湘教版高中数学选修4-6：初等数论初步-《孙子算经》的韩信点兵
韩信点兵又称为中国剩余定理
簡介：韓信點兵又稱為中國剩餘定理，乃由於相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。
劉邦茫然而不知其數。
韓信點兵是一個很有趣的猜數遊戲，隨便抓一把蠶豆粒，假若3個一數餘1粒，5個一數餘2粒，7個一數餘2粒，那麼所抓的蠶豆有多少粒?這類題目看起來是很難計算的，可是中國古時卻流傳著一種算法，它的名稱也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔牆算」；楊輝叫它「剪管術」；而比較通行的名稱是「韓信點兵」。
最初記述這類算法的是一本名叫「孫子算經」的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種算法，叫做「大衍求一術」，流傳到西洋以後，外國化稱它是「中國剩餘定理」，在數學史上是極有名的問題。
至於它的算法，在「孫子算經」上就已經有了說明：“凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五”，而且還流傳著這麼一首歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
這就是韓信點兵的計算方法，《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法：70是5與7最小公倍的2倍，21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。
秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數，意思是說：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的），5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是 3與 7的倍數，又是以5去除餘1的），7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以 7去除餘 1的），最後將70、5、15這些數加起來，若超過105，就再減掉105，所得的數便是原來的數了。
根據這個道理，你就可以很容易地把前面一個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
高中数学选修4-6：初等数论初步
高中数学选修4-6：初等数论初步数论是古老而又基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对现代数学的发展起了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。
在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。
本专题学生将通过具体的问题学习有关整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。
一、内容与要求1．通过实例（如星期），认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。
体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。
2．理解整除、因数和素数的概念，因数和素数的概念，了解确定素数的方法了解确定素数的方法了解确定素数的方法（筛（筛法），知道素数有无穷多。
3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。
会检查整数加法，乘法运算错误的一种方法。
4．通过实例探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a 能整除bc ，且a ，b 互素，则a 能整除c 。
探索公因数和公倍数的性质。
了解算术基本定理。
5．通过实例理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。
并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。
6．通过实例（如：韩信点兵），理解一次同余方程组模型。
7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。
8．理解费尔马小定理（当m是素数时，am-1≡1(mod m)）和欧拉定理（aφ(m) ≡1(mod m),其中φ(m)是1,2,…,m-1与m互质的数的个数）及其证明。
9．了解数论在密码中的应用--公开密钥。
10．完成一个学习总结报告。
报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。
对本专题整体结构和内容的理解，对正整数基本性质及其研究方法的认识。
趣味数学教案—韩信点兵
韩信点兵教学目标：一、让学生在故事中学会带余除法的算法，掌握剩余定理。
二、帮助学生开拓逻辑思维，提前掌握用未知数列方程。
三、在学习中玩，在玩中学习，让学生体验到学习的快乐。
教学重点：剩余定理，带余除法教学难点：多方程解未知数课前准备：教学PPT教学步骤：一、韩信点兵汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。
现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。
”韩信满不在乎地说：“可以可以。
”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。
”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。
”“刘邦又传令：“每五人站成一排。
”小队长报告：“最后一排只有三人。
”刘邦再传令：“每七人站成一排。
”小队长报告：“最后一排只有二人。
”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。
”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。
”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法.二、唐僧师徒摘桃子一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。
不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。
师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？八戒憨笑着说：师父，我来考考你。
我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。
你算算，我们每人摘了多少个？沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。
我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。
你算算，我们每人摘了多少个？悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法
【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法“韩信点兵”问题的初等解法研究王晓东河北省卢龙县燕河营镇中学 066407韩信，是我国汉代刘邦手下的一员能征善战，智勇双全的大将。
历史上流传着一个关于他运用奇特方法点兵的传说。
有一天，韩信来到操练场，检阅士兵操练。
他问部将，今天有多少士兵操练，部将回答:“大约两千三百人。
”韩信走上点兵台，他先命全体士兵排成7路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人;他又命全体士兵排成5路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩3人;最后，他又让全体士兵排成3路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人。
韩信告诉部将，今天参加操练的士兵有2333人。
从现代数学的观点来看，解决韩信点兵问题，可以这样思考:设操练士兵的总数为M，则M=3x+2=5y+3=7z+2其中，x，y，z分别表示排成3路纵队，5路纵队，7路纵队的纵队数目。
求出了x，y，z以后，M也求求出来了。
而求x，y，z可以看成求方程组3x+2=5y+33x+2=7z+2的正整数解。
在上面的方程组中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程(组)叫做不定方程(组)。
不定方程(组)的解是不确定的，一般不定方程总有无穷多个组解，但若加上整数(或正整数)解的特定限制，则不定方程(组)的解有三种可能:有无限组解，有限组解，或无解。
我国古代人民对于不定方程(组)这类问题解法的探讨有着悠久的历史，在中国古代的《孙子算经》中曾作为一个典型问题进行论述。
其中的一个经典例题是:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何,答曰:二十三。
术曰:三三数之剩二，则置一百四十;五五数之剩三，则置六十三;七七数之剩二，则置三十;并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十;五五数之剩一，则置二十一;七七数之剩一，则置十五。
一百(零)六以上，以一百(零)五减之，即得。
在中国民间还广为流传着一个口诀:三人同行七十稀，五树梅花二十一。
2.互素的整数-湘教版选修4-6初等数论初步教案
2.互素的整数-湘教版选修4-6初等数论初步教案
教学目标
1.掌握互素的概念和判定方法。
2.掌握互素的性质及其在数论问题中的应用。
教学内容
1.互素的概念
2.互素的判定方法
3.互素的性质
4.应用实例
教学步骤
Step 1：导入
1.通过列举一些例子，引导学生理解两个数的最大公约数和最小公倍数。
2.定义互素的概念：两个数的最大公约数为1，称这两个数是互素的。
Step 2：探究
1.引导学生尝试证明两个数互素的判定方法：如果两个数的质因数完全不相同，则这两个数互素。
2.指导学生进行练习，加深对互素判定方法的理解。
Step 3：总结
1.总结互素的性质：互素的整数乘积也是互素的，互素的整数的任意次幂也是互素的。
2.引导学生思考互素性质的证明和应用。
Step 4：拓展
1.引导学生探究欧几里得算法并应用于求最大公约数。
2.引导学生学习扩展欧几里得算法，并了解其在解决数论问题中的应用。
教学评价
1.可以通过课堂练习和作业来评价学生对互素知识点的掌握程度。
2.通过小组讨论等形式，直接了解学生对互素应用问题的掌握和理解。
教学反思
1.注重范例的引入，同时灵活掌握互素判定方法的引导方式。
2.让学生在实际应用中更好地感受到互素的应用价值和意义。
1.奇数与偶数-湘教版选修4-6初等数论初步教案
奇数与偶数-湘教版选修4-6初等数论初步教案一、教学目标通过本课的学习，学生应能够掌握以下几个方面：1.理解奇数和偶数的概念，能够判断一个数是奇数还是偶数。
2.掌握奇数和偶数的性质，了解其特点。
3.能够解决关于奇数和偶数的基本问题。
二、教学重点1.奇数和偶数的概念及判断方法。
2.奇数和偶数的性质。
三、教学难点1.证明奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数的性质。
2.解决奇数和偶数的综合问题。
四、教学方法1.归纳法：通过举例子，让学生自己总结出奇数和偶数的概念和性质。
2.分组合作：让学生在小组内讨论并解决问题，加强合作意识和团队合作精神。
3.图示法：通过图示的方式让学生更好地理解奇数和偶数的性质。
五、教学内容1. 奇数和偶数的概念及判断方法1.奇数：只能被1和本身整除的数，如1、3、5、7等。
2.偶数：能够被2整除的数，如2、4、6、8等。
判断一个数是奇数还是偶数的方法：1.如果这个数能够被2整除，那么它就是偶数。
2.如果这个数不能被2整除，那么它就是奇数。
2. 奇数和偶数的性质1.任何一个整数都可以表示为奇数加偶数的形式。
–证明：对于任何一个整数n，都可以表示为n=2k或n=2k+1的形式，其中k为整数。
–当n=2k时，n=2k+0，即n是偶数加偶数的形式。
–当n=2k+1时，n=2k+1+0，即n是奇数加偶数的形式。
2.奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数。
–证明：设a和b分别为奇数和偶数，那么a可以表示为2m+1的形式，b可以表示为2n的形式，其中m和n均为整数。
–那么a+b=2m+1+2n=2(m+n)+1，即a+b为奇数。
–设c和d分别为奇数，那么c可以表示为2p+1的形式，d可以表示为2q+1的形式，其中p和q均为整数。
–那么c+d=2p+1+2q+1=2(p+q+1)，即c+d为偶数。
3. 综合应用1.若a为奇数，b为偶数，c为奇数，d为偶数，那么a+b+c+d是奇数还是偶数？–解：a+b为奇数，c+d为偶数，奇数加偶数为奇数，因此a+b+c+d为奇数。
湘教版高中数学选修4-6初等数论初步：《孙子算经》的韩信点兵
数”
2．《孙子算经》中“有物不知其 问题的解答
问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？
1）筛法.
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2） 8，23，… （用5除余3） 23，… （用7除余2）
5， 11， 17， 23， …
（ 用3除余2）
上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…
其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列 实际上是用带余除法的式子得到的。
对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三 数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数 之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之 剩8，问物几何？
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,
即 x 2520k 1,k 1,2,3,
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中 第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的
个数”总是正整数。
[思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c除余c－1” 的数。
学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的 数学能力。
寻找规律的思想ห้องสมุดไป่ตู้
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。
筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。
湘教版高中数学选修4-6初等数论初步：质因数分解应用举例
解：设另外一条直角边为x，斜边为y，则 52+x2=y2。
将方程变形为y2-x2=25。 左边因式分解得（y+x）（y-x）=25
x，y都是正整数并且x＜y。因而y+x，y-x也 都是正整数并且y+x＞y-x。大小不等两个正整数 的乘积等于25，只能是25×1=25。
因而
y x 25,
y
x
1.
解得
x 12,
y
13.
于是直角三角形的三条边为5，12，13。 经过检验确实有52+122=132，可见所求的答案 正确。 如果直角三角形的三条边x，y，z都是正整数， 也就是说正整数x，y，z满足条件x2+y2=z2，则x，y， z称为勾股数。
质因数分解应用举例
质因数分解 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形 式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这 个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。
例1 求120的不同的正因数的个数。 解：120=23×3×5。正因数的个数为（3+1）
（1+1）（1+1）=16
例2 直角三角形的三边长都是整数，其中一条直
1.求两个整数，使它们的和等于积
2.求方程的整数解：x2 x 12 4 y2 1
3.求112的正因数的个数。
4.n=p1，p2…pk，其中n=p1，p2，…，pk，是不同 的素数。当n=1，2，3时候，分别求出n的所有 正因数之和。你发现了什么规律？能推广到一 般的正整数n吗？
上述方式给出了由x求y，z使x，y，z是勾股 数的方法。
一般地，设正整数m＞n，容易验证2mn，m2n2，m2+n2满足条件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实践以后发现，是要费一点儿功夫的。
谢谢！
（a,b,c是任意大于1的自然数） ③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都余1”的数。 ④ 求“用5，7，9，11 除都余2”的数。
数”
2．《孙子算经》中“有物不知其 问题的解答
问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？
1）筛法.
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2） 8，23，… （用5除余3） 23，… （用7除余2）
学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的 数学能力。
寻找规律的思想
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。
筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。
2）公倍数法
① 化繁为简
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余1）
《孙子算经》的韩信点兵
一、“韩信点兵”的故事和《孙子算经》中的题目 1.“韩信点兵”的故事
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他 记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排 队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再 让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士 兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。
也仅仅是作除法时的
《孙子算经》
二．问题的解答
1．从另一个问题入手
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数 之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5， 七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物 几何？
1）筛法
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，…
（ 用2除余1）
5， 11， 17， 23， …
（ 用3除余2）
上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…
其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列 实际上是用带余除法的式子得到的。
对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三 数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数 之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之 剩8，问物几何？
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,
即 x 2520k 1,k 1,2,3,
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中 第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的
个数”总是正整数。
[思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c除余c－1” 的数。
5， 11， 17， 23， … （ 用3除余2）
11， 23，…
（ 用4除余3）
再从中挑“用5除余4”的数，…
个பைடு நூலகம்。
一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。 并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多
化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件， 这就是化繁为简。
一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点 和本质，那么简化就“不失一般性”。
然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。
这里面有什么秘密呢？ 韩信好像非常重视作除法时的余数
2.《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知 数”的
题目： 今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？
这里面又有什么秘密呢？
题目给出的条件，
余数
12
②寻找规律
设问题中，需要求的数是 x ，则 x 被2，
3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数
少1，于是我们把被除数 x 再加1，
则 x 1 就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整
除。也就是说， x 1是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，
从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。