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高中数学试题库及答案
高中数学试题库及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. -3C. πD. i2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是：A. (-3/4, -1)B. (3/4, -1)C. (-3/4, 1)D. (3/4, 5)3. 若sinθ + cosθ = √2/2，求tanθ的值：A. 1B. -1C. 0D. 不存在二、填空题4. 计算等差数列的第10项，若首项a1 = 3，公差d = 2。
___________________________5. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
___________________________6. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0，并写出解集。
7. 证明：若a，b，c是三角形ABC的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是直角三角形。
四、计算题8. 计算定积分：∫(0, 1) (x^2 + 3x) dx。
9. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]五、应用题10. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，售价为30元。
如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产和销售多少件产品？答案：一、选择题1. D2. B3. A二、填空题4. 第10项为：3 + 9 * 2 = 215. 圆与直线相切6. 解集为：x < 1/2 或 x > 37. 证明略四、计算题8. 定积分结果为：(1/3)x^3 + (3/2)x^2 | (0, 1) = 7/69. 方程组的解为：\[\begin{cases}x = 2 \\y = 3\end{cases}\]五、应用题10. 需要生产和销售的产品数量为：10000 / (30 - 20) = 500件。
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第1章集合与简易逻辑§1–1集合一、集合的概念1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．(A) ②③(B) ①③(C) ②④(D) ①②④解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．1.1.2下列集合中，有限集是()．(A) {<10，x∈N} (B) {<10，x∈Z}(C) {2<10，x∈Q} (D) {＝y＋10，y∈R}解析由N表示自然数集得{<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．1.1.3若集合M＝{≤6}，a＝，则下列结论中正确的是()．(A) {a}M (B) (C) {a}∈M (D) a∉M解析因为 <6，则∈M，{a}M，所以，答案为A．1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．(A) A＝B (B) (C) A∈B (D)解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，，答案为B．1.1.5下列四个关系中，正确的是()．(A) ∅∈{0} (B) 0∉{0} (C) {0}∈{0，1} (D) 0∈{0，1}解析∅与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝()．(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则＝－1，又－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．1.1.7用适当的方式写出下列集合：(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合；(2) 不大于6的非负整数所组成的集合；(3) 所有正奇数组成的集合；(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合；(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集；(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合；(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合．解析(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．(2) 不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．(3) 所有正奇数组成的集合是{＝2k＋1，k∈N}．(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合是{3＋6＝0，x∈R}．(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集{2－5x＋4<0}或写成{1<x<4}．(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x，y)>0且y>0}．(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合是{(x，y)＝2x－1}．1.1.8已知集合A＝{1，3，x}，集合B＝{1，x2}，若有且x∉B，则A＝．解析由x2∈A及x∉B得x2＝3，解得x＝±，经检验此x的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A＝{1，3，}或{1，3，－}．1.1.9集合A＝{－3≤x≤2}，B＝{2m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是．解析由已知可得解得－1≤m≤．1.1.10若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为()．(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2解析将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)的坐标代入不等式组可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N内，所以，答案为C．1.1.11定义集合运算：A☉B＝{＝(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为()．(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18解析由已知可得A☉B＝{0，6，12}，所以，A☉B中所有元素之和为18，答案为D．1.1.12设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()．(A) 自然数集(B) 整数集(C) 有理数集 (D) 无理数集解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C．1.1.13集合M＝{1x>b1}，N＝{2x>b2}，其中常数a1b1a2b2≠0，则“”是“M＝N”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若a1＝b1＝1，a2＝b2＝－1，则有，此时，M＝{>1}，N＝{<1}，M≠N；若M＝N，则必有a1a2>0，于是，M＝，N＝，或者，M＝，N＝，于是，，即，所以，“”是“M＝N”的必要不充分条件，答案为B．1.1.14已知集合M＝{≤a2＋b2}，其中a，b是常数．给出下列四个命题：① 2一定属于M② 2一定不属于M③－2一定属于M④－2一定不属于M其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．解析由(a－b)2≥0和(a＋b)2≥0对任意a，b∈R恒成立可得2≤a2＋b2，－2≤a2＋b2，所以，2∈M，－2∈M，在上述四个命题中，①和③是正确的．1.1.15已知集合A是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意x∈A，必有3－∈A．问：(1) 集合A可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由；(2) 集合A可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由．解析(1) 若集合A中有且仅有一个元素x，则3－＝x，即x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以，集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．(2) 集合{1，2}是满足要求的二元集．若集合A＝{a，b}是满足要求的二元集，并且即则a＝b，矛盾，所以，满足要求的二元集只能是{1，2}．1.1.16同时满足{1}A⊆{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是()．(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8解析若A为二元集，则A可为{1，2}、{1，4}；若A为三元集，则A可为{1，2，4}、{1，3，5}；若A为四元集，则A可为{1，2，3，5}、{1，3，4，5}；若A为五元集，则A可为{1，2，3，4，5}，所以，共有7个符合条件的集合，答案为C．1.1.17对于集合A和B，当时，下列集合之间的关系一定不能成立的是()．(A) ∅⊆A (B) ∅ B (C) B＝∅(D) A＝∅解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由可得B≠∅，所以，答案为C．1.1.18下列各组集合中，M与P表示同一个集合的是()．(A) M＝{(1，－3)}，P＝{(－3，1)}(B) M＝∅，P＝{0}(C) M＝{＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)＝x2＋1，x∈R}(D) M＝{＝x2＋1，x∈R}，P＝{＝(y－1)2＋1，y∈R}解析(1，－3)与(－3，1)是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元素，它不是空集．集合M＝{＝x2＋1，x∈R}是二次函数y＝x2＋1的因变量的集合，它是一个数集，而集合P＝{(x，y)＝x2＋1，x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线，它是点的集合．集合M＝{＝x2＋1，x∈R}＝{＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{≥1}，所以，答案为D．1.1.19写出集合A＝{(x，y)2＋y2＝2且x＋y＝0}的所有子集：．解析集合A＝{(1，－1)，(－1，1)}，所以，A的所有子集是∅，{(1，－1)}，{(－1，1)}，{(1，－1)，(－1，1)}．1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合：；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合：；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合：．解析(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合是{2＋2＝0，x∈R}＝∅；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{＝3x＋2，1≤x≤3}＝{5≤y≤11}；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合是{＝－x2＋4x＋3，x∈R}＝{≤7}．1.1.21已知集合{2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a的值是．解析要使得集合{2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a＝0或Δ＝22－4a＝0，所以，a＝0或a＝1．1.1.22关于x的不等式≤的解集是A，关于x的不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (其中a∈R)的解集是B，求使A⊆B的a的取值范围．解析不等式≤的解集A＝[2a，a2＋1]．不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0即为(x－2)(x－3a－1)≤0．若a≥，则B＝[2，3a＋1]；若a<，则B＝[3a＋1，2]．由A⊆B得或解得1≤a≤3或a＝－1．所以，a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3．1.1.23已知集合A＝{2－3x＋2＝0}，B＝{2－＋(a－1)＝0}，C＝{2－＋2＝0，x∈R}，若B⊆A，C⊆A，求实数a，b应满足的条件．解析集合A＝{1，2}，而x2－＋(a－1)＝0即为(x－1)(x－a＋1)＝0，若a－1＝1，即a＝2，则B＝{1}满足；若a－1≠1，即a≠2，则B＝{1，a－1}，由B⊆A知a－1＝2，即a＝3．对于集合C，由C⊆A知，若C＝∅，则Δ＝(－b)2－8<0，解得－2<b<2；若C为单元集，则Δ＝(－b)2－8＝0，此时C＝{}或C＝{－}，与C⊆A矛盾；若C＝{1，2}，即C中方程两根为1和2，则b＝3．所以，a，b应满足的条件是a＝2或a＝3而－2<b<2或b＝3．1.1.24已知集合A＝{(x，y)＝－x2＋－1}，B＝{(x，y)＋y＝3，0≤x≤3}，若有且仅有一个点同时属于集合A和B，求实数m的取值范围．解析由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点．由得x2－(1＋m)x＋4＝0，该方程在区间[0，3]上只有一个解．若Δ＝(m＋1)2－16＝0，则m＝3或m＝－5，如果m＝3，解得x＝2；如果m＝－5，解得x＝－2∉[0，3]，于是m＝－5舍去．若Δ>0，则记f(x)＝x2－(1＋m)x＋4，此时，只需f(3)<0，即9－3(m＋1)＋4<0，解得m>．所以，m的取值范围是m>或m＝3．1.1.25设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的＝{，}，＝{，}(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k})，都有≠({x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的最大值是()．(A) 10 (B) 11(C) 12 (D) 13解析集合M的所有两元子集是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共计15个，其中，不同(i＝1，2，…，15)有共11个，所以，答案为B．1.1.26设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，，∈P (除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋，b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是(把你认为正确的命题的序号填上)．解析因为任意两个整数的商不一定是整数，故命题①不正确；当集合M＝Q∪{}时，由于1∈Q，而∉M，故命题②不正确；由数域P的定义知，必有＝1∈P，从而2∈P，则3∈P，…，所以，整数集Z⊆P，故数域P中必有无穷多个元素，命题③正确；由于数集F＝{a＋，b∈Q}是数域，则将其中的换成，…等仍为数域，所以数域有无穷多个，命题④正确．所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④．1.1.27非空集合G关于运算⊕满足：(1) 对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2) 存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：① G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；② G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③ G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④ G＝{二次三项式}，⊕多项式的乘法；⑤ G＝{虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是(写出所有“融洽集”的序号)．解析对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中e＝0；对于偶数集和乘法运算，其中不存在满足要求的元素e；对于平面向量集合以及向量的加法运算，任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量，e＝；对于二次三项式集合以及多项式的乘法，其中不存在满足要求的元素e；对于虚数集和复数的乘法运算，其中不存在满足要求的元素e，所以，集合G关于运算⊕为“融洽集”的是①和③．1.1.28已知集合S＝{＝m2＋n2，m，n∈Z}．求证：若a，b∈S，则∈S．解析由a，b∈S得存在整数p，q，r，s，使得a＝p2＋q2，b＝r2＋s2，则＝(p2＋q2)(r2＋s2)＝p2r2＋q2s2＋p2s2＋q2r2＝(＋)2＋(－)2，其中＋和－都是整数，所以，∈S．1.1.29已知集合A＝{＝12a＋8b，a，b∈Z}，B＝{＝20c＋16d，c，d∈Z}．判断集合A与集合B之间存在什么关系，并说明理由．解析若y∈B，即y＝20c＋16d＝12c＋8(c＋2d)，因为c，d∈Z，则有c＋2d∈Z，得y∈A，于是B⊆A；若x∈A，则x＝12a＋8b＝60a－48a＋40b－32b＝20(3a＋2b)＋16(－3a－2b)，因为a，b∈Z，则有3a＋2b，－3a－2b∈Z，于是A⊆B．所以，A＝B．1.1.30若f(x)＝x2＋＋b，a，b∈R，A＝{＝f(x)，x∈R}，B＝{＝f[f(x)]，x∈C}．(1) 写出集合A与B之间的关系，并证明；(2) 当A＝{－1，3}时，用列举法表示集合B．解析(1) 任取x∈A，则f(x)＝x，于是，f [ f(x)]＝f(x)＝x，即有x∈B，所以有A⊆B，但由于x＝f[f(x)]必为四次方程，在复数集C上有4个根，所以．(2) 当A＝{－1，3}时，即方程x2＋＋b＝x的两根为－1、3，于是－1＋3＝－(a－1)，(－1)×3＝b，所以a＝－1，b＝－3，即f(x)＝x2－x－3，此时，集合B中的方程为(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，即(x2－x－3)2－x2＝0，(x2－3)(x2－2x－3)＝0，所以，B＝{－1，3，，－}．1.1.31已知A＝{(x，y)2＋y2＋4x＋4y＋7＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)＝－10，x，y∈R}．(1) 对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线m的距离与原有的点线距离概念是等价的．试以类似的方式给出一个点集A与B的“距离”的定义；(2) 依照(1)中的定义求出A与B的“距离”．解析(1) 定义：在点集A，B中分别任取一点，所取两点间的距离若有最小值，则此最小值称为点集A与B的“距离”．(2) 集合A中的点构成一个圆，其方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－2，－2)，半径为1，设P(x，y)为曲线＝－10上任意一点，则2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＝x2＋y2＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2－2＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2＋4(x＋y)＋28＝(x＋y＋2)2＋24．当且仅当即或时，＝24，最小值＝2，所以，A与B的“距离”为2－1．二、集合的运算1.1.32已知全集I＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6}，集合A＝{a1，a3，a4，a5}，B＝{a1，a4}，则A∩∁＝()．(A) {a1，a4} (B) {a2，a6}(C) {a3，a5} (D) {a2，a3，a5，a6}解析∁＝{a2，a3，a5，a6}，所以，A∩∁＝{a3，a5}，答案为C．1.1.33若集合M＝{≤2}，N＝{2－3x＝0}，则M∩N＝()．(A) {3} (B) {0} (C) {0，2} (D) {0，3}解析M＝[－2，2]，N＝{0，3}，所以M∩N＝{0}，答案为B．1.1.34设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是()．(A) (∁)∪B＝I(B) (∁)∪(∁)＝I题1.1.34(C) A∩(∁)＝∅(D) (∁)∩(∁)＝(∁)解析集合A，B，I的关系如图所示，可知(∁)∪(∁)＝∁≠I，所以，答案为B．1.1.35设全集I＝{2，3，5}，A＝{－5|，2}，∁＝{5}，则a的值为()．(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D) －2或8解析由A∪∁＝I得－5|＝3，所以a＝2或8，答案为C．1.1.36设集合M＝{1x2＋b1x＋c1＝0}，N＝{2x2＋b2x＋c2＝0}，则方程(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0的解集是()．(A) M∩N(B) M∪N (C) N (D) M解析由(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0可得(a1x2＋b1x＋c1)＝0或(a2x2＋b2x＋c2)＝0，所以，该方程的解集是M∪N，答案为B．1.1.37若集合M＝{(x，y)＋y＝0}，P＝{(x，y)－y＝2}，则M∩P＝()．(A) (1，－1) (B) {x＝1}∪{y＝－1}(C) {1，－1} (D) {(1，－1)}解析由得所以，M∩P＝{(1，－1)}，答案为D．1.1.38满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解析由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}知a1、a2∈M，a3∉M，a4可以在集合M也可以不在集合M中，所以，满足要求的集合M的个数是2个．答案为B．1.1.39若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()．(A) A ⊆C (B) C ⊆A(C) A≠C (D) A ＝∅解析 任取x ∈A ，则x ∈A ∪B ＝B∩C ，于是，x ∈B∩C ，则x ∈C ，所以，A ⊆C ，答案为A ．1.1.40 已知A ＝{≤7}，B ＝{<2}，C ＝{>5}，则A∩B ＝ ；A ∪C＝ ；A∩B∩C ＝ ．解析 由已知得A∩B ＝{<2}，A ∪C ＝R ，A∩B∩C ＝∅．1.1.41 若集合A ＝{－2<x<1或x>1}，B ＝{≤x≤b}满足A ∪B ＝{>－2}，A∩B ＝{1<x≤3}，则a ＝ ；b ＝ ．解析 在数轴上画出集合A ∪B 和A∩B 可得a ＝1，b ＝3．1.1.42 全集U 的子集A 、B 、C 的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A 、B 、C ，试用集合A 、B 、C 的运算结果表述图中的阴影所代表的集合： ．解析 图中的阴影部分表示集合∁∩B∩C ．1.1.43 已知a>b>0，全集I ＝R ，集合M ＝，N ＝，P ＝{<x<}，则下列关系式中正确的是( )．(A) P ＝M∩∁ (B) P ＝∁∩N(C) P ＝M ∪N (D) P ＝M∩N 解析 由a>b>0得b<<<a ，将集合M ，N 表示在数轴上可知P ＝ M∩∁，答案为A ．1.1.44 对于集合A ，B ，C ，“A∩C ＝B∩C”是“A ＝B”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析 若A ＝B ，则显然有A∩C ＝B∩C ；反之，若C ＝{1}，A ＝{1，2}，B ＝{1，3}，此时A∩C ＝B∩C ＝{1}，但A≠B ，所以，“A∩C ＝B∩C”是“A ＝B”的必要不充分条件，答案为B ．1.1.45 设全集I ＝{(x ，y)，y ∈R}，集合M ＝，N ＝{(x ，y)≠x ＋1}，那么∁I(M ∪N)＝( )．(A) ∅ (B) {(2，3)}(C) (2，3) (D) {(x ，y)＝x ＋1}解析 集合I 表示平面上所有的点，集合M 表示直线y ＝x ＋1上除(2，3)外的所有点，集合N 表示不在直线y ＝x ＋1上的所有点，所以M ∪N 表示平面上除(2，3)外的所有点，所以，∁I(M ∪N)是集合{(2，3)}，答案为B ．1.1.46 若全集I ＝R ，f(x)，g(x)都是定义域为R 的函数，P ＝{(x)<0}，Q ＝{(x)≥0}，则不等式组的解集用P ，Q 表示为 ．题1.1.41 题1.1.42 题1.1.43解析由已知可得不等式g(x)<0的解集是∁，所以，不等式组的解集是P∩∁．1.1.47设P表示△所在平面上的点，则集合{＝}∩{＝}＝．解析由已知得点P到△三顶点等距，所以，{＝}∩{＝}＝{△的外心}．1.1.48集合A＝{(x，y)＋y＝1}，B＝{(x，y)＋＝1}，C＝{(x，y)2＋y2＝1}，分别求使得集合(A∪B)∩C为含有两个元素和三个元素的集合的a的值．解析集合A、B分别表示过定点(0，1)和(1，0)的两条直线，集合C表示单位圆，且(0，1)，(1，0)∈C，若(A∪B)∩C含有两个元素，则两直线重合或同时与圆相切，可得a＝1或a＝0．若(A∪B)∩C含有三个元素，即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点，由于两直线或同时与圆相切，或同时与圆不相切，则必须有上述两条直线的交点在圆上，两直线的交点是，则＝1，所以，a＝－1±．1.1.49若集合A是一个有限集，我们以f(A)表示该集合中元素的个数．例如：f(∅)＝0，f({a})＝1等等．(1) 已知集合M＝{(x，y)＝x2，x∈R}，若集合N＝{(x，y)＝b}，其中b是实常数，求f(M∩N)的值；(2) 已知集合M＝{(x，y)＝x2，x∈Z}，若集合P＝{(x，y)＝x＋p}，其中p是实常数，如果存在整数k使得(k，k2)∈M∩P，求证：f(M∩P)＝2．解析(1) 若b<0，则f(M∩N)＝0；若b＝0，则f(M∩N)＝1；若b>0，则f(M∩N)＝2．(2) 由已知可得关于x的方程x2＝x＋p有一个根是k，则k2＝k＋p，即p＝k2－k，于是，方程x2＝x＋p即为x2－x－(k－1)k＝0，即(x－k)(x＋k－1)＝0，解得x＝k或x＝1－k，所以，M∩P＝{(k，k2)，(1－k，(1－k)2)}，由k是整数得k≠1－k，则f(M∩N)＝2．1.1.50设全集为R，A＝{2－5x－6>0}，B＝{x‖x－5|<a}(a是常数)，且11∈B，则()．(A) ∁∪B＝R (B) A∪∁＝R(C) ∁∪∁＝R (D) A∪B＝R解析集合A＝{>6或x<－1}，由11∈B得|11－5|<a，即a>6，集合B＝(5－a，5＋a)，此时5－a<－1，5＋a>6，所以，A∪B＝R，答案为D．1.1.51已知P＝{＝x2＋1，x∈R}，Q＝{＝x＋1，x∈R}，则P∩Q＝()．(A) {(0，1)，(1，0)} (B) {0，1}(C) {1，2} (D) {≥1}解析集合P，Q分别是函数y＝x2＋1，y＝x＋1的值域，于是P＝[1，＋∞)，Q＝R，所以P∩Q＝[1，＋∞)，答案为D．1.1.52设A、B是两个非空集合，定义A与B的“差集”为A－B＝{∈A，且x∉B}，则A－(A－B)＝()．(A) B(B) A∩B(C) A∪B (D) A解析由“差集”的定义可知集合A–B如图中阴影部分所示，所以，A －(A －B)＝A∩B ，答案为B ．1.1.53 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁)∪(∁)中有n 个元素，若A∩B 非空，则A∩B 的元素个数为( )．(A) (B) m ＋n (C) n －m (D) m －n 解析 由文氏图可得A∩B 的元素个数为m －n ，答案为D ．1.1.54 设全集U ＝N*，集合A ＝{＝2n ，n ∈N*}，B ＝{＝3n ，n ∈N*}，则∁U(A ∪B)＝( )．(A) {＝6n ，n ∈N*} (B) {＝6n±1，n ∈N*}(C) {＝6n±2，n ∈N*} (D) {＝6n±3，n ∈N*}解析 对于x ＝2n ，n ∈N*，若n ＝3k (k ∈N*)，则x ＝6k ；若n ＝3k －1(k ∈N*)，则x ＝6k －2；若n ＝3k －2 (k ∈N*)，则x ＝6k －4，对于x ＝3n ，若n ＝2k (k ∈N*)，则x ＝6k ；若n ＝2k －1 (k ∈N*)，则x ＝6k －3，所以，∁U(A ∪B)＝ {＝6n±1，n ∈N*}，答案为B ．1.1.55 我们称(P ，Q)为“有序集合对”，其中P ，Q 是集合，当P≠Q 时，认为(P ，Q)与(Q ，P)是两个不同的“有序集合对”．那么，使得A ∪B ＝{a ，b}成立的“有序集合对”(A ，B)共有( )个．(A) 9 (B) 4 (C) 7 (D) 16解析 若A ＝∅，则只能B ＝{a ，b}；若A ＝{a}，则B 可以为{b}或{a ，b}；若A ＝{b}，则B 可以为{a}或{a ，b}；若A ＝{a ，b}，则B 可以是∅，{a}，{b}，{a ，b}这四个集合中的某一个，所以，使得A ∪B ＝{a ，b}成立的“有序集合对”(A ，B)共有9个，答案为A ．1.1.56 有限集合S 中元素的个数记做(S)．设A ，B 都为有限集合，给出下列命题：① A∩B ＝∅的充要条件是(A ∪B)＝(A)＋(B)；② A ⊆B 的必要条件是(A)≤(B)；③ A ⊈B 的充分条件是(A)≤(B)；④ A ＝B 的充要条件是(A)＝(B)，其中真命题的序号是( )．(A) ③，④ (B) ①，② (C) ①，④ (D) ②，③解析 用文氏图可知，当A∩B ＝∅时，必有(A ∪B)＝(A)＋(B)．反之，若(A ∪B)＝(A)＋(B)，也必有A∩B ＝∅．于是，(A ∪B)＝(A)＋(B)是A∩B ＝∅的充要条件；若A ⊆B ，则(A)≤(B)；反之，当(A)≤(B)时，未必有A ⊆B ，于是，(A)≤(B)是A ⊆B 的必要条件；当(A)≤(B)时，有可能有A ⊆B ，于是，(A)≤(B)是A ⊈B 的既不充分，也不必要条件；(A)＝(B)是A ＝B 的必要不充分条件，所以，答案为B ．1.1.57 若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) x ∈C 是x ∈A 的充分条件但不是必要条件题1.1.53题1.1.56(B) x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件(C) x ∈C 是x ∈A 的充要条件(D) x ∈C 既不是x ∈A 的充分条件，也不是x ∈A 的必要条件解析 若x ∈A ，则一定有x ∈A ∪B ＝C ，于是，x ∈C 是x ∈A 的必要条件；如果x ∈C ＝A ∪B 时必有x ∈A ，则C ⊆A ，即A ∪B ⊆A ，于是，任取y ∈B ⊆A ∪B ⊆A ，则y ∈A ，B ⊆A ，矛盾，所以，x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件，答案为B ．1.1.58 已知集合M ＝{2，3，m2＋4m ＋2}，P ＝{0，7，m2＋4m －2，2－m}满足M∩P ＝{3，7}，则实数m 的值是 ．解析 由已知得7∈M ，则m2＋4m ＋2＝7，解得m ＝1或m ＝－5．若m ＝1，则m2＋4m －2＝3，2－m ＝1．若m ＝－5，2－m ＝7，与集合中元素的互异性矛盾，所以，m 的值是1．1.1.59 如果全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e ，f}，A ＝{a ，b ，c ，d}，A∩B ＝{a}，∁U(A ∪B)＝{f}，则B＝ ．解析 由表示集合U ，A ，B 的图形可得只有e ∈(∁)∩B ，所以，B ＝{a ，e}．1.1.60 如果全集U 含有12个元素，P ，Q 都是U 的子集，P∩Q 中含有2个元素，∁∩∁含有4个元素，∁∩Q 含有3个元素，则P 含有 个元素；Q 含有 个元素．解析 由表示集合U ，P ，Q 的图形可得P ，Q 中各有5个元素．1.1.61 集合A ＝{＝5k ＋3，k ∈N}， B ＝{＝7k ＋2，k ∈N}，则A∩B 中的最小元素是 ．解析 由已知可得集合A ＝{3，8，13，18，23，28，33，…}， B ＝{2，9，16，23，30，…}，所以，A∩B 中的最小元素是23．1.1.62 已知集合A ＝{－8≤x≤6}，B ＝{≤m}，若A ∪B≠B 且A∩B≠∅，则m 的取值范围是 ．解析 将集合A ，B 表示在数轴上可知m 的取值范围是－8≤m<6．1.1.63 已知常数a 是正整数，集合A ＝， B ＝{x‖<2a ，x ∈Z}，则集合A ∪B 中所有元素之和为 ．解析 由－<a ＋可得－<x<2a ＋，而x ∈Z ，于是，A ＝{0，1，2，3，…，2a －1，2a}，由<2a 得－2a<x<2a ，又x ∈Z ，则B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，(2a －2)，(2a －1)}．于是，A ∪B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，－1，0，1，…，(2a －2)，(2a －1)，2a}，其中所有元素之和为2a ．题 1.1.59 题1.1.60 题1.1.621.1.64我们将b－a称为集合{≤x≤b}的“长度”．若集合M＝，N＝，且M和N都是集合{0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是()．(A) (B) (C) (D)解析集合M和N的“长度”分别是和，又M和N都是集合{0≤x≤1}的子集，于是，当m＝，n＝0时，集合M∩N的“长度”取得最小值，答案为B．1.1.65已知集合A＝{2＋(m＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A∩R＋＝∅，求实数m的取值范围．解析若A＝∅，则Δ＝(m＋2)2－4<0，解得－4<m<0；若A≠∅，则由x2＋(m＋2)x＋1＝0没有正数根得解得m≥0．所以，m的取值范围是m>－4．1.1.66若集合A＝{2－2＋a＝0，x∈R}，B＝{2－4x＋a＋5＝0，x∈R}．(1) 若A＝B＝∅，求a的取值范围；(2) 若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；(3) 若A和B中有且仅有一个是∅，求a的取值范围．解析(1) 若A＝∅，则4a2－4a<0，解得0<a<1．若B＝∅，则16－4(a＋5)<0，解得a>－1，所以，使A＝B＝∅成立的a的取值范围是0<a<1．(2) 设 A'＝(0，1)，B'＝(－1，＋∞)，则使A和B中至少有一个是∅的实数a∈ A'∪B'，即使A和B中至少有一个是∅的实数a的取值范围是a>－1．(3) 使A和B中有且仅有一个是∅的a∈[A'∩(∁')]∪[(∁')∩B']，所以，使A和B中有且仅有一个是∅的a的取值范围是－1<a≤0或a≥1．§1–2简易逻辑一、命题1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的()．(A) 否命题必是真命题(B) 否命题必是假命题(C) 原命题必是假命题(D) 逆否命题必是真命题解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．1.2.2命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C) 存在x∈R，x3－x2＋1>0(D) 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案为C．1.2.3与命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是()．(A) 若b∈M，则a∉M (B) 若b∉M，则a∈M(C) 若b∈M，则a∈M (D) 若a∉M，则b∈M解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．1.2.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()．(A) 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立(B) 若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立(C) 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立(D) 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析由25>16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．1.2.5命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()．(A) 若x2≥1，则x≥1或x≤－1 (B) 若－1<x<1，则x2<1(C) 若x>1或x<－1，则x2>1 (D) 若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，答案为D．1.2.6在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是．解析原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．1.2.7若a，b都是非零实数，证明：＋＝＋与>0等价．解析若＋＝＋，则(＋)2＝＋2，a2＋b2＋2＝a2＋b2＋2，于是，＝，可得>0；若>0，则或于是，＋＝＋．所以，当a，b都是非零实数时，＋＝＋与>0等价．1.2.8已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．解析若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，所以，A⊆B，同理可得B⊆A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．1.2.9已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是()．(A) a≠b且b≠c(B) (a－b)(b－c)(c－a)≠0(C) (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(D) a2，b2，c2互不相等解析由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一个不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此时a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”与“a2，b2，c2互不相等”不是等价的；a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同时成立，所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B．1.2.10命题“若＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为．解析原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则≠0”．1.2.11给出下列四个命题：①若x2＝y2，则x＝y；②若x≠y，则x2≠y2；③若x2≠y2，则x≠y；④若x≠y且x≠－y，则x2≠y2，其中真命题的序号是．解析由x2＝y2可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝－y≠0，此时x≠y，而x2＝y2，于是，命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y，则可得x2＝y2，矛盾，于是，命题③成立；对于x≠y且x≠－y，如果x2＝y2，则有x＝y或x＝－y，即x＝y与x＝－y至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立．所以，上述四个命题中，真命题的序号是③和④．1.2.12已知命题p：方程x2＋＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x2＋ 4(m－2)x＋1＝0没有实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．解析当命题p为真时，应有解得m>2．当命题q为真时，应有Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3．于是，使“p或q”为真的m的取值范围是m>1，使“p且q”为假的m的取值范围是m≤2或m≥3，所以，使两者同时成立的m的取值范围是m≥3或1<m≤2．1.2.13某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正三个数之和为负．求证：他一定不能写出满足要求的数表．解析若此人能写出满足要求的数表，则由a11＋a12＋a13>0，a21＋a22＋a23>0，a31＋a32＋a33>0可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a11＋a21＋a31<0，a12＋a22＋a32<0，a13＋a23＋a33<0，则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表．1.2.14设a，b∈R，A＝{(x，y)＝＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)2＋y2≤144}都是平面内的点的集合．求证：不存在a，b，使得A∩B≠∅，且点(a，b)∈C同时成立．解析设满足要求的a，b存在，则P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．由得＋b－(3x2＋15)＝0，在平面内，原点到直线＋b－(3x2＋15)＝0的距离是＝3≥12，其中等号当且仅当3，即x2＝3时成立，但它与x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠∅成立的(a，b)必有 >12，与a2＋b2≤144矛盾，所以，满足要求的a，b不存在．1.2.15中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：(1) 自反性：对于任意a∈A，都有；(2) 对称性：对于a，b∈A，若，则有；(3) 传递性：对于a，b，c∈A，若，，则有，则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：．解析由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系．1.2.16已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．写出命题“若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”的逆命题，并判断其真假．若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例．解析所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．若f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，则a＋b>0．该命题是真命题．证明如下：若a＋b≤0，即a≤－b，由函数f(x)在R上是增函数得f(a)≤f(－b)，同理f(b)≤f(－a)，由此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾．所以，a＋b>0．二、充分条件和必要条件1.2.17两个圆“周长相等”是“面积相等”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析两个圆周长相等，则由2πr1＝2πr2得两圆半径r1＝r2，则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C．1.2.18P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是Q的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四边形的四条边长不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A．1.2.19已知a，b，c，d都是实数，则“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析对于实数a，b，c，d，如果a＝b且c＝d，则有a－b＝0，c－d＝0，则a＋c－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)＝0，于是，a＋c＝b＋d；反之，如果a＝1，b＝2，c＝4，d＝3，有a＋c＝b＋d，但此时a≠b，c≠d，所以，“a＝b且c＝d”是“a＋c ＝b＋d”的充分不必要条件，答案为A．1.2.20已知a，b，c是实数，则“a＝b”是“＝”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果a＝b，则a－b＝0，于是，－＝(a－b)c＝0，可得＝；反之，如果c＝0，a＝1，b＝2，此时有＝，但a≠b，所以，“a＝b”是“＝”的充分不必要条件，答案为A．1.2.21设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果m，n均为偶数，则m＋n一定是偶数；反之，如果m＝1，n＝3，m＋n＝4为偶数，但此时m和n都不是偶数，所以，“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的充分而不必要条件，答案为A．1.2.22设集合A，B是全集U 的两个子集，则是∁∪B＝U的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件题1.2.22(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析由表示集合U，A，B 关系的图形可知当时必有∁∪B＝U成立，反之，当A＝B时，也有∁∪B＝U成立，即A是B的真子集不是∁∪B＝U成立的必要条件，所以，答案为A．1.2.23对于集合M和P，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件题1.2.23(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析由表示集合M，P的图形可知当x∈M或x∈P时不一定有x∈M∩P，而当x∈M∩P时必有x∈M或x∈P，所以，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，答案为B．1.2.24如果x，y是实数，那么“ x＝y”是“x＝y”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当 x＝ y时，不一定有x＝y，而当x＝y时，必有 x＝ y，所以，“ x＝y”是“x＝y”的必要不充分条件，答案为B．1.2.25使不等式(1－)(1＋x)>0成立的充要条件为()．(A) x<－1或x>1 (B) －1<x<1(C) x>－1且x≠1(D) x<1且x≠－1解析此不等式等价于或解得－1<x<1或x<－1，即为x<1且x≠－1，所以，答案为D．1.2.26一元二次方程2＋＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是()．(A) >0 (B) <0 (C) >0 (D) <0解析若一元二次方程2＋＋c＝0有一个正数根x1和一个负数根x2，则x1x2＝<0，则<0；反之，若<0，一元二次方程的判别式Δ＝b2－4>0，此方程一定有两个实数根，且两根之积为<0，这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程2＋＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是<0，答案为D．1.2.27“x>1”是“<1”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若x>1，则－1＝<0，即<1；反之，如果x<0，则有<1，此时，x>1不成立，所以，“x>1”是“<1”的充分不必要条件，答案为A．1.2.28已知x是实数，则“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果x＝3，则x≠1，此时x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0；反之，如果x2－4x＋3≠0，即(x－3)(x－1)≠0，则x≠3且x≠1，所以，“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件，答案为B．1.2.29“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果一个正整数的个位数是5，即此正整数一定可表示成10k＋5(k是非负整数)，它一定是5的倍数；反之，可写成10n(n是正整数)的正整数一定是5的倍数，但它的个位数不是5，所以，“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要条件，答案为A．1.2.30对于集合A，B，下列四个命题中正确的是()．(A)“A不是B的子集”的充要条件是“对任意x∈A都有x∉B”(B) “A不是B的子集”的充要条件是“A∩B＝∅”(C) “A不是B的子集”的充要条件是“B不是A的子集”(D) “A不是B的子集”的充要条件是“存在x∈A，使得x∉B”解析由于A不是B的子集，则至少存在一个x0∈A有x0∉B，并不要求对任意的x∈A有x∉B，但是，对任意x∈A都有x∉B，则A一定不是B的子集，所以，“对任意x∈A都有x∉B”是“A不是B的子集”的充分不必要条件．若A不是B的子集，不一定有A∩B＝∅，例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，反之，当A∩B＝∅时，不一定能推出A不是B的子集，例如A＝∅，则A必是B 的子集，所以，“A∩B＝∅”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件．由A不是B的子集不一定能推出B不是A的子集，例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，反之亦然，所以，“B不是A的子集”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件．根据子集的概念可知“存在x∈A，使得x∉B”是“A不是B的子集”的充要条件．所以，答案为D．1.2.31已知函数f(x)＝(a2－1)x2＋(a－1)x＋3，则f(x)>0对任意的x∈R恒成立的充要条件是．解析当a＝1时，f(x)＝3>0恒成立．而当a＝－1时，f(x)＝－2x＋3不是对一切x∈R都有f(x)>0成立．当a≠±1时，使f(x)>0对一切x∈R都成立的充要条件是解得a>1或a<－，所以，使f(x)>0对任意的x∈R恒成立充要条件是a≥1或a<－．1.2.32证明：“关于x的方程3＋2＋＋d＝0有一个根为－1”的充要条件是“a＋c＝b＋d”．解析若a＋c＝b＋d，则方程3＋2＋＋d＝0即为3＋2＋＋a＋c－b＝0，于是，a(x3＋1)＋b(x2－1)＋c(x＋1)＝0，(x＋1)[a(x2－x＋1)＋b(x－1)＋c]＝0，所以，x＝－1是方程3＋2＋＋d＝0的一个根；反之，如果x＝－1是方程3＋2＋＋d＝0的一个根，则有a×(－1)3＋b×(－1)2＋c×(－1)＋d＝0，于是，a＋c＝b＋d，所以，“关于x的方程3＋2＋＋d＝0有一个根为－1”的充要条件是“a＋c＝b＋d”．。
高中数学试题大全
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1. 线性方程组
求下列线性方程组的解：
（1） 2x + 3y = 7
4x + 6y = 14
（2） 3x + 6y = 9
2x + 4y = 8
（3） x + 2y - z = 7
3x + 4y + z = 11
2x - y - 3z = -5
2. 平面几何
已知矩形ABCD，其中AB=8cm,BC=10cm，点M、N分别在AD、BD边上，且AM:MD=BN:ND=1:3，求MN长度。
3. 三角函数
已知直角三角形ABC,∠C=90°，AB=5,BC=3.
（1）求sin A,cos A,tan A
（2）求∠A的大小
4. 导数
（1）函数f(x) = x³-3x²+2x+1，求f'(1)的值。
（2）函数y = 2ex-3x +1, 求dy/dx的值。
5. 积分
（1）∫(x²+2x+3)dx
（2）∫(x²e^x)dx
6. 概率
在一批物品中有10件有毛病，20件无毛病。
从中任取一件，求取到有毛病的概率。
7. 数列
已知数列an，a1=2，an=2an-1-1 (n≥2)，求a6。
8. 向量
已知向量a=2i+3j,k(向量)=-i+2j+4k,求a叉积k的结果。
9. 解析几何
已知平面α过点A（1,2,-1),B（2,0,1),C（3,-1,2),垂直于向量p=(1,2,1) ,求平面α的解析式。
10. 二次函数
已知二次函数f(x)=2x²+8x-3，求顶点坐标和对称轴方程。
高中数学试题及答案大全
高中数学试题及答案大全一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为（）。
A. -1B. 1C. 3D. -32. 下列哪个选项是不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集（）。
A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)D. (1, 3)3. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是（）。
A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 5C. (x-5)^2 + y^2 = 25D. (x+5)^2 + y^2 = 254. 函数y = 3x - 2的反函数是（）。
A. y = (x + 2) / 3B. y = (x - 2) / 3C. y = 3x + 2D. y = 3x - 25. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. π7. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是（）。
A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)8. 抛物线y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（）。
A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, -1)D. (-2, 1)9. 等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第五项a5的值为（）。
A. 17B. 14C. 10D. 710. 函数y = ln(x)的定义域是（）。
A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极大值点是______。
2. 等比数列{bn}的首项b1 = 4，公比q = 1/2，则第六项b6的值为______。
数学高中试题及答案
数学高中试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)的图像经过点(1, 2)，则下列哪个选项是正确的？A. \( a + b + c = 2 \)B. \( a + b + c = 1 \)C. \( a + b + c = 0 \)D. \( a + b + c = 3 \)答案：A2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B等于：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {4}答案：B3. 函数\( y = \frac{1}{x} \)在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：C4. 若\( \sin x = \frac{1}{2} \)，则\( \cos 2x \)的值是：A. 0B. 1C. -1D. \( \frac{1}{2} \)答案：A5. 圆的方程为\( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0 \)，则圆心坐标是：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (0, 0)D. (3, -4)答案：A6. 等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的公差是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B7. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，则\( \log_2 32 \)的值是：A. 5B. 4C. 6D. 3答案：A8. 函数\( y = x^3 - 3x^2 + 4 \)的极大值点是：A. (1, 2)B. (2, 2)C. (0, 4)D. (3, 4)答案：A9. 抛物线\( y = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, 1)B. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)答案：A10. 已知\( \tan \alpha = 2 \)，则\( \sin \alpha \)的值是：A. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)B. \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)C. \( \frac{2}{\sqrt{3}} \)D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( y = \sqrt{x} \)的定义域是 ________。
高中数学试题及答案
高中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项是二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根的判别式？A. \( b^2 - 4ac \)B. \( 4ac - b^2 \)C. \( 4bc - a^2 \)D. \( a^2 - 4bc \)2. 函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \) 的导数是：A. \( 6x^2 - 6x + 1 \)B. \( 6x^2 - 6x \)C. \( 6x^2 - 12x + 1 \)D. \( 6x^3 - 12x^2 + 1 \)3. 以下哪个选项不是等比数列的性质？A. 相邻项的比值相等B. 任意两项的和为常数C. 相邻项的差是一个常数D. 相邻项的积是一个常数4. 若 \( \sin A = \frac{3}{5} \) 且 \( A \) 是锐角，那么\( \cos A \) 的值是：A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)C. \( \frac{3}{4} \)D. \( \frac{5}{4} \)5. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25B. 50C. 100D. 125二、填空题（每题2分，共10分）6. 若 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \) 且 \( a +b = 6 \)，则 \( ab \) 的值是 _______。
7. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是 _______。
8. 函数 \( y = \log_{2}(x) \) 的图像关于直线 \( x = _______ \) 对称。
9. 一个三角形的内角和为 _______ 度。
10. 若 \( \tan \theta = 2 \)，那么 \( \cot \theta \) 的值是_______。
高中数学的试题及答案
高中数学的试题及答案高中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. -2答案：A2. 若a + b = 5，a - b = 3，求a和b的值。
A. a = 4, b = 1B. a = 3, b = 2C. a = 2, b = 3D. a = 1, b = 4答案：A3. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边的长度。
A. 12B. 8C. 9D. 10答案：A4. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {2, 4}答案：B5. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (0, 4)答案：A6. 若s inθ = 1/3，求cosθ的值（θ为锐角）。
A. 2√2/3B. √3/3C. √6/3D. 2/3答案：A7. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 27C. 21D. 19答案：B8. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B9. 已知直线y = 3x + 2与x轴的交点坐标是什么？A. (-2/3, 0)B. (0, 2)C. (2/3, 0)D. (-2, 0)答案：D10. 抛物线y = x^2 - 4x + 4的对称轴是什么？A. x = -2B. x = 2C. x = 0D. x = 4答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若f(x) = x^2 + 2x - 3，求f(-1)的值。
______答案：-212. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。
______答案：48613. 若a = 2，b = 3，求a^2 + b^2的值。
高中数学题库
高中数学题库高中数学题库一、函数与方程1. 已知函数f(x)在区间[1,2]上连续，且对任意x∈[1,2]，有f(x^2-3x+2)=x^3-6x^2+11x-6，请写出函数f(x)的表达式。
2. 解方程组：{ 2x + 3y = 7{ 4x - 5y = -93. 已知复数z满足|z-3+2i|=5，求z的实部与虚部之和。
二、数列与级数1. 设数列{an}是等差数列，已知a1=3，d=2，求a100的值。
2. 求级数的和：S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 10003. 已知等差数列{an}的首项为a，公差为d，且满足an^2 + an + 1 = 0，求公差d的值。
三、三角函数与解析几何1. 在锐角三角形ABC中，已知a=8，b=15，c=17，求角A的角度大小。
2. 求方程sin(x) + 2cos(x) = 2在区间[0, 2π]上的解。
3. 平面直角坐标系中，点A(-2, 4)和B(3, 1)为直角三角形ABC的两个顶点，求直角三角形ABC的面积。
四、概率与统计1. 已知甲、乙、丙三个事件的概率分别为P(甲)=0.4，P(乙)=0.3，P(丙)=0.7，求P(甲且乙且丙)的概率。
2. 进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，求至少发生一次事件A的概率。
3. 某班学生的语文成绩服从正态分布N(80, 16)，求在该班级中成绩高于90分的学生所占的比例。
五、导数与微分1. 求函数y=x^3-3x^2+5的导函数。
2. 设直线y=kx+m与曲线y=x^2-3x交于两个不同的点，求m的取值范围。
3. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续可导，且f(0)=0，f(1)=1，求f'(c) = 2的解c。
六、数学证明1. 证明：任何两个整数的立方之和能被3整除。
2. 设有等腰三角形ABC，有AD ⊥ BC (D ∈ BC)，证明：AB^2 = AC^2 + BC·CD。
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迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4）（特别适合按14523顺序的省份）必修1 第一章 集合测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ）A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ）A. aB. {a ，c}C. {a ，e}D.{a ，b ，c ，d}4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ）5．下列表述正确的是 （ ）A.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( )A.A ∩BB.A ⊇BC.A ∪BD.A ⊆B7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有 （ ）A.（a+b ）∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（）A. 1B. 3C. 4D. 59.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ）A. 8B. 7C. 6D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ， 6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）A. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U11.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤ ( ) A ．{}01， B ．{}101-，， C ．{}012，， D ．{}1012-，，，12. 如果集合A={x|ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．用描述法表示被3除余1的集合 ．14．用适当的符号填空：（1）∅ }01{2=-x x ； （2）{1，2，3} N ；（3）{1} }{2x x x =； （4）0 }2{2x x x =．15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18. 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求实数a 的值．19. 已知方程02=++b ax x ．（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a ，b 满足的关系式；（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a ，b 的值20. 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ⊆，求实数a 的取值范围．必修1 函数的性质一、选择题：1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A ．y=2x ＋1 B ．y=3x 2＋1 C ．y=x2 D ．y=2x 2＋x ＋12.函数f(x)=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函 数，则f(1)等于 （ ）A ．－7B ．1C ．17D ．253.函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4.函数f(x)=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.函数f(x)在区间[a ，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a ，b]内 （）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是 （ ） A 5 B 5- C 6 D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集合（ ） A }2|{<a a B }1|{≥a a C }1|{>a a D }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f(5＋t) ＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ）A ．f(－1)＜f(9)＜f(13)B ．f(13)＜f(9)＜f(－1)C ．f(9)＜f(－1)＜f(13)D ．f(13)＜f(－1)＜f(9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围 （ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311. 函数c x x y ++=42，则 （ ） A )2()1(-<<f c f B )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则 （ ）A ．(10)(13)(15)f f f <<B ．(13)(10)(15)f f f <<C ．(15)(10)(13)f f f <<D ．(15)(13)(10)f f f <<.二、填空题：13．函数y=(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函 数，则f （1）＝ 。
15. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是_____________.16．函数f(x) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．证明函数f （x ）＝2－x x ＋2 在（－2，＋∞）上是增函数 18.证明函数f （x ）＝13+x 在［3,5］上单调递减，并求函数在［3,5］的最大值和最小值。
19. 已知函数[]1(),3,5,2x f x x x -=∈+ ⑴ 判断函数()f x 的单调性，并证明；⑵ 求函数()f x 的最大值和最小值．20．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递减，求满足22(23)(45)f x x f x x ++>---的x 的集合．必修1 函数测试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1.函数2134y x x =++-的定义域为 （ ） A )43,21(- B ]43,21[- C ),43[]21,(+∞⋃-∞ D ),0()0,21(+∞⋃-2．下列各组函数表示同一函数的是 （ ）A ．22(),()()f x x g x x ==B ．0()1,()f x g x x ==C ．3223(),()()f x x g x x ==D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=- 3．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 （ ）A 0，2，3B 30≤≤yC }3,2,0{D ]3,0[4.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 55.二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是 （ ）A 0个B 1个C 2个D 无法确定6.函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，则实数a 的取值范（ ） A 3-≤a B 3-≥a C 5≤a D 5≥a7.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程， 若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生 走法的是 （ ）8.函数f(x)=|x|+1的图象是 （ ）9.已知函数定义域是，则的定义域是 （ ）A. B. C. D.10．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥-B ．3a ≤-C ．5a ≤D ．3a ≥11.若函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 412.函数2y = （） A.[2,2]- B. [1,2] C.[0,2] D.[二、填空题(共4小题，每题4分，共16分,把答案填在题中横线上)13.函数1-=x e y 的定义域为 ;14.若2log 2,log 3,m na a m n a +===15.若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f16.函数]1,1[)20(32-<<++=在a ax x y 上的最大值是 ，最小值是 .三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求下列函数的定义域：（1）y ＝x ＋1x ＋2 （2）y ＝1x ＋3 ＋－x ＋x ＋4（3）y ＝16－5x －x 2 （4）y ＝2x －1x －1 ＋(5x －4)018．指出下列函数的定义域、值域、单调区间及在单调区间上的单调性。