反三角函数
反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割，反余割为x的角。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数反正弦函数x=sin y在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反三角函数反余弦函数绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)x=cos y在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x 的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反三角函数反正切函数x=tan y在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
反三角函数反余切函数x=cot y在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x) ，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
反三角函数公式大全
反三角函数公式大全三角函数的反函数，是多值函数。
它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).反三角函数主要是三个：y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]y=arccos(x)，定义域[-1,1] ，值域[0,π]y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=∏－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=∏－arccotxarcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=xx∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=xx∈(0，∏),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)。
反三角函数公式
反三角函数公式反三角函数，也叫做反三角关系，是指与三角函数相对应的函数关系。
正弦函数、余弦函数和正切函数等都有对应的反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
下面以这三个反函数为例进行详细介绍，并给出它们的公式和性质。
一、反正弦函数（arcsin函数）:反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
它的主要性质有：1.反正弦函数的导数是1/√(1-x²)2.反正弦函数在定义域内是增函数，在值域内是连续函数3. 反正弦函数的反函数是正弦函数，即sin(arcsin x) = x4. 反正弦函数关于y轴对称，即arcsin(-x) = -arcsin(x)反正弦函数的公式为：y = arcsin(x)二、反余弦函数（arccos函数）:反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。
它的主要性质有：1.反余弦函数的导数是-1/√(1-x²)2.反余弦函数在定义域内是减函数，在值域内是连续函数3. 反余弦函数的反函数是余弦函数，即cos(arccos x) = x4. 反余弦函数关于y轴对称，即arccos(-x) = π - arccos(x)反余弦函数的公式为：y = arccos(x)三、反正切函数（arctan函数）:反正切函数的定义域是整个实数集，值域是(-π/2,π/2)。
它的主要性质有：1.反正切函数的导数是1/(1+x²)2. 反正切函数是奇函数，即arctan(-x) = -arctan(x)3. 反正切函数的反函数是正切函数，即tan(arctan x) = x反正切函数的公式为：y = arctan(x)以上就是反三角函数的完整介绍和公式。
需要注意的是，由于三角函数具有周期性，反三角函数的定义域和值域都是在一个特定的周期内，常见的是一个周期内的正值部分。
另外，反三角函数在数学和物理中有广泛的应用，在解三角方程、几何问题、电路分析等方面都有重要的意义。
反三角函数公式大全
反三角函数公式大全反三角函数是三角函数的逆运算，它们是一组用来描述角度的函数，与三角函数相对应。
在数学中，反三角函数广泛应用于三角函数的逆运算、三角方程的求解以及在物理、工程等领域的实际问题中。
本文将为您详细介绍反三角函数的各种公式，帮助您更好地理解和应用反三角函数。
1. 反正弦函数公式。
反正弦函数通常表示为arcsin(x)，其定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
其公式如下：arcsin(x) = y, 当且仅当sin(y) = x, -π/2 ≤ y ≤π/2。
2. 反余弦函数公式。
反余弦函数通常表示为arccos(x)，其定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
其公式如下：arccos(x) = y, 当且仅当cos(y) = x, 0 ≤ y ≤π。
3. 反正切函数公式。
反正切函数通常表示为arctan(x)，其定义域为实数集，值域为(-π/2,π/2)。
其公式如下：arctan(x) = y, 当且仅当tan(y) = x, -π/2 < y < π/2。
4. 反余切函数公式。
反余切函数通常表示为arccot(x)，其定义域为实数集，值域为(0,π)。
其公式如下：arccot(x) = y, 当且仅当cot(y) = x, 0 < y < π。
5. 反正割函数公式。
反正割函数通常表示为arcsec(x)，其定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞)，值域为[0,π]。
其公式如下：arcsec(x) = y, 当且仅当sec(y) = x, 0 ≤ y ≤π或 y < 0。
6. 反余割函数公式。
反余割函数通常表示为arccsc(x)，其定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞)，值域为[-π/2,π/2]。
其公式如下：arccsc(x) = y, 当且仅当csc(y) = x, -π/2 ≤ y ≤π/2 或 y ≠ 0。
以上是反三角函数的基本公式，通过这些公式我们可以求出给定数值的反三角函数值，从而解决实际问题中的角度计算、三角方程求解等问题。
常用反三角函数公式表
常用反三角函数公式表在数学的广阔领域中，反三角函数是一个重要的概念，它们在解决各种数学问题和实际应用中发挥着关键作用。
反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。
下面，我们将详细介绍常用的反三角函数公式。
一、反正弦函数（arcsin）公式1、定义域：－1, 12、值域：π/2, π/2反正弦函数的定义为：若 sin y ＝ x ，则 y ＝ arcsin x 。
其主要公式有：1、 sin(arcsin x) ＝ x ，对于－1 ≤ x ≤ 1 。
2、 arcsin(x) ＝ arcsin x ，这表明反正弦函数是一个奇函数。
二、反余弦函数（arccos）公式1、定义域：－1, 12、值域：0, π反余弦函数的定义为：若 cos y ＝ x ，则 y ＝ arccos x 。
主要公式包括：1、 cos(arccos x) ＝ x ，当－1 ≤ x ≤ 1 。
2、 arccos(x) ＝π arccos x ，这显示了反余弦函数的非奇非偶性。
三、反正切函数（arctan）公式1、定义域：（∞，＋∞）2、值域：（π/2, π/2)反正切函数的定义为：若 tan y ＝ x ，则 y ＝ arctan x 。
重要公式如下：1、 tan(arctan x) ＝ x ，对于任意实数 x 。
2、 arctan(x) ＝ arctan x ，表明反正切函数是一个奇函数。
四、反余切函数（arccot）公式1、定义域：（∞，＋∞）2、值域：（0, π)反余切函数的定义为：若 cot y ＝ x ，则 y ＝ arccot x 。
常见公式有：1、 cot(arccot x) ＝ x ，对于任意实数 x 。
2、 arccot(x) ＝π arccot x ，体现了反余切函数的非奇非偶性。
五、反正割函数（arcsec）公式1、定义域：（∞，－1 ∪ 1, ＋∞）2、值域：0, π/2) ∪（π/2, π反正割函数的定义为：若 sec y ＝ x ，则 y ＝ arcsec x 。
反三角函数
5。反三角函数： 1 y arcsin x, 2 y arccos x, 3 y arctan x, 4 y arc cot x. 记忆反三角函数图形的方法： 含 “正” 字的值域从 字的值域从
2
2
， 过值域中点 0, 0 点； 含 “余”
0 ，过值域中点 0, 点。 2
（3）当 x
2
, y R 时： tan x y x arctan y;arctan(tan x) x; tan(arctan y) y.
（4）当 0 x , y R 时：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cot x y x arccot y;arccot(cot x) x;cot(arccot y) y.
编辑本段公式
反三角函数其他公式： cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π -arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π -arccotx arcsinx+arccosx=π /2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）„„+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+„„ （|x|<1) !！表示双阶乘
最简单的三角方程的解： （1） sin x a x k 1 arcsin a;
反三角函数的运算法则及公式
反三角函数的运算法则及公式反三角函数的运算法则及公式反三角函数，也称反函数，是指sin、cos、tan三角函数的反函数。
以sin函数为例，其反函数为arcsin函数，可以表示为y=arcsin(x)，而x 的范围为-1≤x≤1，y的范围为-π/2≤y≤π/2。
本文将介绍反三角函数的运算法则及公式，希望能够为读者提供一些帮助。
一、反三角函数的基本性质1. 反函数与原函数：反三角函数是三角函数的反函数，即对一定范围内的y值，arcsin(y)所对应的x值是sin(x)。
2. 反函数的定义域和值域：反三角函数的定义域是三角函数在该范围内的值域，反之亦然。
3. 对称性：反三角函数具有对称性，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。
4. 反函数的导数：sin、cos、tan的导函数分别是cos、-sin、sec2，那么它们的反函数分别是arcsin、arccos、arctan，在其定义域内计算导数可以得到：（1）arcsin’(y) = 1/√(1-y^2)；（2）arccos’(y) = -1/√(1-y^2)；（3）arctan’(y) = 1/(1+y^2)。
二、反三角函数的运算法则1. 反三角函数的四则运算：反三角函数的四则运算与正常的函数相同，只需要对反三角函数的定义域进行限制。
2. 反三角函数的复合运算：例如sin(arcsin(x))=x，cos(arccos(x))=x，tan(arctan(x))=x，这是因为反三角函数是三角函数的反函数。
3. 求反三角函数的值：要求反三角函数的值，需要先确定所要求的值的定义域，再根据其所对应的正三角函数的值进行计算。
三、反三角函数的常用公式1. sin(arcsin(x))=x，|x|≤1。
2. cos(arccos(x))=x，|x|≤1。
3. tan(arctan(x))=x，|x|≤π/2。
4. arcsin(x)+arccos(x)=π/2。
反三角函数大全
反三角函数Inverse trigonometric functions第1节反三角函数·概述原创/O客把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。
它们都是三角函数的反函数。
严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。
以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●反正弦的值域先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。
正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。
因为它在定义域R上不单调，是分段单调。
从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。
当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。
但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。
这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。
当我们从y=sinx中解出x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。
记为y=arc sinx。
把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。
并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。
●请参考我的三角函数salonhttp://hi.baidu./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsal on第2节 反三角函数·理解与转化原创/O 客以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●符号理解初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。
一方面，arc sinx 这七个字母是一个整体，缺一不可。
另一方面，符号arc sinx 可以用下面的三句话来理解：①它是一个角。
即一个实数。
arc sinx ∈R .②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。
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3 2
-
2 -1
x
⑴ y=sinx在该区间上是一一对应的 . y sin x x ,
⑵能取得y=sinx的一切函数值[-1,1].
2 2
二、反正弦函数
1、反正弦函数的定义：
函数y sin x，x [ ， ]的反函数叫做反正弦函数, 2 2
记作y arcsin x，x [11], ， 其值域为[ ， ]． 2 2
(1)“arcsin”是反正弦函数的函数名，是一个整体符号． (2)当x 1， 1时， arcsin x表示一个角，这个角是 , 2 2 内正弦值为x的那个弧度制角． 2 2 例如： arcsin 表示－ ， 内正弦值为 的角． 3 3 2 2
●
满足sin(arcsinx)=x
(一)2、研究反正弦函数
反正弦函数三要素 1.定义域: 1,1 2.值域： ,
2 2
3.反正弦函数的对应法则与原来函数y sin x, x , 2 2
对应法则互逆
(一)2(1) 画出反正弦函数的图像
第六章
6.4
三角函数
反三角函数
引入课题: （一）1、追溯历史
提出问题
引入课题:
测量实际计算中的两类相反问题：
一类是已知角值求比值
例如:在正弦函数 y =sinx中 1 x
x 6 , y sin 6 ; 6 2
x 2, y sin 2
x 2 k
一类是已知比值求角值
5 1 5 再由 sin sin - sin x
x
6
6
6
2
6
2k 或x
5 2k k Z 6
结合旧知 讨论概念产生的可能性
在用正弦值表示相应角值时，只要表示出其中一个相应的角值， 就可以了!因为根据三角比的周期性及诱导公式可以将剩余的其 他角值都表示出。 所以正弦函数不存在反函数并不要紧。只要选取某一区间使得
3 (3) sin x x [， 0]． 3 3 (3)当x [ ， 0]时，x arcsin 2 3 3 当x [， ]时，x arcsin 2 3 3 3 x arcsin 或x arcsin 3 3
说明：用反正弦函数值表示角x时，若角x不在反正 弦函数的定义域内，则应先将角化到定义域内再 用反正弦函数值表示角x．
重要等式1： sin(arcsin x) x，x [1， 1]
（一）1（4）多项训练 强化理解概念的本质
考虑下列各式的意义： 例：
1 arcsin 2
1 arcsin 3
arcsin
2
对于符号arcsinx而言
●
当|x|≤1时有意义
2 , 2
●
表示在
上的角值
易知单调函数必存在反函数.
思考： 为什么? 正弦函数y=sinx是否存在反函数？ y
2
1 2 O
6
2
3
4
y sin x
x
[说明] 因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应， 正弦函数的自变量与因变量是多对一的． 因此定义在R上的正弦函数y=sinx不存在反函数．
结合旧知 讨论概念产生的可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性
(2) x ， 且 sin x 4 2 2 1 1 x arcsin arcsin 4 4
3 找到定义 (1) sin x x [ ， ]； 域内的角 5 2 解： (1) x ， x [0， ] 2 2 3 3 x arcsin sin( x) sin x 5 3 5 x arcsin 找到定义 5 3 1 (2) sin x x (， )． 域内的角 4 3 2 (2) x (， ) x ( ， 0) 2 1 2 1 sin( x) sin x x arcsin( ) 4 4 1 x arcsin 4
y 2 1
∈
y=x
∈
-
2
-1
o
1
2
x
-1 2
(一)2(2)形数结合，解读反正弦函数的性质
2
y
y arcsin x，x [1， 1]
定义域 值域 单调性 奇偶性 分段
－1， 1
2 ， 2
1
o 1
－
x
2
在[1， 1]上单调递增
奇函数
x 0， 1时，y 0， 2
需要考 虑正弦 函数 y=sinx 的反函 数？
复习反函数的概念： 一般地，对于函数y=f(x)．设它的定义域为Ｄ， 值域为Ａ．如果对Ａ中的任意一个值y，在Ｄ中总 有唯一确定的x值与它对应，满足y=f(x)，这样得 到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数． 提问:怎样的函数存在反函数？ 答:自变量与因变量是一一对应的函数存在反函数.
例2、求下列反正弦函数的函数值． 2 2 1 1 (1) sin(arcsin ) (2) sin[arcsin ( )] 3 3 3 3 1 1 1 3 (3) sin[arcsin ( )] ( 4) cos[arcsin ( )] 2 2 2 2 1 (4)解： arcsin( ) 2 6 1 3 cos[arcsin ( )] cos( ) 2 6 2 1 3 (5) cos(arcsin ) cos 3 2 2
y sin x 在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦 值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值 表示出目的就达到了。
（一）1（2）具体分析
师生共同探讨概念产生
y 1
应该选取怎样的区间， 使得y=sinx存在反函数？
y= sinx
o 2 3 2 2
-2
-
课堂小结
1、反正弦函数的定义、图像和性质．
2、反正弦函数值arcsinx的含义． (1) arcsin x是一个弧度制角；
(2)这个角的正弦等于x，即sin(arcsin x) x； (3)这个角的范围是[ ， ]． 2 2
3、两个重要等式：
sin(arcsin x) x，x [1， 1] arcsin( x) arcsin x，x [1， 1]
例3、用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x． 3 (1) sin x x [ ， ]； 5 2 2 3 3 解： (1) x ， 且 sin x x arcsin 5 2 2 5 1 (2) sin x x [ ， ]． 4 2 2 1
(3) arcsin1 2k
对
错
1 3
2
(k Z )
错
(4) arcsin( ) arcsin 3 3
错
错 对
3
1
(5)sin(arcsin 2) 2
(6) sin(arcsin
2 1
2
10
)
2
10
例、求下列反正弦函数的值． 3 (1) arcsin 2 3 3 解： sin ，且 [ ， ] arcsin 2 3 3 2 3 2 2 2 (2) arcsin0 0 (3) arcsin( ) 4 2 1 (4) arcsin (5) arcsin1 2 6 2 (6) arcsin(1) (7) arcsin 不存在 2 3
x 0时， arcsin x是一个锐角；
x 1 ， 0 时，y ， 0 2
x 0时， arcsin x是一个负角．
重要等式2： arcsin( x) arcsin x，x [1， 1]
例1：判断下列各式是否正确？并简 述理由。
3 (1) arcsin 2 3 3 (2) arcsin 3 2
1 倘若 sin x ，又怎样用正弦值表示相应的角值呢？ 3
1 例如 sin x , 2
x?
6
或x 2k
5 ( k Z) 6
1 sin x , x ? 3
怎样用正 弦值表示 相应的角 值？
正弦函数 y sin x （角值 确定 正弦值）
为什么要学习反正弦函数？ ⑴要用正弦值表示相应的角值. ⑵上升到函数,研究正弦值变化时相应角值 如何变化.
·研究正弦函数的反函数目的是什么？ 要用正弦值表示相应的角值 ·正弦函数为什么不存在反函数？ 正弦函数是周期函数
正弦函数不存在反函数， 怎么办？
能否在正弦函数的一个周期里用正弦值表示相 1 应角值呢？ 例如： sin x , x ? 2
首先，在 0, 2 ,
6
sin
6
1 x , 2 6