【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选考前小题狂练1 苏教版
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选考前小题狂练
小题狂练(四)1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则M ∩N ＝________.2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．4．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________.5．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线l ，则l 与线段BC 相交的概率为________．6．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2,8)，则a 7的值为________．7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．9．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ＝________.10．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余11．已知函数f(x)＝x33＋ax22＋2bx＋c在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，则z＝(a＋3)2＋b2的取值范围为________．12．平面向量a，b满足|a＋2b|＝5，且a＋2b平行于直线y＝2x＋1，若b＝(2，－1)，则a＝________.13．(2012·南师大附中阶段测试)已知函数f(x)＝|x2＋2x－1|，若a＜b＜－1，且f(a)＝f(b)，则ab＋a＋b的取值范围是________．14．定义在实数集上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，又α，β是锐角三角形的两内角，则f(sin α)与f(cos β)的大小关系是________．参考答案小题狂练(四)1．解析M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．答案M∩N＝{2,3}2．解析由(z－2)i＝1＋i，得z＝1＋ii＋2＝3－i，所以|z|＝10.答案 103．解析 平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18， 故方差s 2＝16(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5.答案 54．解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.答案 4 65．解析 ∠BAC ＝60°，故所求的概率60°360°＝16.答案 166．解析 因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ，所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又8＝4a 1⇒a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5.答案 57．解析 由三角函数图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，且0＜φ≤π2，所以φ＝π3.答案 π38．解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 3 9．解析 这是一个典型的当型循环结构，当n ＝1,3,5,7,9,11时满足条件，执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36.答案 3610．解析 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确．答案 ④11．解析 因为函数f (x )在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3,0)的距离的平方，点P 到边界a ＋b ＋2＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，到点(－1,0)的距离的平方为4，因为可行域不含边界，所以z 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 12．解析 因为a ＋2b 平行于直线y ＝2x ＋1，所以可设a ＋2b ＝(m,2m )，所以|a＋2b |2＝5 m 2＝5，解得m ＝1或－1，a ＋2b ＝(1,2)或(－1，－2)，所以a ＝(1,2)－(4－2)＝(－3,4)或(－1，－2)－(4，－2)＝(－5，0)．答案 (－3,4)或(－5,0)13．解析 作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1,1)．答案 (－1,1)14．解析 因为f (x ＋2)＝f (x )⇒f (x )的周期为2，所以f (x )，x ∈[－1,0]的单调性与[－3，－2]一致，单调递减，又f (x )是偶函数，所以在[0,1]上单调递增．又α，β是锐角三角形的两个内角，所以π2＜α＋β＜π⇒0＜π2－β＜α＜π2⇒1＞sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β＞0⇒f (sin α)＞f (cos β)． 答案 f (sin α)＞f (cos β)。
【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 必考问题 专项突破《必考问题5 解
π π 11π ∵0＜C＜π，∴－6＜2C－6＜ 6 ， π π π ∴2C－6＝2，∴C＝3，sin B＝2sin A，
a 1 由正弦定理，得 ＝ ，① b 2 π 由余弦定理，得 c ＝a ＋b －2abcos ，即 a2＋b2－ab＝3，② 3
[审题视点] (1)将原函数解析式通过恒等变换化简成 y＝Asin(ωx ＋φ)形解决； (2)通过正、余弦定理的结合解题． [听课记录]
1＋cos 2x 1 π 3 2x－ －1， 解 (1)f(x)＝ 2 sin 2x－ － ＝ sin 6 2 2
2π 则 f(x)的最小值是－2，最小正周期是 T＝ 2 ＝π.
2．余弦定理及其推论 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 推论：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ， a2＋b2－c2 cos C＝ .变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2 2ab ＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
3．(2011· 江苏，15)在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为 a， b，c.(1)若
π sinA＋6＝2cos
A，求 A 的值；
1 (2)若 cos A＝ ，b＝3c，求 sin C 的值． 3
解
π (1)∵sinA＋6＝2cos
A，∴sin A＝ 3cos A，
必考问题5 解三角形
抓 住 命 题 方 向
【真题体验】 1． (2012· 南京、 盐城模拟)在△ABC 中， 已知 sin A∶sin B∶sin C ＝2∶3∶4，则 cos C＝________. 解析 因为 sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，由正弦定理可得 a∶b∶c＝2∶3∶4，不妨设 a＝2k，b＝3k，c＝4k(k＞0)，则 a2＋b2－c2 4k2＋9k2－16k2 1 由余弦定理可得 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2k×3k 1 答案 －4
2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选过关检测1 苏教版(2)
2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选过关检测1 苏教版(2)一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则该幂函数的解析式为f (x )＝________.2．(xx·山东改编)函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为________．3．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋3，若f ⎝⎛⎭⎪⎫12 013＝4，则f (2 013)值为________．4．(xx·泰州期末)设A 为奇函数f (x )＝x 3＋x ＋a (a 为常数)图象上一点，在A 处的切线平行于直线y ＝4x ，则A 点的坐标为________． 5．(xx·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f x ＋1， x ≤2，3－x， x ＞2，则f (log 32)的值为________．6．设f (x )＝x 3＋log 2()x ＋x 2＋1，则不等式f (m )＋f (m 2－2)≥0(m ∈R )成立的充要条件是________．(注：填写m 的取值范围)7．定义在R 上的偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx (a ，b ∈R )，若y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b 的最小值为________．9．给出下列说法：①若f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数f (x )的极值；②若f (x 0)是函数f (x )的极值，则f (x )在x 0处可导；③函数f (x )至多有一个极大值和一个极小值；④定义在R 上的可导函数f (x )，若方程f ′(x )＝0无实数解，则函数f (x )无极值．其中正确说法的序号是________(填上你认为正确的所有说法的序号)10．(xx·盐城模拟)若y ＝f (x )是定义在R 上周期为2的周期函数，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________． 11．(x x·常州质检)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数 f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ＞k ，k ，f x ≤k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为______________．12．(xx·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________.13．(xx·南通密卷)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，那么k 的取值范围是________．14．对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减．其中是真命题的是________．(写出所有真命题的序号)二、解答题(本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|的单调递增区间和值域；(2)若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在[0,3]上有唯一解，求m 的取值范围． 16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x－kx ，x ∈R .(1)若k ＝e ，试确定函数f (x )的单调区间；(2)若k ＞0，且对于任意x ∈R ，f (|x |)＞0恒成立，试确定实数k 的取值范围． 17．(本小题满分14分)(xx·南京、盐城模拟)在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v (米/单位时间)，单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v2(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数；(2)设0＜v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最少．18．(本小题满分16分)(xx·苏北四市调研)若函数f (x )在(0，＋∞)上恒有xf ′(x )＞f (x )成立(其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)，则称这类函数为A 型函数． (1)若函数g (x )＝x 2－1，判断g (x )是否为A 型函数，并说明理由；(2)若函数h (x )＝ax －3－ln x －1－ax是A 型函数，求函数h (x )的单调区间；(3)若函数f (x )是A 型函数，当x 1＞0，x 2＞0时，证明f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)． 19．(本小题满分16分)(xx·泰州期末)已知函数f (x )＝12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋12a ln x －2ax .(1)当a ＝－12时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )在f ′(x )的单调区间上也是单调的，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分16分)(xx·扬州中学质检)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞2x 的解集为(－1,3)．(1)若函数g (x )＝xf (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，求a 的取值范围；(2)当a ＝－1时，证明方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根；(3)当x ∈[0,1]时，试讨论|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件．过关检测(一) 1．解析 设幂函数f (x )＝x α，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14代入解得α＝－2，故该幂函数的解析式为f (x )＝x －2.答案 x －22．解析 根据使函数有意义的条件求解．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.答案 (－1,0)∪(0,2]3．解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＝4，∴a log 212 013－b log 312 013＋3＝4，即－a log 22 013＋b log 32 013＋3＝4，∴a log 22 013－b log 32 013＝－1， ∴f (2 013)＝a log 22 013－b log 32 013＋3＝－1＋3＝2. 答案 24．解析 由函数f (x )＝x 3＋x ＋a (a 为常数)为奇函数得a ＝0，设点A 的横坐标为x ，则f ′(x )＝3x 2＋1＝4，解得x ＝－1或1，又f (－1)＝－2，f (1)＝2，所以A 点的坐标为(1,2)或(－1，－2)．答案 (1,2)或(－1，－2)5．解析 因为log 32∈(0,1)，所以log 32＋2∈(2,3)，所以f (log 32)＝f (log 32＋2)＝3－(log 32＋2)＝12×19＝118.答案 1186．解析 判断函数是奇函数，且在R 上是递增函数，∴f (m )＋f (m 2－2)≥0即为f (m 2－2)≥－f (m )＝f (－m )，∴m 2－2≥－m ，解得m ≥1或m ≤－2. 答案 m ≥1或m ≤－27．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，所以不等式f (a )≥f (2)即为f (|a |)≥f (2)，又函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以|a |≥2，解得a ≥2或a ≤－2.答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)8．解析 由题意可知f ′(x )＝x 2＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立，∴1－2a －b ≤0且4＋4a －b ≤0，作出可行域如图，当直线经过两直线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，取得最小值32. 答案 329．解析 对于说法①，对于可导函数f (x )，f (x 0)是函数f (x )的极值，除了要有f ′(x 0)＝0，还要在x ＝x 0的左右两边的导函数符号相反，所以①错误；f (x 0)是函数f (x )的极值时，由极值的概念可知，f (x )在x 0处不一定可导，所以②错误；函数f (x )极值点的个数可能有多个，所以③错误；方程f ′(x )＝0无实数解，则函数f (x )肯定无极值，但它的逆命题不对，所以答案选择④.答案 ④10．解析 利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝log 3|x |的图象如图，由图象可知原函数有4个零点．答案 4 11．解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3|x |，x ＜－33或x ＞3313，－33≤x ＜0或0＜x ≤33，所以函数f 13(x )的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－33. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－33(开区间也对) 12．解析 因为0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，所以0＜m ＜1＜n ，且m ＝1n.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2， 所以最大值为f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，所以m 2＝14，因为0＜m ＜1，所以m ＝12，n ＝2，所以m ＋n ＝52.答案 5213．解析 由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a2－b －k ＝－b⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，9414．解析 ∵定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数，①正确；∵f (x ＋2π)≠f (x )，∴2π不是函数f (x )的周期，②错误； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≠－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，∴点(π，0)不是函数f (x )的图象的一个对称中心，③错误； ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，又∵函数f (x )是偶函数，∴在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减，④正确，所以真命题的序号是①④. 答案 ①④15．解 (1)利用复合函数的单调性可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|的单调递增区间即为函数y ＝|x ＋2|的递减区间，即(－∞，－2)；∵|x ＋2|≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|∈(0,1]，即值域为(0,1]；(2)原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x －m ＞03－x ＞00≤x ≤3－x 2＋3x －m ＝3－x⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜3－x 2＋4x －3＝m令y 1＝－x 2＋4x －3，y 2＝m ，在同一坐标系内，画出它们的图象，如图．其中注意0≤x ＜3，当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时，原方程有唯一解，当m ＝1，或－3≤m ≤0时，原方程有唯一解，因此m 的取值范围为[－3,0]∪{1}．16．解 (1)由k ＝e 得f (x )＝e x－e x ，所以f ′(x )＝e x－e.由f ′(x )＞0得x ＞1，故f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 由f ′(x )＜0得x ＜1，故f (x )的单调递减区间是(－∞，1)． (2)由f (|－x |)＝f (|x |)可知f (|x |)是偶函数．于是f (|x |)＞0对任意x ∈R 恒成立等价于f (x )＞0对任意x ≥0恒成立．由f ′(x )＝e x－k ＝0得x ＝ln k . ①当k ∈(0,1]时，f ′(x )＝e x －k ＞1－k ≥0(x ＞0)．此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增．故f (x )≥f (0)＝1＞0，符合题意．②当k ∈(1x (0，ln k ) ln k (ln k ，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减 极小值 单调递增依题意，k －k ln k ＞0，又k ＞1，∴1＜k ＜e.综合①，②得，实数k 的取值范围是0＜k ＜e.17．解 (1)潜入水底用时30v ，用氧量为30v×cv 2＝30cv ；水底作业时用氧量为5×0.4＝2；返回水面用时60v ，用氧量为60v ×0.2＝12v.所以y ＝30cv ＋2＋12v(v ＞0)．(2)y ＝30cv ＋2＋12v≥2＋230cv ×12v＝2＋1210c .当且仅当30cv ＝12v，即v ＝25c时取等号． 当25c ≤5，即c ≥2125时，v ＝25c时，y 的最小值2＋1210c . 当 25c ＞5，即c ＜2125时，y ′＝30c －12v 2＝30cv 2－12v 2＜0，因此函数y ＝30cv ＋2＋12v在(0,5]上为减函数，所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋225.综上，当c ≥2125时，下潜速度为 25c 时，用氧量最小为2＋1210c ；当0＜c ＜2125时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c ＋225.18．解 (1)因为g ′(x )＝2x ，所以xg ′(x )－g (x )＝2x 2－(x 2－1)＝x 2＋1＞0在(0，＋∞)上恒成立，即xg ′(x )＞g (x )在(0，＋∞)上恒成立，所以g (x )＝x 2－1是A 型函数．(2)h ′(x )＝a －1x ＋1－a x 2(x ＞0)，由xh ′(x )＞h (x )，得ax －1＋1－ax＞ax －3－ln x －1－ax，因为x ＞0，所以可化为2(a －1)＜2x ＋x ln x ，令p (x )＝2x ＋x ln x ，p ′(x )＝3＋ln x ，令p ′(x )＝0，得x ＝e －3，当x ∈(0，e －3)时，p ′(x )＜0，p (x )是减函数；当x ∈(e －3，＋∞)时，p ′(x )＞0，p (x )是增函数，所以p (x )min ＝p (e －3)＝－e －3，所以2(a －1)＜－e －3，a ＜1－12e －3.①当a ＝0时，由h ′(x )＝1－xx2＞0，得x ＜1，所以增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；②当a ＜0时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得0＜x ＜1，所以增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； ③当0＜a ＜12时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得x ＜1，或x ＞1－a a ，所以增区间为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，1；④当a ＝12时，h ′(x )≥0，所以，函数增区间为(0，＋∞)；⑤12＜a ＜1－12e －3时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得x ＜1－a a，或x ＞1， 所以增区间为(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，1.(3)证明：函数f (x )是(0，＋∞)上的每一点处都有导数，且xf ′(x )＞f (x )在(0，＋∞)上恒成立，设F (x )＝f x x ，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2＞0在(0，＋∞)时恒成立， 所以函数F (x )＝f xx在(0，＋∞)上是增函数，因为x 1＞0，x 2＞0，所以x 1＋x 2＞x 1＞0，x 1＋x 2＞x 2＞0， 所以F (x 1＋x 2)＞F (x 1)，F (x 1＋x 2)＞F (x 2)， 即f x 1＋x 2x 1＋x 2＞f x 1x 1，f x 1＋x 2x 1＋x 2＞f x 2x 2，所以f (x 1)＜x 1f x 1＋x 2x 1＋x 2，f (x 2)＜x 2f x 1＋x 2x 1＋x 2，两式相加，得f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)．19．解 (1)f (x )＝12x 2－116ln x ＋x (x ＞0)，f ′(x )＝x －116x ＋1＝16x 2＋16x －116x＝0解得x ＝－2－54或－2＋54，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－2＋54时单调减，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2＋54，＋∞时单调增，故f (x )在x ＝－2＋54时取极小值，无极大值．(2)f ′(x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12ax (x ＞0)，令g (x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12a ，Δ＝4a 2－3a 2－2a ＝a 2－2a ，设g (x )＝0的两根为x 1，x 2(且x 1＜x 2)， 10当Δ≤0时，即0≤a ≤2，f ′(x )≥0，∴f (x )单调递增，满足题意 20当Δ＞0时，即a ＜0或a ＞2时，①若x 1＜0＜x 2，则34a 2＋12a ＜0，即－23＜a ＜0时，f (x )在(0，x 2)上单调减，(x 2，＋∞)上单调增，f ′(x )＝x ＋34a 2＋12a x－2a ， f ′′(x )＝1－34a 2＋12a x2≥0，∴f ′(x )在(0，＋∞)单调增，不合题意； ②若x 1＜x 2＜0则⎩⎪⎨⎪⎧ 34a 2＋12a ≥0a ＜0，即a ≤－23时f (x )在(0，＋∞)上单调增，满足题意．③若0＜x 1＜x 2则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a ＞0a ＞0即a ＞2时，∴f (x )在(0，x 1)单调增，(x 1，x 2)单调减，(x 2，＋∞)单调增，不合题意综上得a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[0,2] 20．解 (1)∵f (x )－2x ＞0的解集为(－1,3)，∴可设f (x )－2x ＝a (x ＋1)(x －3)，且a ＜0，因而f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＋2x ＝ax 2＋2(1－a )x －3a ① g (x )＝xf (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax ，∵g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a3内单调递减，∴g ′(x )＝3ax 2＋4(1－a )x －3a 在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a3上的函数值非正，由于a ＜0，对称轴x ＝2a －13a ＞0，故只需g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 33＋43a (1－a )－3a ≤0，注意到a＜0，∴a 2＋4(1－a )－9≥0，得a ≤－1或a ≥5(舍去)． 故所求a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，即证方程2x 3＋x 2－4x －4＝0仅有一个实数根．令h (x )＝2x 3＋x 2－4x －4，由h ′(x )＝6x 2＋2x －4＝0，得x 1＝－1，x 2＝23，易知h (x )在(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－1，23上递减，h (x )的极大值h (－1)＝－1＜0，故函数h (x )的图象与x 轴仅有一个交点，∴a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，得证．(3)设r (x )＝f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1＝ax 2＋x ＋1，r (0)＝1，对称轴为x ＝－12a，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ＜0r 1＝a ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝1－14a ≤3r 1＝a ＋2≥－3，解出－5≤a ＜0，故使|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件是－5≤a ＜0.27140 6A04 樄21335 5357 南g^31967 7CDF糟U?Fc38664 9708 霈 25076 61F4 懴36070 8CE6 賦|•。
【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 必考问题 专项突破《必考问题1 函
(3)幂函数是A级要求，不是热点考点，但要了解幂函数的概
念以及简单幂函数的性质． 试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考 查．
【应对策略】
函数问题往往涉及许多重要的基础知识，不仅有常见的数
学方法，还蕴含丰富的数学思想 ( 如：等价转化、分类讨论、 数形结合等)，体现了数学能力的高层次要求． 在备考复习中，解答函数填空题，要注意小、巧、活，而 函数综合题是江苏卷近几年每年必考的代数论证能力题的主要
1 1 即 2x＋1＞0， 解得 x＞－2， 所以所求单调增区间是－2，＋∞.
答案
1 － ，＋∞ 2
2．(2011· 江苏，2改编)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调
递增，则a的取值范围为________．
解析 根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为
解析 由题意可得 g(x)＝ex＋ae x 为奇函数， 由 g(0)＝0， 得a
－
ห้องสมุดไป่ตู้
＝－1. 答案 －1
1 4．(2012· 南京、盐城模拟)若函数f(x)＝a－ x 是定义在(－ 2 －1 ∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域为 ________．
解析
1 1 由题意可得 f(－1)＝－f(1)， 解得 a＝－2， 所以 f(x)＝－2
3．二次函数的图象与性质 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象形状、对称轴、顶点坐标、
开口方向等是处理二次函数问题的重要依据．
(2)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合， 特别是含参数的两种类型：“定轴动区间、定区间动轴”的 问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间 中点，一轴指的是对称轴．
(推荐)高中新课程数学(苏教)二轮复习精选_25个必考问题__《必考问题20_排列组合、概率、随机变
命题角度一 与计数原理有关的问题 [命题要点] 此类问题较为综合，涉及的知识面较广，思考的 难度和广度较大，应加强训练．
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【例 1】►(2011·江苏，23)设整数 n≥4，P(a，b)是平面直角坐标 系 xOy 中的点，其中 a，b∈{1,2,3，…，n}，a＞b. (1)记 An 为满足 a－b＝3 的点 P 的个数，求 An； (2)记 Bn 为满足13(a－b)是整数的点 P 的个数，求 Bn.
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2．概率、随机变量及其分布 (1)求随机变量的概率分布的基础是求随机变量取各个可能 值的概率，其中要注意随机变量取各个可能值的概率满足 的性质．对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要 熟练掌握．
n
(2)随机变量的均值(期望)：E(X)＝∑i＝1xipi；
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热点命题 角度
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必备方法 1．解排列、组合问题时注意以下几点：(1)审题分析是排列
问题，还是组合问题，按照元素的性质分类，按照事件 发生的过程分步；(2)分清运算的性质，只要是分类计数， 就是加法运算，只要是分步计数，就是乘法运算，在综 合问题中，常常在分类中有分步，在分步中有分类；(3) 要掌握定位排列的处理方法，掌握分类组合处理的思想 方法；(4)排列、组合问题的答案较大时，不易直接验证， 因此在检查结果是否正确时，应该着重检查所设计的解 决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可以通过 一题多解验证结论．
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(2)特殊的概率分布列：①0－1分布(两点分布)符号表示：X～0 －1分布； ②超几何分布：1°符号表示：X～H(n，M，N)； 2°概率分布列：X～H(r；n，M，N)＝P(X＝r)＝CrMCCMNnN－－rM； ③二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1°符号表示： X～B(n，p)；2°概率分布列：P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k. 注意：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝r)＋…＋P(X＝n) ＝1.
【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 必考问题 专项突破《必考问题14
4．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．
5．全称命题与存在性命题的否定 含有一个量词的命题的否定规律是：将量词属性改变， 再将“肯定”变为“否定”．一般形式是：“∀ x∈M， p(x)”的否定为“ ∃ x∈M ，非 p(x)”；“ ∃ x∈M ， p(x)” 的否定为“∀x∈M，非p(x)”．
3．(2010·江苏，1改编)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2
＋3}，A∩B＝{1}，则实数a＝________.
解析 考查集合的运算推理.1∈B，a＋2＝1，a＝－1.此
时B＝{1,4}，则A∩B＝{1}．所以a＝－1. 答案 －1
4．(2012·南通模拟，1)已知数集M＝{－1,0，x－2}中有3个 元素，则实数x不能取的值构成的集合为________． 解析 根据集合元素的互异性，x－2≠ －1且x－2≠0，
必考问题14 集合与常用 逻辑用语(备用)
抓 住 命 题 方 向
【真题体验】 1 ． (2012· 江苏， 1) 已 知集合 A ＝ {1,2,4} ， B ＝ {2,4,6} ，则
A∪B＝________.
解析 由集合的并集意义得A∪B＝{1,2,4,6} 答案 {1,2,4,6}
2 ． (2011· 江 苏 ， 1) 已 知 集 合 A ＝ { － 1,1,2,4} ， B ＝ { － 1,0,2}，则A∩B＝________. 解析 由集合的交集意义得A∩B＝{－1,2} 答案 {－1,2}
必 备 知 识 方 法
必备知识 1．集合的基本概念
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．
【拿高分-选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习总结精选第一部分
解 设等差数列{an}的公差为 d，
a1＝2， 由已知：10a1＋10× 2 9d＝15，
解得 a1＝2，d＝－19，
An＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n＝na1＋d[1＋3＋7＋…＋(2n－1)] ＝na1＋d(2＋22＋23＋…＋2n－n)＝2n－192－1－2n2＋1－n
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必 备 知 识方 法
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必备知识 1．等差、等比数列的通项公式
等差数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d； 等比数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1＝amqn－m 2．等差、等比数列的前 n 项和 (1)等差数列的前 n 项和为 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 特别地，当 d≠0 时，Sn 是关于 n 的二次函数，且常数项为 0，即可设 Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)．
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【高考定位】 高考对本内容的考查主要有： (1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公 式、前n项和等概念，一般不会单独考查； (2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都 是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前 n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活 应用． 试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在 解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．
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[审题视点] (1)先求出数列{an}的首项和公差，根据已知条件列 出 a1、d 为未知数的方程组即可求解； (2)由{an}成等差数列，得{2an}成等比数列． [听课记录]
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解 (1)由{an}是公差不为 0 的等差数列， 可设 an＝a1＋(n－1)d，则由aS227＋＝a732，＝a24＋a25，
(新课程)高中数学二轮复习 精选考前小题狂练4 理 版
小题狂练(四)(限时40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |x 2＋y 2＝1}和集合B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B 等于( )．A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(0，＋∞)D ．{(0,1)，(1,0)}2．复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“α＝2k π－π4(k ∈Z )”是“tan α＝－1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为( )．A ．20,15,15B ．20,16,14C ．12,14,16D ．21,15,14 5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )．6．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．67．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝( )．A ．8B ．6C ．4D ．28．若 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )．A ．2B ．3C ．4D ．69．函数f(x)＝e 1－x 2的部分图象大致是( )．10．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－2,1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则|2a －λb |的值为( )．A ．1 B. 5 C ．5 D ．5 511．在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( ).A.1 B．2 C．3 D．412．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表.f(x)的导函数下列关于函数f(x)的命题：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为________________．14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且c＝3，a＝2，a＝2b sin A，则△ABC的面积为________．15．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________． 16. 下面四个命题：①已知函数f (x )＝sin x ，在区间[0，π]上任取一点x 0，则使得f (x 0)>12的概率为23；②函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； ③命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥34”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<34”；④若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，则f (2 012)＝0. 其中所有正确命题的序号是________．参考答案 【小题狂练(四)】1．B2．B [因为(3＋4i)·i＝－4＋3i ，所以在复平面上对应的点位于第二象限，选B.]3．A [由α＝2k π－π4(k ∈Z)可得tan α＝－1；而由tan α＝－1得α＝k π－π4(k∈Z)，故选A.]4．B [根据系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N.第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数为20,16,14.] 5．B6．B [当A ＝1，S ＝1时，执行S ＝S ＋2A，A ＝A ＋1后，S 的值为3，A 的值为2，……依次类推，当A ＝4时，执行S ＝S ＋2A，A ＝A ＋1后，S 的值为31，A 的值为5，所以M 的值为4.]7．A [由题意可知a ＝1，且点P 在右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝2，又3|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8.]8．A [由题意知，a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2，故选A.] 9．C [容易得出函数f (x )是偶函数，且f (x )>0恒成立，故选C.] 10．D [a ＋λb ＝(4,3)＋λ(－2,1)＝(4－2λ，3＋λ)， ∵(a ＋λb )⊥b ，∴(4－2λ，3＋λ)·(－2,1)＝0，解得λ＝1,2a －λb ＝(8,6)－(－2,1)＝(10,5)，|2a －λb |＝102＋52＝5 5.]11．A [先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表可得，所以选12．D [①显然错误；③容易造成错觉，t max ＝5；④错误，f (2)的不确定影响了正确性；②正确，可有f ′(x )<0得到．] 13．解析 待定系数法求圆的方程．答案 (x －3)2＋y 2＝414．解析 由题意知，b sin A ＝1，又由正弦定理得：b sin A ＝2sin B ，故解得sin B ＝12，所以△ABC 的面积为12ac sin B ＝32.答案 3215．解析 等式左边第一个数为对应行数，每行的整数个数为奇数个，等式右边为对应奇数个的平方，所以通项公式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)216．解析 ②错误，应该向左平移π6；①使得f (x 0)>12的概率为p ＝56π－16ππ＝23；④f (2 012)＝f (0)＝0. 答案 ①③④。
拿高分选好题第二波高中新课程数学苏教二轮复习精选第二部分 90分解答题大冲关 优质课件
③当 s＝2n＋1(n∈N*)时，t＝aas＋－1b＝aaa2＋n－1ba，
若 a＞2，则 a2n－ba∉N*，又 a 与 a＋1 互质，故此时 t＝aaa2＋n－1ba
∉N*.
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若 a＝2，要 a2n－ba∈N*，则要 b＝2，此时 a2n－ba＝a2n－1， 由②知，a2n－1 能被 a＋1 整除， 故 t＝aaa2＋n－1ba∈N*，即 as－b 能被 a＋1 整除． 当且仅当 b＝a＝2 时，as－b 能被 a＋1 整除． 此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为 zn＝ 22n＋1(n∈N*)．
q＝2.
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(2)由(1)知，Sn＋1＝12Sn＋2，① 当 n≥2 时，Sn＝12Sn－1＋2，② ①－②得，an＋1＝12an(n≥2)，(6 分) 又 a2＝12a1，所以 an＋1＝12an(n∈N*)，所以{an}是首项为 2，公比 为12的等比数列，所以 an＝2n1－2.(8 分)
专题二 90分解答题大冲关 与评分细则
掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列问题
【示例】► (徐州市 2011－2012 学年度高三第一次质量检测 20) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＋1＝pSn＋q(p，q 为常 数，n∈N*)，a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p. (1)求 p，q 的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)是否存在正整数 m，n，使SSn＋n－1－mm＜2m2＋m 1成立？若存在， 求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，说明理 由．
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即2n4－2m－2＞2m＋1 1，因为 2m＋1＞0，所以 2n(4－m)＞2， 所以 m＜4，且 2＜2n(4－m)＜2m＋1＋4，(*)，因为 m∈N*，所以 m＝1 或 2 或 3.(12 分) 当 m＝1 时，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以 n＝1； 当 m＝2 时，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以 n＝1 或 2； 当 m＝3 时，由(*)得，2＜2n＜20，所以 n＝2 或 3 或 4， 综上，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为：(1,1)，(2,1)， (2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16 分)
【精选】【拿高分,选好题第二波】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 分解答题大冲关14
【突破训练】 (2012·苏锡常镇调研测试(一))在△ABC 中，角 A，
B，C
的对边分别为
a，b，c，向量
m＝2cosC2 ，－sin
C，n
＝cosC2 ，2sin
C，且
m⊥n.
(1)求角 C 的大小；
(2)若 a2＝2b2＋c2，求 tan A 的值．
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解 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0.则 2cos2C2－2sin2C＝0.(2 分) (阅卷说明：无中间分) ∵C∈(0，π)，∴cosC2＞0，sin C＞0.∴cosC2＝sin C(4 分) (阅卷说明：得到 2cos2C＋cos C－1＝0 也得 2 分) 则 sinC2＝12.(6 分) 又C2∈0，π2，∴C2＝6π.则 C＝π3.(8 分) (阅卷说明：以上有一处写范围不扣分，否则扣 1 分)
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3．解决三角函数的化简、求值与证明问题的基本思路是：第 一，观察角与角之间的关系，注意角的变形应用，角的变 换是三角函数变换的核心；第二，看函数名称之间的关系， 通常是统一为正弦、余弦函数的形式；第三，观察代数式 的结构特点，对于三角公式要记忆准确，应用公式要认真 分析，合理转化，避免盲目性．
是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解
题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：
①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一
系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能
解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题
层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结
4．解三角形或多边形问题均以三角形为载体，其解题过程的 实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，解 题要从三角形的边角关系入手，依据题设条件合理设计解 题程序，灵活进行边角之间的互化．
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1．集合M ＝{x |lg x ＞0}，N ＝{x |x 2
≤4}，则M ∩N ＝________. 2．设i 为虚数单位，则复数
3＋4i
i
＝________. 3．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2
＋y 2
＝16
内的概率为________．
4．高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量
为4的样本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________． 5．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，
A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程
图输出的结果是________．
6．若命题“∃x ∈R ，使得x 2
＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的范围________． 7．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.
8．设f (x )＝x 2
－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________．
9．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________. 10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2
＋ac ＋c 2
－b 2
＝________.
11．当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________．
12. 曲线y ＝
x
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为________．
13．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________．
14．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如
果实数m 、n 满足不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＞3，
f m 2
－6m ＋23＋f n 2
－8n
＜0，
那么m 2＋n 2
的取值范围是________．
参考答案 小题狂练(一)
1．解析 M ＝{x |lg x ＞0}＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2
≤4}＝{x |－2≤x ≤2}．
答案 M ∩N ＝{x |1＜x ≤2}
2．解析 依题意：3＋4i i ＝3＋4i
i
i 2
＝4－3i.
答案 4－3i
3．解析 ∵试验发生的总事件数是6×6，
而点P 落在圆x 2
＋y 2
＝16内包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，由古典概型公式得到P ＝86×6＝2
9.
答案 29
4．解析 根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题．将48人分成4组，每组12人，所
以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17.
答案 17
5．解析 依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次
数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10.
答案 10
6．解析 由题意：x 2
＋(a －1)x ＋1＞0恒成立． 则对应方程x 2
＋(a －1)x ＋1＝0无实数根． 则Δ＝(a －1)2－4＜0，
即a 2
－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.
答案 －1＜a ＜3
7．解析 因为a·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝85，所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＝4
5.
答案 4
5
8．解析 f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x
＝
2x －2
x ＋1x
＞0，解
得－1＜x ＜0或x ＞2，所以f ′(x )＞0 的解集(2，＋∞)．
答案 (2，＋∞)
9．解析 因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 2
4＝8⇒a 4＝22＝a 1q 3
⇒q ＝2，所以S 8＝
1－2
8
1－2＝15(2＋1)．
答案 15(2＋1)
10．解析 利用余弦定理，再变形即得答案．
答案 0
11．解析 因为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，
x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，π2⇒x ＋π
3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，5π6⇒sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤
1
2，1⇒y ∈(1,2]，所以值域为(1,2]．
答案 (1,2]
12．解析 y ′＝2
x ＋2
2
，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1.
答案 y ＝2x ＋1
13．解析 如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)
与直线y ＝2x 有交点，则应有b a ＞2，∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2
＝c 2a
2＞5，e ＞ 5.
答案 e ＞ 5
14．解析 由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得，f (n 2
－8n )＝f [(n 2
－8n －1)＋1]＝－f [1－(n 2
－8n
－1)]＝－f (－n 2
＋8n ＋2)，所以f (m 2
－6m ＋23)＜－f (n 2
－8n )＝f (－n 2
＋8n ＋2)，又f (x )是定义在R 上的增函数，所以m 2
－6m ＋23＜－n 2
＋8n ＋2，即为(m －3)2
＋(n －4)2
＜4，且
m ＞3，所以(m ，n )在以(3,4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3,2)时，m 2＋n 2
＝13，圆心(3,4)到原点的距离为5，此时m 2
＋n 2
＝(5＋2)2
＝49，所以m 2
＋n 2
的取值范围是(13,49)．
答案 (13,49)。