【2020】浙江省中考数学模拟试卷(含答案)

浙江省2020年中考数学模拟试题

含答案

一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)

1．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}

答案D

解析利用数轴可求得A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选D. 2．函数y ＝2－x ＋ln(x －1)的定义域为( ) A ．(1,2] B ．[1,2]C ．(－∞，1) D ．[2，＋∞) 答案A

解析由?????

2－x ≥0，x －1＞0，得1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]．故选A.

3．不等式组?

????

x ＋y ≤2，y ≥x 表示的平面区域是( )

答案C

解析 由不等式组?

????

x ＋y ≤2，

y ≥x 可知不等式组表示的平面区域为x ＋y

＝2的下方，直线y ＝x 的上方，故选C.

4．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(0,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝1 C ．(a ＋b )⊥b D ．a ∥b

答案 C

解析 因为|a |＝2，|b |＝1，故A 错误；

a ·

b ＝－1，故B 错误；

(a ＋b )·b ＝(1,0)·(0,1)＝0，故C 正确； a ，b 不平行，故D 错误．故选C.

5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列结论正确的是( )

A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n

B ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β

C ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β

D ．若α⊥β，m ?α，n ?β，则m ⊥n 答案 B

解析 对于选项A ，若m ，n ?β，m ∩n ＝P ，α∥β，则m ∥α，n ∥α，此时m 与n 不平行，故A 错；

对于选项B ，由平面平行的传递性可知B 正确；

对于选项C ，当α⊥β，α∩β＝l ，m ∥l ，m ?α时，有m ∥α， 此时m ∥β或m ?β，故C 错；

对于选项D ，位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故D 错．故选B.

6．不等式x ＋3>|2x －1|的解集为( ) A.? ????－4，23 B.? ????－23，4 C ．(－∞，4) D.? ??

??－23，＋∞ 答案 B

解析 不等式x ＋3>|2x －1|等价于－(x ＋3)<2x －1

3

7．命题p ：x ∈R 且满足sin2x ＝1.命题q ：x ∈R 且满足tan x ＝1，则p

是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

答案C

解析由sin2x ＝1，得2x ＝π

2＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝π

4＋k π，k ∈Z ；

由tan x ＝1，得x ＝π

4＋k π，k ∈Z ， 所以p 是q 的充要条件，故选C.

8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝4

5，则sin(A －B )等于( ) A ．－725B.725C ．－925D.925 答案 B

解析 ∵A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝45，sin B ＝3

5， ∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝7

25.

9．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( )

A ．(x －2)2＋y 2＝13

B ．(x ＋2)2＋y 2＝17

C ．(x ＋1)2＋y 2＝40

D ．(x －1)2＋y 2＝20

答案D

解析设圆C 的圆心坐标为(m,0)，则由|CA |＝|CB |，得(m －5)2＋4＝(m ＋1)2＋16，解得m ＝1，圆的半径为25，所以其方程为(x －1)2＋y 2＝20，故选D.

10．已知a <0，－1ab >ab 2 B ．ab >a >ab 2 C ．ab >ab 2>a D ．ab 2>ab >a 答案 C

解析 由题意得ab －ab 2＝ab (1－b )>0， 所以ab >ab 2，ab 2－a ＝a (b ＋1)(b －1)>0， 所以ab 2>a ，故选C.

11．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则这个几何体的侧面积是( )

A．(1＋2)cm2B．(3＋2)cm2

C．(4＋2)cm2D．(5＋2)cm2

答案C

解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为(4＋2)cm2.故选C.

12．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1

＋x2＋a

x1x2的最小值是( )

A.

6

3B.

23

3 C.

43

3 D.

26

3

答案 C

解析 由题意得x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， 则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋1

3a ，

因为a >0，所以4a ＋13a ≥43

3， 当且仅当a ＝3

6时等号成立．

所以x 1＋x 2＋a x 1x 2

的最小值是43

3，故选C.

13．已知函数f (x )＝?????

x ＋1，x ≤0，

2x －4，x ＞0，

若函数y ＝f ()f (x )＋a 有四个零点，

则实数a 的取值范围为( ) A ．[－2,2) B ．[1,5) C ．[1,2) D ．[－2,5)

答案 C

解析 函数y ＝f ()f (x )＋a 有四个零点， 则f ()f (x )＋a ＝0有四个解，

则方程f (x )＋a ＝－1与f (x )＋a ＝2各有两个解，

作出函数f (x )的图象(图略)可得?????

－3＜－a －1≤1，

－3＜2－a ≤1，

解得?????

－2≤a ＜2，

1≤a ＜5，

所以1≤a ＜2.故选C.

14．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 3＝7

2，则S 6等于( ) A.312

B.632

C ．63 D.1272

答案 B

解析 由题意得S 6＝S 3(1＋q 3

)＝72×(1＋23

)＝632，故选B.

15．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( )

A ．10

B ．20

C ．100

D ．200 答案 C

解析 a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 2

6＝(a 4＋

a 6)2＝102＝100，故选C.

16．已知函数f (x )＝?

????

x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个

不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．[0,2] C ．[－2,2) D ．[－1,2)

答案 D

解析 由题意知g (x )＝?

????

2－x ，x >a ，

x 2＋3x ＋2，x ≤a ，

因为g (x )有三个不同的零点，

所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 则由x ≤a 得a ≥－1.

综上，a 的取值范围为[－1,2)，故选D.

17．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点且满足PF 1—→·PF 2—→＝－12

c 2，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[3，＋∞)

C ．[2，＋∞)

D.????

??

5＋12，＋∞

答案 C

解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1—→·PF 2—→＝(－c －x 0)(c －x 0)＋y 20＝x 20＋y 20－c 2

， 所以

x 20＋y 2

0－c 2＝－

12c 2

.

又x 2

0a 2－y 20b 2＝1，所以x 20＝a 2? ????1＋y 20b 2， 所以a 2?

????1＋y 2

0b 2＋y 20－c 2＝－12c 2， 整理得c 2y 20

b 2＝

c 22－a 2，

所以c 2

2－a 2≥0，所以c ≥2a ，e ≥2，故选C.

18．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点(点P ，Q 可以重合)，则B 1P ＋PQ 的最小值为( ) A.3

2B.2C.3D ．2 答案 A

解析 P 在对角线AC 1上，Q 在底面ABCD 上，

PQ 取最小值时P 在平面ABCD 上的射影落在AC 上，

将△AB 1C 1沿AC 1翻折到△AB 1′C 1，使平面AB 1′C 1与平面ACC 1在同一平面内，B 1P ＝B 1′P ，

所以(B 1′P ＋PQ )min 为B 1′到AC 的距离B 1′Q .

由题意知，△ACC 1和△AB 1′C 1为有一个角为30°的直角三角形，∠B 1′AC ＝60°，AB 1′＝3， 所以B 1′Q ＝3·sin60°＝32.

二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)

19．若坐标原点到抛物线x ＝－m 2y 2的准线的距离为2，则m ＝________；焦点坐标为________．

答案 ±2

4 (－2,0)

解析 由y 2＝－1m 2x ，得准线方程为x ＝1

4m 2， ∴14m 2＝2，∴m 2＝18， 即m ＝±2

4，∴y 2＝－8x ， ∴焦点坐标为(－2,0)．

20．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2017＝________. 答案 －1007

解析 由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)， 可得a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1， 该数列是周期为4的循环数列，

所以S 2017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＝504×(－2)＋1＝－1007. 21．已知向量a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b 在b 方向上的投影为________． 答案 2

解析 由a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b ＝(－2,1)，(a －b )·b ＝(－2)×(－3)＋1×4＝10，|b |＝9＋16＝5，则a －b 在b 方向上的投影为(a －b )·b |b |

＝10

5＝2. 22．已知函数f (x )＝x 2＋px －q (p ，q ∈R )的值域为[－1，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜s 的解集为(t ，t ＋4)，则实数s ＝________. 答案 3

解析 因为函数f (x )＝x 2＋px －q ＝? ??

??x ＋p 22－p

2

4－q 的值域为[－1，＋

∞)，所以－p 2

4－q ＝－1，即p 2＋4q ＝4.因为不等式f (x )＜s 的解集为(t ，t ＋4)，所以方程x 2＋px －q －s ＝0的两根为x 1＝t ，x 2＝t ＋4，则x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－p )2－4(－q －s ) ＝p 2＋4q ＋4s ＝4＋4s ＝4，解得s ＝3. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)

23．(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .

解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. 所以a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32， 则b 3＝8，b 5＝32.

设{b n }的公差为d ，则有?????

b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.

解得?????

b 1＝－16，

d ＝12.

所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.

所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2 ＝6n 2－22n (n ∈N *)．

24．(10分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2

＝1(a >1)，过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x 轴上时，切线P A 的斜率为±2

2.

(1)求椭圆的方程；

(2)设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值． 解 (1)当P 点在x 轴上时， P (2,0)，P A ：y ＝±2

2(x －2)．

联立???

y ＝±2

2(x －2)，

x

2a 2

＋y 2

＝1，

化简得? ??

??1a 2＋12x 2

－2x ＋1＝0，

由Δ＝0，解得a 2＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2

＝1.

(2)设切线方程为y ＝kx ＋m ，P (2，y 0)，A (x 1，y 1)，

则?

????

y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2

－2＝0， 化简得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 由Δ＝0，解得m 2＝2k 2＋1，

且x 1＝－2km 1＋2k 2，y 1＝m

1＋2k 2，y 0

＝2k ＋m ，

则|PO |＝y 20

＋4，直线PO 的方程为y ＝y 0

2x ，则点A 到直线PO 的距离d ＝|y 0x 1－2y 1|y 2

0＋4， 设△POA 的面积为S ， 则S ＝12|PO |·d ＝12|y 0x 1－2y 1| ＝12???

?

??(2k ＋m )－2km 1＋2k 2－2m 1＋2k 2 ＝????

??

1＋2k 2＋km 1＋2k 2

m ＝|k ＋m |. 当m ＝2k 2＋1时，S ＝|k ＋1＋2k 2|. (S －k )2＝1＋2k 2，则k 2＋2Sk －S 2＋1＝0， Δ＝8S 2

－4≥0，解得S ≥22，当S ＝22时k ＝－22.

同理当m ＝－2k 2

＋1时，可得S ≥2

2，

当S ＝22时k ＝2

2.

所以△POA 面积的最小值为2

2.

25．(11分)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；

(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4

x 在区间(0，＋∞)内的零点个数． 解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当

a ≤0时，0≤1，显然成立； 当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1， 所以a ≤12，所以0

2.

综上所述，a 的取值范围是?

?

?

??－∞，12.

(2)f (x )＝?????

x 2－(2a －1)x ，x ≥a ，

x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，x

对于u 1＝x 2

－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －1

2

所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；

对于u 2＝x 2

－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋1

2>a ，开口向

上，

所以f (x )在(－∞，a )上单调递减．

综上所述，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减． (3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.

①当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，

f (x )＝?????

x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，

令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4

x (x >0)，

因为f (x )在(0,2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2， 而g (x )＝－4

x 在(0,2)上单调递增，所以g (x )

x 在(0,2)上无交点；

当x ≥2时，f (x )＝x 2

－3x ＝－4

x ，即x 3－3x 2＋4＝0，

所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0， 因为x ≥2，所以x ＝2，

综上当a ＝2时，f (x )＋4

x 有一个零点x ＝2. ②当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2， 当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2， 而g (x )＝－4

x 在(0，a )上单调递增，

当x ＝a 时，g (x )＝－4a ，下面比较f (a )＝a －a 2与－4

a 的大小，

因为a －a 2－? ??

??－4a ＝－(a 3－a 2－4)a ＝－(a －2)(a 2＋a ＋2)

a <0， 所以f (a )＝a －a 2<－4a .

结合图象不难得到当a >2时，y ＝f (x )与g (x )＝－4

x 有两个交点．

综上所述，当a ＝2时，f (x )＋4

x 在区间(0，＋∞)内有一个零点x ＝2； 当a >2时，f (x )＋4

x 在区间(0，＋∞)内有两个零点．