力矩分配法
力矩分配法
§8.1力矩分配法的基本概念力矩分配法是在位移法的基础上发展起来的一种渐近法，它主要应用于分析连续梁和无结点线位移的刚架。
杆端弯矩的正负号规定与位移法相同。
一、名词解释1.转动刚度S ij转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
远端固定：S AB=4i远端铰支：S AB=3i远端滑移：S AB=i远端自由：S AB=0其中：i=EI/l；2.分配系数μij由转动刚度的定义可知：M AB= S AB•θA=4i AB•θAM AC= S AC•θA=i AC•θAM AD= S AD•θA=3i AD•θA取结点A为隔离体，列ΣM=0，可得：M= S AB•θA+ S AC•θA+ S AD•θAM M∴θ= ──────── = ──S AB + S AC + S AD ΣSΣS表示各杆A端转动刚度之和，把θ反代入，可得：M AB=M• S AB/ΣS M AC=M• S AC/ΣS M AD=M• S AD/ΣS令μAj= S Aj/ΣS 则 M Aj=μAj•MμAj称为分配系数，等于某杆的转动刚度与交于结点的各杆的转动刚度之和的比值；同一结点各杆分配系数之间存在下列关系：ΣμAj=μAB +μAC +μAD = 13.传递系数C AjM AB =4i AB•θA，M BA =2i AB•θAM AC =i AC•θA， M CA = -i AC•θAM AD =3i AD•θA，M DA =0C AB= M BA / M AB =1/2∴远端固定：C=1/2远端滑动：C=-1远端铰支：C=0用下列公式表示传递系数的应用：M BA = C AB• M AB系数C AB称为由A端至B端的传递系数；二、力矩分配的基本概念如下图所示结构，用位移法计算时，此结构有一具未知量Z1，典型方程为：r11•Z1 + R1p = 0r11=3i12 + i13 + 4i14 = S12 + S13 + S14 =ΣSR1P =ΣM1j g =M12g +M13g =M1gR1P代表附加刚臂上反力矩，它等于汇交于结点1的各杆端的固端弯矩的代数和，用M1g表示。
力矩分配法
力矩分配法简介力矩分配法是一种常用的工程分析方法，用于计算和分析物体受到的力的分布情况以及力矩的平衡。
根据力矩分配法，物体处于平衡状态时，所有作用于物体上的力矩和为零。
利用这个原理，可以计算物体上各点的力的大小和分布。
基本原理力矩是一个力在距离某一点的作用线上产生的旋转效果。
当物体受到多个力作用时，在平衡状态下，力的合力和力矩的合力都为零。
根据力矩的定义，可以得到如下的力矩分配方程：其中，表示物体上所有力矩的代数和。
力矩分配法的步骤力矩分配法一般包括以下几个步骤：1.给定各个力的大小和作用点位置。
2.计算每个力的力矩。
力的力矩可以通过力乘以力臂得到，力臂是力的作用点到某一参考点的直线距离。
3.将各个力矩代入力矩分配方程，求解未知力的大小和作用点位置。
可以利用代数方程或者力矩图等方法进行计算。
4.验证计算结果，检查力矩的合力是否为零，以验证平衡状态。
5.如果力矩不为零，则需要重新调整力的大小和作用点位置，再次计算和验证。
力矩分配法的应用力矩分配法在工程中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用例子：1.结构平衡：力矩分配法可以用于计算结构上各个部分受力的平衡情况，如梁、桁架等结构的受力分析。
2.机械设计：力矩分配法可以用于计算机械装置中各个零件受力的分布情况，如齿轮传动、支撑结构等。
3.车辆平衡：力矩分配法可以应用于汽车、飞机等交通工具的平衡分析，确保车辆的稳定性和安全性。
4.物体悬挂：力矩分配法可以计算物体悬挂时各个支点的受力情况，如吊车、吊车臂等。
总结力矩分配法是一种常用的力学分析方法，通过计算力矩的平衡来推导出物体上各点的力的分布情况。
它在工程中的应用非常广泛，可以用于结构平衡、机械设计、车辆平衡等领域。
使用力矩分配法可以帮助工程师更好地理解和分析各种力的作用情况，从而设计出更加稳定和安全的结构和设备。
第5章 力矩分配法
BA 分配系数：
m 118
A -32 29.5 0.5 32 59 91
91
固端弯矩：
C
ql 2 24 42 M AB 32 12 12 M BC - 3Pl 3 200 4 -150 16 16
B
2
C
l
ql / 8 ql 2 /14 3ql 2 / 56 ql 2 /14 ql 2 /14 ql 2 / 28 A
SCA 4 EI l SCB 3EI l
A
l
解：仅C点有转角位移，结点转动刚度： 力矩分配系数： CA SCA 4 , CB SCB 3 传递系数：
1 3 11 384 117 384 1 12
1 12 1 24 16 384 1 48 40 384
3 16 11 128 35 128
ql
2
解：仅A点有转角位移，结点转动刚度：
1, 3, 4 分配系数： AB 8 AC AD 8 8 1 C 1, C , C AC 0 AD 传递系数： AB 2 11 2 1 1 3 2 F ql ql 固端力及约束力矩： 1P 48 3 12 16 2 分配力矩： 11ql / 48
SC S AB S AC S AD i 3i 4i 8i
• 最后根据各杆端力矩 分配结果画弯矩图。
• 注意跨中荷载的弯矩 叠加。
117 35 16 48 75 48 40 96
1 8
4 8
3 8
1 6 11 384 75 384
1 3 11 384 117 384 1 12
第十七章力矩分配法
M
F AB
ql2 12
1582 12
80kN m
M
F BA
ql 2 12
1582 12
80kN
m
M
F BC
Fl 8
100 6 8
75kN
m
M
F CD
ql 2 8
1582 8
120kN
M
M
F DC
0
2. 确定各刚节点处各杆的分配系数，(可令 EI = 1) B 节点处：
SBA
4iAB
由此可知，一个节点所连各杆的近端杆端分配弯矩总和在数值上等于节点不平衡力矩，
但符号相反，即：
M
BA
M
BC
M
BD
S BA SB
(
M
F B
)
S BC SB
(
M
F B
)
S BD SB
(
M
F B
)
(
M
F B
)
而各杆的近端分配弯矩是将不平衡力矩变号后按比例分配得到的。
3、远端传递弯矩的计算及传递系数 近端杆端分配弯矩可通过固端弯矩按比例分配得到，而远端传递 弯矩则可通过近端位移弯矩得到。 设
1、转动刚度（S）
定义：杆件固定端转动单位角位移所引起的力矩称为该杆的转动刚度，(转动刚度也可
定义为使杆件固定端转动单位角位移所需施加的力矩)。转动刚度与远端约束及线刚度有关
远端固定：
S=4i
远端铰支：
S = 3i
远端双滑动支座： S = i
远端自由：
S = 0 (i 为线刚度)
力矩分配法的基本思路
3. 通过列表方式计算分配弯矩与传递弯矩及杆端弯矩。 4. 叠加计算，得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。
力矩分配法
§7-2 力矩分配法的基本概念
1.正负号的规定
力矩分配法中对杆端弯矩、固端弯矩的正负号规
﹑ 定，与位移法相同，即假设对杆端顺时针转为
正，反之为负；对结点则以逆时针转为正，反之 为负。
MB B MFBC=0
MB
M
F BA
M
F BC
M BFA
（顺时针为正）
A M’AB
MB 放松约束
C
B
(c)
M’BA M’BC
②放松B点的约束，使之由MB到零（原结构没有这
个约束）。
方法：在B点施加力矩-MB
-MB单独作用： 分配力矩： M'BA , M'BC
传递力矩：
M
' AB
③叠加: (b)、 (c)相加后与原结构受力相同。
i AC
1 3
iCE
1 3
AG
4/3 4/3 41/3
0.5
AC
41/ 3 4/3 41/3
0.5
20kN/m A 2I G
I
CI H
I
E
基本结构
CA
41/
3
41/ 3 2/ 3
41/
3
4/3 10 / 3
0.4
CH
2/3 10 / 3
0.2 ,
CE
4/3 10 / 3
0.4
(2)固端弯矩
则: M Aj Aj M 即: M AB AB M
M
D
A
B
A
M AC AC M
M AD AD M
结构力学第七章力矩分配法
§7-1 引言
➢ 力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的 近似方法。
➢ 力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精 度可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。
➢ 从数学上说，是一种异步迭代法。
➢ 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。
➢ 力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分配法 中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号 规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。
1
远端铰支时: 3i A i B
C=0
1
远端定向时: i A i B
C=-1
与远端支承 情况有关
§7-2 力矩分配法的基本原理
例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图
所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
(a)
B
C
A EI
EI
EI l
D
l
l
(b) A
B EI
EI
θB C
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；
可见：各杆B 端的弯矩与各杆B 端的转动刚度成正比。 例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
近端弯矩MBA、MBC为
§7-2 力矩分配法的基本原理
利用结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得
A
B
k=EI/l 3 l
A
θ =1
B
Δ =θ l
FyB=k
SAB
A
B
FyB EI/l
解:当A 端转动θ=1时，因AB杆是刚性转动，所以B 产
生向下的竖向位移Δ=l×θ=l ，弹簧反力FyB=kΔ=EI/l2 。则
9力矩分配法
CB 1
CD 0
③传递系数
1 CCB 2
CBC 0
第9章 力矩分配法
§9-3 对称结构的计算
取一半结构进行计算，注意杆件截半后，线刚度增倍。 例9-3-1 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
q
A EI1 F
B
EI2
K
l2
C
解：设梁的线刚度为i1=EI1/l1 柱的线刚度为i2=EI2/l2
⑸最后一轮循环最后一个结点分配后只向其他结点传递。
第9章 力矩分配法
⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）， 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
A
B
C
D
E
B、D同时分配后向C传递，C分配后再同时向B、D传递，如此循 环。
A
B
C
D
E
F
B、D同时分配后同时向C、E传递，C、E同时分配后再同时向B、 D传递，如此循环。
A
B
15.86 3m 3m
C M (kNm) 6m
结点
A
B
C
解：① 不平衡力矩
m
g AB
Pl 8
20 6 8
15
m
g BA
Pl 8
15
mBgC
ql2 8
9
mBg
m
g BA
mBgC
6
杆端
AB
BA BC CB ②分配系数
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -15
15
-9 0
平衡
分配传递 -1.72 -3.43 -2.57 0
第9章 力矩分配法
§9-1 力矩分配法的基本概念
第7章 力矩分配法
M BA 1 C BA M AB 2
传递系数
远端固定
C AC
M CA 1 M AC M DA 0 M AD
远端滑动
C AD
远端铰支
远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。
§7-1 力矩分配法的基本概念
2பைடு நூலகம்
基本运算（单结点的力矩分配）
计算FP作用下的杆端弯矩。
（1）在结点B加一个阻止转动的约束，阻止B点的转动。
C M CB
28.6 d CM BC 0 ( 42.9) 0
传递弯矩
与远端支承 情况有关
固定状态: F M AB ql 2 / 12 100kN .m
F M BA 100kN .m F F M BC M CB 0
举例分析2：
q 12kN / m
A
A
M AB S AB M S
A
S AB
M S AC S AD
M AD S AD M S
A
M AC
S AC M S
A
§7-1 力矩分配法的基本概念
M AB S AB M S
A
M AC
S AC M S
A
M AD
S AD M S
A
A端弯矩与各杆A端的转动刚度成正比。 统一用下列公式
M Aj Aj M
Aj
S
A
S Aj
——分配系数
力偶M，按各杆的分配系数分配于各杆的A端。 很明显
Aj
1
§7-1 力矩分配法的基本概念
（3）传递系数 由位移法中的刚度方程得
M AB 4i AB A M BA 2i AB A M AC i AC A M CA iCA A M AD 3i AD A M DA 0
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远端
= 4i
( 1 ) 转动刚度 SAB（Rotation Stiffness）
杆件的一端转动单位角度时所需施加的弯 矩，称为该杆端的转动刚度。
它表示杆端抵抗转动能力的大小，与杆 件的线刚度和远端支承情况有关。
( 2 ) 传递系数 CAB （ C转动单位角度时，远端弯矩 与近端弯矩的比值，称为由近端向远端的传 递系数（只与远端支承情况有关）。
解法四：力矩分配法
固端弯矩如图：
分配系数： BC
3, 7
18 2.57
7
-6.0B 0
C
3.43
1
-2.57
BA
4 7
-6.0 1.7A -4.3
-3.0 D
6.87 2.57
4.3 6.87
6.87
3.0 0.0
位移法解答:
3.0
3.0
R2 9.86
R2 9.87
3.0
作业： 9-1；9-4
4
2
1
Z1
r11Z1 R1P
5
即： M1k S1k Z1
M k1 C1k M1k
2
2i12
r11 4i12 3i13 i14 4i15
R1P M
3
0
4i12
3i13
4
4i151 i14
i14
5 2i15
M
r11Z1 R1P
( 4i12 3i13 i14 4i15 )Z1 M
M Z1 S1k
又 M1k S1k Z1
M1k
S1k S1k
M 1k M
分配弯矩
分配系数
同一结点各杆分配系数满足：
1j 1
传递
弯矩 M k1 C1k M1k
P
A
B
P RBP
A
B
RBP
A
B
=+
q
C
一般 情况
q
RBP
M
F BA
M
F BC
C
不平衡力矩 （约束力矩） (附加反力矩）
C
§9－3 举例
矩，然后进行分配传递。
分配系数
A
0.4 0.6 0.667 0.333
B
C
D
固端弯矩 -60 60 -100
100
{I
放松 C 点
放松 B 点 14.7
-33.4 29.4 44.0
-66.7 -33.3 22.0
{II
放松 C 点
放松 B 点 1.5
-7.3 2.9 4.4
{III 放松 C 点 放松 B 点 0.2 杆端弯矩 -43.6
注
分配、传递弯矩 -17.2 -34.3 -25.7
意 要
最终弯矩 -167.2 115.7 -115.7 反
号
167.2 A
115.7 B
90 M图
C
158.2
力矩分配法的求解步骤：
（1）固定结点 — 求出各杆固端弯矩、 结点上的不平衡力矩
结点不平衡力矩 = 汇交于该结点的 各杆端固端弯矩的代数和
100kN
20kN/m
A
EI=1
C
D
B EI=2
EI=1
6m 4m 4m 6m
解: 固定结点，求出各杆端固端弯矩，然 后进行分配传递。
例 2. 求解图示连续梁并作M图。
100kN
20kN/m
B
C
A EI=1
EI=2
EI=1 D
6m
4m 4m 6m
100
100
60 60
基
A
B
C
D
本 结
解: 固定结点，求出各杆端固端弯 构
-0.7 0.3 0.4
92.6 -92.6
-14.7 -7.3 2.2 -1.5 -0.7
41.3 -41.3
据此可作出结构的弯矩图（略）。
能否用力
矩分配法
B
C
求解？
l
EI = 常数
A
D
l
不能
结论：
力矩分配法 （1）基于位移法； （2）是一种渐近法； （3）适合于连续梁和无结点线位移的刚架； （4）其基本原理是逐渐放松结点，消除结点
令：l = a = i = 1
R2
C
a
D
Z1 0.86
R2
9.86
解法三：位移法2
Z1
典型方程： B
rr1211ZZ11
r12 r22
a a
0 R2
A
C
R2
a
D
r11 7i
,
r12
r21
6i l
,
r22
15i l2
Z1
6a 7l
R2
69ia 7l 2
令：l = a = i = 1
Z1 0.86 R2 9.86
9-6
上的不平衡力矩。 （5）宜从不平衡力矩较大的结点开始分配。
思考: 求解图示结构 C 支座的反力。
B
C
看
谁
a
做
l
EI = 常数
得
快!
A
D
l
解法一：力法（略）
Z1
解法二：位移法1
B
典型方程：
r11Z1 R1 0
6i
r11 7i R1 l a A
6a
Z1 7l
支座反力：
R2
69ia 7l 2
MAB= 4iZ Z
i
A
近端
l
MBA= 2iZ
B 远端 CAB = MBA / MAB =2i/4i =0.5
等截面直杆的转动刚度和传递系数
远端支承情况 固定
转动刚度S 4i
传递系数C 1/2
铰支
3i
0
滑动
i
-1
自由或轴向支杆
0
§9－2力矩分配法的基本原理 特例
3
由位移法：
M
r11Z1 R1P 0
（2）放松结点 — 不平衡力矩反号后，进行 分配和传递（需要计算各 杆分配系数）
分配系数
1K
S1K S1K
分配弯矩 = 不平衡力矩反号 x 分配系数
传递弯矩 = 分配弯矩 x 传递系数
（3）计算杆端最后弯矩 近端弯矩 = 固端弯矩 + 分配弯矩 远端弯矩 = 固端弯矩 + 传递弯矩
例 2. 求解图示连续梁并作M图。
例 1. 求解图示连续梁并作 M 图。
200kN
20kN/m
A EI
B
EI
C
3m
3m
6m
解: 固定结点，求出各杆端固端弯矩，然 后进行分配传递。
解: 取基本结构为:
200kN
20kN/m
A EI
B
EI
3m
3m
6m
150 A
150
M
f B
90
B
基
C本
结 构
C
MP图
分配系数
43
77
A
B
C
固端弯矩 -150 150 -90
第九章 力矩分配法
(Moment Distribution Method)
主要内容：
§9－1 基本概念 §9－2 力矩分配法的基本原理 §9－3 举例
已有基础： 1. 用力法求解超静定结构； 2. 用位移法求解超静定结构。
§9－1 基本概念
MAB= 4iZ Z
i
A
近端
l
MBA= 2iZ
B
SAB= MAB/ Z