乘法的交换律和乘法结合律
乘法交换律和结合律的公式及练习题
两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，叫做乘法交换律。
三个数相乘，先把
前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
叫做乘法结合律。
乘法交换律和结合律的公式
乘法交换律是一种计算定律，两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，
叫做乘法交换律，用公式表示为：a×b=b×a。
三个数相乘时，可任意交换两个因
数的位置，积不变，用公式表示为：a×b×c=b×a×c=a×c×b。
乘法结合律是乘法运算的一种，三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一
个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
叫做乘法结合律。
用公式表示为：(a×b)×c=a×(b×c)。
乘法练习题。
乘法的交换律与结合律
乘法的交换律与结合律数学是一门严谨而又富有魅力的学科，其中的乘法运算是我们在日常生活中经常接触到的运算之一。
而乘法的交换律与结合律是乘法运算中的两个重要性质，它们在数学中起着至关重要的作用。
本文将详细探讨乘法的交换律与结合律，并从不同的角度解释它们的意义。
首先，我们来了解乘法的交换律。
乘法的交换律即为：对于任意两个数a和b，a乘以b的结果与b乘以a的结果相等。
这个性质在我们的日常生活中非常常见。
比如，当我们购买商品时，商品的价格与数量的乘积是总价。
无论我们先买多少个商品再乘以单价，或者先乘以单价再买多少个商品，最终得到的总价都是相同的。
这就是乘法的交换律在实际生活中的体现。
乘法的交换律在数学中也有着深刻的意义。
它为我们提供了一种简化计算的方法。
比如，当我们需要计算2乘以3乘以4乘以5时，根据乘法的交换律，我们可以改变计算的顺序，先计算2乘以4再乘以3再乘以5，这样可以将大数拆分成小数相乘，从而减少计算的复杂度。
这种简化计算的方法在数学中非常常见，而乘法的交换律为我们提供了一个重要的思路。
接下来，我们来探讨乘法的结合律。
乘法的结合律即为：对于任意三个数a、b 和c，a乘以（b乘以c）的结果与（a乘以b）乘以c的结果相等。
这个性质在我们的日常生活中同样非常常见。
比如，当我们需要计算三个人的年龄总和时，无论我们先将前两个人的年龄相加再加上第三个人的年龄，还是先将后两个人的年龄相加再加上第一个人的年龄，最终得到的年龄总和都是相同的。
这就是乘法的结合律在实际生活中的体现。
乘法的结合律在数学中也有着重要的意义。
它为我们提供了一种简化计算的方法。
比如，当我们需要计算2乘以3乘以4乘以5时，根据乘法的结合律，我们可以改变计算的顺序，先计算2乘以3得到6，再将6乘以4得到24，最后将24乘以5得到120。
这种简化计算的方法在数学中非常常见，而乘法的结合律为我们提供了一个重要的思路。
除了简化计算外，乘法的交换律与结合律在数学中还有着更深层次的应用。
《乘法交换律和结合律》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“乘法交换律和结合律在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
《乘法交换律和结合律》教案
一、教学内容
本节课选自《数学》四年级上册第八单元第一课时《乘法交换律和结合律》。教学内容主要包括：
1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，它们的积不变，用字母表示为a×b×c=a×(b×c)。
举例解释：
-通过具体的数字例子（如2×3=3×2），引导学生观察并发现乘法交换律的规律，强调无论因数的位置如何变化，积都保持不变。
-通过三个数相乘的例子（如2×3×4=2×(3×4)），让学生理解乘法结合律，即先乘前两个数或先乘后两个数，积都是相同的。
-练习一些简便计算题目，如12×25，通过运用乘法交换律和结合律，将其转化为3×4×25或3×(4×25)，简化计算过程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解乘法交换律和结合律的基本概念。乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，它们的积不变。这两个运算律在简化计算和解决实际问题时起到重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算12×25，展示如何运用乘法交换律和结合律简化计算过程，从而得到答案300。
乘法的分配律和结合律的公式
乘法的分配律和结合律的公式
1、乘法交换律是axb=bxa，结合律是（axb）xc=ax（bxc），分配律是ax（b+c）=axb+axc。
一定要记得，结合律是最少三个数相乘的，分配律是有乘有加或有乘有减，很多学容易混淆在一起，搞不清楚乘法分配率，一定要反复举例子让学做熟悉，特别分配率要注意逆向思维的，就是把右边式子变成左边式子。
2、乘法的交换律，结合律和分配率的公式分别如下首先我们来写乘法交换率乘法交换率，也就是交换因数的位置A乘以B等于b乘以a 乘法结合律就等于a乘b乘c等于a乘c乘b最后就是乘法分配率他的公式是A乘以括号b加c等于A乘b加上a乘c这就是乘法的交换率，结合率和分配率。
乘法交换律和结合律分配律
乘法交换律和结合律分配律乘法交换律和结合律分配律是数学中常见的运算规则，它们在数学运算中起到了重要的作用。
本文将分别介绍乘法交换律和结合律分配律，并通过实际例子来说明它们的应用。
乘法交换律是指在乘法运算中，两个数的顺序可以交换而不改变结果。
换句话说，对于任意两个数a和b，a乘以b的结果等于b乘以a的结果。
这个规律在我们日常生活中也十分常见，比如乘法表中的任意两个数相乘，结果都是相同的。
例如，2乘以3等于6，而3乘以2同样等于6。
在数学符号中，可以表示为a * b = b * a。
乘法交换律的应用十分广泛。
在解方程时，我们经常会利用乘法交换律来调整等式的形式，使得变量的系数更容易计算。
例如，对于方程2x = 6，我们可以利用乘法交换律将其改写为x * 2 = 6，然后再求解x的值。
同样地，在计算中，我们也可以利用乘法交换律来简化计算过程。
例如，计算5乘以20时，我们可以将其改写为20乘以5，然后再进行计算，这样更容易计算出结果。
结合律是指在多个数相乘或相加时，无论它们的顺序如何，最终的结果都是相同的。
换句话说，对于任意三个数a、b和c，a乘以（b 乘以c）的结果等于（a乘以b）乘以c的结果。
这个规律在我们进行复杂的计算时非常有用。
例如，计算4乘以（5乘以6）时，我们可以先计算5乘以6的结果，再将结果与4相乘，最终得到的结果是120。
而如果我们先计算4乘以5，再将结果与6相乘，最终得到的结果同样是120。
在数学符号中，可以表示为 a * (b * c) = (a * b) * c。
结合律的应用可以帮助我们简化复杂的计算过程。
在代数中，我们经常会遇到多个变量相乘或相加的表达式，而利用结合律可以调整不同变量的顺序，使得计算更加方便。
例如，计算3乘以（4加上5）时，我们可以利用结合律将其改写为3乘以4再加上3乘以5，这样就可以分别计算出两个乘积，再将结果相加得到最终的结果。
分配律是乘法和加法之间的一种关系，它在数学运算中也起到了重要的作用。
乘法交换律和乘法结合律的应用
例1
解如下方程：4x + 8 = 40
例2
化简如下方程：7(2x + 4) - 3(6 - x)
结论和要点
结论
乘法交换律和乘法结合律在许多数学应用中都是非常重要的。
要点
• 乘法交换律：改变顺序，不影响结果。 • 乘法结合律：改变结合方式，不影响结果。 • 在复杂的计算中使用的时候，最好同时使用交换律和结合律，将计算简化。
例2
考虑一个4人足球队，每个人都必须选择一种颜色的球 衣。有多少种可能的组合？答案是24，因为4 x 3 x 2 x 1 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24。
乘法结合律的定义
乘法结合律简单地说，就是改变计算顺序，其结果不变。
1 例1
(2 x 3) x 4=2 x (3 x 4)=24
2 例2
(5 x 1) x 8=(5 x 8) x 1=40
3 例3
(5 x 4) x (2 x 3)=(5 x 2) x (4 x 3)=120
乘法交换律和乘法结合律在简化计算中 的应用
1
步骤1
应用乘法交换律简化计算。
2
步骤2
应用乘法结合律简化计算。
3
步骤3
顺序地应用这两个原则。
乘法交换律和乘法结合律在代数方程中的应用
乘法交换律和乘法结合律 的应用
乘法交换律和乘法结合律是数学中的两个基本原则。这两个原则在计算和解 决方程时非常重要。本次演示将提供有关乘法交换律和乘法结合律的定义和 应用举例。
乘法交换律的定义
乘法交换律简单地说，就是改变两个数的先后顺序，乘积不变。
例1
如果你有3个苹果，每个苹果上有4个痕迹，那么总共有 多少个痕迹？答案是12，因为3 x
乘法交换律和乘法结合律
乘法交换律和乘法结合律一、乘法交换律的定义乘法交换律是数学中的一条基本性质，指的是两个数相乘的结果与顺序无关。
换句话说，对于任意的实数a和b，均有a×b=b×a。
乘法交换律在数学运算中非常常见，不仅适用于整数、分数和小数，还适用于向量、矩阵等更高阶的数学概念。
乘法交换律的简单表达方式是“翻转不变性”，即将乘法操作中的两个数交换位置，最终的结果保持不变。
二、乘法交换律的证明乘法交换律可以通过数学归纳法来证明。
首先，考虑乘法交换律在两个数相乘时的情况，即a×b=b×a。
当a和b均为0时，显然等式成立。
当a为0时，无论b取任何实数值，等式也成立。
同样地，当b为0时，无论a取任何实数值，等式也成立。
接下来，我们假设乘法交换律对于k个数的相乘也成立，即a₁×a₂×…×aₖ=b₁×b₂×…×bₖ。
那么，乘法交换律对于k+1个数的相乘亦成立。
也就是说，a₁×a₂×…×aₖ×aₖ₊₁=b₁×b₂×…×bₖ×bₖ₊₁。
因此，根据数学归纳法，乘法交换律对于任意个数的相乘都成立。
三、乘法交换律的应用举例乘法交换律在实际生活和数学中的应用非常广泛。
以下是一些具体的举例：1. 计算器乘法运算在计算器中，用户可以输入两个数进行乘法运算。
无论用户以什么顺序输入，计算器最终都会按照乘法交换律进行计算，并给出相同的结果。
这使得计算器的使用更加方便和灵活。
2. 矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中一项重要运算。
在矩阵乘法中，乘法交换律能够简化计算过程，提高效率。
通过交换乘法中的两个矩阵的位置，可以减少运算量，得到相同的结果。
3. 科学计算和物理实验在科学计算和物理实验中，有时需要对多个变量进行乘法运算。
乘法交换律使得科学家和研究人员在进行计算和实验时，不需要过于担心乘法的顺序，可以更加专注于实验过程和数据分析。
乘法结合律乘法交换律的定义
乘法结合律乘法交换律的定义乘法结合律和乘法交换律是初中数学学科中的基础性概念，也是解决数学问题的重要工具。
在这篇文章中，我们将会讨论乘法结合律和乘法交换律的定义及其在数学问题中的应用。
一、乘法结合律的定义我们先来了解乘法结合律的定义。
所谓乘法结合律，就是在相同数的乘法中，无论怎么加括号，所得的结果都是相同的。
也就是说，对于任意三个数 $a$，$b$ 和 $c$，$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$。
换一种表现方式，就是说，当我们要在三个数之间进行乘法运算的时候，我们可以按照任意顺序进行乘法，所得的结果都是相同的。
比如，$2 \times 3 \times 4$ 可以表示为 $(2 \times 3) \times 4$ 或者$2 \times (3 \times 4)$。
二、乘法交换律的定义接下来，我们来了解乘法交换律的定义。
乘法交换律是说，在两个数相乘的时候，它们的位置不影响它们的乘积。
也就是说，对于任意两个数 $a$ 和 $b$，$a \times b = b \times a$。
比如，$3 \times 4$ 的结果是 $12$，$4 \times 3$ 的结果也是$12$，这两个式子是等价的。
三、乘法结合律和乘法交换律的应用乘法结合律和乘法交换律是解决数学问题的重要工具，尤其在代数式中的应用更加广泛。
通过这两个概念的应用，我们可以轻松地化简式子，从而更好地解决问题。
比如，如果我们要求 $3 \times (4x + 5)$ 的结果，我们可以使用乘法分配律来解决，即 $3 \times (4x + 5) = 3 \times 4x + 3\times 5 = 12x + 15$。
如果我们使用了乘法交换律，最终的结果依然是一样的，即 $4x \times 3 + 5 \times 3 = 12x + 15$。
再比如，如果我们要求 $(x + 3) \times (x - 2)$ 的结果，我们可以使用乘法结合律来解决，即 $(x + 3) \times (x - 2) = x \times x + x \times (-2) + 3 \times x + 3 \times (-2) = x^2 + x - 6$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探究新知
负责挖坑、种树的一共有多少人？ 4×25=100（人） 或 25×4=100（人）
这两个算式算出都是 “负责挖坑、种树的一共有 多少人？” ，结果相同，因此可以用等号连接。
4×25=25×4 你还能举出像这样的等式吗？
探究新知
这些算式有什么共同的特点？ ①每组算式中有两个数，而且两个数相同，只 是交换了位置。 ②每个等式中，左右两边的数的乘积相等。
人教版四年级数学下册
人教版四年级数学下册
乘法交换律 乘法结合律
学习目标
1. 经历在计算和解决问题的具体情景中探索、发 现乘法交换律、结合律的过程。并能用字母表 示这些运算律。
2.理解并掌握乘法交换律和结合律，初步能运用 这两个运算定律去解决实际问题。
探究新知
1、从这幅图中你了解了哪些信息？ 2、根据这些信息，你能提出什么数学问题？
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变， 这叫做乘法交换律。
你能用自己喜欢的方法来表示乘法交换律吗？
如果用字母a和b分别表示这两个因数，上面 的规律可以用怎样的等式表示呢？
a×b=b×a
根据乘法交换律填一填
18×5=5 ×(1 )
a ×255=255 ×( a )
8 80 ×3 =( 3) ×80 16×(15)=15 ×(16)
像上面这种式子中的规律就是乘法结合律
如果用a、b、c表示三个数，如何用这三个字 母来表示这个规律呢？
（a × b）× c = a ×（b × c ）
请同学们看着字母式用自己的语言说一说什么是 乘法结合律
三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数， 积不变。这叫做乘法结合律。
学以致用
• 根据运算定律填空。 • （1）165×126＝126×--1-6--5• （2）（316×25）×4＝316×（ -2--5- ×-4--- ） • （3）a×--3--8-- =38×---a--• ( 4 )125×（--8--×37）=（1-2--5--× 8）×37
2、下列算式运用了哪些运算律？
• 45×16=16×45
(乘法交换律)
• 34×25×4=34×(25×4)
(乘法结合律)
• (13×125)×8=13×(125×8) • (25×13)×4=13×（25×13）
(乘法结合律 ) （乘 乘法 法交 结换 合律 律）
3、明光小学新建了一幢4层的教学楼，每层有5 个教室。每个教室放24张课桌，一共需要多少张 课桌？（用两种不同的方法解答）
18×（25）=25×(18) m×( n)=n×( m)
探究新知
一共要浇多少桶水？
1.要解决这个问题，可以先求什么，再求什么？ 2.你会列综合算式解答吗？
解法一
解法二
先算出一共种了多少棵树， 先算出每组要浇多少桶水， 再求出一共要浇多少桶水？ 再求出一共要浇多少桶水？
（25×5）×2
=125×2 =250（桶）
25×（5×2） =25×10 =250（桶）
你能把上面这两道算式写成一个等式吗？ （25×5）×2=25×（5×2）
自主学习
1．算Байду номын сангаас算，下面的○里能填上等号吗？
（45×12）×13 ○ 45×（12×13）
（28×13）×22 ○ 28×（13×22）
（35×7）×11○35×（7×11) 2．观察比较：每组算式左右两边各有什么相同和 不同？ 3、你能举出几组这样的例子吗？
解法一
（24×5）×4 =120×4 =480（张）
解法二
24×（5×4） =24×20 =480（张）
答：一共需要480张课桌。
课堂小结
• 通过本节课的学习，你有什么收获？ 乘法交换律:
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变.
字母表示： a×b=b×a 乘法结合律： 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数， 积不变。 字母表示：（a × b）× c = a ×（b × c ）