力矩分配法
力矩分配法
§8.1力矩分配法的基本概念力矩分配法是在位移法的基础上发展起来的一种渐近法，它主要应用于分析连续梁和无结点线位移的刚架。
杆端弯矩的正负号规定与位移法相同。
一、名词解释1.转动刚度S ij转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
远端固定：S AB=4i远端铰支：S AB=3i远端滑移：S AB=i远端自由：S AB=0其中：i=EI/l；2.分配系数μij由转动刚度的定义可知：M AB= S AB•θA=4i AB•θAM AC= S AC•θA=i AC•θAM AD= S AD•θA=3i AD•θA取结点A为隔离体，列ΣM=0，可得：M= S AB•θA+ S AC•θA+ S AD•θAM M∴θ= ──────── = ──S AB + S AC + S AD ΣSΣS表示各杆A端转动刚度之和，把θ反代入，可得：M AB=M• S AB/ΣS M AC=M• S AC/ΣS M AD=M• S AD/ΣS令μAj= S Aj/ΣS 则 M Aj=μAj•MμAj称为分配系数，等于某杆的转动刚度与交于结点的各杆的转动刚度之和的比值；同一结点各杆分配系数之间存在下列关系：ΣμAj=μAB +μAC +μAD = 13.传递系数C AjM AB =4i AB•θA，M BA =2i AB•θAM AC =i AC•θA， M CA = -i AC•θAM AD =3i AD•θA，M DA =0C AB= M BA / M AB =1/2∴远端固定：C=1/2远端滑动：C=-1远端铰支：C=0用下列公式表示传递系数的应用：M BA = C AB• M AB系数C AB称为由A端至B端的传递系数；二、力矩分配的基本概念如下图所示结构，用位移法计算时，此结构有一具未知量Z1，典型方程为：r11•Z1 + R1p = 0r11=3i12 + i13 + 4i14 = S12 + S13 + S14 =ΣSR1P =ΣM1j g =M12g +M13g =M1gR1P代表附加刚臂上反力矩，它等于汇交于结点1的各杆端的固端弯矩的代数和，用M1g表示。
力矩分配法
力矩分配法简介力矩分配法是一种常用的工程分析方法，用于计算和分析物体受到的力的分布情况以及力矩的平衡。
根据力矩分配法，物体处于平衡状态时，所有作用于物体上的力矩和为零。
利用这个原理，可以计算物体上各点的力的大小和分布。
基本原理力矩是一个力在距离某一点的作用线上产生的旋转效果。
当物体受到多个力作用时，在平衡状态下，力的合力和力矩的合力都为零。
根据力矩的定义，可以得到如下的力矩分配方程：其中，表示物体上所有力矩的代数和。
力矩分配法的步骤力矩分配法一般包括以下几个步骤：1.给定各个力的大小和作用点位置。
2.计算每个力的力矩。
力的力矩可以通过力乘以力臂得到，力臂是力的作用点到某一参考点的直线距离。
3.将各个力矩代入力矩分配方程，求解未知力的大小和作用点位置。
可以利用代数方程或者力矩图等方法进行计算。
4.验证计算结果，检查力矩的合力是否为零，以验证平衡状态。
5.如果力矩不为零，则需要重新调整力的大小和作用点位置，再次计算和验证。
力矩分配法的应用力矩分配法在工程中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用例子：1.结构平衡：力矩分配法可以用于计算结构上各个部分受力的平衡情况，如梁、桁架等结构的受力分析。
2.机械设计：力矩分配法可以用于计算机械装置中各个零件受力的分布情况，如齿轮传动、支撑结构等。
3.车辆平衡：力矩分配法可以应用于汽车、飞机等交通工具的平衡分析，确保车辆的稳定性和安全性。
4.物体悬挂：力矩分配法可以计算物体悬挂时各个支点的受力情况，如吊车、吊车臂等。
总结力矩分配法是一种常用的力学分析方法，通过计算力矩的平衡来推导出物体上各点的力的分布情况。
它在工程中的应用非常广泛，可以用于结构平衡、机械设计、车辆平衡等领域。
使用力矩分配法可以帮助工程师更好地理解和分析各种力的作用情况，从而设计出更加稳定和安全的结构和设备。
力矩分配法
C
41.3 C 133.1 D M图（kN· m）
1 CB 0.667 1 1 2 CD 0.333
20kN/m A EI=1 6m 92.6 B EI=2 4m
100kN C 4m EI=1 6m D
43.6
A 21.9 B 133.1 51.8 A 56.4
M图
2M/7 3M/7
q
例题 i
l
4/7 3/7 固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2ql2/56 2ql2/56 ← 4ql2/56 ← 4ql2/56 -ql2/8 3ql2/56 -4ql2/56 4ql2/56 M图 4ql2/56 → → 0 0
l
i
例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
①求固端弯矩；
②将汇交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。
③各杆按各自的传递系数向远端传递。
④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
M
例题
ii
4/7 3/7
ii
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2M/7 2M/7 ←
-M 4M/7 3M/7 4M/7 3M/7 4M/7 → 0 0
S i
S 0
练习
i
k
Sik=4iik
k
i
k
Sik=3iik Sik=0
i
Sik=4iik
k
i
k
i
Sik=4iik
i
k
Sik=4iik
q
Mik=-ql2/12
i l k
Mki=ql2/12
（2）分配系数（按位移法推导） 写出杆端弯矩： M AB＝S AB A 4i AB A M AC＝S AC A i AC A M AD＝S AD A 3i AD A 由 M A＝0 得： M M AB M AC M AD
力矩分配法
iAB=EI/8=3i iBC=EI/6=4i
4(3i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2
, 3(4i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2 BC
BA
将分配系数写在B结点下方的方框内。
(2) 计算各杆端的固端弯矩MF(查表8-1)。
ql2 1282
MF
64kN m
AB
12
图见图9-4(b)所示 。
为了计算更加简单起见,分配弯矩Mμ,及传递弯矩MC的具体 算式可不必另写,而直接在图9-4表格上进行即可. 例9-2 计算图9-5(a)所示刚架的M图。
解: (1) 计算分配系数 。
设i=EI/4, iAB=EI/4=i, iAC=EI/4=i, iAD=2EI/4=2i。
BA
BA
BA
AB
AB
AB
以上就是力矩分配法的基本思路,概括来说:先在B结点加上附加 刚臂阻止B结点转动,把连续梁看作两个单跨粱,求出各杆的固端弯矩 MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和),然后去掉
附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求 出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续 梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。 用力矩分配法作题时,不必绘图9-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格 式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。
第一步放松C结点。
C结点的不平衡力矩MC=60-88=-28kN·m，将其反号分配：
M 283/ 7 12kN m M 28 4 / 7 12kN m
CD
CB
80kN
60kN
11kN/m
(a)
力矩分配法
注意：μ12+μ13+μ14=1 C13=1/2
C12=0
C14=-1 结论
计算简图
远端支承
转动刚度
传递系数
A MAB
θ=1
B MBA B MBA B
固定 铰支
SAB=4i
SAB=3i
CAB=1/2
θ=1 A M
AB
CAB=0
A MAB
θ=1
滑移
MBA
SAB=i
CAB=-1
A MAB
θ=1
B MBA
例2．如图连续梁，用力矩分配法计算并绘弯矩图。
2）加约束确定固端弯矩 和不平衡力矩
M M M
f BC
f
CB
f
CD
1 pl 60kNm 8 1 pl 60kNm 8 1 2 ql 90kNm 8
例2．如图12所示，用力矩分配法计算并绘弯矩图。
1）计算各结点的分配系数 结点B：
第6章 力矩分配法
学习目标
1．牢记力矩分配法的使用条件是没有结点 线位移。 2．掌握力矩分配法计算连续梁和无结点线 位移刚架。
学习重点
力矩分配法计算连续梁 1）计算转动刚度、分配系数和传递系 数； 2）计算各杆固端弯矩和不平衡力矩。 3）不平衡力矩的分配和传递 4）最后杆端弯矩的计算。
第一节 力矩分配法的基本概念
80kN A 3m 3m 80kN A
120 15
B 6m
C 6m
10kN D
10kN 120 120kNm
B C 6m
3m 分配系数 固端弯矩 分配弯矩
3m
单位:kNm
0.5 0 0 90 -75
0.5 60 -75 120 0
力矩分配法
§7-2 力矩分配法的基本概念
1.正负号的规定
力矩分配法中对杆端弯矩、固端弯矩的正负号规
﹑ 定，与位移法相同，即假设对杆端顺时针转为
正，反之为负；对结点则以逆时针转为正，反之 为负。
MB B MFBC=0
MB
M
F BA
M
F BC
M BFA
（顺时针为正）
A M’AB
MB 放松约束
C
B
(c)
M’BA M’BC
②放松B点的约束，使之由MB到零（原结构没有这
个约束）。
方法：在B点施加力矩-MB
-MB单独作用： 分配力矩： M'BA , M'BC
传递力矩：
M
' AB
③叠加: (b)、 (c)相加后与原结构受力相同。
i AC
1 3
iCE
1 3
AG
4/3 4/3 41/3
0.5
AC
41/ 3 4/3 41/3
0.5
20kN/m A 2I G
I
CI H
I
E
基本结构
CA
41/
3
41/ 3 2/ 3
41/
3
4/3 10 / 3
0.4
CH
2/3 10 / 3
0.2 ,
CE
4/3 10 / 3
0.4
(2)固端弯矩
则: M Aj Aj M 即: M AB AB M
M
D
A
B
A
M AC AC M
M AD AD M
结构力学第七章力矩分配法
§7-1 引言
➢ 力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的 近似方法。
➢ 力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精 度可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。
➢ 从数学上说，是一种异步迭代法。
➢ 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。
➢ 力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分配法 中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号 规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。
1
远端铰支时: 3i A i B
C=0
1
远端定向时: i A i B
C=-1
与远端支承 情况有关
§7-2 力矩分配法的基本原理
例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图
所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
(a)
B
C
A EI
EI
EI l
D
l
l
(b) A
B EI
EI
θB C
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；
可见：各杆B 端的弯矩与各杆B 端的转动刚度成正比。 例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
近端弯矩MBA、MBC为
§7-2 力矩分配法的基本原理
利用结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得
A
B
k=EI/l 3 l
A
θ =1
B
Δ =θ l
FyB=k
SAB
A
B
FyB EI/l
解:当A 端转动θ=1时，因AB杆是刚性转动，所以B 产
生向下的竖向位移Δ=l×θ=l ，弹簧反力FyB=kΔ=EI/l2 。则
9力矩分配法
CB 1
CD 0
③传递系数
1 CCB 2
CBC 0
第9章 力矩分配法
§9-3 对称结构的计算
取一半结构进行计算，注意杆件截半后，线刚度增倍。 例9-3-1 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
q
A EI1 F
B
EI2
K
l2
C
解：设梁的线刚度为i1=EI1/l1 柱的线刚度为i2=EI2/l2
⑸最后一轮循环最后一个结点分配后只向其他结点传递。
第9章 力矩分配法
⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）， 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
A
B
C
D
E
B、D同时分配后向C传递，C分配后再同时向B、D传递，如此循 环。
A
B
C
D
E
F
B、D同时分配后同时向C、E传递，C、E同时分配后再同时向B、 D传递，如此循环。
A
B
15.86 3m 3m
C M (kNm) 6m
结点
A
B
C
解：① 不平衡力矩
m
g AB
Pl 8
20 6 8
15
m
g BA
Pl 8
15
mBgC
ql2 8
9
mBg
m
g BA
mBgC
6
杆端
AB
BA BC CB ②分配系数
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -15
15
-9 0
平衡
分配传递 -1.72 -3.43 -2.57 0
第9章 力矩分配法
§9-1 力矩分配法的基本概念
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力矩分配法练习题
一、判断题
1-1、力矩分配法是由位移法派生出来的，所以能用位移法计算的结构也一定能用力矩分配法计算。
1-2、已知图示连续梁BC跨的弯矩图，则M AB=C BA M BA=57.85kN.m。
1－3、在图示连续梁中M BA=μBA(－70)= －40kN.m。
1-4、在图示连续梁中结点B的不平衡力矩M B=80 kN.m。
1-5、对单点结点结构，力矩分配法得到的是精确解。
1-6、图示结构可以用无剪力分配法进行计算。
1-7、交于一结点的各杆端的力矩分配系数之和等于1。
1-8、结点不平衡力矩总等于附加刚臂上的约束力矩，可通过结点的力矩平衡条件求
出。
1-9、在力矩分配法中，相邻的结点和不相邻的结点都不能同时放松。
1-10、力矩分配法不需计算结点位移,直接对杆端弯矩进行计算。
二、单项选择题
2-1、等截面直杆的弯矩传递系数C与下列什么因素有关？
A 荷载
B 远端支承
C 材料的性质
D 线刚度I
2-2、传递弯矩M AB是
A 跨中荷载产生的固端弯矩
B A端转动时产生的A端弯矩
C A端转动时产生的B端弯矩
D B端转动时产生的A端弯矩
2-3、已知图示连续梁BC跨的弯矩图，则AB杆A端的弯矩=
A 51.4kN.m
B －51.4kN.m
C 25.7kN.m
D －25.7kN.m 2-4、图示杆件A端的转动刚度SAB=
A 4i
B 3i
C i
D 0
2-5、图示杆件A端的转动刚度SAB=
A 4i
B 3i
C i
D 0
2-6、图示连续梁，欲使A端发生单位转动，需在A端施加的力矩
A M AB=4i
B M AB=3i
C M AB=i
D 3i<M AB<4i
2-7、在题2-6图示梁中，如令i1=0，欲使A端发生单位转动，需在A端施加的力矩
A M AB=4i
B M AB=3i
C M AB=i
D 3i<M AB<4i
2-8、在题2-6图示梁中，如令i1=∞，欲使A端发生单位转动，需在A端施加的力矩
A MAB=4i
B M AB=3i
C M AB=i
D 3i<M AB<4i
2-9、一般说来，结点不平衡力矩总等于
A 交于该结点的各杆端的固断弯矩之和
B 传递弯矩
C 附加刚臂中的约束力矩
D 结点集中力偶荷载 2-10、图示连续梁中结点B的不平衡力矩是
A Ｍ１－m/2
B －Ｍ１＋m/2
C －Ｍ１－m/2
D Ｍ１＋m/2
2-11、图示结构EI为常数，用力矩分配法计算时，分配系数。