时，由f(x)＝1 000得x3－10x2－1 000＝0.令h(x)＝x3－10x2－1 000，因为h(14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x3－10x2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x0，因此从图像可以看出在(10，x]之间f(x)＝1000共有4个整数解．5.已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？【答案】两个解【解析】解：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图像如图所示．由图像看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图像有两个交点，原方程有两个解．6.设，则函数的零点位于区间（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C【解析】，选C.【考点】零点的定义.7.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．【答案】【解析】，的解为，时，，当时，，从而在区间和上是减函数，在区间和上是减函数，，当时，．如图是的图象，，，方程的解就是函数的图象与直线的交点的横坐标，当或或时，有两个交点，即方程有两个解，或称有两个零点，或或．【考点】函数的零点，函数的图象与性质，直线与曲线相交．8.已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x1，x2，x 3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x－1|－1|＝方程f(x)＝m的解就是y＝f(x)的图象与直线y＝m交点的横坐标，由图可知，x2＝－x1，x3＝2＋x1，x4＝2－x1，且－1<x1<0.设t＝x1x2x3x4＝(－2)2－4，则t＝(－2)2－4，易得－3<t<0.9.对于实数a和b，定义运算“”：a b＝设f(x)＝(2x－1)(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1、x2、x3的取值范围是________．【答案】【解析】由新定义得f(x)＝作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，不妨设x1<x2<x3，易知x2>0，且x2＋x3＝2×＝1，∴x2x3<.令解得x＝或x＝ (舍去)，∴<x1<0，∴<x1x2x3<0.10.已知f(x)＝2x，g(x)＝3－x2，试判断函数y＝f(x)－g(x)的零点个数．【答案】两个【解析】在同一坐标系内作出函数f(x)＝2x与g(x)＝3－x2的图象，两图象有两个交点，∴函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．11.关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－4,0)【解析】由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0.，12.的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】∵，∴，图像如图所示，由图像看出与有5个交点，∴的零点个数为5个.【考点】1.函数零点问题；2.函数图像.13.设函数，集合＝，设，则A．9B．8C．D．6【答案】A【解析】，注意总共只有7个根，且这些根都为正整数，任一方程的两根之和都为8，所以这些根为1、7，2、6，3、5，4.所以，.【考点】1、函数的零点；2、二次方程根与系数的关系.14.已知关于X的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A．3,6,9B．6,9,12C．9,12,15D．6,12,15【答案】B【解析】函数的图像如图所示，直线，当时，；当时，；当时，；当时，；综上可得：P中所有元素的和可能是6,9,12.【考点】1.函数图像；2.中点坐标公式.15.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是 .【答案】3【解析】函数有极值点，说明方程的两根为，不妨设，即是极大值点，是极小值点，方程的解为或，由于，所以是极大值，有两解，，只有一解．因此共有3解．【考点】函数的极值与方程的解．16.设方程的两个根为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，，分别作出函数和函数的图像.则图像中两函数交点的横坐标即方程的两个根.由图可知，两根中一个大于1，一个大于0小于1.不妨设，则，.所以，故.【考点】函数与方程、对数函数与指数函数的图像和性质17.若为偶函数，且当时，，则的零点个数为（）A．B．C．D．无穷多个【答案】C【解析】当时，，所以【考点】函数的零点18.设，（1）若的图像关于对称，且，求的解析式；（2）对于（1）中的，讨论与的图像的交点个数.【答案】(1)；（2）见解析.【解析】(1)因为函数图象关于对称，故为二次函数且对称轴为∴，又，代入可求得函数解析式；（2）将问题转化为有几个解的问题，令，利用导数讨论其增减区间，当时，与的图像无交点；当时，与的图像有一个交点；当时，与的图像有两个交点.试题解析：（1）∵的图像关于对称∴为二次函数且对称轴为∴又∵∴∴（2）即即令当时∵∴即在递增当时∵∴即在递减，∵当时当时∴①当时，与的图像无交点；②当时，与的图像有一个交点；③当时，与的图像有两个交点.【考点】利用导数研究函数的单调区间、函数与方程思想、函数解析式的求法.19.函数的零点一定位于区间( )A．（1, 2）B．（2, 3）C．（3, 4）D．（4, 5）【答案】B【解析】因为，，所以，根据根的存在性定理可知，函数的零点在区间内.【考点】零点存在性定理.20.设，则函数的零点位于区间（）A．(0 ,1)B．(-1, 0) C．(1, 2) D．(2 ,3)【答案】A【解析】因为，由零点存在性定理知，在内有零点，有为单调函数，故存在唯一零点，选A.【考点】零点存在定理.21.设函数(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;(2) 设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.【答案】(1) 见解析；（2）；（3）见解析.【解析】(1) 先根据零点存在性定理判断在在内存在零点，在利用导数说明函数在上是单调递增的，从而说明在区间内存在唯一的零点；（2）此问可用两种解法:第一种，当时,，根据题意判断出在上最大值与最小值之差，据此分类讨论如下:(ⅰ)当；(ⅱ)当；(ⅲ)当,综上可知,；第二种，用表示中的较大者，直接代入计算即可；（3）先设出零点，然后根据在上是递增的得出结论.试题解析：(1),时,∵,∴在内存在零点. 又当时, ,∴在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.(2)当时,，对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾(ⅱ)当,即时, 恒成立(ⅲ)当,即时, 恒成立.综上可知,注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:用表示中的较大者.当,即时,恒成立 .(3)证法一设是在内的唯一零点,,于是有又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列.证法二设是在内的唯一零点则的零点在内,故,所以,数列是递增数列.【考点】1.零点存在性定理；2.利用导数判断函数单调性；3.利用函数单调性判断大小.22.定义在上的函数满足下列两个条件：⑴对任意的恒有成立；⑵当时，；记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，所以，同理可得,,直线恒过定点,所以函数恰有两个零点时需满足.【考点】1.函数的解析式；2.函数的零点.23.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是（）A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】试题分析:函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制上的图象，根据周期性，可以绘制上的图象，而是个偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点，故选B.【考点】函数与方程.24.函数所有零点的和等于( )A．6B．7.5C．9D．12【答案】C【解析】函数所有零点转化为两个函数图像的交点的横坐标，画出函数的图像，根据图像可知有6个交点，且两两关于直线对称，故所以零点的和为【考点】函数的零点.25.若函数且有两个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】构造函数且，要保证两个函数图象有不同的两个交点，则需.【考点】函数的图象.26.已知函数，则关于的方程的实根的个数是___ _【答案】5【解析】根据题意，由于函数，则关于的方程，的实根的个数即为的方程的根的个数，那么结合解析式，由于，而对于，，故可知满足题意的方程的解为5个，故答案为5.【考点】函数与方程点评：主要是考查了函数与方程的根的问题的综合运用，属于中档题。
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数与方程(二)(含解析)
《函数与方程》（二）考查内容：主要涉及函数零点个数的判断（方程法、数形结合法、图象法、零点存在定理与函数性质结合法）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数26,0()3ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，2()f x x =，则4()log ||y f x x =-的零点个数为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．25．函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数23(0),()1(0),x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩则方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）的不同的实数根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．(]{},01-∞9．已知函数23||,3()(3),3x x f x x x -⎧=⎨->⎩，()(3)6g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．4C ．3D ．210．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）11．已知函数()sin ,02224xx f x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x =根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题13．函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.14．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．已知函数32ln(2),2,()68,,x x m f x x x x x m +-<<⎧=⎨-+≥⎩若函数()f x 仅有2个零点，则实数m 的取值范围为______. 16．已知函数,0()(1),0xlnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是__.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数lg y x =和sin y x =的图像的交点个数．18．讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.19．已知函数()f x =，()3g x ax =-.（1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[]2,4上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m ； （3）讨论()f x 在区间[]3,3-上的零点个数.21．已知函数()22,182,1x a x f x ax x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，其中a R ∈.()1当1a =时，求()f x 的最小值； ()2当2a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.22．已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）《函数与方程》（二）解析1.【解析】若260x x --=．则2x =-或3x =．又∵0x ≤∴2x =- 若3ln 0x -+=，则3x e =满足0x >，综上，函数()f x 的零点个数为2． 故选:B2.【解析】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2.故选：B3.【解析】函数()ln 1f x x x =-+的零点个数等价于函数ln y x =与函数1y x =-的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数ln y x =与1y x =-的图象，如下图：因为1(ln )y x x ''==，曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为：11k x==， 所以曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以可知两函数图象有一个交点，故函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为1. 故选：B .4.【解析】因为()()y f x x R =∈为周期为2的函数,通过且(1,1]x ∈-时，2()f x x =,做出函数图象如图所示:4()log ||y f x x =-的零点个数即为()y f x =与4log ||y x =图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.5.【解析】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=． 故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A6.【解析】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C7.【解析】由|()1|2f x c -=-，得()1(2)f x c =±-．∵(1,0)c ∈-， ∴1(2)(3,4),1(2)(2,1)c c +-∈--∈--． 作出函数()f x 和1(2)y c =±-的图象如图所示，易知它们的图象共有4个不同的交点，即方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）有4个不同的实数根．故选：B8.【解析】(0)1100f =--=,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e a x e -=,令1(),()x x e a g x h x x e -==,21()x x xe e g x x '-+=，令()1x x u x xe e =-+, ()xu e x x '=，可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=.())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()xa h x e =， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去 .综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃，故选：D .9.【解析】由()6(3)g x f x =--，知()()()(3)6y f x g x f x f x =-=+--. 令()()(3)F x f x f x =+-，则(3)(3)()F x f x f x -=-+， 所以(3)()F x F x -=，即()F x 的图象关于直线32x =对称.当302x时，()()(3)33(3)3F x f x f x x x =+-=-+--=； 当0x <时，2221()()(3)3(33)32F x f x f x x x x x x ⎛⎫=+-=++--=++=++⎪⎝⎭114.作出()F x 的图象可知，函数()6F x =的解有2个，所以函数()()y f x g x =-的零点个数2个.故选：D10.【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1.故选：B11.【解析】当24x <≤时，y =，则0y ≤，等式两边平方得2268y x x =-+-，整理得()2231x y -+=，所以曲线)24y x =<≤表示圆()2231x y -+=的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点()0,1P ，当直线1y kx =+过点()4,0A 时，则410k +=，可得14k =-； 当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=相切，且切点位于第三象限时，k0<，1=，解得34k =-.由图象可知，当3144k -<≤-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点.因此，实数k 的取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：B.12.【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.故选：C. 13.【解析】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==， 在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点， 所以方程()24ln 122xxx -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.故答案为：2.14.【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，当01k <<时，函数()f x 与y k =的图象有两个不同的交点， 此时，方程有两个不同实根，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1) 15.【解析】对于函数3268y x x x =-+，23128y x x '=-+，令0y '=，解得23x =±，故当,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭时，0y '>；当22x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '>； 令ln(2)0x +=，解得1x =-；令32680x x x -+=，解得0x =，2x =或4x =. 作出ln(2)y x =+，3268y x x x =-+的大致图像：观察可知，若函数()f x 仅有2个零点，则24m <≤，故实数m 的取值范围为(]2,4. 16.【解析】当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x ≤时，()(1)xf x e x =+，则()(2)x f x e x '=+2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；当1x <-时，()(1)0xf x e x =+< 作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个交点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()20，e -- 17.【解析】由1y lgx ==解得10x =，又sin y x =的值域为[]1,1-， 且y lgx =在定义域上单调递增，作出函数sin y x =与y lgx =的图象如图： 由图象可知两个图象的交点个数为3个，18.【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x ，与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解； 当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解； 当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.19.【解析】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+ 作函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点， 则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5； 当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦， 由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-； 综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.20.【解析】（1）由题意，函数2()()7f x x mx m m R =++-∈开口向上，对称轴的方程为2m x =-，若使得函数()f x 在[]2,4上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞.（2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为()()16g m f =-=-；②当1112m -<-<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减， 所以函数()y f x =的最小值为()()126g m g m ==-， 综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. （3）因为函数()y f x =的对称轴方程为12x m =-，且24280m m ∆=-+>恒成立， ①当()()133232203420m f m f m ⎧-<-<⎪⎪-=-≥⎨⎪=+≥⎪⎩，即112m -≤≤时， 函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点； ②当()1323220m f m ⎧-≤-⎪⎨⎪-=-≥⎩，此时m 不存在； ③当()1323420m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，此时m 不存在；④当()()330f f -⋅≤，即()()22420m m -+≤，解得m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 综上可得：当112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点， 当m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 21.【解析】()1当1a =时，()221,182,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则当1x ≤时，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1f x >-且无最小值；当1x >时，由二次函数()()2282414g x x x x =-+=--知，()f x 在(]1,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，故()()min 414f x f ==-.()2当0a ≤，1x ≤时，()f x 没有零点，当1x >时，()f x 没有零点；当02a <≤，1x ≤时，()f x 有一个零点，当1x >时，()f x 有一个零点.22.【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==， 解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增； 当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>， 又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.。
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（1）a＝－1，b＝4 （2）1－【解析】(1)由条件得，解得：a＝－1，b＝4.(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．∴x＝m时，f(x)＝－m2＋2m＋3＝1，min解得m＝1±.∵m＜1，∴m＝1－.2.设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为．【答案】【解析】由题意得：当时，取最大值，为.【考点】二次函数最值3.已知关于x的一元二次函数(1)设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；(2)设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率.【答案】（1）；（2）【解析】(1)考查古典概型，满足条件的是5个，总的基本事件个数是15个，求两者的比即可；（2）考查几何概型，求出满足条件的区域面积比上总的区域面积即可.试题解析：(1)∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且，若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为. 6分(2)由（1）知当且仅当且>0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分.由∴所求事件的概率为. 12分【考点】(1)古典概型；（2）几何概型.4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则()A．a>0,4a+b=0B．a<0,4a+b=0C．a>0,2a+b=0D．a<0,2a+b=0【答案】A【解析】由f(0)=f(4)>f(1),可得函数图象开口向上,即a>0,且对称轴-=2,所以4a+b=0,故选A.5.对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是() A．(1,3)B．(-∞,1)∪(3,+∞)C．(1,2)D．(3,+∞)【答案】B【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,由题意知即解得x>3或x<1,故选B.6.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是.【答案】(-2,0)【解析】【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.解：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.7.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；２、每月处理量为400吨时，平均成本最低.【解析】（1）该项目利润等于能利用的生物柴油价值与月处理成本的差，当时，，故，故该项目不会获利，而且当时，获利最大为，故政府每月至少不要补贴元；（2）每吨的平均处理成本为，为分段函数，分别求每段的最小值，再比较各段最小值的大小，取较小的那个值，为平均成本的最小值．试题解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】1、分段函数；2、二次函数的值域；3、基本不等式.8.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值9.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【答案】D【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.10.已知函数若命题“”为真，则m的取值范围是___.【答案】【解析】命题“”为真，即方程有两个不相等的实数根，且至少有一个正根.因为函数为二次函数，开口向上，且.所以.即m的取值范围是.【考点】一元二次方程根的分布、命题11.设函数在区间上是增函数，则实数的最小值为 .【答案】【解析】函数的图象开口向上，对称轴为，由其在上是增函数得，所以，所以实数的最小值为.【考点】二次函数的单调性.12.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题13.已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题考查一次函数与二次函数图像的关系以及作差法比较大小证明不等式问题，考查学生分析问题解决问题的能力.第一问，先求与轴的交点，由已知得此交点同时也在图像上，所以代入到解析式中，解出的值；第二问，作差法比较与的大小，再用作差法比较与的大小.试题解析：(1)设函数图象与轴的交点坐标为，又∵点也在函数的图象上，∴.而，∴.(4分)(2)由题意可知．∵，∴，∴当时，，即．(8分)又，，且，∴，∴，综上可知，.(13分)【考点】1.作差法比较大小；2.一次函数、二次函数.14.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，当时取最小值2，又.作出其图象如图所示：结合图形可知：的取值范围是.【考点】二次函数的最值.15.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.16.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.17.已知二次函数.（1）若对任意、，且，都有，求证：关于的方程有两个不相等的实数根且必有一个根属于；（2）若关于的方程在上的根为，且，设函数的图象的对称轴方程为，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）先构造新函数，利用证明方程有两个不相等的实数根，然后利用存在定理证明方程必有一个根属于，即利用来证明；（2）将的代入方程得到的表达式，结合证明.试题解析：（1）构造函数，由于函数为二次函数，所以，对于二次函数而言，，若，则有且有，从而有，这与矛盾，故，故方程有两个不相等，由于，，所以，由零点存在定理知，方程必有一个根属于；（2）由题意知，化简得，即，则有，，由于，则，故，即.【考点】1.二次方程根的个数的判断；2.零点存在定理；3.二次函数图象的对称轴18.若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中 ( ) A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1【答案】B【解析】若则不妨设，于是即，作图如图所示，显然可以发现点满足的区域有，于是，即在两个函数值中至少有一个小于1.【考点】本小题主要考查根的分布、零点、函数的图象等知识点，考查学生的理解、分析能力19.已知函数，若,且，则的最小值是 .【答案】【解析】画出函数图象，从图象上可知，所以由可得，所以，设，，当时，，当时，，所以函数在上的最小值为.【考点】二次函数、导数的应用.20.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由二次函数在区间上为减函数，则，即．【考点】二次函数的性质．21.函数在区间上是增函数,则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的增区间为 ,由已知可得⋯①,⋯②由①②得: .【考点】二次函数的单调区间,不等式运算.22.对一元二次方程的两个根的情况，判断正确的是A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于－2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都大于2【答案】A【解析】，所以该方程的两个根一个小于1，一个大于3.【考点】本小题主要考查一元二次方程的根的判断.点评：解决本小题的关键是根据已知条件得出，通过解一元二次不等式即可得根的情况，要注意数形结合的应用.23.（本题满分12分）设函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋5(a＞0)．(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．【解析】(1)f′(x)＝3x2－ax＋3， 2分其判别式Δ＝a2－36.当0＜a≤6时，f′(x)≥0恒成立， 4分此时f(x)在R上为增函数． 6分(2)a＝2时，f′(x)＝3x2－2x＋3＞0恒成立，因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 8分从而f(x)在[1,2]上递增，则f(x)＝f(2)＝15， 10分max要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，解得m∈[15，＋∞)．故m的取值范围是[15，＋∞)． 12分【考点】利用导数研究函数的单调性。
高三数学函数与方程2
绍兴一中分校高三备课组
一、专题主干知识整合：
函数思想就是用联系和变化的观点提炼出数学对象，抽象出 其数量特征，从而建立函数关系，把问题转化为函数问题，然后 再利用函数的概念和性质去分析问题，解决问题。
方程的思想就是从分析问题的数量关系入手，分析已知量和末 知量之间的制约和联系，从而把末知量转化为已知量的思想，在 解决问题时，先设定末知数，然后把它们当做已知数，根据问题 所涉及的各量间的制约关系、列出方程或方程组，从而求得末知 量的值。
例6：甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙 方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙 方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在 乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x 与
年产量t（吨）满足函数关系 x 2000 t
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s(元)（以 下称s为赔付价格），
(1)将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨） 的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
例4：设不等式2x-1>m( x 2 1 )对满足 m 2
的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。
例5：已知抛物线方程为 y 2 2x
1.设点A的坐标为 ( 2 ,0)求曲线上距点A最近的
3
点P的坐标及相应的距离 PA
；
2.设点A的坐标为（a,0）,a R
求曲线上点到点A距离的最小值d，并写出 d=f(a)的函数表达式。
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 （元），在乙方按照获得最大利润的产量进 行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大 净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
例7：设f(x)是定义在 ,3上的减函数，已
知 f
(a
2022版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2基本不等式提升训练新人教A版必修第一册
基本不等式基础过关练题组一 对基本不等式的理解1.若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√aa C.1a +1a >√aaD.a a +a a≥22.不等式(x -2y )+1a -2a ≥2成立的前提条件为 ( ) A.x ≥2y B.x >2y C.x ≤2y D.x <2y3.(2020山东德州夏津一中高一月考)不等式9a -2+(x -2)≥6(其中x >2)中等号成立的条件是 ( ) A.x =5 B.x =-3C.x =3 D.x =-54.(2020浙江杭州高一月考)下列不等式一定成立的是 ( ) A.3x +12a≥√6 B.3x 2+12a 2≥√6C.3(x 2+1)+12(a 2+1)≥√6D.3(x 2-1)+12(a 2-1)≥√6题组二 利用基本不等式比较大小5.(多选)(2021辽宁葫芦岛高一质量检测)已知两个不等正数a ,b 满足a +b =1,则下列说法正确的是 ( ) A.ab <14 B.1a +1a<4C.√a +√a <√2D.a 2+b 2>126.若0<a <b ,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.b >a +a 2>a >√aa B.b >√aa >a +a 2>aC.b >a +a 2>√aa >aD.b >a >a +a 2>√aa7.小W 从A 地到B 地和从B 地到A 地的速度分别为m 和n (m >n ),其全程的平均速度为v ,则 ( ) A.a +a 2<v <m B.n <v <√aaC.√aa <v <a +a 2D.v =a +a 28.若a >b >c ,则a -a 2与√(a -a )(a -a )的大小关系是 .9.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价a +a 2%,若p ,q >0,且p ≠q ,则提价多的方案是 .题组三 利用基本不等式求最值10.已知实数x ,y >0,则x +y +4a +1a 的最小值为 ( ) A.4√2 B.6 C.2√10 D.3√611.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y =x +4a -1(x >1),则函数的最小值等于 ( )A.4√2B.4√2+1C.5D.912.(2021宁夏大学附属中学高二上期中)若-2<x <0,则函数y =-x (x +2)的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.513.已知a >b >0,则a 2+16a (a -a )的最小值为 ( ) A.8 B.8√2 C.16D.16√214.若正数x ,y 满足x +4y -xy =0,则当x +y 取得最小值时,x 的值为 ( )A.9B.8C.6D.315.(2021江苏溧阳高一期末检测)已知正实数x ,y 满足x +y =1,则1a +1a的最小值是 .16.(2021黑龙江鹤岗第一中学高一上月考)(1)已知a >0,b >0,且4a +b =1,求ab 的最大值; (2)已知x <54,求4x -2+14a -5的最大值.题组四 利用基本不等式证明不等式17.(2021福建三明第一中学高一上月考)已知a ,b 均为正实数,求证:a 2b 2+a 2+b 2≥ab (a +b +1).18.(2021安徽六安城南中学高二上开学考试)已知a ,b ,c 是三个不全相等的正数. 求证:a +a -a a +a +a -a a +a +a -aa>3.19.设x >0,求证:x +22a +1≥32.题组五 利用基本不等式解决实际问题20.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1m 2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是 ( ) A.4.6m B.4.8m C.5mD.5.2m21.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为()A.20mB.50mC.10√10mD.100m22.某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少? 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积能力提升练题组一利用基本不等式求最值1.(2020广东惠州高二期末,)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是()A.14B.4C.18D.82.(2021黑龙江大庆实验中学高一上开学考试,)已知a >0,b >0,a +b =1,则a 2+4a +a 2+4a 的最小值为 ()A.6B.8C.15D.173.(2021河北辛集中学高一上月考,)已知a >0,b >0,a +b =4ab ,则a +b 的最小值为 ( )A.12 B.1 C.2 D.44.(2020河南三门峡外国语高级中学高一下期中,)设正数x ,y 满足x 2+a 22=1,则x √1+a 2的最大值为( )A.32 B.3√22C.34D.3√245.(2020浙江丽水高一期末,)设正数a ,b 满足a 2+4b 2+1aa =4,则a = ,b = .6.(2020河北唐山第一中学高一下月考,)已知x >0,则a 2+3a +6a +1的最小值是.7.(2020湖北麻城一中高一月考,)已知a ,b ∈R,且a >b >0,a +b =1,则a 2+2b 2的最小值为 ,4a -a +12a的最小值为 . 8.(2021江苏苏州高一期末,)已知a ,b 均为正实数且ab +a +3b =9,则a +3b 的最小值为 .9.(2021吉林长春东北师范大学附属中学高一上段考,)已知x >0,y >0,4x 2+y 2+xy =1,求:(1)4x 2+y 2的最小值; (2)2x +y 的最大值.题组二 利用基本不等式证明不等式 10.()已知a ,b为正数,求证:1a +4a ≥2(√2+1)22a +a.11.()若a>b,且ab=2,求证:a2+a2a-a≥4.12.(2021湖南长沙长郡中学高一上检测,)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a +1a+1aa≥8;(2)(1+1a )(1+1a)≥9.13.()(1)已知a,b,c∈R,求证:√a2+a2+√a2+a2+√a2+a2≥√2(a+b+c);(2)若0<x<1,a>0,b>0,求证:a2a +a21-a≥(a+b)2.题组三基本不等式在实际问题中的应用14.(2021山东日照五莲高一上期中,)某工厂过去的年产量为a,技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p>0),第二年的年产量增长率为q(q>0,p≠q),这两年的年产量平均增长率为x,则()A.x=a+a2B.x=√aaC.x>a+a2D.x<a+a215.(2020湖北宜昌高三期末,)某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=12x2-300x+80000,为使每吨的平均处理成本最低,则该厂每月的处理量应为()A.300吨B.400吨C.500吨D.600吨16.(2021山东菏泽第一中学等六校高一上联考,)欲在如图所示的锐角三角形空地中建一个内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园面积的最大值为m2.17.(2021四川绵阳南山中学高三上开学考试,)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式x=3-2a+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元.18.(2020山东滨州高一上期末,)物联网(InternetofThings,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:千米),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?答案全解全析基础过关练1.D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C不符合题意;∵ab>0,∴aa >0,aa>0,∴aa+aa≥2√aa·aa=2,当且仅当a=b时等号成立,∴D符合题意.2.B 因为不等式成立的前提条件是x -2y 和1a -2a均为正数,所以x -2y >0,即x >2y ,故选B .3.A 当x >2时,9a -2+(x -2)≥2√9a -2·(a -2)=6,等号成立的条件是9a -2=x -2,即(x -2)2=9,解得x =5(x =-1舍去).故选A .4.B 对于A,x 可能是负数,不成立;对于B,由基本不等式可知,3x 2+12a 2≥√6,当且仅当3x 2=12a 2,即x 4=16时取等号,故成立;对于C,当3(x 2+1)=12(a 2+1)时,(a 2+1)2=16,x 无解,不成立;对于D,x 2-1可能是负数,不成立.故选B .5.ACD A.因为a ,b 为两个不等正数,所以√aa <a +a 2=12,可得ab <14,故选项A 正确;B.因为1a +1a =a +aaa =1aa,所以由选项A 可知,1aa>4,故选项B 不正确;C.因为(√a +√a )2=a +b +2√aa =1+2√aa ,所以由选项A 可知选项C 正确; D.因为a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ,所以由选项A 可知,a 2+b 2=1-2ab >12,故选项D 正确.6.C ∵0<a <b ,∴2b >a +b ,∴b >a +a 2>√aa .∵b >a >0,∴ab >a 2,∴√aa >a. 故b >a +a 2>√aa >a.7.B 设从A 地到B 地的路程为s ,小W 从A 地到B 地和从B 地到A 地所用的时间分别为t 1,t 2,则t 1=aa ,t 2=aa ,其全程的平均速度为v =2aa 1+a 2=2aaa +aa=2aaa +a.∵m >n >0,∴v =2aaa +a <2√aa=√aa ,v -n =2aaa +a -n =2aa -aa -a 2a +a=a (a -a )a +a>0,∴n <v <√aa . 故选B . 8.答案a -a 2≥√(a -a )(a -a )解析 因为a >b >c ,所以a -a 2=(a -a )+(a -a )2≥√(a -a )(a -a ),当且仅当a -b =b -c ,即2b =a +c 时,等号成立.9.答案 乙解析 不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为(1+a +a 2%)2,易知√(1+a %)(1+a %)≤1+a %+1+a %2=1+a %+a %2,当且仅当1+p%=1+q%,即p =q 时等号成立,又p ≠q ,故(1+p%)(1+q%)<(1+a +a 2%)2,所以提价多的方案是乙.10.B ∵x ,y >0,∴x +y +4a +1a≥2√a ·4a+2√a ·1a=4+2=6,当且仅当x =4a且y =1a,即x =2,y =1时等号成立.故选B .11.C 因为x >1,所以y =x +4a -1=(x -1)+4a -1+1≥2√(a -1)·4a -1+1=5,当且仅当x -1=4a -1,即x =3时,等号成立.故选C . 12.A ∵-2<x <0,∴-x >0,x +2>0,∴y =-x (x +2)≤(-a +a +22)2=1,当且仅当-x =x +2,即x =-1时等号成立. 故选A .规律总结 1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,缺一不可.2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分,消元或配凑因式.13.C ∵a >b >0,∴由基本不等式的变形可得b (a -b )≤(a +a -a 2)2=a 24,∴a 2+16a (a -a )≥a 2+16a 24=a 2+64a 2≥2√a 2×64a 2=16,当且仅当{a -a =a ,a 2=64a2,即{a =2√2,a =√2时,等号成立.误区警示 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致,如本题中第一次利用基本不等式取等号的条件为b =a -b ,第二次利用基本不等式取等号的条件为a 2=64a 2,故最终的最值应该是在这两个条件下共同取得的. 14.C ∵x >0,y >0,x +4y =xy ,∴4a +1a =1, ∴x +y =(x +y )(4a +1a )=5+a a +4a a ≥5+2√a a ·4aa=9,当且仅当x =2y 时,等号成立,此时{a =2a ,a +4a =aa ,解得{a =6,a =3.故选C . 15.答案 4解析 由题意可得,1a +1a =a +a a+a +aa=2+a a +aa ≥2+2√aa ·aa =4, 当且仅当x =y =12时等号成立.16.解析 (1)∵1=4a +b ≥2√4aa =4√aa ,∴√aa ≤14,∴ab ≤116,当且仅当4a =b ,即a =18,b =12时取等号, 故ab 的最大值为116.(2)∵x <54,∴5-4x >0, ∴4x -2+14a -5=-(5-4a +15-4a)+3≤-2√(5-4a )×15-4a +3=1, 当且仅当5-4x =15-4a ,即x =1时,等号成立,故4x -2+14a -5的最大值为1. 17.证明 由基本不等式得a 2b 2+a 2≥2a 2b ,a 2b 2+b 2≥2ab 2,b 2+a 2≥2ab , 三式相加得2a 2b 2+2a 2+2b 2≥2a 2b +2ab 2+2ab =2ab (a +b +1). 所以a 2b 2+a 2+b 2≥ab (a +b +1).18.证明 ∵a ,b ,c 是三个不全相等的正数,∴三个不等式a a +a a≥2,a a +a a≥2,a a +a a≥2的等号不能同时成立, 则a a +a a +a a +a a +a a +aa >6, ∴(aa +aa -1)+(aa +aa -1)+a a +aa-1>3,即a +a -a a +a +a -a a +a +a -aa>3. 19.证明 因为x >0,所以x +12>0,所以x +22a +1=x +1a +12=x +12+1a +12-12≥2√(a +12)·1a +12-12=32,当且仅当x +12=1a +12,即x =12时,等号成立.故x >0时,x +22a +1≥32.20.C 设直角三角形两直角边长分别为x m,y m,则12xy =1,即xy =2. 周长l =x +y +√a 2+a 2≥2√aa +√2aa =2√2+2≈4.83(m), 当且仅当x =y 时等号成立.结合实际问题,可知选C . 21.B 设BC =x m,则CD =1000am,所以a 矩形a 1a 1a 1a 1=(x +10)(1000a+4)=1040+4x +10000a≥1040+2√4a ·10000a=1440,当且仅当4x =10000a,即x =50时,等号成立,所以当BC 的长度为50m 时,整个项目占地面积最小.故选B . 22.解析 设楼房每平方米的平均综合费用为y 元. 依题意得y =s +8000×100004000a=50x +20000a+3000(x ≥12,x ∈N *).因为50x +20000a+3000≥2×√50a ·20000a+3000=5000,当且仅当50x =20000a,即x =20时,等号成立,所以当x =20时,y 取得最小值5000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5000元.能力提升练1.C 由题意得,xy =12×2xy ≤12×(2a +a 2)2=12×(12)2=18,当且仅当2x =y ,即x =14,y =12时等号成立,所以xy 的最大值是18.故选C . 2.D易得a 2+4a +a 2+4a =a +b +4a +4a =1+4(a +a )aa =1+4aa.又ab ≤(a +a 2)2=14,∴1aa ≥4,∴1+4aa ≥17,∴a 2+4a+a 2+4a ≥17,当且仅当a =b =12时取等号.故选D .3.B ∵a +b =4ab ,a >0,b >0,∴等式两边同除以ab ,得1a +1a =4, ∴a +b =(a +b )·14(1a +1a )=12+14(a a +aa ) ≥12+14×2√a a ·a a =12+12=1, 当且仅当a a =a a ,即a =b =12时取等号.故选B . 4.D ∵正数x ,y 满足x 2+a 22=1,∴2x 2+y 2=2, ∴x √1+a 2=√22×√2x ×√1+a 2≤√22×(√2a )2+(√1+a 2)22=√22×2a 2+a 2+12=3√24,当且仅当{2a 2+a 2=2,√2a =√1+a 2,即{a =√32,a =√22时取等号,∴x √1+a 2的最大值为3√24.5.答案 1;12解析 a 2+4b 2+1aa =(a -2b )2+4ab +1aa ≥(a -2b )2+2√4aa ·1aa =(a -2b )2+4,当且仅当a -2b =0且4ab =1aa ,即a =1,b =12时,等号成立,所以a =1,b =12. 6.答案 5解析 ∵x >0,∴x +1>1,∴a 2+3a +6a +1=(a +1)2+(a +1)+4a +1=x +1+1+4a +1≥2√(a +1)·4a +1+1=5, 当且仅当x +1=4a +1,即x =1时,等号成立, ∴a 2+3a +6a +1的最小值是5.7.答案 23;9解析 因为a +b =1,所以a =1-b ,因为a >b >0,所以0<b <12.所以a 2+2b 2=(1-b )2+2b 2=3b 2-2b +1=3(a -13)2+23,所以当b =13时,a 2+2b 2有最小值且最小值为23. 易得4a -a +12a =41-2a +12a ,故4a -a +12a =(41-2a +12a )(1-2b +2b )=5+8a1-2a +1-2a 2a ≥5+2√8a 1-2a ·1-2a 2a=5+4=9,当且仅当8a1-2a =1-2a 2a,即b =16时等号成立,故4a -a +12a 的最小值为9.8.答案 6解析 ∵ab +a +3b =9,∴a =9-3aa +1,由题意可知,a =9-3aa +1>0,故0<b <3, ∵a +3b =9-3aa +1+3b =12-3(a +1)a +1+3b =12a +1+3(b +1)-6≥2√12a +1×3(a +1)-6=6,当且仅当12a +1=3(b +1),即{a =3,a =1时取等号.方法点睛 求含多个字母的代数式的最值,常见的方法有消元法、基本不等式法等.应用消元法时要注意变元范围的传递.应用基本不等式法时,需遵循“一正、二定、三相等”的原则,如果原代数式中没有积为定值或和为定值,则需要将给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.9.解析 (1)∵4x 2+y 2≥2·2x ·y =4xy ,∴xy ≤4a 2+a 24,当且仅当2x =y 时等号成立,又4x 2+y 2+xy =1,∴1=4x 2+y 2+xy ≤4x 2+y 2+4a 2+a 24,∴4x 2+y 2≥45,当且仅当x =√1010,y =√105时等号成立, ∴4x 2+y 2的最小值是45.(2)由4x 2+y 2+xy =1,得(2x +y )2-1=3xy. 又∵2xy ≤(2a +a )24,当且仅当2x =y 时等号成立,∴(2x +y )2-1≤32×(2a +a )24,解得(2x +y )2≤85,∴2x +y ≤2√105.当且仅当x =√1010,y =√105时等号成立, ∴2x +y 的最大值是2√105.10.证明 因为a >0,b >0,所以(2a +b )(1a +4a )=6+a a +8a a ≥6+2√a a ·8aa=6+4√2=2(√2+1)2(当且仅当b =2√2a 时,等号成立).因为2a +b >0, 所以1a +4a ≥2(√2+1)22a +a.11.证明a 2+a 2a -a =(a -a )2+2aa a -a =(a -a )2+4a -a =(a -b )+4a -a ≥2√(a -a )·4a -a=4,当且仅当a =1+√3,b =-1+√3或a =1-√3,b =-1-√3时等号成立.所以a 2+a 2a -a≥4. 12.证明 (1)∵a +b =1,a >0,b >0, ∴1a +1a +1aa =1a +1a +a +aaa =2(1a +1a ), 1a +1a=a +a a +a +a a=2+a a +a a ≥2+2=4,当且仅当a =b =12时等号成立,∴1a +1a +1aa ≥8.(2)证法一:∵a >0,b >0,a +b =1, ∴1+1a =1+a +a a =2+aa, 同理,1+1a =2+aa ,∴(1+1a )(1+1a )=(2+a a )(2+aa)=5+2(a a +a a )≥5+4=9,当且仅当a =b =12时等号成立, ∴(1+1a )(1+1a)≥9. 证法二:(1+1a )(1+1a )=1+1a +1a +1aa . 由(1)知,1a +1a +1aa≥8,故(1+1a )(1+1a )=1+1a +1a +1aa ≥9,当且仅当a =b =12时,等号成立. 13.证明 (1)∵a +a 2≤√a2+a 22,∴√a 2+a 2≥√2=√22(a +b )(当且仅当a =b 时,等号成立).同理,√a 2+a 2≥√22(b +c )(当且仅当b =c 时,等号成立),√a 2+a 2≥√22(a +c )(当且仅当a =c 时,等号成立).三式相加得√a 2+a 2+√a 2+a 2+√a 2+a 2≥√22(a +b )+√22(b +c )+√22(a +c )=√2(a +b +c )(当且仅当a =b =c 时,等号成立). (2)∵0<x <1,∴1-x >0. 又∵a >0,b >0,∴不等式左边=(x +1-x )(a 2a+a 21-a )=a 2+b 2+a 1-a ·b 2+1-a a ·a 2≥a 2+b 2+2√a 1-a ·a 2·1-a a·a 2=a 2+b 2+2ab =(a +b )2=右边当且仅当a1-a ·b 2=1-aa·a 2,即x =aa +a 时,等号成立.故a 2a +a 21-a≥(a +b )2. 14.D 由题意可得a (1+p )(1+q )=a (1+x )2,即(1+p )(1+q )=(1+x )2. 易得(1+p )(1+q )≤(1+a +1+a 2)2,当且仅当p =q 时取等号,∵p ≠q ,∴(1+p )(1+q )<(1+a +1+a 2)2,则1+x <2+a +a2=1+a +a 2,即x <a +a 2.故选D .15.B 设每吨的平均处理成本为s 元, 由题意可得s =a a =12a 2-300a +80000a=a 2+80000a -300,其中300≤x ≤600.由基本不等式可得a 2+80000a -300≥2√a 2·80000a-300=400-300=100, 当且仅当a 2=80000a,即x =400时,每吨的平均处理成本最低.故选B .16.答案 400解析 如图,设矩形花园的一边DE 的长为x (x >0)m,邻边长为y (y >0)m,则矩形花园的面积为xy m 2,∵花园是矩形,∴△ADE 与△ABC 相似, ∴aa aa =aaaa ,又∵AG =BC =40, ∴AF =DE =x ,FG =y ,∴x +y =40.由基本不等式可得x +y ≥2√aa ,则xy ≤400,当且仅当x =y =20时,等号成立,故矩形花园的面积的最大值为400m 2. 17.答案 37.5解析 由题意,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足x =3-2a +1, 即t =23-a-1(1<x <3),设月利润为y 万元,则y =(48+a 2a )x -32x -3-t =16x -a 2-3=16x -13-a +12-3 =45.5-[16(3-a )+13-a ]≤45.5-2√16=37.5, 当且仅当16(3-x )=13-a ,即x =114时取等号, 故该公司的最大月利润为37.5万元. 18.解析 设y 1=aa +1(k ≠0),y 2=mx (m ≠0),其中x >0.当x =9时,y 1=a9+1=2,y 2=9m =7.2, 解得k =20,m =0.8, 所以y 1=20a +1,y 2=0.8x ,设两项费用之和为z (单位:万元), 则z =y 1+y 2=20a +1+0.8x =20a +1+0.8(x +1)-0.8 ≥2√20a +1·0.8(a +1)-0.8=7.2.=0.8(x+1),即x=4时,等号成立,当且仅当20a+1所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最少,最少费用是7.2万元.解题模板已知函数类型的应用问题,可以用待定系数法求出解析式;含分式的函数求最大(小)值,往往利用基本不等式求解,解题时要注意验证基本不等式成立的三个条件.。
高三数学函数与方程试题答案及解析
高三数学函数与方程试题答案及解析1.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和为 _．【答案】４．【解析】函数与的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图所示：当1＜x4时，，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在处取最大值为，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（-2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：xA +xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．【考点】1.函数的零点与方程的根的关系;2.数形结合思想.2.已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝a x＋(x－1)2－2a的零点个数为( )A．1B．2C．3D．与a有关【答案】B【解析】设g(x)＝2a－a x，h(x)＝(x－1)2，注意到g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论a＞1还是0＜a＜1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个公共点考点:零点的个数3.已知函数，集合，，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】集合，均表示方程的解集，集合中元素的个数，就是方程解的个数.当时，有一解，无解，正确；当时，有一解，有一解，正确；当时，有两解，有两解，其不可能有三个解，正确，不正确.故选.【考点】1、新定义；2、集合的概念；3、函数与方程.4.若关于x的方程x2－(a2＋b2－6b)x＋a2＋b2＋2a－4b＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x 1<0<x2<1，则a2＋b2＋4a＋4的取值范围是________．【答案】【解析】由题意得即利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a＋b＋1＝0的距离，即为＝，所以a2＋b2＋4a＋4∈，即a2＋b2＋4a＋4∈.5.已知方程x＝的解x∈，则正整数n＝________.【答案】2【解析】在同一直角坐标系中画出函数y＝x，y＝的图像，如图所示．由图可得x∈(0,1)，设f(x)＝x－，因为f＝－<0，f＝－>0，故n＝2.6.若函数不存在零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】依题意在上没有实根.即等价于无解.等价于在上没有实根，即函数在与x轴没有交点.当时，.，又由.所以上有零点.所以不成立.当时，只需.【考点】1.方程的根与函数的零点.2.分类讨论的思想.7.函数的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数的零点个数方程的根的个数函数与的图象的交点个数．作出两函数的图象(如图)．由图可知，两个函数的图象有两个交点，故选B8.设函数，.（1）解方程：；（2）令，，求证：（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）参考解析；（3）【解析】（1）由于函数，，所以解方程.通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于即得到.所以.所以两个一组的和为1，还剩中间一个.即可求得结论.（3）由是实数集上的奇函数，可求得.又由于对任意实数恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数的单调性可得.函数在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1），，（2），．因为，所以，，．=．（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增.由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，，又因为在实数集上单调递增，所以即对任意的都成立，即对任意的都成立，.【考点】1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.9.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数，∴，＝＜＜0，＝＞＞0，∴，所以函数的零点所在区间是．【考点】函数的零点．10.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|x cos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为( )A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以当x∈[1,2]时，2－x∈ [0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3. 当x∈时，g(x)＝x cos (πx)；当x∈时，g(x)＝－x cos(πx)，注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g＝g＝0，作出函数f(x)，g(x)的大致图象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点，故选B.11.函数f(x)＝1－x logx的零点所在的区间是()2A．，B．，1C．(1，2)D．(2，3)【答案】Cx的零点所在的区间是(1，2)．【解析】f(1)＝1，f(2)＝－1，故函数f(x)＝1－x log212.函数的零点所在的区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3.4)【答案】B【解析】函数在区间存在零点，等价于.计算，故选B.【考点】函数零点存在定理13.已知函数若a、b、c互不相等，且，则a＋b＋c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【答案】C【解析】由于函数的周期为，，故它的图象关于直线对称，不妨设，则．故有，再由正弦函数的定义域和值域可得，故有，解得，综上可得，，故选C．【考点】函数的根，图像变化．14.“函数在上存在零点”的充要条件是 .【答案】或【解析】函数在上存在零点等价于直线在上与轴有交点，则或，即或.【考点】函数的零点，充要条件.15.已知函数时，则下列结论正确的是 .(1），等式恒成立(2），使得方程有两个不等实数根(3），若，则一定有(4），使得函数在上有三个零点【答案】(1)(2)(3)【解析】由，所以（1）正确；对于B，不妨设m=则|f(x)|= ，即，得到：x=1或-1，故B正确；对于C，就是求f(x)单调性，由于f(x)为奇函数，只需讨论在（0，+∞）的单调性即可，当x>0时，f(x)= >0,所以在（0，+∞）单调递增且函数值都为正数，所以函数f(x)在（－∞，0）上单调递增且函数值都为负数，又f(0)=0,故f(x)在R上单调递增，所以任意x1,x2属于R，若x1≠x2，则一定有f(x1）≠f(x2)正确；D错误，令f(x)-kx=-kx=x（）=0，则有一根为x=0,或=0，但是，而k，所以=0恒不成立，所以选择D【考点】1.函数的单调性、最值；2.函数的奇偶性、周期性；3.函数零点的判定定理.16.方程有解，则的取值范围（）A．或B．C．D．【答案】D【解析】方程有解,即,因为,所以, ,即,解得.【考点】1、方程有解问题, 2、二次函数值域.17.已知直线：．若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①；②；③；④；则其中直线的“绝对曲线”有（）A．①④B．②③C．②④D．②③④【答案】D【解析】由题意直线表示斜率为且过定点（1,1）的直线.(1)曲线①是由左右两支射线构成：时，是斜率为2且过点（1,0）的射线；时，是斜率为-2且过点（1,0）的射线.作图可知：当，直线仅与曲线①右支射线有一个交点；当时，直线与曲线①无交点；当时，直线仅与曲线①左支射线有一个交点.所以直线与曲线①最多只有一个交点，不符题意，故曲线①不是直线的“绝对曲线”.(2)因为定点（1，1）在曲线②上，所以直线与曲线②恒有交点，设曲线②与直线的两交点为、，易知，联立直线与曲线②方程，化简得：.，.,从而可知当且仅当时直线与曲线②仅一个交点.两边平方，化简得：.设，则，，且是连续函数，所以在（0,2）上有零点，即方程在（0,2）上有根，且在（0,2）上曲线②与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线②与直线两个不同交点为端点的线段长度恰好等于，故曲线②是直线的“绝对曲线”.(3)曲线③表示圆心在（1,1）且半径为1的圆,它与直线两个交点为端点的线段长度恒为2，为2或-2时满足题意，故曲线③是直线的“绝对曲线”.(4)因为定点（1，1）在曲线④上，所以直线与曲线④恒有交点，设曲线④与直线的两交点为、，易知，联立直线与曲线④方程，化简得：,,,从而可知当且仅当时直线与曲线④仅一个交点.两边平方，化简得：.,，,且是连续函数，所以在上有零点，即方程在上有根，且在上曲线④与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线④与直线两个交点为端点的线段长度恰好等于，故曲线④是直线的“绝对曲线”.【考点】曲线与直线的方程、函数的零点18.,则下列关于的零点个数判断正确的是（）A．当k=0时，有无数个零点B．当k＜0时，有3个零点C．当k＞0时，有3个零点D．无论k取何值，都有4个零点【答案】A【解析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））-2为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））-2的零点个数；解：分四种情况讨论．（1）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=-ln（-lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+2≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤-2，k2x≤-k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+2＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+2=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点，故选A；k=0，y=f（f（x））-2，有无数个零点，故选A.【考点】复合函数的零点点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x））+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题；19.若方程的根在区间上，则的值为（）A．B．1C．或2D．或1【答案】D【解析】令f（x）=，且x＞－1，则方程的实数根即为f（x）的零点．则当x＞0时，f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上单调递增，由于f（1）=ln2－2＜0，f（2）=ln3－1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故f（x）在（1，2）上有唯一零点．当x＜0时，f（x）在区（－1，0）上也是增函数，由f（－）=ln+=－ln100＜3－lne3=0，f（－）=ln+200＞200－ln1＞200＞0，可得 f（－）•f（－）＜0，故函数f（x）在（－，－）上也有唯一零点，故f（x）在区（－1，0）上也唯一零点，此时，k=－1．综上可得，∴k=±1，故选D．【考点】函数的零点的定义，零点存在定理。
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点、构成的三角形中面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，连接与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切时、不重合，连接与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用已知条件列举出有关、、的方程组，结合三者之间满足的勾股关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（2）设直线与的方程分别为以及，将两条直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到点与点之间的关系（关于轴对称），从而得到两点坐标之间的关系，最后将利用点的坐标进行表示，注意到坐标的取值范围，然后利用二次函数求出的取值范围.（1）由题可知：，，解得：，，，故椭圆的方程为：；（2）不妨设、、，由题意可知直线的斜率是存在的，故设直线的斜率为，直线的斜率为的方程为：代入椭圆方程，得，，将，代入解得：，的方程为：代入椭圆方程，得，，将，，代入解得：，，又、不重合，，，.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次函数；4.向量的数量积2.设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（1）a＝－1，b＝4 （2）1－【解析】(1)由条件得，解得：a＝－1，b＝4.(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．∴x＝m时，f(x)＝－m2＋2m＋3＝1，min解得m＝1±.∵m＜1，∴m＝1－.3.已知函数在区间（）上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】作出函数的图象如下图所示，从图可以看出当时，函数在区间（）上的最大值为4，最小值为3.故选A.【考点】二次函数.4.设二次函数满足条件：①；②函数的图像与直线相切．（1）求函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】由的图象的对称轴方程是，于是有，依题意，方程组有且只有一解，利用即可求得与，从而得函数的解析式；（2）利用指数函数的单调性质，知在时恒成立，构造函数，由即可求得答案．试题解析：（1）由①可知，二次函数图像对称轴方程是，；又因为函数的图像与直线相切，所以方程组有且只有一解，即方程有两个相等的实根，，所以，函数的解析式是．（2），等价于，即不等式在时恒成立，问题等价于一次函数在时恒成立，即，解得：或，故所求实数的取值范围是．【考点】1、函数恒成立问题；2、二次函数的性质．5.椭圆c：（a>b>0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M，直线PB与椭圆的另一个交点为N，求证：直线MN经过一定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析【解析】（1）由已知可得，＝１，解出a，b即可.（2）设Ｐ（１，ｔ）,则直线，联立直线PA方程和椭圆方程可得，同理得到，由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ，由，求得m的存在即可.试题解析：（1）依题意过焦点Ｆ与长轴垂直的直线ｘ＝ｃ与椭圆联立解答弦长为＝１， 2分所以椭圆的方程. 4分（2）设Ｐ（１，ｔ），直线，联立得：即，可知所以，则 6分同理得到 8分由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ， 10分又，，，，. 12分【考点】1.椭圆方程的性质；2.点共线的证法.6.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于()A．-B．-C．c D．【答案】C【解析】∵f(x1)=f(x2),∴f(x)的对称轴为x=-=,得f(x1+x2)=f-=a×+b×+c=c,故选C.7.函数的图象和函数的图象的交点个数是。
高考数学一轮复习讲义： 第二章 函数 2.5 幂函数、函数与方程讲义
§2.5幂函数、函数与方程考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.二次函数与幂函数1.二次函数的图象与性质2.幂函数的概念B13题5分填空题解答题★★★2.函数的零点与方程的根1.求函数零点2.由函数零点求参数B13题5分填空题解答题★★★分析解读二次函数的图象与性质和函数零点问题是江苏高考的热点内容,试题一般难度较大,综合性较强.五年高考考点一二次函数与幂函数1.(2016课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系是(用<连接).答案b<a<c2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-24.(2013辽宁理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=.答案-165.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.答案-1,教师用书专用(6—7)6.(2014浙江改编,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是(填序号).答案④7.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得f(x)图象的对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二函数的零点与方程的根1.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)2.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)3.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案4.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)5.(2015天津改编,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是.答案6.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)7.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案8.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)9.(2013安徽理改编,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是.答案 3教师用书专用(10—11)10.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案11.(2013安徽理,20,13分)设函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明(1)对每个n∈N*,当x>0时, f 'n(x)=1++…+>0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增.由于f1(1)=0,当n≥2时, f n(1)=++…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1++≤-+=-+·=-·<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时, f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n.故{x n}为单调递减数列.从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…+++…+=0,②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=+≤≤<=-<.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一二次函数与幂函数1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2f(8)=.答案3.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)4.(苏教必1,三,3,2,变式)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为.答案1,35.(2016江苏淮阴中学期中)下列幂函数:①y=;②y=x-2;③y=;④y=,其中既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是.(填相应函数的序号)答案③考点二函数的零点与方程的根6.(2018江苏金陵中学高三月考)记函数y=ln x+2x-6的零点为x0,若k满足k≤x0且k为整数,则k的最大值为.答案 27.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案8.(2018江苏东台安丰高级中学月考)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.答案 e9.(2018江苏扬州中学月考)方程xlg(x+2)=1有个不同的实数根.答案 210.(2018江苏天一中学调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是.答案11.(苏教必1,三,4,2,变式)函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为.答案 212.(苏教必1,三,4,8,变式)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是.答案13.(2017江苏苏州期中,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是.答案14.(2016江苏泰州中学质检,10)关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2017江苏苏州学情调研,11)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(x+1)有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是.答案2.(2017南京、盐城第二次模拟考试,12)若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.答案{2}3.(2017江苏苏北四市期末,14)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有三个不同的公共点,则实数a的取值范围为.答案{a|-20<a<-16}4.(2016江苏淮阴中学期中,10)已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0的两个实数根是α,β,且有1<α<2<β<3,则实数a的取值范围是.答案二、解答题(共15分)5.(2017江苏泰州二中期初,20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,图象的对称轴为x=-,当a<-2时,->1,函数f(x)在[-1,1]上递减,则g(a)=f(1)=+a+2;当-2≤a≤2时,-1≤-≤1,g(a)=f=1;当a>2时,-<-1,函数f(x)在[-1,1]上递增,则g(a)=f(-1)=-a+2.综上可得,g(a)=(2)设s,t是方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,故≤s≤(-1≤t≤1),当0≤t≤1时,≤st≤.易知-≤≤0,-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4;当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0,-3≤<0,所以-3≤b<0,故b的取值范围是[-3,9-4].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断函数零点个数的常用方法1.(2016江苏扬州中学月考)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是.答案9方法2 利用函数零点求参数的值或取值范围2.(2018江苏无锡高三期中)关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解,则实数a的取值范围为.答案(1-ln 2,+∞)3.(2016上海闸北区调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案(0,1)D组2016—2018年模拟·突破题组(2016江苏南京调研,14)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)有3个零点,则实数a的取值范围是.答案。
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