2019-2020年七年级下数学第9章《整式乘法与因式分解》竞赛数学专题训练
七年级数学下册第9章《整式乘法与因式分解》考点总结和难题详解(含答案)
第9章《整式乘法与因式分解》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用整式乘法法则进行运算【考点解读】要根据算式的特点确定运算顺序，并正确运用运算法则进行计算. 例1 下列式子中，与2(21)(1)(2)x x x x +--+-的计算结果相同的是( ) A. 221x x -+ B. 223x x -- C. 23x x +- D. 23x - 分析:2222(21)(1)(2)(221)(2)21x x x x x x x x x x x +--+-=-+--+-=-+. 答案:A【规律·技法】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关健. 例2 (1)填空:()()a b a b -+= ; 22()()a b a ab b -++= ; 3223()()a b a a b ab b -+++= ;(2)猜想:1221()()n n n n a b a a b ab b -----++++=… (其中n 为正整数，且2n ≥) ;(3)利用(2)猜想的结论计算:98732222222-+-+-+….分析:(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;(2)根据(1)中的规律可得结果;(3)原式变形后，利用(2)得出的规律计算即可得到结果. 解答:(1) 22a b - 33a b - 44a b - (2)nn a b -(3)令98732222222S =-+-+-+…，则9873212222221S -=-+-+-+-…98732[2(1)](2222221)3=--⨯-+-+-+-÷… 10(21)3=--÷(10241)3341=-÷=，所以342S =，即98732222222342-+-+-+=….【规律·技法】本题考查了多项式乘以多项式的运算，弄清题中的规律是解本题的关键. 【反馈练习】1.已知m n mn +=，则(1)(1)m n --= .点拨:先化简(1)(1)m n --，再将m n mn +=整体代入计算. 2.计算:(25)(32)b a b a a b ++-= .点拨:先利用乘法分配律计算，再合并同类项. 考点2 乘法公式的应用【考点解读】正确而熟练地掌握乘法公式，在记住公式的基础上强化对公式的具体运用，并在运用公式的过程中把握公式的特点.例3 先化简，再求值: 2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--，其中5x ==，15y =-. 分析:本题主要考查了整式混合运算中的化简、求值问题，在解题时要注意先把原式进行化简，再把未知数的值代入求解.解答:2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--222224455x xy y x y x xy =+++--+9xy =.当5x ==，15y =-时，原式1995()95xy ==⨯⨯-=-. 【规律·技法】本题考查整式的混合运算——化简求值，解题的关键是明确整式混合运算的法则.例4 已知250x x +-=，则代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值为 .分析:先利用乘法公式展开，再合并得到原式23x x =+-，然后利用整体代入的方法计算.原式2222134x x x x x =-+-++-23x x =+-.因为250x x +-=， 所以25x x +=，所以原式532=-=. 答案:2 【规律·技法】本题考查的是整式的混合运算——化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 【反馈练习】3.已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值.点拨:先化简，再将43x y =代入计算.4.先化简，再求值:2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-.点拨:先科用乘法公式化简，再将13x =-代入计算.考点3 因式分解及其应用【考点解读】根据所给多项式的特点确定因式分解的步骤与方法，一般来说，先提公因式，再运用公式法(平方差公式和完全平方公式)，要注意最后必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止.例5 分解因式: 22(2)(2)y x x y +-+.分析:原式利用完全平方公式或平方差公式化简，合并同类项即可得到结果. 解答:解法一: 22(2)(2)y x x y +-+222244(44)y xy x x xy y =++-++ 223()x y =- 3()()x y x y =+-.解法二: 22(2)(2)y x x y +-+[(2)(2)][(2)(2)]y x x y y x x y =++++-+(33)()x y x y =+- 3()()x y x y =+-.【规律·技法】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键. 例6 ()(4)a b a b ab --+分解因式的结果是 .分析:本题无法提取公因式，也无法直接套用公式因式分解，所以考虑先化简整理后再分解因式.()(4)a b a b ab --+ 2254a ab b ab =-++ 2244a ab b =-+ 2(2)a b =-答案: 2(2)a b -【规律·技法】本题主要考查了多项式的乘法运算以及公式法分解因式，体现了这二者间的联系.【反馈练习】5. (2018·连云港)分解因式: 216x -= . 点拨:利用平方差公式进行因式分解即可.6. (2018·成都)已知0.2x y +=，31x y +=，则代数式2244x xy y ++的值为 . 点拨:先把原式因式分解，再将已知等式变形后代入计算求值. 7.如果221()x mx x n ++=+，且0m >，那么n 的值是 . 点拨:看清完全平方式三项的结构，注意0m >的条件，可知n 也大于0. 易错题辨析易错点1 运算中符号出错例1 (2018·无锡月考)计算: 23(4)x x x --+. 错误解答:原式326312x x x =---.错因分析:在进行单项式与多项式乘法运算时，应将单项式与多项式的每一项分别相乘，同时应注意多项式的“项”包括它前面的符号，错解忽略了第二项前面的符号. 正确解答:原式326312x x x =-+-.易错辨析:将多项式看作几个单项式的和直接参与运算. 易错点2 漏乘了多项式中的项“1”例2计算: 13(1)3(2)22x x x x +--.错误解答:原式2221964622x x x x x =-+=-+. 错因分析:单项式x 与多项式112x +相乘时，漏乘了多项式中的项“1”.正确解答:原式2221964722x x x x x x =+-+=-+.易错点3 运算法则理解错误易错辨析:单项式与多项式相乘的实质是乘法分配律的运用. 例3计算: (5)(7)x y x y +-. 错误解答:原式2235x y =-.错因分析:错解只把首项和首项相乘、尾项与尾项相乘，这是初学多项式乘法时最常见错误. 正确解答:原式22227535235x xy xy y x xy y =-+-=--. 易错辨析:进行多项式乘法运算时不要漏乘. 易错点4 运算结果没有化到最简例4计算: 222(3)(3)3(1)x x x x x x x ++----. 错误解答:原式3323233333x x x x x x x =++--++.错因分析:本题在运用法则运算时并没有错，问题在于其结果没有合并同类项，不是最简形式.正确解答:原式3323233333x x x x x x x =++--++36x x =-+. 易错辨析:去括号后，不要忘了合并同类项，将结果化为最简形式. 易错点5 乘法公式混淆导致计算错误 例5计算: 2(25)x y -.错误解答:错解一: 22222(25)(2)(5)425x y x y x y -=-=-.错解二: 22222(25)(2)225(5)2205x y x x y y x xy y -=-+=-+g g. 错因分析:错解一将完全平方公式与平方差公式混淆;错解二忘记了系数要平方.正确解答: 22222(25)(2)225(5)42025x y x x y y x xy y -=-+=-+g g. 易错辨析:正确使用乘法公式是解题的关键.222()2a b a ab b ±=±+.计算中要注意字母、系数都要平方，同时注意符号不要出错.易错点6 运用公式计算时，没有找准“a ”与“b ” 例6 计算: (23)(23)a b c a b c +---.错误解答:(23)(23)a b c a b c +---[(23)](23)a b c a b c =+--- 22(23)a b c =--2224129a b bc c =-+-.错因分析:错解在找平方差公式中的“a ”与“b ”时产生了错误.对于此类题型，只要将各括号内的符号相同项结合为一组，看作公式中的“a ”，再将符号相反项结合为一组，看作公式中的“b ”，就可避免出现上述错误. 正确解答: (23)(23)a b c a b c +--- [(3)2][(3)2]a c b a c b =-+-- 22(3)(2)a c b =-- 222694a ac c b =-+-.易错辨析:两个因式中符号相同的视为“a ”，符号相反的视为“b ”. 易错点7 分解因式不彻底例7 分解因式: 42228(2)x y x y --错误解答:原式42228(2)x y x y --222(4)x y =-4224816x x y y =-+.错因分析:运用完全平方公式是正确的，但分解不彻底，224x y -还可分解为(2)(2)x y x y +-.正确解答:原式4224816x x y y =-+222(4)x y =- 22(2)(2)x y x y =+-.易错辨析:分解因式要分解到不能再分解为止.反馈练习1.下面因式分解正确的是( )A. 221(2)1x x x x ++=++ B. 23(4)4x x x x -=- C. ()ax bx a b x +=+ D. 2222()m mn n m n -+=+ 点拨:因式分解的结果必须为几个因式积的形式. 2.下列运算中，正确的是( )A. 222()a b a b +=+B. 22(2)(2)2a b a b a b +-=- C. 22()()a b a b a b +--=- D. 22()()a b a b a b -+--=- 点拨:利用平方差或完全平方公式运算即可.3. (2018·常州月考)由完全平方公式可知22232355(35)64+⨯⨯+=+=，运用这一方法计算: 224.32108.6420.67900.6790+⨯+= . 点拨:把4.3210看作“a ”，把0.6790看作“b ”，用完全平方公式运算. 4.计算:(1) 234110()2x yz xy -g ； (2) 221(2)32ab ab ab -g ；(3) 2(21)(21)(21)t t t +-+-； (4) (21)(21)x y x y -+--.点拨:注意公式的运用和计算的顺序. 5. (1)已知2(23)4656x y x y --+-=-，求235x y-的值(2)已知230x -=，求代数式22()(5)9x x x x x -+--的值.点拨:把已知或结论中较为繁琐的式子先化简. 6.把下列各式分解因式:(1) 322x x x -+； (2) 2225()9m n n +-； (3) 2(1)(1)a b a -+-； (4) 5x x -点拨:有公因式先提取公因式，再考虑使用乘法公式，注意是否分解彻底. 探究与应用探究1 含字母系数的多项式中的存在问题例1已知22(3)(3)x nx x x m ++-+的展开式中不含2x 和3x 的项，求,m n 的值.点拨:先把原式展开，从中找出含2x 和3x 的项，再让它们的系数分别为0，从而得到关于,m n 的关系式，求解即可.解答:原式432(3)(33)(9)3x n x m n x mn x m =+-++-+-+.因为展开式中不含2x 和3x 的项，所以30330n m n -=⎧⎨+-=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩.故,m n 的值分别是6，3.规律·提示先进行多项式的乘法运算得到展开式，展开式中不含哪一项，则该项的系数为0. 【举一反三】1.已知多项式2x x a ++与2x b +的乘积中含2x 的项的系数为3，含x 的项的系数为2，求a b +=的值.探究2 多项式的乘法与图形面积之间的联系例2 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性. (1)根据图①写出一个代数恒等式;(2)恒等式22(2)()23a b a b a ab b ++=++，也可以利用图②的面积解释，请用图②的面积说明: 22(2)()23a b a b a ab b ++=++;(3)已知正数,,a b c 和,,m n l 满足a m b n c l k +=+=+=，试构造边长为k 的正方形，利用面积来说明: 2al bm cn k ++<.点拨:(1)利用面积法，各部分面积用代数式表示即可;(2)利用图②的两种面积表示方法即可说明;(3)利用面积法构造正方形，使其边长为a m b n c l k +=+=+=(注意a b c ≠≠，m n l ≠≠)，并且正方形里有长和宽分别是,a l a ；,b m ；,c n 的长方形，通过画成的图③可发现，2al bm cn k ++<.解答:(1)答案不唯一，如:224()()ab a b a b =+--.(2)因为图②的面积可表示为(2)()a b a b ++，也可表示为2223a ab b ++，所以22(2)()23a b a b a ab b ++=++.(3)如图③，构造一个边长为k 的正方形，显然a m b n c l k +=+=+=.根据图形可知正方形内部3个长方形的面积和小于正方形的面积，即2al bm cn k ++<.规律·提示要理解完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式时，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系.【举一反三】2.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++.请解答下列问题:(1)写出图②中所表示的数学等式;(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，求222a b c ++的值;(3)小明同学用3张边长为a 的正方形纸片，4张边长为b 的正方形纸片，7张长和宽分别为,a b 的长方形纸片拼出了一个大长方形，那么大长方形较长一边的边长为多少? (4)小明同学又用x 张边长为a 的正方形纸片，y 张边长为b 的正方形纸片，z 张长和宽分别为,a b 的长方形纸片拼出了一个面积为(257)(1845)b a b ++的大长方形，那么x y z ++= 。
七年级数学下册《整式乘法与因式分解》练习题及答案
七年级数学下册《整式乘法与因式分解》练习题及答案一、单选题1．计算a2（﹣a）3的结果是（）A．a6B．﹣a5C．﹣a6D．a﹣62．下列各式，计算结果为a3的是（）A．a2+a B．a4﹣a C．a•a2D．a6÷a23．﹣x3y﹣1•（﹣2x﹣1y）2＝（）A．﹣2xy B．2xy C．﹣2x2y D．2xy24．若x2﹣kx﹣12＝（x+a）（x+b），则a+b的值不可能是（）A．﹣11B．4C．8D．115．若（x+2）与（x﹣m）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣2B．0C．2D．46．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（a3）2＝a6C．（ab）2＝ab2D．2a5•3a5＝5a57．若x2+ax+16是完全平方式，则|a﹣2|的值是（）A．6B．6或10C．2D．2或68．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）9．下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（）A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2B．9﹣x2＝（3+x）（3﹣x）C．x2+6x+4＝（x+2）2+2x D．x2﹣8＝（x+4）（x﹣4）10．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱定西B．爱定西C．我爱学D．定西数学二、填空题11．分解因式：﹣m2n+6mn﹣9n＝．12．全球新冠病毒仍在蔓延，新型冠状病毒直径约为80﹣120纳米，某种β属的新型冠状病毒直径为0.000000102米，将数据0.000000102用科学记数法表示为．13．计算：（18a3﹣9a2﹣3a）÷3a＝．14．已知x2﹣6x+k是一个完全平方式，则k的值是．15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，（a+b）n展开式的系数和为．三、解答题16．已知3m＝a，3n＝b，分别求：（1）3m+n．（2）32m+3n．（3）32m+33n的值．17．计算：（1）﹣32+（4﹣π）0++|2﹣5|；（2）（3a+b）（a﹣b）+2ab．18．先化简，再求值：[（﹣x3y4）3+（﹣xy2）2•3xy2]÷（﹣xy2）3，其中x＝﹣2，y＝．19．分解因式：（1）2x2y+4xy2+2y3；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．20．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：；方法2：；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．21．阅读与思考在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”．例如：a4+4＝a4+4+4a2﹣4a2＝（a4+4a2+4）﹣4a2＝（a2+2）2﹣（2a）2＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）．参照上述方法，我们可以对a3+b3因式分解，下面是因式分解的部分解答过程．a3+b3＝a3+a2b﹣a2b+b3＝（a3+a2b）﹣（a2b﹣b3）＝（a+b）•a2﹣（a+b）•b（a﹣b）＝…任务：（1）请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．（2）已知a+b＝2，ab＝﹣4，求a3+b3的值．参考答案与解析一、单选题1．解：原式＝a2•（﹣a）3＝﹣a5，故选B．2．解：A、a2与a不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a4与a不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、a•a2＝a3，故本选项正确；D、a6÷a2＝a4≠a3，故本选项错误．故选：C．3．解：﹣x3y﹣1•（﹣2x﹣1y）2＝﹣x3y﹣1•4x﹣2y2＝﹣2xy．故选：A．4．解：根据题意知a+b＝﹣k、ab＝﹣12若a＝1、b＝﹣12，则a+b＝﹣11；若a＝﹣1、b＝12，则a+b＝11；若a＝﹣3、b＝4，则a+b＝1；若a＝3、b＝﹣4，则a+b＝﹣1；若a＝2、b＝﹣6，则a+b＝﹣4；若a＝﹣2、b＝6，则a+b＝4．故选：C．5．解：（x+2）（x﹣m）＝x2﹣mx+2x﹣2m＝x2+（﹣m+2）x﹣2m∵不含x的一次项∴﹣m+2＝0解得：m＝2故选：C．6．解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；B、（a3）2＝a6，故B符合题意；C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；D、2a5•3a5＝6a10，故D不符合题意；故选：B．7．解：∵（x±4）2＝x2±8x+16∴a＝±8当a＝8时|a﹣2|＝|6|＝6当a＝﹣8时|a﹣2|＝|﹣10|＝10故选：B．8．解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2矩形的面积＝（a+b）（a﹣b）故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故选：A．9．解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．，故本选项不符合题意；故选：B．10．解：2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）＝2（a2﹣1）（x﹣y）＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）＝2（x﹣y）（a+1）（a﹣1）结果呈现的密码信息可能是：我爱定西故选：A．二、填空题11．解：原式＝﹣n（m2﹣6m+9）＝﹣n（m﹣3）2．故答案为：﹣n（m﹣3）2．12．解：0.000000102＝1.02×10﹣7．故答案为：1.02×10﹣713．解：（18a3﹣9a2﹣3a）÷3a＝18a3÷3a﹣9a2÷3a﹣3a÷3a＝6a2﹣3a﹣1．故答案为：6a2﹣3a﹣1．14．解：x2﹣6x+k＝x2﹣2×3x+k∴k＝32＝9．故答案为：9．15．解：（a+b）0＝1，系数为1，20＝1（a+b）1＝a+b，系数和为2，21＝2（a+b）2＝a2+2ab+b2，系数和为4，22＝4（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，系数和为8，23＝8..．（a+b）n展开式的系数和为：2n故答案为：2n．三、解答题16．解：（1）由题可得，3m+n＝3m•3n＝ab；（2）由题可得，32m+3n＝32m•33n＝（3m）2•（3n）3＝a2b3；（3）由题可得，32m+33n＝（3m）2+（3n）3＝a2+b3．17．解：（1）原式＝﹣9+1+8+3＝3；（2）原式＝3a2﹣3ab+ab﹣b2+2ab＝3a2﹣b2．18．解：原式＝（﹣x9y12+x3y6）÷（﹣x3y6）＝x6y6﹣当x＝﹣2，y＝时，原式＝1﹣＝．19．解：（1）2x2y+4xy2+2y3＝2y（x2+2xy+y2）＝2y（x+y）2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．20．解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25∴ab＝＝＝＝12；（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：+a2﹣＝＝∴当a+b＝8，ab＝15时图3中阴影部分的面积为：＝＝．21．解：（1）a3+b3＝a3+a2b﹣a2b+b3＝（a3+a2b）﹣（a2b﹣b3）＝a2（a+b）﹣b（a2﹣b2）＝a2（a+b）﹣b（a+b）（a﹣b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；（2）∵a+b＝2，ab＝﹣4∴（a+b）2＝4∴a2+b2+2ab＝4∴a2+b2＝12∴a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2×[12﹣（﹣4）]＝2×16＝32．。
苏教版七年级数学下册第九章《整式乘法与因式分解》压轴题专题训练 含答案
苏教版七年级数学下册第九章《整式乘法与因式分解》压轴题专题训练一、选择题1.已知x−y=3，xy=1，则x2+y2=()A. 5B. 7C. 9D. 112.如果4x2−kx+25是一个完全平方式，那么k的值是()A. 10B. ±10C. 20D. ±20多项式8x m y n−1−12x3m y n的公因式是()A. x m y n B. x m y n−1 C.4x m y n D. 4x m y n−13.因式分解正确的是()A. 4x2−16=(2x+4)(2x−4)B. (x2+4)2−16x2=(x+2)2(x2+4−4x)C. −x2+2xy−y2=(x−y)2D. x2−y2+2y−1=(x+y−1)(x−y+1)4.已知x+1x =6，则x2+1x2=()A. 38B. 36C. 34D. 325.若(y+2)(y−5)=y2−my−10，则m的值为()A. 3B. −3C. 7D. −76.在(x+2)(x+22)(x+23)…(x+25)的乘积中，含x4项的系数为()A. 62B. 126C. 254D. 2127.已知x2+x+1=0，则x2019+x2018+x2017+⋯+x+1的值是()A. 0B. 1C. −1D. 2二、填空题8.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2，3，4…)的展开式的系数规律(按n的次数由大到小的顺序)：请依据上述规律，写出(x−2x)2016展开式中含x2014项的系数是______ ．9.若二次三项式x2−px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值是__________．10.已知a2+ab+b2=7，a2−ab+b2=9，则(a+b)2=______．11.已知a(a−1)−(a2−b)=1，求12(a2+b2)−ab的值______．12.设S=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)，则S+1=______．13.x2+1x2=4，则x+1x的值为______ ．14.在(x−1)(ax3+3x2−bx+1)的运算结果中不含x3，且x2的系数是−2，那么a=______ ，b=______ ．15.若四位数的各个数位上的数字具有如下特征：个位数是其余各个位上的数字之和，则称该四位数是和谐数，如2013满足3=2+0+1，则2013是和谐数，又如2015不是和谐数，因为5≠2+0+1，那么在大于1000且小于2025的所有四位数中，和谐数的个数有______ 个．三、解答题16.回答下列问题(1)填空：x2+1x2=(x+1x)2−______=(x−1x)2+______(2)若a+1a =5，则a2+1a2=______；(3)若a2−3a+1=0，求a2+1a2的值．17.简便计算：1.992+1.99×0.01．18.探索题：(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1．根据前面的规律，回答下列问题：(1)(x−1)(x n+x n−1+x n−2+⋅⋅⋅+x3+x2+x+1)=______；(2)当x=3时，(3−1)(32017+32016+32015+...+33+32+3+1)=_____________；(3)求：22014+22013+22012+⋅⋅⋅+23+22+2+1的值；(请写出解题过程)(4)求22016+22015+22014+⋅⋅⋅+23+22+2+1的值的个位数字.(只写出答案)19.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.请解答下问题：(1)写出图2中所表示的数学等式______；(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值；(3)小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？(4)小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(25a+7b)(2a+5b)长方形，求9x+10y+6．20.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若，求满足D(m)是完全平方数的所有m．四位数m为“极数”，记D(m)=m3321.图(1)是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图(2)的形状拼成一个正方形．(1)你认为图(2)中阴影部分的正方形的边长等于多少？______ ；(2)请用两种不同的方法求图(2)中阴影部分面积．方法一：______ ；方法二：______ ；(3)观察图(2)，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，(m−n)2，4mn．______ ；(4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求(a−b)2的值．22.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．(1)28和2016这两个数是“和谐数”吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？23.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q(p,q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n的最佳分解．并规定：F(n)=p q.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12−1>6−2>4−3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)=3．4(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)=1；(2)如果一个两位正整数t，t=10x+y(1≤x≤y≤9,x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．答案1.D解：∵x−y=3，xy=1，∴(x−y)2=x2+y2−2xy，∴9=x2+y2−2，∴x2+y2=11．2.D解：−kx=±2×2x×5，则k=±20．3.D解：根据找公因式的方法，可得8x m y n−1、−12x3m y n的各项整数系数的最大公约数为4，各项的相同字母为x、y，且x的最小指数m，y的最小指数n−1，所以多项式8x m y n−1−12x3m y n的公因式是4x m y n−1，4.D解：A、原式=4(x2−4)=4(x+2)(x−2)，错误；B、原式=(x2+4+4x)(x2+4−4x)=(x+2)2(x−2)2，错误；C、原式=−(x2−2xy+y2)=−(x−y)2，错误；D、原式=x2−(y2−2y+1)=x2−(y−1)2=(x+y−1)(x−y+1)，正确，5.C解：把x+1x =6两边平方得：(x+1x)2=x2+1x2+2=36，则x2+1x2=34，6.A解：(y+2)(y−5) =y2−5y+2y−10 =y2−3y−10，∵(y+2)(y−5)=y2−my−10，∴m=3，7.A解：含x4的项是由(x+2)(x+22)(x+23)…(x+25)的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4的项的系数是2+22+23+24+25=62．8.B解：因为x2+x+1=0，所以原式=x2007(x2+x+1)+x2004(x2+x+1)+⋯…+x(x2+x+1)+1=1．9.−4032)2016展开式中含x2014项的系数，解：(x−2x根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即−2016×2=−4032．10.5，−5，7，−7解：若二次三项式x2−px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值为5，−5，7，−7，11.6解：∵a2+ab+b2=7①，a2−ab+b2=9②，∴①+②得：2(a2+b2)=16，即a2+b2=8，①−②得：2ab=−2，即ab=−1，则原式=a2+b2+2ab=8−2=6，12.12解：∵a(a−1)−(a2−b)=a2−a−a2+b=1，∴a−b=−1，则原式=12(a2+b2−2ab)=12(a−b)2=12．13.232解：S=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)=(2−1)×(2+1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216) =(22−1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)=232−1，故S+1=232．14.±√6解：∵x2+1x2=4，∴(x+1x )2=x2+1x2+2=4+2=6，则x+1x=±√6，15.3；−1解：(x−1)(ax3+3x2−bx+1)=ax4+3x3−bx2+x−ax3−3x2+bx−1=ax4+(3−a)x3+(−b−3)x2+(1+b)x−1，∵在(x−1)(ax3+3x2−bx+1)的运算结果中不含x3，且x2的系数是−2，∴3−a=0，−b−3=−2，解得：a=3，b=−1，16.48解：个位数为1：1001，合计1个数；个位数为2：1012、1102，2002，合计3个数；个位数为3：1023、1203、1113、2013，合计4个数；个位数为4：1034、1304、1214、1124、2024，合计5个数；个位数为5：1045、1405、1135、1315、1225，合计5个数；个位数为6：1056、1506、1146、1416、1236、1326，合计6个数；个位数为7：1067、1607、1157、1517、1247、1427，1337，合计7个数；个位数为8：1078、1708、1168、1618、1258、1528，1348、1438，合计8个数；个位数为9：1089、1809、1179、1719、1269、1629、1359、1539、1449，合计9个数；1+3+4+5+5+6=7+8+9=48，所以在大于1000且小于2025的所有四位数中，和谐数的个数有48个．17.(1)2；2(2)23(3)∵a2−3a+1=0两边同除a得：a−3+1a=0，移向得：a+1a=3，∴a2+1a2=(a+1a)2−2=7．解：(1)2、2．(2)23．18.解：1.992+1.99×0.01=1.99×(1.99+0.01)=3.98．19.解：(1)x n+1−1；(2)32018−1；(3)原式=(2−1)(22014+22013+22012+⋯+23+22+2+1)=22015−1；(4)1．解：(1)(x−1)(x n+x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1)=x n+1−1，故答案为x n+1−1；(2)当x=3时，(3−1)(32017+32016+32015+⋯+33+32+3+1)=32018−1，故答案为32018−1；(3)见答案；(4)22016+22015+22014+⋯+23+22+2+1=(2−1)(22016+22015+22014+⋯+ 23+22+2+1)=22017−1，21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．2017÷4=504…1，所以22017的末尾数字是2，22017−1的末尾数字是1．故答案为1．20.(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；(2)由(1)可知：a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=92−26×2=81−52=29．(3)长方形的面积=2a2+5ab+3b2=(2a+3b)(a+b)．所以长方形的边长为2a+3b和a+b，所以较长的一边长为2a+3b．(4)∵长方形的面积=xa2+yb2+zab=(25a+7b)(2a+5b)=50a2+14ab+125ab+35b2=50a2+139ab+35b2，∴x=50，y=35，z=139．∴9x+10y+6=450+350+6=806．解：(1)正方形的面积可表示为=(a+b+c)2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．21.解：(1)根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，(x是0到9的整数，y是0到8的整数)∴百位数字为(9−x)，千位数字为(9−y)，∴四位数n为：1000(9−y)+100(9−x)+10y+x=9900−990y−99x=99(100−10y−x)，∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100−10y−x是整数，∴99(100−10y−x)是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；(2)设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，(x是0到9的整数，y是0到8的整数)∴m=99(100−10y−x)，∵m是四位数，∴m=99(100−10y−x)是四位数，即1000≤99(100−10y−x)<10000，∵D(m)=m=3(100−10y−x)，33≤3(100−10y−x)≤303∴301033∵D(m)完全平方数，∴3(100−10y−x)既是3的倍数也是完全平方数，∴3(100−10y−x)只有36，81，144，225这四种可能，∴D(m)是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．22.(1)m−n；(2)(m−n)2；(m+n)2−4mn；(3)(m+n)2−4mn=(m−n)2；(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×5=29．23.解：(1)∵28=82−62，∴28是“和谐数”∵2016不能表示成两个连续偶数的平方差∴2016不是“和谐数”；(2)(2k+2)2−(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2−2k)=2(4k+2)=4(2k+1)，∵k为非负整数，∴2k+1一定为正整数，∴4(2k+1)一定能被4整除，即由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．24.解：(1)对任意一个完全平方数m，设m=n2(n为正整数)，∵|n−n|=0，∴n×n是m的最佳分解，=1；∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)=nn(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′−t=(10y+x)−(10x+y)=9(y−x)=18，∴y=x+2，∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F(13)=113，F(24)=46=23，F(35)=57，F(46)=223，F(57)=319，F(68)=417，F(79)=179，∵57>23>417>319>223>113>179，∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是57．。
苏科版七年级数学下册第9章 整式乘法与因式分解 单元测试题(含答案)
苏科版七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解单元测试题（含答案）一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．计算－a(a2＋2)的结果是( )A．－2a3－a B．－2a3＋aC．－a3－2a D．－a3＋2a2．下列运算正确的是( )A．(x3)3＝x9B．(－2x)3＝－6x3C．2x2－x＝xD．x6÷x3＝x23．下列分解因式正确的是( )A．3x2－6x＝x(x－6)B．－a2＋b2＝(b＋a)(b－a)C．4x2－y2＝(4x－y)(4x＋y)D．4x2－2xy＋y2＝(2x－y)24．若多项式x2＋kx－24可以分解因式为(x－3)·(x＋8)，则k的值为( ) A．5 B．－5C．11 D．－115．若多项式x2＋x＋b与多项式x2－ax－2的乘积中不含x2和x3项，则－2⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －b 32的值是( ) A ．－8 B ．－4 C ．0 D ．－496．已知有理数a ，b 满足a ＋b ＝2，ab ＝34，则a －b ＝( ) A ．1 B ．－52 C ．±1 D ．±527．若x －y ＋3＝0，则x (x －4y )＋y (2x ＋y )的值为( )A ．9B ．－9C ．3D ．－3二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)8．计算x ·2x 2的结果是________．9．计算(x ＋1)(2x －3)的结果为________．10．分解因式：a 3－10a 2＋25a ＝________．11．若(x －3y )2＝(x ＋3y )2＋M ，则M ＝________．12．若三角形的一边长为2a ＋1，这边上的高为2a －1，则此三角形的面积为________．13．如果4x 2－mxy ＋9y 2是一个完全平方式，那么m ＝________．14．三种不同类型的地砖的长、宽如图9－Z －1所示，若现有A 型地砖4块，B 型地砖4块，C 型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块________型地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m ，n 的恒等式为____________________．图9－Z－1 三、解答题(共44分)15．(12分)计算：(1)(－10xy3)·2xy4z；(2)(－4x)(2x2－2x－1);(3)0.4x 2y ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12xy 2－(－2x )3·xy 3；(4)－3a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13b 2－2a ＋2b (a 2－ab )－2a 2(b ＋3)．16．(6分)利用乘法公式计算：20192－2019×38＋192.（a＋b）2－（a－b）2·a，其中a＝－1，b＝17．(6分)先化简，再求值：[]5.18．(10分)已知A＝x－y＋1，B＝x＋y＋1，C＝(x＋y)(x－y)＋2x，两名同学对x，y分别取了不同的值，求出的A，B，C的值不同，但A×B－C的值却总是一样的．因此两名同学得出结论：无论x，y取何值，A×B－C的值都不发生变化．你认为这个结论正确吗？请你说明理由．19．(10分)先阅读，再分解因式．把a2－2ab＋b2－c2分解因式．解：原式＝(a2－2ab＋b2)－c2＝(a－b)2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)．请你仔细阅读上述解法后，把下面的多项式分解因式：(1)9x2－6xy＋y2－a2；(2)16－a2－b2＋2ab.教师详解详析1．C2．A [解析] A项正确；B项，(－2x)3＝－8x3，所以错误；C项，2x2和－x 不是同类项，不能合并；D项，x6÷x3＝x3，所以错误．3．B4．A [解析] 由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24，根据对应项系数相等，得k＝5.5．C6．C7．A [解析] 由x－y＋3＝0，得x－y＝－3，则x(x－4y)＋y(2x＋y)＝x2－4xy＋2xy＋y2＝x2－2xy＋y2＝(x－y)2＝(－3)2＝9.故选A.8．2x39．2x2－x－3 [解析] (x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3.10．a(a－5)211．－12xy[解析] M＝(x－3y)2－(x＋3y)2＝x2－6xy＋9y2－x2－6xy－9y2＝－12xy.12．2a2－12[解析] 由题意，得12(2a＋1)·(2a－1)＝12(4a2－1)＝2a2－12.13．±1214．C (2m＋n)2＝4m2＋4mn＋n2[解析] 用4块A型地砖，4块B型地砖，2块C型地砖拼成的图形面积为4m2＋4mn＋2n2，因为拼成的图形是一个正方形，所以所拼图形面积的代数式是完全平方式，而4m2＋4mn＋n2＝(2m＋n)2，所以应去掉1块C型地砖．15．解：(1)原式＝(－10)×2·(x·x)·(y3·y4)·z＝－20x2y7z. (2)原式＝(－4x)·2x2－(－4x)·2x－(－4x)＝－8x3＋8x2＋4x.(3)原式＝25x2y·14x2y2－(－8x3)·xy3＝110x4y3＋8x4y3＝8110x4y3.(4) 原式＝－ab2＋6a2＋2a2b－2ab2－2a2b－6a2＝－3ab2.[点评] (1)单项式与单项式相乘时，凡在单项式中出现过的字母，在结果中必须都有，不能漏掉；(2)遵照运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项．16．解：20192－2019×38＋192＝20192－2×2019×19＋192＝(2019－19)2＝20002＝4000000.17．解：[(a＋b)2－(a－b)2]·a＝(a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2)·a＝4ab·a＝4a2b.当a＝－1，b＝5时，原式＝4×(－1)2×5＝20.18．[解析] 先计算A×B－C，根据整式的运算法则，A×B－C的结果中不含x，y，故其值与x，y的取值无关．解：正确．理由：A×B－C＝(x－y＋1)(x＋y＋1)－[]（x＋y）（x－y）＋2x ＝(x＋1－y)(x＋1＋y)－(x2－y2＋2x)＝x2＋2x＋1－y2－x2＋y2－2x＝1，所以A×B－C的值与x，y的取值无关．19．解：(1)原式＝(9x2－6xy＋y2)－a2＝(3x－y)2－a2＝(3x－y＋a)(3x－y－a)．(2)原式＝16－(a2＋b2－2ab)＝42－(a－b)2＝(4－a＋b)(4＋a－b)．。
苏教版七年级数学下册第9章《整式乘法与因式分解》单元试卷(含答案解析)
第9章《整式乘法与因式分解》单元测试卷考试时间：100分钟；满分：100分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若（2xy2）3•（x m y n）2＝x7y8，则（）A．m＝4，n＝2B．m＝3，n＝3C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1 2．下列各式从左到右是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2+1＝x（x+）C．x2﹣5x+7＝x（x﹣5）+7D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）23．将下列多项式因式分解，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2D．x2﹣2x+14．已知xy2＝﹣2，则﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）的值为（）A．2B．6C．10D．145．将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（）A．A、（a+3）2﹣14B．（a﹣3）2﹣14C．（a+3）2+4D．（a﹣3）2+46．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b （x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱美7．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（）A．4x2﹣x+1B．x2﹣x+1C．﹣12x4+3x3﹣3x2D．无法确定8．M＝（a+b）（a﹣2b），N＝b（a﹣3b）（其中a≠b），则M，N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定9．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．a2﹣b2B．（a﹣b）2C．（a+b）2D．ab10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过220的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．3014B．3024C．3034D．3044二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．计算（﹣2x）（x3﹣x+1）＝．12．若ab＝﹣3，a﹣2b＝5，则a2b﹣2ab2的值是．13．计算：40372﹣8072×2019＝．14．如图，某居民小区有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一个雕塑，底座是边长为（a+b）米的正方形．绿化的面积是多少平方米．15．若a＝2017x+2019，b＝2017x+2019，c＝2017x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝．16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图表格，此表揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…根据以上规律，（a+b）5展开的结果为．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）分解因式：（1）﹣x2﹣4y2+4xy（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）18．（8分）已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20．（1）求xy的值；（2）求x2+y2+4xy的值．19．（8分）（1）用乘法公式计算：；（2）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x＝．20．（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，…，因此12，20，28都是奇巧数．（1）36，50是奇巧数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数吗？为什么？21．（10分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？22．（10分）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．答案与解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若（2xy2）3•（x m y n）2＝x7y8，则（）A．m＝4，n＝2B．m＝3，n＝3C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1【分析】直接利用积的乘方运算法则进而得出m，n的值．【答案】解：∵（2xy2）3•（x m y n）2＝x7y8，∴8x3y6•x2m y2n＝x7y8，则x2m+3y2n+6＝x7y8，∴2m+3＝7，2n+6＝8，解得：m＝2，n＝1，故选：C．【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．下列各式从左到右是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2+1＝x（x+）C．x2﹣5x+7＝x（x﹣5）+7D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2【分析】根据因式分解的意义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个过程叫因式分解）逐个判断即可．【答案】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、等式右边是分式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义是解此题的关键．3．将下列多项式因式分解，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2D．x2﹣2x+1【分析】原式各项分解因式得到结果，即可做出判断．【答案】解：A、原式＝（x+1）（x﹣1），不合题意；B、原式＝（x﹣1）（x﹣2），不合题意；C、原式不能分解，符合题意；D、原式＝（x﹣1）2，不合题意，故选：C．【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．已知xy2＝﹣2，则﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）的值为（）A．2B．6C．10D．14【分析】先利用单项式乘多项式的法则化简，然后运用积的乘方的逆运算整理结果，使其中含有xy2，再整体代入xy2＝﹣2计算即可．【答案】解：∵xy2＝﹣2，∴﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）＝﹣x3y6+x2y4+xy2＝﹣（xy2）3+（xy2）2+xy2＝﹣（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）＝8+4﹣2＝10；故选：C．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，解题的关键是运用积的乘方的逆运算，使化简后的式子中出现xy2的因式．5．将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（）A．A、（a+3）2﹣14B．（a﹣3）2﹣14C．（a+3）2+4D．（a﹣3）2+4【分析】已知多项式配方得到结果，判断即可．【答案】解：根据题意得：a2﹣6a﹣5＝（a2﹣6a+9）﹣14＝（a﹣3）2﹣14，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b （x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱美【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断．【答案】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），信息中的汉字有：华、我、爱、中．所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．7．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（）A．4x2﹣x+1B．x2﹣x+1C．﹣12x4+3x3﹣3x2D．无法确定【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案．【答案】解：x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1，﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2，故选：C．【点睛】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．8．M＝（a+b）（a﹣2b），N＝b（a﹣3b）（其中a≠b），则M，N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定【分析】根据多项式乘以多项式表示出M、N，再利用求差法即可比较大小．【答案】解：M＝（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2N＝b（a﹣3b）＝ab﹣3b2a≠b．M﹣N＝a2﹣ab﹣2b2﹣ab+3b2＝（a﹣b）2＞0．所以M＞N．故选：A．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是求差法比较大小．9．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．a2﹣b2B．（a﹣b）2C．（a+b）2D．ab【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．【答案】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过220的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．3014B．3024C．3034D．3044【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤220，解得n≤27.5，可得在不超过220的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．【答案】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤220，解得n≤27.5，则在不超过220的正整数中，所有“和谐数”之和为：32﹣12+52﹣32+…+552﹣532＝552﹣12＝3025﹣1＝3024．故选：B．【点睛】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．计算（﹣2x）（x3﹣x+1）＝﹣2x4+2x2﹣2x．【分析】根据多项式乘以单项式法则求出即可．【答案】解：（﹣2x）（x3﹣x+1）＝﹣2x4+2x2﹣2x，故答案为：﹣2x4+2x2﹣2x．【点睛】本题考查了多项式乘以单项式，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．12．若ab＝﹣3，a﹣2b＝5，则a2b﹣2ab2的值是﹣15．【分析】直接利用提取公因式法将原式变形进而计算得出答案．【答案】解：∵ab＝﹣3，a﹣2b＝5，∴a2b﹣2ab2＝ab（a﹣2b）＝﹣3×5＝﹣15．故答案为：﹣15．【点睛】此题主要考查了提取公因式法，正确分解因式是解题关键．13．计算：40372﹣8072×2019＝1．【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果．【答案】解：原式＝40372﹣2×4036×2019＝40372﹣4036×4038＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）＝40372﹣（40372﹣1）＝1故答案为：1【点睛】本题考查了因式分解的提公因式法，把8072×2019变为4038×4036，套用平方差公式是解本题的关键．14．如图，某居民小区有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一个雕塑，底座是边长为（a+b）米的正方形．绿化的面积是多少平方米5a2+3ab．【分析】先根据图形列出算式，再根据多项式乘以多项式和乘法公式算乘法，最后合并同类项即可．【答案】解：绿化的面积是（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab，故答案为：5a2+3ab．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式的乘法，列代数式等知识点，能正确根据运算法则进行计算是解此题的关键．15．若a＝2017x+2019，b＝2017x+2019，c＝2017x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．【分析】a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝（a﹣b）2+（a ﹣c）2+（b﹣c）2，即可求解．【答案】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝3，故答案为3．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式平方差的形式，是解题的关键．16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图表格，此表揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…根据以上规律，（a+b）5展开的结果为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．【分析】通过观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）5的各项系数分别为1、（1+4）、（4+6）、（6+4）、（4+1）、1，解答即可．【答案】解：根据题意知，（a+b）5的各项系数分别为1、（1+4）、（4+6）、（6+4）、（4+1）、1，即：1、5、10、10、5、1，∴（a+b）5展开的结果为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．【点睛】本题考查了完全平方公式的推广，要注意寻找题中的关键着眼点是：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）分解因式：（1）﹣x2﹣4y2+4xy（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，利用平方差公式分解即可．【答案】解：（1）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2；（2）原式＝x2﹣2x+1+2x﹣10＝x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（8分）已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20．（1）求xy的值；（2）求x2+y2+4xy的值．【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x+y＝3代入，即可求出答案；（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【答案】解：（1）∵x+y＝3，（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20，∴xy+3×3+9＝20，∴xy＝2；（2）∵x+y＝3，xy＝2，∴x2+y2+4xy＝（x+y）2+2xy＝32+2×2＝13．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．19．（8分）（1）用乘法公式计算：；（2）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x＝．【分析】（1）原式分母变形后，利用完全平方公式化简，合并后约分即可得到结果；（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【答案】解：（1）原式＝＝＝＝；（2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（9x2﹣1）+5x2﹣5x＝4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x＝﹣9x+2，当x＝时，原式＝﹣+2＝﹣．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，…，因此12，20，28都是奇巧数．（1）36，50是奇巧数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数吗？为什么？【分析】（1）由题意得36＝102﹣82，再设两个连续偶数为m，m+2（n为偶数），确定50不是奇巧数．（2）由（2n+2）2﹣（2n）2＝4n2+8n+4﹣4n2＝8n+4＝4（2n+1）可求解．【答案】解：（1）∵36＝102﹣82，∴36是奇巧数．设两个连续偶数为m，m+2（n为偶数），则（m+2）2﹣m2＝50，解得m＝11.5（不符合题意）∴50不是奇巧数．（2）是．理由如下：∵（2n+2）2﹣（2n）2＝4n2+8n+4﹣4n2＝8n+4＝4（2n+1），∴这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数．【点睛】本题考查因式分解的应用；能够理解题意，将所求问题转化为恰当的代数式并进行正确的因式分解是解题的关键．21．（10分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b），然后运算多项式乘多项式法则求得（5a+8b）（7a+4b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．【答案】解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣47×2＝50．（3）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b）＝35a2+76ab+32b2，∴x＝35，y＝32，z＝76，∴x+y+z＝143．答：那么他总共需要143张纸片．【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．22．（10分）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝（m+1）（m﹣5）．（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答．【答案】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．故答案为（m+1）（m﹣5）；（2）2a2+3b2﹣4a+12b+18＝2（a2﹣2a）+3（b2+4b）+18＝2（a2﹣2a+1）+3（b2+4b+4）+4＝2（a﹣1）2+3（b+2）2+4，当a＝1，b＝﹣2时，2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，最小值为4；（3）∵a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27＝a2﹣4a（b+1）+4（b+1）2+（b﹣2）2+19＝（a﹣2b﹣2）2+（b﹣2）2+19，∴当a＝6，b＝2时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值19．【点睛】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．。
七年级数学下册第9章《整式乘法与因式分解》精选好题(含答案)
第9章《整式乘法与因式分解》易错疑难易错点1 多项式乘以多项式时，首项与首项相乘，尾项与尾项相乘1.计算：(5)(7)x y x y +-易错点2 平方差公式结构特点模糊2. (3)(3)m n m n +--3. 计算：(2)(2)x y x y +-4. 计算：(23)(23)a b c a b c +---易错点3 运用完全平方公式时，不能正确区分符号特征5. 计算：2(4)a b -易错点4 运用完全平方公式时，丢掉中间乘积项或漏了中间项的系数“2”6. 计算：2(3)x y +易错点5 因式分解的结果不是积的形式7. 分解因式：236a ab a -+易错点6 因式分解的结果中不都是整式8. 分解因式：3x x -易错点7 混淆因式分解和整式的乘法9. 分解因式：22(35)(53)x y x y +-+易错点8 因式分解不彻底10. 分解因式：325()10()x y x y -+-11. 把42816x x -+分解因式易错点9 因式分解的结果非最简12.分解因式：2()()xy x y x x y ---疑难点1 乘法公式的应用1.试说明: 32(7)(5)n n +-- (n 为正整数)能被24整除.2.计算:248163(31)(31)(31)(31)(31)++++++疑难点2 利用因式分解求代数式的值3.(1)若27a ab m +=+，29b ab m +=-，求a b +的值;(2)若x y ≠，且220x x y -+=，220y y x -+=，求x y +的值.4.先化简，再求值:2222(2)(44)(2)(44)a b a ab b a b a ab b +-+-++，其中2a =，3b =.疑难点3 有关规律、创新型题目5.给出下列算式: 2231881-==⨯，22531682-==⨯，22752483-==⨯，22973284-==⨯………(1)观察上面一列式子你能发现什么规律?用含n (n 为正整数)的式子将规律表示出来.(2)根据你发现的规律求2220172015-的值.6.若x 满足(9)(4)4x x --=，求22(4)(9)x x -+-的值.【解析】设9x a -=，4x b -=则(9)(4)4x x ab --==，(9)(4)5a b x x +=-+-=所以222222(4)(9)()252417x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面问题:(1)若x 满足(5)(2)2x x --=，求22(5)(2)x x -+-的值;(2)如图，已知正方形ABCD 的边长为x ，E 、F 分别是AD 、DC 上的点，且1AE =，3CF =，长方形EMFD 的面积是48，以MF 为边作正方形MFRN ，求阴影部分的面积.参考答案易错1.(5)(7)x y x y +-227535x xy xy y =-+-22235x xy y =--2. (3)(3)m n m n +--(3)[(3)]m n m n =+-+2(3)m n =-+2269m mn n =---3.(2)(2)x y x y +-22(2)x y =-224x y =-4. (23)(23)a b c a b c +--- [(3)2][(3)2]a c b a c b =-+--22(3)(2)a c b =--222694a ac c b =-+-5. 2(4)a b - 2224(4)a a b b =-+22816a ab b =-+6.2(3)x y +2223(3)x x y y =++2269x xy y =++7. 236a ab a -+ (361)a a b =-+8. 3x x - 2(1)x x =-(1)(1)x x x =+-9. 22(35)(53)x y x y +-+[(35)(53)][(35)(53)]x y x y x y x y =++++-+(88)(22)x y x y =+-+16()()x y x y =-+-10. 325()10()x y x y -+-25()(2)x y x y =--+11. 42816x x -+222()2416x x =-+22(4)x =-22(2)(2)x x =+-12.2()()xy x y x x y ---()(2)x x y y x =--疑难1. 32(7)(5)n n +-- (75)(75)n n n n =++-+-+(22)12n =+⨯24(1)n =+因为n 为正整数所以32(7)(5)n n +--能被24整除2. 248163(31)(31)(31)(31)(31)++++++ 24816(31)(31)(31)(31)(31)(31)331-+++++=+- 224816(31)(31)(31)(31)(31)32-++++=+ 44816(31)(31)(31)(31)32-+++=+ 8816(31)(31)(31)32-++=+ 1616(31)(31)32-+=+323132-=+ 325322=+ 3. (1)因为27a ab m +=+，29b ab m +=-所以2279a ab b ab m m +++=++-所以2()16a b +=所以4a b +=±(2)因为220x x y -+=，220y y x -+=所以222(2)0x x y y y x -+--+= 22330x y x y --+=()()3()0x y x y x y +---=()(3)0x y x y -+-=因为x y ≠所以30x y +-=所以3x y +=4. 2222(2)(44)(2)(44)a b a ab b a b a ab b +-+-++ 2222(2)(44)(2)(44)a b a ab b a b a ab b =+-+-++ 22(2)(2)(2)(2)a b a b a b a b =+--+3[(2)(2)]a b a b =+-223(4)a b =-当2a =，3b =时原式223(423)343=⨯-=5. (1) 规律：相邻两奇数的平方差是8的整数倍用含n 的式子表示为22(21)(21)8n n n +--=(n 为正整数)(2) 2220172015810088064-=⨯=6. (1)设5,2x a x b -=-=则(5)(2)2x x ab --== (5)(2)3a b x x +=-+-=所以22(5)(2)x x -+- 22a b =+2()2a b ab =+-2322=-⨯5=(2)因为正方形ABCD 的边长为x ，1AE =，3CF = 所以1,3MF DE x DF x ==-=-所以(1)(3)48x x --=又(1)(3)2x x ---=所以阴影部分的面积2222(1)(3)MF DF x x =-=--- 设1x a -=，3x b -=则(1)(3)48x x ab --==，(1)(3)2a b x x -=---= 所以22()()4196a b a b ab +=-+=所以14a b +=所以22(1)(3)x x --- 22a b =-()()a b a b =+-142=⨯28=所以阴影部分的面积为28。
七年级数学下册-第9章 整式乘法与因式分解(16个考点60题)强化训练(解析版)
第9章整式乘法与因式分解（16个考点60题）强化训练一．单项式乘单项式（共3小题）二．单项式乘多项式（共3小题）三．多项式乘多项式（共7小题）四．完全平方公式（共6小题）五．完全平方公式的几何背景（共5小题）六．完全平方式（共3小题）七．平方差公式（共5小题）八．平方差公式的几何背景（共3小题）九．整式的除法（共3小题）十．整式的混合运算（共5小题）十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）十二．因式分解的意义（共3小题）十三．因式分解-提公因式法（共1小题）十四．因式分解-运用公式法（共2小题）十五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）十六．因式分解的应用（共4小题）一．单项式乘单项式（共3小题）1．（2023春•玄武区期中）计算23x x ⋅的结果是()A ．5xB ．6xC ．25xD ．26x 【分析】利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可得到正确的答案．【解答】解：2236x x x ⋅=．故选：D ．【点评】本题考查了单项式乘单项式的运算，单项式乘以单项式就是将系数相乘作为结果的系数，相同字母相乘作为结果的因式．2．（2023春•高港区期中）计算：162a ab ⋅=．【分析】根据单项式乘单项式即可求出答案．【解答】解：原式23a b =，故答案为：23a b ，【点评】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是熟练运用单项式乘单项式运算法则，本题属于基础题型．3．（2023春•丹阳市期中）24(a b ⋅43)8a b =．【分析】根据乘法与除法互为逆运算解答即可．【解答】解：43222842a b a b a b ÷=．故答案为：222a b ．【点评】本题考查了单项式与单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．二．单项式乘多项式（共3小题）4．（2023春•溧阳市期末）计算：3(2)a a b -=．【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．【解答】解：23(2)63a a b a ab -=-．故答案为：263a ab -．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．（2023春•铜山区期中）计算：232(3)x x -=．【分析】根据单项式乘单项式的法则：系数的积作为积的系数，同底数的幂分别相乘也作为积的一个因式，进行计算即可．【解答】解：232(3)x x - 23(23)x x =-⨯ 56x =-．故答案为：56x -．【点评】本题考查了单项式乘单项式法则的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和计算能力，题目比较好，难度不大．6．（2023春•东海县期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A ，B 是两个关于x ，y 的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：（1）多项式A 为，多项式B 为，例题的化简结果为；（2）求多项式A 与B 的积．【分析】（1）根据单项式与多项乘法的逆运算可得A 和B ，然后合并同类项可得答案；（2）直接根据单项式乘多项式计算即可．【解答】解：（1）2A x y =+，2B x y =-，原式22242xy y x xy=++-224y x =+，故答案为：2x y +；2x y -；224y x +．（2）A B ⋅(2)(2)x y x y =+⋅-22(2)x y =-224x y =-．【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的方法是关键．三．多项式乘多项式（共7小题）7．（2023春•梁溪区校级期中）要使2(2)(1)x x ax +--的展开式中不含2x 项，则a 的值为()A ．2-B ．2C ．0D ．3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含2x 项的系数为零，进而得出答案．【解答】解：2(2)(1)x x ax +--32(2)22x a x x ax =+----32(2)(12)2x a x a x =+--+-，2(2)(1)x x ax +-- 的展开式中不含2x 项，20a ∴-=，解得：2a =．故选：B ．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2023春•苏州期中）已知250a a +-=，代数式2(5)(1)a a -+的值是()A ．4B ．5-C ．5D ．4-【分析】先根据250a a +-=得到25a a -=-，再把25a a -=-整体代入，即可求解．【解答】解：250a a +-= ，25a a ∴-=-，25a a +=，2(5)(1)a a ∴-+(1)a a =-+2a a=--2()a a =-+5=-．故选：B ．【点评】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键．9．（2023春•淮安区校级期末）如图，有A 、B 、C 三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为(32)a b +，宽为(2)a b +的大长方形，则需要A 类、B 类、C 类卡片的张数分别为()A ．5、3、6B ．6、3、7C ．6、2、7D ．5、2、6【分析】利用长方形面积列出式子，展开，找到不同卡片面积对应的系数，就是各自卡片的数量．【解答】解：22(32)(2)672a b a b a ab b ++=++，2A S a =，2B S b =，C S ab =，所以2a 、2b 、ab 系数分别是6、2、7．故选：C ．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出各类卡片的面积和对应的系数是解题的关键．10．（2023春•秦淮区期中）若2()(2)8x m x x nx -+=+-，则m n -的值是()A ．2B ．2-C ．6-D ．6【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则展开，再根据多项式相等时满足的条件求解即可．【解答】解：22()(2)(2)28x m x x m x m x nx -+=+--=+- ，∴228m n m -=⎧⎨-=-⎩，解得24n m =-⎧⎨=⎩，4(2)6m n ∴-=--=．故选：D ．【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．（2023春•苏州期中）若2()(3)12x m x x nx +-=+-，则n =．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开即可求出m 与n 的值．【解答】解：22()(3)33(3)3x m x x x mx m x m x m +-=-+-=+--，3m n ∴-=，312m =，解得：4m =，1n =，故答案为：1．【点评】本题考查多项式乘以多项式的法则，解题的关键是将左边展开后合并同类项，然后利用待定系数法即可求出m 与n 的值．12．（2023春•鼓楼区校级期中）已知：化简2()(321)x a x x -++的结果中不含2x 项，则常数a 的值是．【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可．【解答】解：232()(321)3(23)(12)x a x x x a x a x a -++=+-+--， 不含2x 项，230a ∴-=，解得23a =．故答案为：23．【点评】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．13．（2023春•玄武区期中）如图，某体育训练基地，有一块长(35)a b -米，宽()a b -米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a 米，宽(2)a b -米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）（1）求长方形游泳池面积；（2）求休息区面积；（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可；（2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可；（3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可．【解答】解：（1）长方形游泳池面积为：(2)a ab -2(2)a ab =-平方米；（2） 长方形空地的面积为：(35)()a b a b --223355a ab ab b =--+22(385)a ab b =-+平方米，∴休息区面积222(385)(2)a ab b a ab =-+--2223852a ab b a ab=-+-+22(265)a ab b =-+平方米；（3）2222222222(265)(2)4544(2)0a ab b a ab a ab b a ab b b a b b -+--=-+=-++=-+> ，∴休息区的面积大于游泳池面积．【点评】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键．四．完全平方公式（共6小题）14．（2023春•苏州月考）下列等式能够成立的是()A ．222()x y x xy y -=-+B ．222(3)9x y x y +=+C ．22211()24x y x xy y -=-+D ．2(9)(9)9m m m -+=-【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A 、原式222x xy y =-+，错误；B 、222(3)69x y x xy y +=++，错误；C 、原式2214x xy y =-+，正确；D 、原式281m =-，错误，故选：C ．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（2023春•玄武区期中）若2()1a b -=，2()1b c -=，则2()c a -的值是()A ．0B ．4C ．0或4D ．2或4【分析】由2()1a b -=，2()1b c -=得到1a b -=±，1b c -=±得到0c a -=或2±，然后利用整体思想计算即可．【解答】解：2()1a b -= ，2()1b c -=，1a b ∴-=±，1b c -=±，0c a ∴-=或2±，2()0c a ∴-=或4．故选：C ．【点评】本题考查了完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．也考查了整体思想的运用．16．（2023春•鼓楼区校级期中）若4a b +=，3ab =-，则2()a b -=．【分析】先把2()a b -变形为2()4a b ab +-，然后把4a b +=，3ab =-代入计算即可．【解答】解：22()()4a b a b ab -=+-，当4a b +=，3ab =-时，原式244(3)28=-⨯-=．故答案为：28．【点评】本题考查了完全平方公式，掌握22()()4a b a b ab -=+-是解题的关键．17．（2023春•泰兴市期末）请从①2()7a b +=，②2()3a b -=，③225a b +=，中任选两个作为条件，求ab 的值．你选择的两项为．（只填序号）【分析】选择①②，利用完全平方公式展开，合并同类项后可求得ab 的值；选择①③或者②③同理．【解答】解：选择的两项为①②，若选择①②，2()7a b += ，2()3a b -=，22()()734a b a b ∴+--=-=，2222224a ab b a ab b ∴++-+-=，44ab ∴=，ab ∴的值为1，故答案为：①②；选择的两项为①③若选择①③，2()7a b += ，225a b +=，222()()752a b a b ∴+-+=-=，222222a ab b a b ∴++--=，22ab ∴=，ab ∴的值为1，故答案为：①③；选择的两项为②③，若选择②③，2()3a b -= ，225a b +=222()()352a b a b ∴--+=-=-，222222a ab b a b ∴-+--=-，22ab ∴-=-，ab ∴的值为1，故答案为：①②（答案不唯一）．【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（2023春•兴化市月考）若5a b +=，3ab =，（1）求22a b +的值；（2）求a b -的值．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）5a b += ，3ab =，2()25a b ∴+=，22225a ab b ∴++=，2225225619a b ab ∴+=-=-=；（2）2219a b += ，3ab =，22213a b ab ∴+-=，2()13a b ∴-=，a b ∴-=【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．19．（2023春•吴江区期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()(n a b n +为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．则10()a b +展开式中所有项的系数和是()A ．2048B ．1024C ．512D ．256【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出()(n a b n +为非负整数）展开式的项系数和为2n ，求出系数之和即可．【解答】解：当0n =时，展开式中所有项的系数和为012=，当1n =时，展开式中所有项的系数和为122=，当2n =时，展开式中所有项的系数和为242=，当3n =时，展开式中所有项的系数和为382=⋯由此可知()n a b +展开式的各项系数之和为2n ，则10()a b +展开式中所有项的系数和是1021024=，故选：B ．【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．五．完全平方公式的几何背景（共5小题）20．（2023春•海州区期中）如图，两个正方形边长分别为a ，b ，已知7a b +=，9ab =，则阴影部分的面积为()A ．10B ．11C ．12D ．13【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为a 的等腰直角三角形面积，再减去边长为a b -和b 的直角三角形面积，即可得221()2a ab b -+，根据完全平方公式的变式应用可得21[()3]2a b ab +-，代入计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，()221122S a a a b b=---阴221()2a ab b =-+21[()3]2a b ab =+-，把7a b +=，9ab =代入上式，则()21739112S =⨯-⨯=阴．故选：B ．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．21．（2023春•沭阳县期末）如图，正方形中阴影部分的面积为()A ．2()a b -B ．22a b -C ．2()a b +D ．22a b +【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出答案．【解答】解：4S S S =-阴影部分大正方形三角形21()42a b ab=+-⨯22a b =+．故选：D ．【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．22．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，通过计算正方形的面积，可以得到的公式是()A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．2()a a b a ab-=+【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示各自的面积，再由面积之间的关系得出答案．【解答】解：这个正方形的边长为a b +，因此面积为2()a b +，组成这个正方形的四个部分的面积分别为2a ，ab ，ab ，2b ，因此有222()2a b a ab b +=++，故选：A ．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的前提．23．（2023春•建邺区校级期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：图1是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完全相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式2()a b +，2()a b -，ab 写出这个等式．（2）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3mn =-，5m n -=，试求2()m n +的值．（3）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设9AB =，两正方形的面积和1251S S +=，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由图2中阴影部分面积的两种不同表示方法可得答案；（2）把3mn =-，5m n -=代入22()()4m n m n mn +=-+进行计算即可；（3）设CF m =，AC n =．则9m n +=，2251m n +=，可得22222()()95130mn m n m n =+-+=-=，再利用阴影部分的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1） 图中阴影部分的面积可表示为：2()4a b ab +-或2()a b -；即有：22()4()a b ab a b +-=-；∴答案为：22()4()a b ab a b +-=-；（2）3mn =- ，5m n -=，222()()451213m n m n mn ∴+=-+=-=．（3）设CF m =，AC n =．则9m n +=，2251m n +=，22222()()95130mn m n m n =+-+=-=，17.52ACF S mn ∆==，即阴影部分的面积为7.5．【点评】本题考查完全平方公式及变形的应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．24．（2023春•铜山区期中）图（1）是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：，②：；（用m 、n 表示）（2）观察图（2），请写出2()m n +、2()m n -、mn 之间的一个等量关系；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若7a b +=，6ab =，求a b -的值．【分析】（1）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二；（2）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；（3）根据（3）中的等量关系，可得答案．【解答】解：（1）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．①：2()m n -；②：2()4m n mn +-；故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-；（2）观察图（2），2()m n +、2()m n -、mm 之间的一个等量关系：22()()4m n m n mn -=+-；故答案为：22()()4m n m n mn -=+-；（3）因为7a b +=，6ab =，所以22()()4a b a b ab-=+-2746=-⨯25=，所以a b -的值是5±．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．六．完全平方式（共3小题）25．（2023春•高邮市期末）下列各式中，为完全平方式的是()A ．2124a a ++B ．214a a ++C ．221x x --D ．22x xy y -+【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【解答】解：2211()42a a a ++=+，故选：B ．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．（2023春•吴江区期中）若二次三项式214x mx ++为完全平方式，则m 的值为()A ．2±B ．2C ．1±D ．1【分析】根据完全平方公式即可求出m 的值，【解答】解：2211(24x x x ±=±+ ，1m ∴=±，故选：C ．【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．27．（2023春•高港区期中）若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是．【分析】根据216x mx ++是一个完全平方式，利用此式首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4积的2倍，进而求出m 的值即可．【解答】解：216x mx ++ 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．【点评】此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．七．平方差公式（共5小题）28．（2023春•睢宁县月考）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是()A ．(37)(37)x y x y +-B ．(5)(5)m n n m --C ．(0.20.3)(0.20.3)x x ---+D ．(3)(3)n mn n mn ---【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．【解答】解：A 、C 、D 选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；B 选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选：B ．【点评】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．29．（2023春•南京期中）若()()a b p q ++能运用平方差公式计算，则p ，q 满足的条件可能是()①p a =，q b =；②p a =，q b =-；③p a =-，q b =；④p a =-，q b =-．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【分析】根据平方差公式的特点进行选项．【解答】解：()()a b p q ++ 能运用平方差公式计算，p a ∴=，q b =-或p a =-，q b =，故选：C ．【点评】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．30．（2023春•工业园区校级月考）若2222(1)(1)35a b a b +++-=，则22(a b +=)A ．3B ．6C ．3±D ．6±【分析】根据平方差公式即可求解．【解答】解：2222(1)(1)35a b a b +++-= ，2222[()1][()1]35a b a b ∴+++-=，222()135a b +-=，222()36a b +=，220a b + ，226a b ∴+=，故选：B ．【点评】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键，运用了整体思想．31．（2023春•玄武区期中）两个连续偶数的平方差一定是()A ．3的倍数B ．4的倍数C ．5的倍数D ．6的倍数【分析】设两个连续的偶数分别是2n ，22n +，根据题意列出等式22(22)(2)844(21)n n n n +-=+=+，即可求解．【解答】解：设两个连续偶数为2n ，22n +，则22(22)(2)n n +-(222)(222)n n n n =+++-(42)2n =+⨯4(21)n =+，因为n 为整数，所以4(21)n +中的21n +是正奇数，所以4(21)n +是4的倍数，故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单．32．（2023春•东海县期中）计算：2202420222023⨯-=．【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：原式2(20231)(20231)2023=+⨯--22202312023=--1=-．故答案为：1-．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．八．平方差公式的几何背景（共3小题）33．（2023春•泗阳县期中）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是()A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()a b a b -=-C ．2()b a b ab b -=-D ．2()ab b b a b -=-【分析】图甲的总面积是长为()a b +，宽为()a b -的大矩形的面积，可表示为：()()a b a b +-，图乙的总面积可以表示边长为a ，与边长为b 的正方形的面积差．【解答】解：22()()a b a b a b +-=-，故选：A ．【点评】考查平方差公式，正确理解平方差公式的几何背景是得出结果的前提．34．（2023春•工业园区期中）如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是()A ．22()()a b a b a b -=+-B ．2()a a b a ab -=-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．2()a a b a ab+=+【分析】根据阴影部分面积的两种不同的计算求解．【解答】解：第一个图中阴影部分的面积为：22a b -，第二个图形中的阴影部分的面积为：()()a b a b +-，故选：A ．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握矩形的面积公式是解题的关键．35．（2023春•建湖县期中）如图，点C 、D 、E 在同一直线上，大正方形ABCD 与小正方形DEFG 的面积之差是60，则由两个三角形(BCG ∆、)BEG ∆组成的阴影部分面积是()A ．60B ．50C ．40D ．30【分析】设大正方形ABCD 的边长为x ，小正方形DEFG 的边长为y ，则BG x y =-，然后表示出阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．【解答】解：设大正方形ABCD 的边长为x ，小正方形DEFG 的边长为y ，则BG x y =-，根据题意得：2260x y -=，则阴影部分的面积为：1122BG CD BG DE ⋅+⋅11()()22x y x x y y =⨯-⋅+-⋅2211112222x xy xy y =-+-221()2x y =-1602=⨯30=故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正方形的性质及三角形面积，关键是正确运用算式表示出阴影部分的面积．九．整式的除法（共3小题）36．（2021春•金坛区期中）计算：22x x ÷=2x ．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：222x x x ÷=．故答案为：2x ．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．37．（2022春•江阴市校级月考）计算：52(2)a a -÷=32；若25m =，26n =，则22m n +=．【分析】根据单项式除单项式和幂的乘方与积的乘方的法则分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：523(2)2a a -÷=-；22222256180m n m n +==⨯= ；故答案为：32-，180．【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，注意指数的变化情况．38．（2021春•邗江区月考）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -÷-=+；32(1)(1)1x x x x -÷-=++；432(1)(1)1x x x x x -÷-=+++；⋯⋯（1）5(1)(1)x x -÷-=4321x x x x ++++；（2）试写出一般情况下(1)(1)n x x -÷-=；（3）根据以上结果计算：236263122222++++⋯++．【分析】（1）直接利用已知中式子变化规律得出答案；（2）结合（1）中规律得出原式8(1)(21)x =-÷-，进而得出答案．【解答】解：（1）5432(1)(1)1x x x x x x -÷-=++++；故答案为：4321x x x x ++++；（2）12(1)(1)1(2n n n x x x x x n ---÷-=++⋯++ 且为正整数）；故答案为：121(2n n x x x n --++⋯++ 且为正整数）；（3）2362636464122222(21)(21)21++++⋯++=-÷-=-．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．十．整式的混合运算（共5小题）39．（2023春•镇江期中）化简：（1）4232()x x x ⋅--；（2）(23)(23)a b a b +-++．【分析】（1）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）4232()x x x ⋅--66x x =-0=；（2）(23)(23)a b a b +-++2(2)9a b =+-22449a ab b =++-．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．40．（2022春•高新区期中）计算：（1）234()(2)(23)a a a a -÷++-．（2）(325)(325)a b a b +--+【分析】（1）先算幂的乘方，多项式乘多项式，再算除法，最后合并同类项即可；（2）可利用平方差公式及完全平方公式对所求的式子进行运算即可．【解答】解：（1）234()(2)(23)a a a a -÷++-6422346a a a a a =-÷+-+-222346a a a a =-+-+-26a a =+-；（2）(325)(325)a b a b +--+[3(25)][3(25)]a b a b =+---22(3)(25)a b =--229(42025)a b b =--+22942025a b b =-+-．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．41．（2023春•鼓楼区校级期中）计算：（1）2423()a a a ⋅+-；（2）2(2)(2)(23)a b a b a b +--+．【分析】（1）根据同底数幂的乘法以及积的乘方进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．【解答】解：（1）2423()a a a ⋅+-66a a =-0=；（2）2(2)(2)(23)a b a b a b +--+222244129a b a ab b =----21012b ab =--．【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及积的乘方，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握以上运算法则与乘法公式是解题的关键．42．（2023春•高港区期中）对于任意有理数a 、b 、c 、d ，我们规定符号(a ，)*(b c ，)1d ab cd =-+，例如：(1，3)*(2，4)134214=⨯-⨯+=-．（1）求(4，3)*(2-，5)的值；（2）若(1m =-，2)*(2a ，1)a -，(21n a =--，23)*(2a a -，2)．①若2210a a +-=，求m 的值；②判断m 、n 的大小，并说明理由．【分析】（1）根据规定符号运算即可；（2）①根据规定符号运算后，整体代入求值即可；②做差法进行比较即可．【解答】解：（1）根据规定符号运算得：(4，3)*(2-，5)43(2)511210123=⨯--⨯+=++=；（2）①2210a a +-= ，221a a ∴+=．(1m =-，2)*(2a ，2221)2(1)123(2)3132a a a a a a a -=---+=--+=-++=-+=，2m =；②(21n a =--，23)*(2a a -，2222)3(21)2(2)163241222a a a a a a a a =----+=---++=--+，2222223(222)2322210m n a a a a a a a a a -=--+---+=--+++-=+>，m n ∴>．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确运用符号规定运算是解答本题的关键．43．（2023春•玄武区校级期中）如图，一个长和宽分别为2x y +，2x y +的长方形中剪下两个大小相同的边长为y 的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T ”型的图形（阴影部分）．（1）用含x ，y 的式子表示“T ”型图形的面积并化简；（2）若2|3|(2)0y x -+-=，请计算“T ”型区域的面积．【分析】（1）根据“T ”型图形的面积等于大长方形的面积减去2个正方形的面积列出代数式，根据多项式的乘法进行计算化简即可；（2）根据非负数的性质求得x ，y 的值，代入（1）中化简结果进行计算即可．【解答】解：（1）由图可得，“T ”型区域的面积为：2(2)(2)2x y x y y ++-2222422x xy xy y y =+++-225x xy =+；（2）2|3|(2)0y x -+-= 30y ∴-=，20x -=，解得3y =，2x =．225T x xy∴=+222523=⨯+⨯⨯24523=⨯+⨯⨯830=+38=，答：“T ”型区域的面积是38．【点评】本题考查整式的混合运算、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）44．（2023春•东海县期中）先化简，再求值：2(2)()()2m n m n m n mn ---++，其中12m =-，2n =．【分析】先展开，再合并同类项，化简后将m ，n 的值代入计算即可．【解答】解：原式222244()2m mn n m n mn=-+--+2222442m mn n m n mn=-+-++252n mn =-，当12m =-，2n =时，原式215(2)2()22=⨯--⨯-⨯542=⨯+202=+22=．【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．45．（2023春•高港区期中）先化简，再求值：2(21)2(2)x x x ---，其中2x =-．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式以及合并同类项法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．【解答】解：原式2222(44)x x x x =---+222288x x x x =--+-78x =-，当2x =-时，原式7(2)822=⨯--=-．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式以及合并同类项法则是解题的关键．46．（2023春•建邺区校级期中）先化简，再求值：2(23)(23)(54)(1)x x x x x +-----，其中2x =-．【分析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将2x =-代入化简后的式子求值即可．【解答】解：2(23)(23)(54)(1)x x x x x +-----222495421x x x x x =--+-+-22610x x =-+-．当2x =-时，原式22(2)6(2)1030=-⨯-+⨯--=-．【点评】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键．47．（2023春•吴江区期中）化简求值：22(2)(3)5()a b a b a a b +--+-，其中715a =，314b =．【分析】原式前两项利用完全平方公式展开，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a 与b 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式22222449655a ab b a ab b a ab=++-+-+-5ab =，当715a =，314b =时，原式731515142=⨯⨯=．【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．十二．因式分解的意义（共3小题）48．（2023春•东海县期中）下列变形是因式分解的是()A ．269(6)9x x x x ++=++B ．22(2)24x x x x +=+C ．2()x xy x x x y ++=+D ．223(3)(1)x x x x --=-+【分析】因式分解就是将一个多项式化为几个整式积的形式，据此进行判断即可．【解答】解：A ．等号右边不是积的形式，不符合因式分解的定义，则A 不符合题意；B ．该式是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，则B 不符合题意；C ．该式的左右两边不相等，不符合因式分解的定义，则C 不符合题意；D ．该式符合因式分解的定义，则D 符合题意；故选：D ．【点评】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．49．（2023春•新吴区期中）已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a ，b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 值的个数有()A ．4个B ．5个C ．8个D ．10个【分析】1611628444(4)2(8)1(16)a b -=-⨯=-⨯=-⨯=⨯-=⨯-=⨯-=⨯，m a b =+，m 的取值有五种可能．【解答】解：1611628444(4)2(8)1(16)a b -=-⨯=-⨯=-⨯=⨯-=⨯-=⨯-=⨯ ，116m a b ∴=+=-+或28-+或44-+或4(4)+-或2(8)+-或1(16)+-，即15m =±或6±或0．则m 的可能值的个数为5，故选：B ．【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．50．（2023春•南京期末）若多项式3228x ax bx ++-有两个因式1x +和2x -，则a b +的值为6-．【分析】根据题意，可得3228(1)(2)(2)(x ax bx x x x k k ++-=+-+为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a 与b ，进一步求得a b +．【解答】解：由题意知：3228(1)(2)(2)(x ax bx x x x k k ++-=+-+为任意实数）．32228(2)(2)x ax bx x x x k ∴++-=--+．3232282(2)(4)2x ax bx x k x k x k ∴++-=+-+---．2k a ∴-=，4k b --=，28k -=-．4k ∴=．2a ∴=，8b =-．286a b ∴+=-=-．故答案为：6-．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键．十三．因式分解-提公因式法（共1小题）51．（2023春•淮安期末）多项式32339a b a bc +分解因式时，应提取的公因式是()A ．323a bB ．329a b cC ．333a bD ．33a b 【分析】公因式的找法：多项式各项系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一项中出现的字母不能作为公因式的因式，判断即可．【解答】解：多项式32339a b a bc +分解因式时，应提取的公因式是33a b ．故选：D ．【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．十四．因式分解-运用公式法（共2小题）52．（2024•裕华区校级开学）若3a b +=，13a b -=，则22a b -的值为()A ．1B ．83C ．103D ．9【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．【解答】解：3a b += ，13a b -=，221313a b ∴-=⨯=．故选：A ．【点评】此题主要考查了运用公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．。
苏科版七年级数学下册 第九章《整式乘法与因式分解》尖子生提优测试(1)(有答案)
七下第九章《整式乘法与因式分解》尖子生提优测试（1）姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.多项式与多项式的公因式是A. B. C. D.2.把x a a x分解因式的结果为A. x a x aB. a x aC. x a x aD. a x x a3.若是一个完全平方式，那么m的值是A. 8B. 4C.D.4.下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解的有几个A. 1个B. 2个C. 3个D. 5个5.a、b是常数且，那么、ab的值分别是A. B. C. D.6.数能被30以内的两位整数整除的是A. 26，24B. 28，26C. 27，25D. 25，237.图是一个长为2m，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线对称轴剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. B.C. D.8.已知，求N为下列哪个数的倍数．A. 5B. 7C. 8D. 139.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是“”表示漏抄的指数，则这个指数可能的结果共有A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种二、填空题10.若关于x的二次三项式可分解为则______．11.如果，那么的值为________．12.多项式分解因式，应提出公因式．13.已知：，，且，则M与N的大小关系是___________________．14.多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，符合这个条件的单项式是________．15.已知，则____．16.若的积中不含项，则____．17.如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为_________．三、解答题18.先化简，再求值，，其中．19.何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若，求m和n的值．解：，，，为什么要对进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．解决问题：若，求的值；已知a、b、c是的三边长，满足，c是中最短边的边长，且c为整数，那么c可能是哪几个数？20.阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：计算所得多项式的一次项系数为________．计算所得多项式的一次项系数为________．若计算所得多项式的一次项系0，则________．21.对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为，把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，可得另一个三位数，记为如123，记为，交换123的百位数字与个位数字的位置后，得到321，即规定，如．计算：；若是百位数字为1的数，是个位数字为9的数，且满足，记，求k的最大值．22.【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：_________________；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．(1)用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：_______________________；(2)已知，，利用上面的规律求的值．23.如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个正方形．请写出上述过程所揭示的乘法公式；试利用这个公式计算：．求的个位数字是几？24.探索题：图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积用含m、n的代数式表示：方法1：__________________；方法2：_________________________；观察图b，写出代数式，，mn之间的等量关系，并通过计算验证；根据题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．答案和解析1.A解：，，多项式与多项式的公因式是2.D解：原式，．3.C解：，，解得．4.D解：符号相同，故不能；可通过提公因式2，然后在实数范围内应用平方差公式进行因式分解，故能；可直接应用平方差公式分解，故能；，可以利用平方差公式分解，故能；可直接应用平方差公式分解，故能；可提取公因数后应用平方差公式分解，故能能用平方差公式分解的有5个．5.C解：，．，．．6.B解：，数能被30以内的两位整数整除的是26，28．7.B解：由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为，又原矩形的面积为4mn，中间空的部分的面积，小正方形的边长为，中间空的部分的面积是，．8.D解：．中有一个因数是，是13的倍数，9.D解：根据题意可知能利用平方差公式分解因式，所以说明漏掉的是平方项的指数，并且只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故该指数可能是2、4、6、8、10五个数．10.解：，，，，解得：，，则，11.解：12.解：因为，所以应提取的公因式是．13.解：且x，，，，14.、、、解：多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，此单项式可能是二次项，可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项，，故此单项式是；，故此单项式是；，故此单项式是；，故此单项式是．15.2020解：，，，．16.25解：原式，由结果不含项，得到，解得：，．17.解：根据题意得：当，时，．18.解：，当时，原式．19.解，，，，，，，；，即，，，，，，且c为最短边，c为整数，可以为2，3，4．20.．21.解：；．，为正整数，，为正整数，，，，，，随m的增大而增大，且，当时，k取得最大值，k最大值为．22.；；解：由可知，，将，代入上式可得．解：阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积即：，又阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab，，故答案为；八个小正方体或长方体的体积之和是：，，．故答案为．23.解：；原式；原式．根据规律，个位数字为6．解：左边图形的面积；右边图形的面积，所以可得．故答案是．24.解：方法1：图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即，故阴影部分面积为；方法2：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；故答案为，；；验证：，，；，当，时，．。
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2019-2020年七年级下数学第9章《整式乘法与因式分解》竞赛数学
专题训练
【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2
(1)1x m x -++是完全平方式，则m 的值为( ).
A.1-
B.1
C. 1或1-
D. 1或3-
【解析】12m +=±，解得1m =或3m =-.故选D.
【答案】 D.
【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则ABC V 的面积是 2cm .
【解析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则
2111()()()
222
ABC S a b a a b b a b b a =+⨯-
+⨯---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022
a == 【答案】25.
1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=，221a b -=-则20142014a b -=
. 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ，那么一块渗水防滑地板的面积是( ).
A. 2450cm
B. 2600cm
C. 2900cm
D.2
1350cm
4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22
()()4a b a b +--=，那么
一定成立的是( ).
A. a 是b 的相反数
B. a 是b -的相反数
C. a 是b 的倒数
D. a 是b -的倒数
5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+= .
6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=，2
40ab c ++=，
则a b c ++= .
7. (四川省初中数学联赛)计算: 22222
11111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-
⨯-⨯-⨯⨯-⨯-….
7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22
(32)(483)90x x x x ++++-.
参考答案
1. 1-
2. A
3. C
4. 18
5. 0
6. 1
11111(1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100
-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯… 132499101=2233
1001001101=2100
101=200⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…
8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++-
[(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++-
22(253)(252)90x x x x =++++-
令2252y x x =++
则原式2(1)9090y y y y =+-=-- (10)(9)y y =+-
22(2512)(257)x x x x =+++- 2(2512)(27)(1)x x x x =+++-。