【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之182几何概型

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之182几何概型一、选择题（共40小题；共200分）1. 4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( ) A. 13B. 12C. 23D. 342. 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( ) A. 18B. 116C. 127D. 383. 在区间 [0,π] 上随机取—个数，则事件“tanx ⋅cosx ≥12”发生的概率为 ( )A. 12B. 34C. 13D. 234. 在区间 [−1,1] 上随机取一个数 k ，使直线 y =k (x +3) 与圆 x 2+y 2=1 相交的概率为 ( )A. 12B. 13C. √24D. √235. 若不等式组 {x +y −1≤0,x −y +1≥0,y +12≥0 表示的区域 Ω，不等式 (x −12)2+y 2≤14 表示的区域为 Γ，向 Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域 Γ 中芝麻数约为 ( ) A. 114B. 10C. 150D. 506. 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 的方程为 x 2−y =0）的点的个数的估计值为 ( )A. 5000B. 6667C. 7500D. 78547. 已知 P 是 △ABC 所在平面内一点，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，现将一粒黄豆随机撒在 △ABC 内，则黄豆落在 △PBC 内的概率是 ( )A. 14 B. 13 C. 12 D. 23 8. 设 p 在 [0,5] 上随机地取值，则关于 x 的方程 x 2+px +1=0 有实数根的概率为 ( )A. 15B. 25C. 35D. 459. 设 x ∈[0,4]，则 x 2≤4 的概率是 ( )A. 23B. 14C. 13D. 1210. 设函数 f (x )={e x ,0≤x <1lnx +e,1≤x ≤e在区间 [0,e ] 上随机取一个实数 x ，则 f (x ) 的值不小于常数e 的概率是 ( ) A. 1eB. 1−1eC. e1+eD. 11+e11. 已知函数 f (x )=log 2x ，x ∈[1,8]，则不等式 1≤f (x )≤2 成立的概率是 ( )A. 17B. 27C. 37D. 4712. 某个路口交通指示灯，红灯时间为 30 秒，黄灯时间为 10 秒，绿灯时间为 40 秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过 10 秒就可以通行的概率为 ( ) A. 34B. 47C. 57D. 5813. 平面直角坐标系中，在直线 x =1，y =1 与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线y =x 2 下方区域的概率为 ( ) A. 13B. 23C. 49D. 5914. 如图正方形的曲线 C 是以 1 为直径的半圆，从区间 [0,1] 上取 1600 个随机数 x 1，x 2，⋯，x 800，y 1，y 2，⋯，y 800，已知 800 个点 （ x 1,y 1 ），（ x 2,y 2 ），⋯，（ x 800,y 800 ） 落在阴影部分的个数为 m ，则 m 的估计值为 ( )A. 157B. 314C. 486D. 62815. 已知点 P 是 △ABC 所在平面内一点，且 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，在 △ABC 内任取一点 Q ，则 Q 落在 △APC 内的概率为 ( )A. 13B. 23C. 14D. 1216. 已知圆 O:x 2+y 2=1 交 x 轴正半轴于点 A ，在圆 O 上随机取一点 B ，则使 ∣OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≤1 成立的概率为 ( )A. 16B. 13C. 12D. 2317. 如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 ( )A. 1−π4B. π12C. π4D. 1−π1218. 不等式组 {−1≤x ≤1,0≤y ≤2 表示的点集 M ，不等式组 {x −y +1≥0,y ≥2x 2表示的点集记为 N ，在 M 中任取一点 P ，则 P ∈N 的概率为 ( )A. 532B. 932C. 916D. 51619. 已知直线 x +y −5=0 与两坐标轴围成的区域为 M ，不等式组 {y ≤5−x,x ≥0,y ≥3x所形成的区域为 N ，现在区域 M 中随机放置一点，则该点落在区域 N 的概率是 ( ) A. 34B. 12C. 14D. 2320. 某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为 π2，2π3，5π6，则向该标靶内投点，该点落在区域二内的概率为 ( )A. 14B. 13C. 27D. 3821. 如图，扇形 AOB 的圆心角为 120∘，点 P 在弦 AB 上，且 AP =13AB ，延长 OP 交弧 AB 于C ．现向扇形 AOB 内投点，则该点落在扇形 AOC 内的概率为 ( )A. 14B. 13C. 27D. 3822. 在区间 [0,π] 上随机取一个 x ，则 y =sinx 的值在 0 到 12 之间的概率为 ( )A. 16B. 13C. 12D. 2π23. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线 y =lnx 与直线 x =e ，y =0 所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了 10 个在区间 [1,e ] 上的均匀随机数 x i 和 10 个区间 [0,1] 上的均匀随机数 y i (i ∈N ∗,1≤i ≤10)，其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10ln 0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是 ( )A. 35(e −1)B. 25(e −1)C. 35(e +1)D. 25(e +1)24. 在如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 α=π6，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是 ( )A. 1−√32B. √32C.4−√34D. √3425. 在区间 [−1,0] 上任取两实数 x ，y ，则 y <3x 的概率是 ( )A. 16B. 13 C. 23D. 5626. 在区间 [−√2,√2] 中随机取一个实数 k ，则事件“直线 y =kx 与圆 (x −3)2+y 2=1 相交”发生的概率为 ( )A. 12B. 14C. 16D. 1827. 设实数 a ∈(0,1)，则函数 f (x )=x 2−(2a +1)x +a 2+1 有零点的概率为 ( )A. 34B. 23C. 13D. 1428. 在集合 M ={x∣ 0<x ≤5} 中随机取一个元素，恰使函数 y =log 12x 大于 1 的概率为 ( )A. 45B. 910C. 15D. 11029. 向面积为 S 的平行四边形 ABCD 中任投一点 M ，则 △MCD 的面积小于 S 3的概率为 ( )A. 13B. 35C. 23D. 3430. 平面直角坐标系中，在由 x 轴、 x =π3，x =5π3和 y =2 所围成的矩形中任取一点，满足不等关系 y ≤1−sin3x 的概率是 ( ) A. 4π3B. π4C. 13D. 1231. 已知单位圆有一条长为 √2 的弦 AB ，动点 P 在圆内，则使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥2 的概率为 ( ) A. π−24πB.π−2πC.3π−24πD. 2π32. 已知正六边形 ABCDEF 内接于圆 O ，连接 AD ，BE ，现在往圆 O 内投掷 2000 粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是 ( )（参考数据：√3=1.82，√3π=0.55）A. 550B. 600C. 650D. 70033. 在平面区域 {x +y −4≤0,x >0,y >0内随机取一点 (a,b )，则函数 f (x )=ax 2−4bx +1 在区间 [1,+∞)上是增函数的概率为 ( ) A. 14B. 13C. 12D. 2334. 在区间[1,e]上任取实数a，在区间[0,2]上任取实数b，使函数f(x)=ax2+x+14b有两个相异零点的概率是( )A. 12(e−1)B. 14(e−1)C. 18(e−1)D. 116(e−1)35. 在区间[−2,3]中任取一个数m，则使双曲线x2m2−1−y24−m=1的离心率大于√3的概率是( )A. 710B. 310C. 15D. 4536. 在区间[−1,5]上随机取一个数x，若x满足∣x∣≤m的概率为12，则实数m为( )A. 0B. 1C. 2D. 337. 我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n，落到正方形内的豆子数为m，则圆周率π的估算值是( )A. nm B. 2nmC. 3nmD. 2mn38. 在区间[−1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2−1的概率是( )A. 29B. 79C. 16D. 5639. 在[0,π]内任取一个实数x，则sinx≤12的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 1440. 周末甲乙两同学相约看电影，约定7点到8点在电影院门口会面，先到者等20分钟，若另一人还未到就先进场，设两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且两人互不影响，则两人能在电影院门口会面的概率为( )A. 13B. 49C. 23D. 59二、填空题（共40小题；共200分）41. 若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x=2√2a−2bx有不等实数根的概率为．42. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．当你到达路口时，看见红灯的概率是．43. 历史上有人向画有内切圆的正方形纸片上随机撒芝麻，用随机模拟方法来估计圆周率的值．如果随机向纸片撒一把芝麻，1000粒落在正方形纸片上的芝麻中有778粒落在正方形内切圆内，那么通过此模拟实验可得π的估计值为．44. 如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列a n(n∈N∗)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2013+a2014+a2015=．45. 如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为．46. 如图，向边长为1的正方形内随机地投点，所投的点落在由y=x2和y=x 12围成的封闭图形的概率为．47. 方程x2+x+n=0(n∈[0,1])有实根的概率为．48. 已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．49. 在长为5的线段AB上任取一点P，以AP为边长作等边三角形，则此三角形的面积介于√3和4√3的概率为．50. 已知Ω={(x,y)∣ ∣ x∣ ≤1,∣ y∣ ≤1}，A是曲线y=x3与y=x 12围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则P落入区域A的概率为．51. 一只小虫在半径为3的球内自由飞行，若在飞行中始终保持与球面的距离大于1，称为“安全距离”，则小虫安全的概率为．52. 在区间[0,3]上随机地取一个数x，则事件“−1≤log12(x+12)≤1”发生的概率为．53. 随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于2的概率是．54. 在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=AC=√3，∠BAC=120∘，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角θ，则θ不大于45∘的概率为．55. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为．56. 如图所示矩形ABCD边长AB=1，AD=4，抛物线顶点为边AD的中点E，且B，C两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边BC围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是．57. 已知直线AB:x+y−6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的图形为Ω，若从Rt△AOB区域内任取一点M(x,y)，则点M取自图形Ω的概率为．58. 已知直线y=k(x+14)与曲线y=√x恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P(x,y)是椭圆x216+y29=1上一动点，点P1(x1,y1)与点P关于直线y=x+1对称，记y1−14的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1>λ2的概率是．59. 某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ．60. 甲每次解答一道几何体所用的时间在 5 至 7 分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在 6 至 8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为 ．61. 在区间 [−1,1] 上任取一个数 a ，则曲线 y =23x 3−12x 2 在点 x =a 处的切线的倾斜角为锐角的概率为 ．62. 在区间 [−1,5] 上任取一个实数 b ，则曲线 f (x )=x 3−2x 2+bx 在点 (1,f (1)) 处切线的倾斜角为钝角的概率为 ．63. 某变速车厂生产变速轮盘的特种零件，该特种零件的质量均匀分布在区间 (60,65)（单位：g ），现随机抽取 2 个特种零件，则这两个特种零件的质量差在 1 g 以内的概率是 ． 64. 平面区域 A 1={(x,y )∣ x 2+y 2<4,x,y ∈R }，A 2={(x,y )∣ ∣ x∣ +∣ y∣ ≤3,x,y ∈R }．在 A 2 内随机取一点，则该点不在 A 1 内的概率为 ．65. 数轴上有四个间隔为 1 的点依次记为 A ，B ，C ，D ，在线段 AD 上随机取一点 E ，则 E 点到 B ，C 两点的距离之和小于 2 的概率为 ．66. 在区间 [0,π] 上随机取一个数 θ，则使 √2≤√2sinθ+√2cosθ≤2 成立的概率为 ． 67. 记函数 f (x )=√6+x −x 2 定义域为 D ．在区间 [−4,5] 上随机取一个数 x ，则 x ∈D 的概率是 ．68. 如图，在正方形 OABC 内任取一点，取到函数 y =√x 的图象与 x 轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于 ．69. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ．70. 如图的矩形，长为 5，宽为 2，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．71. 在平面直角坐标系内，满足 {0≤x ≤1,−2≤y ≤2的点 (x,y ) 构成的区域为 D ，曲线 y 2=4x 与直线 x =1 围成的封闭区域为 M ．向 D 内随机投入一点，该点落入 M 内的概率为 ． 72. 早上 7:00～8:00 之间，则你在离开家前能得到牛奶的概率是 ．73. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．74. 在区间[−6,6]内任取一个元素x0，若抛物线x2=4y在x=x0处的切线的倾斜角为α，则α∈[π4,3π4]的概率为．75. 已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=．76. 在边长为2的正三角形ABC内任取一点D，则使点D到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是．77. 如图，图（2）中实线围成的部分是长方体（如图（1））的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是．78. 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60∘和45∘，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为．79. 在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a，b，则方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于√32的椭圆的概率为．80. 有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为．三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知正方形ABCD的边长为1，弧BD是以点A为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点M，求事件“∣AM∣≤1”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．82. 甲、乙两人相约于下午1:00∼2:00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的．设在下午1:00∼2:00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1:15，1:30，1:45，2:00．求他们在下述情况下乘同一班车的概率：（1）约定见车就乘；（2）约定最多等一班车．83. 如图，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x,y)．的概率；（1）求△APB的面积大于14（2）求点P到原点的距离小于1的概率．84. 已知在等腰直角三角形ABC中，∠C=90∘．（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30∘的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30∘的概率．85. 集合A={x∣ 1≤x≤5}，B={x∣ 2≤x≤6}，（1）若x∈A，y∈B且均为整数，求x>y的概率．（2）若x∈A，y∈B且均为实数，求x>y的概率．86. 某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5（1）请画出茎叶图．如果从甲、乙两名同学中选一名加学校的 100 米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）； （2）经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在 [11.5,14.5] 之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率．87. 已知关于 x 的二次函数 f (x )=ax 2−4bx +1．设点 (a,b ) 是区域 {x +y −8≤0,x >0,y >0内的一点，求函数 y =f (x ) 在区间 [1,+∞) 上是增函数的概率．88. 设有一个等边三角形网格，其中各个等边三角形的边长都是 4√3 cm ，现把直径等于 2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．89. 利用随机模拟的方法近似计算边长为 2 的正方形内切圆面积，并估计 π 的近似值．90. 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分（y =2−2x −x 2 与 x 轴围成的图形）的面积．91. 甲，乙两人约定在 6∼7 时在某处会面，并约定先到者应等候另一人 15 分，过时即可离去，设两人出发是各自独立的，且在 6∼7 时各时刻会面是等可能的，求两人能会面的概率．92. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中 M ，G 分别是 AB ，DF 的中点．（1）在 AD 上（含 A ，D 端点）确定一点 P ，使得 GP ∥ 平面 FMC ． （2）一只苍蝇在几何体 ADF −BCE 内自由飞行，求它飞入几何体 F −AMCD 内的概率．93. 在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少?94. 甲、乙两艘轮船驶向—个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4h，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4h，乙船的停泊时间是2h，求它们中的任何—条船不需要等待码头空出的概率．95. 如右图，OA=1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上任取一点B，求使△AOB的面积不小的概率．于1496. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M−ABCD的的概率．体积小于1697. 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，．标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12（1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（ⅰ）记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；（ⅱ）在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>(a−b)2恒成立”的概率．98. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15∘，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?99. 已知向量a=(−2,1)，b⃗=(x,y)．（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a⋅b⃗=−1的概率；（2）若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a⋅b⃗<0的概率．100. 在扇形OAmB中，∠AOB=90∘,C为AB⏜的中点（如图）．⏜上任取一点M，求∠MOA<45∘的概率；（1）在AB⏜于E,F，求EF<OA的概率（精确到0.01）．（2）在OC上任取点N，过N作EF⊥OC，交AB答案第一部分1. C 【解析】采用列举法得所有的基本事件有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) 六种情况，其中两数字之和为奇数的有 (1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4) 四种情况， 故所求概率为 46=23． 2. C【解析】由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心，且棱长为 1 的小正方体内．这个小正方体的体积为 1，大正方体的体积为 27，故安全飞行的概率为 P =127． 3. D 【解析】tanx ⋅cosx =sinx ≥12，所以 x ∈[π6,π2) 或 (π2,56π]，所以 P =23． 4. C 【解析】若直线 y =k (x +3) 与圆 x 2+y 2=1 相交，则圆心到直线的距离 d =√1+k 2<1，解得 −√24<k <√24，故在区间 [−1,1] 上随机取一个数 k ，使直线 y =k (x +3) 与圆 x 2+y 2=1 相交的概率为 P =√222=√24． 5. A【解析】6. B【解析】S 阴影=S 正方形−∫01x 2dx =1−13=23，所以有 23=S 阴影S 正方形=n10000，解得 n ≈6667． 7. C【解析】如图所示，设点 M 是 BC 边的中点，因为 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点 P 是中线 AM 的中点，所以黄豆落在 △PBC 内的概率 P =S △PBC S △ABC=12．8. C【解析】方程 x 2+px +1=0 有实根，则 Δ=p 2−4≥0，解得 p ≥2 或 p ≤−2（舍去）．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为 5−25−0=35．9. D 【解析】由 x 2≤4，得 −2≤x ≤2．因为 x ∈[0,4]，取交集得 x ∈[0,2]，所以 x 2≤4 的概率是2−04−0=12．10. B11. B 【解析】区间 [1,8] 的长度为 7，满足不等式 1≤f (x )≤2 即不等式 1≤log 2x ≤2，解答 2≤x ≤4，对应区间 [2,4] 长度为 2，由几何概型公式可得使不等式 1≤f (x )≤2 成立的概率是 27．12. A 13. A 【解析】直线 x =1，y =1 与坐标轴围成的正方形面积为 1，在曲线 y =x 2 下方区域的面积为：∫01x 2dx=13x 3∣∣01=13，由几何概型的公式得到概率为 131=13．14. B 15. B16. B 17. A 18. B 19. C 20. B21. A 22. B 23. A 【解析】由表可知，向矩形区域 {1≤x ≤e,0≤y ≤1 内随机抛掷 10 个点，其中有 6 个点在曲边三角形内，其频率为 610=35． 因为矩形区域的面积为 e −1，所以曲边三角形面积的近似值为 35(e −1)．24. A 【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为 2，总面积为 4，而阴影区域的边长为 √3−1，面积为 4−2√3；故飞镖落在阴影区域的概率为 4−2√34=1−√32． 25. A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，因为题目所求情况发生包含的事件是在区间 [−1,0] 上任取两个数 x 和 y ，对应的面积是 S Ω=1，满足条件的事件是 y <3x ，事件对应的集合是 A ={(x,y )∣ −1≤x ≤0,−1≤y ≤0,y <3x } 对应的图形的面积是 S A =12×13×1=16，所以根据等可能事件的概率得到 P =16．26. B 【解析】圆 (x −3)2+y 2=1 的圆心为 (3,0)，半径为 1．要使直线 y =kx 与圆 (x −3)2+y 2=1 相交，则圆心到直线 y =kx 的距离 √k 2+1<1，解得 −√24<k <√24．在区间 [−√2,√2] 中随机取一个实数 k ，则事件“直线 y =kx 与圆 (x −2)2+y 2=1 相交”发生的概率为 √222√2=14．27. D 【解析】若函数 f (x )=x 2−(2a +1)x +a 2+1 有零点， 则 Δ=[−(2a +1)]2−4(a 2+1)=4a 2+4a +1−4a 2−4=4a −3≥0， 即 a ≥34，又因为 a ∈(0,1)， 所以 a ∈(34,1)，所以函数 f (x )=x 2−(2a +1)x +a 2+1 有零点的概率为 1−341−0=14．28. D 【解析】解不等式 log 12x ≥1，可得 0<x ≤12，所以在集合 M ={x∣ 0<x ≤5} 中随机取一个元素，恰使函数 y =log 12x 大于 1 的概率为 125=110．29. C 【解析】设 △MCD 的高为 ME ，ME 的反向延长线交 AB 于 F ，当“△MCD 的面积等于 S 3”时，12CD ×ME =13CD ×EF 即 ME =23，过 M 作 GH ∥AB ，则满足 △MCD 的面积小于 S 3 的点在平行四边形 CDGH 中，由几何概型得到 △MCD 的面积小于 S3 的概率为 2S 3S =23． 30. D【解析】由 x 轴、 x =π3，x =5π3和 y =2 所围成的矩形的面积为 2×4π3=8π3． 利用割补法，可得满足不等关系 y ≤1−sin3x 且在矩形内部的区域面积为 12⋅8π3=4π3，所以所求概率为 12．31. A 【解析】由题意，取 A (1,0)，B (0,1)，设 P (x,y )，则 (x −1,y )⋅(−1,1)≥2， 所以 x −y +1≤0，相应的面积为 π4−12×1×1=π−24，所以所求概率为π−24π．32. A 【解析】由题意，落在阴影区域内的小米的粒数大致是 x ，则 x 2000=2×√34r 2πr 2，所以 x ≈550．33. B 【解析】作出不等式组 {x +y −4≤0,x >0,y >0对应的平面区域如图：对应的图形为 △OAB ，其中对应面积为 S =12×4×4=8，若 f (x )=ax 2−4bx +1 在区间 [1,+∞) 上是增函数，则满足 a >0 且对称轴 x =−−4b 2a≤1，即 {a >0,a ≥2b, 对应的平面区域为 △OBC ，由 {a =2b,a +b −4=0,解得 {a =83,b =43,所以对应的面积为 S △OBC =12×43×4=83，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 838=13． 34. A 35. B36. C 37. B 【解析】设正方形的边长为 2．则圆的半径为 √2，根据几何概型的概率公式可以得到m n=42π，即 π=2n m．38. D 【解析】由题意可得，{−1≤x ≤1,−1≤y ≤1 的区域为边长为 2 的正方形，面积为 4，满足 y ≥x 2−1的区域为图中阴影部分，面积为 2+∫−11(1−x 2)dx =103，所以满足 y ≥x 2−1 的概率是 P =1034=56．39. C 【解析】在区间 [0,π] 上，长度为 π，当 x ∈[0,π] 时，sinx ≤12，可得 0≤x ≤π6 或 5π6≤x ≤π，区间长度为 π3，由几何概型知，符合条件的概率为 π3π=13． 40. D【解析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是 Ω={(x,y )∣ 7<x <8,7<y <8}，事件对应的集合表示的面积是s=1，满足条件的事件是A={(x,y)∣ 7<x<8,7<y<8,∣ x−y∣ <2060}，事件对应的集合表示的面积是1−2×12×23×23=59，根据几何概型概率公式得到P=59．第二部分41. 12【解析】因为方程x=2√2a−2bx有不等实数根，所以方程x2−2√2ax+2b=0有不等实数根，所以Δ=8a−8b>0，所以a>b．如图所示，方程x=2√2a−2bx 有不等实数根的概率为12×1×11×1=12．42. 25【解析】由题意知本题所求概率是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，设红灯为事件A，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，根据等可能事件的概率得到，出现红灯的概率P(A)=构成事件A的时间长度总的时间长度=3075=25．43. 3.112【解析】由题意得：设正方形的边长为2，则圆的面积为π，正方形的面积为4．所以P(A)=7781000=π4，所以π≈3.112．44. 1007【解析】a1=1，a2=1，a3=−1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=−2，a8=4，⋯，这个数列的规律是奇数项为1,−1,2,−2,3,−3,⋯偶数项为1,2,3,⋯，故a2013+a2015=0，a2014=1007，故a2013+ a2014+a2015=1007．45. 13 46. 13 47. 14【解析】方程有实根时，满足 Δ=1−4n ≥0，得 n ≤14，由几何概型知 P =构成事件A 的区域测度试验的全部结果所构成的区域测度，得 P =14． 48. π8【解析】根据几何概型得：取到的点到 M 的距离小 1 的概率： P =d D=圆的内部面积矩形的面积=12×12π4×1=π8．49. 25【解析】设 AP =x ，则正三角形面积为 √34x 2， 若 √3<√34x 2<4√3，则 2<x <4， 由几何概型易得知 p =4−25=25．50. 548【解析】联立得 {y =x 3,y =x 12, 解得 {x =1,y =1 或 {x =0,y =0, 设曲线与曲线围成的面积为 S ，则 S =∫01(√x−x 3)dx =(23x 32−14x 4)∣∣∣01=23−14=512，而 Ω={(x,y )∣ ∣ x∣ ≤1,∣ y∣ ≤1}，表示的区域是一个边长为 2 的正方形， 所以 Ω 上随机投一点 P ，则点 P 落入区域 A （阴影部分）中的概率 P =S 阴影S=5122×2=548．51. 827【解析】由题意得安全的区域为以球中心为球心，半径为 2 的球的内部，故 p =43π⋅2343π⋅33=827．52. 1253. 1−π6【解析】若点 P 到三个顶点的距离都不小于 2，则 P 的位置位于阴影部分， 三角形在三个圆的面积之和为 12×π×22=2π，△ABC 的面积 S =12×6×4=12， 则阴影部分的面积 S =12−2π， 则对应的概率 P =12−2π12=1−π6．54. 34【解析】由题意，直线 PD 与平面 ABC 所成的角 θ=45∘，AD =1，∠BAD =90∘， 所以 θ 不大于 45∘ 的概率为 90120=34． 55. 13【解析】设正方形的边长为 2，则由题意，多边形 AEFGHID 的面积为 S =√5×√5×2+12×2×2=12，阴影部分的面积为 S =2×12AE ⋅AB ⋅sin∠EAB =2×12AE ⋅AB ⋅cos∠GAB =2×12×2×√5×2√55=4，所以向多边形 AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为 2√310=13． 56. 23【解析】以 E 为坐标原点，AD 的垂直平分线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立坐标系，可得抛物线方程为 y 2=4x ，取 y =2√x ，则阴影部分的面积为 2∫012√xdx =83， 因为矩形的面积为 4， 所以所求概率为 834=23．57. 1627 58. 34【解析】因为 y =√x ，所以 x =y 2，代入 y =k (x +14) 得 y =k (y 2+14)，整理得 ky 2−y +k4=0，直线 y =k (x +14) 与曲线 y =√x 恰有两个不同交点， 等价为 ky 2−y +k 4=0 有两个不同的非负根，即 Δ=1−k 2>0，且 1k >0，解得 0<k <1， 所以 A ={k∣ 0<k <1}．P 1(x 1,y 1) 关于直线 y =x +1 的对称点为 P (y 1−1,x 1+1)， P 是椭圆 x 216+y 29=1 上一动点，所以 −4≤y 1−1≤4，即 −1≤y 1−14≤1，设 b =y 1−14，则 −1≤b ≤1，所以 B ={b∣ −1≤b ≤1}．所以随机的从集合 A ，B 中分别抽取一个元素 λ1，λ2， 则 λ1>λ2 等价为 {0<λ1<1,−1≤λ2≤1,λ1>λ2,则对应的图象如图：则 λ1>λ2 的概率是 34． 59. 12 60. 18 61. 34 62. 13【解析】因为 f (x )=x 3−2x 2+bx ． 所以 fʹ(x )=3x 2−4x +b ． 所以 fʹ(1)=b −1<0， 所以 b <1，由几何概型，可得所求概率为 1−(−1)5−(−1)=13． 63. 925 64. 1−2π9【解析】分别画出区域 A 1，A 2，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为 18−4π18=1−2π9．65. 23【解析】设 AB 的中点是 M ，CD 的中点是 N ，则 E 在 MN 上时满足条件， 故 E 点到 B ，C 两点的距离之和小于 2 的概率 p =23．66. 12【解析】由 √2≤√2sinθ+√2cosθ≤2，得 √22≤sin (θ+π4)≤1，结合 θ∈[0,π]，得 θ∈[0,π2]， 所以使 √2≤√2sinθ+√2cosθ≤2 成立的概率为 π2π=12． 67. 59 68. 23【解析】根据题意，正方形 OABC 的面积为 1×1=1，阴影部分的面积为 ∫01√xdx=23x 32∣∣∣01=23， 由几何概型的概率公式得，点落在阴影部分的概率为 P =23． 69. 58 70. 235【解析】根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 138300，矩形的面积为 10，设阴影部分的面积为 s ， 则有 s10=138300，所以 s =235．71. 23【解析】约束条件 {0≤x ≤1,−2≤y ≤2 构成一个矩形，其面积为 s =4．y 2=4x 与 x =1 围成封闭图形的面积为 ∫−22(1−y 24)dy =(y −y 312)|−22=83．所以 P =834=23．故概率为 23．72. 7873. 1−2π【解析】如图，不妨设扇形的半径为 2a ，如图，记两块白色区域的面积分别为 S 1，S 2，两块阴影部分的面积分别为 S 3，S 4，则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π(2a)2=πa2, ⋯⋯①而S1+S3与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆，即S1+S3+S2+S3=πa2, ⋯⋯②①−②得S3=S4．由图可知S3=(S扇形EOD+S扇形COD)−S正方形OEDC=12πa2−a2，所以S阴影=πa2−2a2．由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率P=S阴影S扇形OAB=πa2−2a2πa2=1−2π．74. 23【解析】当切线的倾斜角α∈[π4,3π4]时，切线斜率的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞)，抛物线x2=4y在x=x0处的切线的斜率是12x0，故只要x0∈(−∞,−2]∪[2,+∞)即可．若在区间[−6,6]内取值，则只能取区间[−6,−2]∪[2,6]内的值，这个区间的长度是8，区间[−6,6]的长度是12，故所求的概率是8 12=23．75. √74【解析】如图，设CD=4，根据对称性，由题中条件知，点P的活动范围为2，即CP∈(1,3)．当CP=3时，BP= 4，解得BC=√42−32=√7，所以AD:AB=√7:4．76. √3π6【解析】分别以点A，B，C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC构成三个扇形，如图中阴影部分所示，当点D落在其内时符合要求．所以 P =3×(12×π3×12)√34×2=√36π． 77. 3【解析】设长方体的高为 ℎ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率 P =2+4ℎ(2ℎ+2)(2ℎ+1)=14，解得 ℎ=3 或 ℎ=−12（舍去），故长方体的体积为 1×1×3=3．78.3+√34π【解析】由正弦定理 BC sinA =AC sinB =2R （R 为圆的半径）⇒ {BC =20sin60∘,AC =20sin45∘, ⇒ {BC =10√3,AC =10√2.那么S △ABC =12×10√3×10√2sin75∘=12×10√3×10√2×√6+√24=25(3+√3).于是豆子落在三角形 ABC 内的概率为 S △ABC 圆的面积=25(3+√3)102π=3+√34π．79. 1532【解析】因为方程 x 2a2+y 2b 2=1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 √32的椭圆，所以 {a 2>b 2,e =ca =√a 2−b 2a<√32,即 {a 2>b 2,a 2<4b 2, 化简得 {a >b,a <2b,又 a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，易得阴影部分的面积为 154，故所求的概率 P =S 阴影2×4=1532．80. 23【解析】圆柱的体积 V 圆柱=π×12×2=2π，以 O 为球心、 1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球=12×43π×13=23π，则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 23π2π=13，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1−13=23．。