全国名校高中数学题库--圆锥曲线
(完整版)高考圆锥曲线经典真题
高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．132 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C.33[33-D. 33(,33-3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l与C 无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.(2)若Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
(word版)高中数学——圆锥曲线试题(含答案),文档
启智辅导高考圆锥曲线试题精选一、选择题：〔每题5分，计50分〕1、(2021x2y2的焦距为〔〕海南、宁夏文)双曲线1102A.32B.42332.〔2004全国卷Ⅰ文、理〕椭圆x2y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的4直线与椭圆相交，一个交点为P，那么|PF2|=〔〕A．3B．37D．4 2C．23．〔2006辽宁文〕方程2x25x20的两个根可分别作为〔〕Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．〔2006四川文、理〕直线ｙ＝ｘ－3与抛物线y24x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，那么梯形APQB的面积为〔〕〔A〕48.〔B〕56〔C〕64〔D〕72.x2y21的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是5.(2007福建理)以双曲线169()A. B.C. D.6．〔2004全国卷Ⅳ理〕椭圆的中心在原点，离心率e 1，且它的一个焦点与抛物线y22 4x的焦点重合，那么此椭圆方程为〔〕A ．x2y2x2y2x2y21D．x22141B．61C．y 3824x2y22，有一个焦点与抛物线7．〔2005湖北文、理〕双曲线1(mn0)离心率为y2m n4x的焦点重合，那么mn的值为〔〕A．3B．3C．16D．8168x232316y1的左焦点在抛物线28.(2021重庆文)假设双曲线p2y=2px的准线上,那么p的值为3()(A)(B)3(C)4(D)4229．〔2002北京文〕椭圆x2y2和双曲线x2y23m212m21有公共的焦点，那么5n23n2双曲线的渐近线方程是〔〕A．x 15B．y15C．x3D．y3 y x y4x 22410．〔2003春招北京文、理〕在同一坐标系中，方程x2y2与ax by20(a b0)的曲线大致是a2b21y y y()yO O O Ox x x x A B C D高考圆锥曲线试题精选第1页共8页启智辅导二、填空题：〔每题 5分，计20分〕11.〔2005上海文〕假设椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是215,0，那么椭圆的标准方程是_________________________12．(2021江西文)双曲线x 2 y 21(a 0,b 0)的两条渐近线方程为 y3x ，a 2b 23假设顶点到渐近线的距离为 1，那么双曲线方程为．x 2 y 21的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的13.〔2007上海文〕以双曲线45抛物线方程是．14.(2021天津理)圆C 的圆心与抛物线y 24x 的焦点关于直线yx 对称.直线4x 3y20 与圆C 相交于A,B 两点，且 AB6,那么圆C 的方程为.三、解答题：〔15—18题各13分，19、20 题各14 分〕x 2 y 2 1(a b 0)的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，15.〔2006北京文〕椭圆C:2b 2a且PF 1F 1F 2,|PF 1| 4,|PF 2|14. 〔Ⅰ〕求椭圆 C 的方程；33(Ⅱ)假设直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆C 于A,B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16．〔2005重庆文〕中心在原点的双曲线 C 的右焦点为〔2，0〕，右顶点为 ( 3,0)〔1〕求双曲线 C 的方程； 〔2〕假设直线l:y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OAOB 2〔其中O 为原点〕.求k 的取值范围.高考圆锥曲线试题精选 第2页 共8页启智辅导(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P 〔0，-4〕作抛物线 G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足FA ·FB0,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.18．(2021辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)，(0，3) 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．〔Ⅰ〕写出C 的方程； uuu r〔Ⅱ〕设直线yuuuruuur kx1与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OAOB ？此时AB 的值是多少？高考圆锥曲线试题精选 第3页 共8页启智辅导22y〔2002广东、河南、江苏〕A、B是双曲线x－2＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点求直线AB的方程；如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？20.〔2007福建理)如图，点F〔1，0〕，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。
圆锥曲线多选、填空题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【题目栏目】圆锥曲线\双曲线\双曲线的几何性质
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第13题
14．(2021年新高考Ⅰ卷·第14题)已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ，直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第14题
9．(2022新高考全国II卷·第16题)已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
【答案】
解析：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
解析：对于A，若 ，则 可化为 ，因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 (舍去)，
又 ，即 ，解得 或 (舍去)，
所以直线 ，即 ；
全国名校高中数学题库 圆锥曲线
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±2137e =由1273e e =得1133e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x y c x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422，Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN yk x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
高中数学圆锥曲线练习题及参考答案2023
高中数学圆锥曲线练习题及参考答案2023一、选择题1. 下列不是圆锥曲线的是：A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线2. 椭圆的离心率范围是：A. 0 < e < 1B. e = 1C. e > 1D. e = 03. 若双曲线的离心率为1.5，焦点到准线的距离为6，则双曲线的方程为：A. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$B. $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$C. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$D. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$4. 抛物线的焦点位于：A. 抛物线的顶点处B. 抛物线的准线上C. 抛物线的对称轴上D. 抛物线的焦点处5. 设双曲线的离心率为2，焦点到准线的距离为10，则双曲线的方程为：A. $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$B. $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$C. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$D. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$二、填空题1. 椭圆的离心率等于：答案：$\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$2. 双曲线的焦点间距离等于：答案：$2ae$3. 抛物线的焦距等于：答案：$p = \frac{1}{4a}$4. 椭圆的离心率范围是：答案：$0 < e < 1$5. 双曲线的准线称为：答案：对称轴三、计算题1. 求椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点坐标。
解答：椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a = 4$，$b = 3$。
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
一、选择题：（60分）
1．椭圆 的离心率是（）
A. B. C. D.
2.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 轴上，并且长轴长为12，离心率为 ，则该椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
3.方程 所表示的曲线是（）
A.双曲线B.椭圆C.线段D.圆
4.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率曲线的实轴长和虚轴长。
（2）若 ,点 是双曲线上的任意一点，求 的最小值。
20.已知双曲线 。
（1）求与双曲线 有相同的焦点，且过点 的双曲线 的标准方程。
(2)直线 分别交双曲线的两条渐近线与A,B两点，当 时，求实数 的值。
（A）(B)(C)(D)
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则三角形ABC的周长是（）
（A）2（B）6（C）4（D）12
6．已知双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 , ,则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
7.曲线 与曲线 的（）
A. B. C. D.
二、填空题：（30分）
11.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 。
12.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为 ,且长轴长是短轴长的2倍，则求该椭圆的标准方程为。
13.已知椭圆 的焦点为 ,点P在椭圆上。若 ,则 的大小为
14.已知点 ，椭圆 与直线 交于点A,B,则 的周长为（）
15.已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ，则 ( ), （）。
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
8.已知F是双曲线 的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则 的大小不可能是（）
全国名校高考数学专题训练圆锥曲线
全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题一、选择题(本大题共60小题)1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上,横坐标为4(de)点到焦点(de)距离为5,则p(de)值为( )C. 2D. 42.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E(de)短轴长为6,焦点F到长轴(de)一个端点(de)距离等于9,则椭圆E(de)离心率等于( )3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1,F2是椭圆4x249＋y26＝1(de)两个焦点,P是椭圆上(de)点,且|PF1|：|PF2|＝4：3,则△PF1F2(de)面积为( )4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0(de)直线l过椭圆x2 a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(de)右焦点F交椭圆于A,B两点,P为右准线上任意一点,则∠APB为( )A.钝角B.直角C.锐角D.都有可能5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b(de)椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大(de)矩形,其面积(de)取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e(de)取值范围是( )A.[53,32] B.[33,22] C.[53,22] D.[33,32]6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ,F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)(de)右顶点和左焦点,点B 为椭圆短轴(de)一个端点,若BF →·BA →＝0=0,则椭圆(de)离心率e 为( )7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)右焦点为圆心(de)圆经过原点,且被椭圆(de)右准线分成弧长为2:1(de)两段弧,那么该椭圆(de)离心率等于( )8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)左,右焦点分别为F 1,F 2,抛物线C 2(de)顶点在原点,它(de)准线与双曲线C 1(de)左准线重合,若双曲线C 1与抛物线C 2(de)交点P 满足PF 2⊥F 1F 2,则双曲线C 1(de)离心率为( ) A. 2B. 3C.23329.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)中心,右焦点,右顶点,右准线与x 轴(de)交点依次为O ,F ,A ,H ,则|FA ||OH |(de)最大值为( )A.12B.13C.1410.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x (de)焦点F ,交抛物线于A ,B 两点,且点A 在x 轴上方,若直线l (de)倾斜角θ≥π4,则|FA |(de)取值范围是( )A.[14,32)B.(14,34＋22]C.(14,32]D.(14,1＋22]11.(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)两个焦点为F 1,F 2,点A 在双曲线第一象限(de)图象上,若△AF 1F 2(de)面积为1,且tan ∠AF 1F 2＝12,tan ∠AF 2F 1＝－2,则双曲线方程为( )－y 23＝1 －3y 2＝1 －12y 25＝1 －5y 212＝1 12.(北京市西城区高三抽样测试)若双曲线x 2＋ky 2＝1(de)离心率是2,则实数k (de)值是( )A.－3B.－13 D.1313.(北京市西城区高三抽样测试)设x ,y ∈R ,且2y 是1＋x 和1－x (de)等比中项,则动点(x ,y )(de)轨迹为除去x 轴上点(de)( )A.一条直线B.一个圆C.双曲线(de)一支D.一个椭圆14.(北京市宣武区高三综合练习一)已知P 为抛物线y ＝12x 2上(de)动点,点P 在x 轴上(de)射影为M ,点A (de)坐标是(6,172),则|PA |＋|PM |(de)最小值是( )B.192 D.21215.(北京市宣武区高三综合练习二)已知F 1,F 2是双曲线(de)两个焦点,Q 是双曲线上任一点(不是顶点),从某一焦点引∠F 1QF 2(de)平分线(de)垂线,垂足为P ,则点P (de)轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线16.(四川省成都市高中毕业班摸底测试)已知定点A (3,4),点P 为抛物线y 2＝4x 上一动点,点P 到直线x ＝－1(de)距离为d ,则|PA |＋d (de)最小值为( )5 －2317.(东北区三省四市第一次联合考试)椭圆(de)长轴为A 1A 2,B 为短轴一端点,若∠A 1BA 2＝120°,则椭圆(de)离心率为( ) A.33 B.63 C.32 D.1218.(东北三校高三第一次联考)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)离心率为3,且它(de)一条准线与抛物线y 2＝4x (de)准线重合,则此双曲线(de)方程为( )－y 26＝1 －2y 23＝1 －y 296＝1 －y 224＝1 19.(东北师大附中高三第四次摸底考试)已知椭圆x 29＋y 25＝1,过右焦点 F做不垂直于x 轴(de)弦交椭圆于A ,B 两点,AB (de)垂直平分线交x 轴于N ,则|NF |：|AB |＝( )A.12B.13C.23D.1420.(福建省莆田一中期末考试卷)已知AB是椭圆x225＋y29＝1(de)长轴,若把线段AB五等分,过每个分点作AB(de)垂线,分别与椭圆(de)上半部分相交于C,D,E,G四点,设F是椭圆(de)左焦点,则|FC|＋|FD|＋|FE|＋|FG|(de)值是( )21.(福建省泉州一中高三第一次模拟检测)过抛物线y2＝4x(de)焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点(de)横坐标为3,则|AB|等于( )22.(福建省厦门市高三质量检查)若抛物线y2＝2px(de)焦点与椭圆x26＋y22＝1(de)右焦点重合,则p(de)值为( )A.－2 C.－423.(福建省仙游一中高三第二次高考模拟测试)已知双曲线(de)中心在原点,离心率为3,若它(de)一条准线与抛物线y2＝4x(de)准线重合,则此双曲线与抛物线y2＝4x(de)交点到抛物线焦点(de)距离为( )A.2124.(福建省漳州一中期末考试)过抛物线y2＝4x(de)焦点F作直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1＋x2＝6,则|PQ|＝( )B. 625.(甘肃省河西五市高三第一次联考)已知曲线C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)是以F1,F2为焦点(de)椭圆,若以F1F2为直径(de)圆与椭圆(de)一个交点为P,且tan ∠PF 1F 2＝12,则此椭圆(de)离心率为( )A.12B.23C.13D.5326.(广东省惠州市高三第三次调研考试)椭圆满足这样(de)光学性质：从椭圆(de)一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆(de)另一个焦点.现在设有一个水平放置(de)椭圆形台球盘,满足方程：x 216＋y 29＝1,点A ,B 是它(de)两个焦点,当静止(de)小球放在点A 处,从点A 沿直线出发,经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后,再回到点A 时,小球经过(de)最短路程是( )D.以上均有可能27.(广东省揭阳市第一次模拟考试)两个正数a ,b (de)等差中项是92,一个等比中项是25,且a ＞b ,则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(de)离心率为( )A.53B.414C.54D.41528.(广东省揭阳市第一次模拟考试)已知：区域Ω＝{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤4－x2},直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同(de)交点,它们围成(de)平面区域为M ,向区域Ω上随机投一点A ,点A 落在区域M 内(de)概率为P (M ),若P (M )∈[π－22π,1],则实数m (de)取值范围为( ) A.[12,1] B.[0,33] C.[33,1]D.[0,1]29.(广东省汕头市潮阳一中高三模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b＞0)(de)左焦点,点E 是该双曲线(de)右顶点,过F 且垂直于x 轴(de)直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线(de)离心率e (de)取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(1,2)C.(1,1＋2)D.(2,1＋2)30.(广东省韶关市高三第一次调研考试)椭圆x 2＋my 2＝1(de)焦点在y 轴上,长轴长是短轴长(de)两倍,则m (de)值为( )A .14 B.1231.(广东实验中学高三第三次阶段考试)过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线(de)两条切线,若切点分别为M ,N ,则直线MN 过定点( )A.(0,1)B.(1,0)C.(0,－1)D.(－1,0)32.(贵州省贵阳六中、遵义四中高三联考)设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1长轴(de)两个端点为焦点,其准线过椭圆(de)焦点,则双曲线(de)渐近线(de)斜率为( )A .±2B .±43C .±12D .±3433.(贵州省贵阳六中、遵义四中高三联考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)离心率为e ＝21,右焦点为F (c ,0),方程ax 2＋bx －c ＝0(de)两个实根分别为x 1和x 2,则点P (x 1,x 2)( ) A.必在圆x 2＋y 2＝2内 B.必在圆x 2＋y 2＝2上 C.必在圆x 2＋y 2＝2外D.以上三种情形都有可能34.(安徽省合肥市高三年级第一次质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1满足条件：(1)焦点为F 1(－5,0),F 2(5,0)；(2)离心率为53,求得双曲线C (de)方程为f (x ,y )＝0.若去掉条件(2),另加一个条件求得双曲线C (de)方程仍为f (x ,y )＝0,则下列四个条件中,符合添加(de)条件共有( ) ①双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上(de)任意点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6；②双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(de)—条准线为x ＝253；③双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上(de)点P 到左焦点(de)距离与到右准线(de)距离比为53；④双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(de)渐近线方程为4x ±3y ＝0.个 个 个 个35.(河北衡水中学第四次调考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0),被方向向量为k ＝(6,6)(de)直线截得(de)弦(de)中点为(4,1),则该双曲线离心率(de)值是( ) A.52 B.62 C.10336.(河北衡水中学第四次调考)设F 1,F 2为椭圆x 24＋y 23＝1(de)左,右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P ,Q 两点,当四边形PF 1QF 2面积最大时,PF 1→·PF 2→(de)值等于( ) 37.(河北省正定中学高三一模)已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上(de)点,F 1,F 2分别是椭圆(de)左,右焦点,若PF 1→·PF 2→|PF 1→|·|PF 2→|＝12,则△F 1PF 2(de)面积为( )3 3 C. 3 D.3338.(河北省正定中学高三第四次月考)已知A ,B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上(de)两个点,O 为坐标原点,若|OA |＝|OB |且△AOB (de)垂心恰是抛物线(de)焦点,则直线AB (de)方程是( )＝p ＝3p ＝52p ＝32p39.(河北省正定中学高三第五次月考)AB 是抛物线y 2＝2x (de)一条焦点弦,|AB |＝4,则AB 中点C (de)横坐标是( )A. 2B.12C.32D.5240.(河南省濮阳市高三摸底考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0),若过右焦点F 且倾斜角为30°(de)直线与双曲线(de)右支有两个交点,则此双曲线离心率(de)取值范围是( )A.(1,2)B.(1,233)C.[2,＋∞)D.[233,＋∞)41.(黑龙江省哈尔滨九中第三次模拟考试)P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点,F 是椭圆(de)右焦点,OQ →＝12(OP →＋OF →),|OQ →|＝4,则点P 到该椭圆左准线(de)距离为( )D.5242.(湖北省八校高三第二次联考)经过椭圆x 24＋y 23＝1(de)右焦点任意作弦AB ,过A 作椭圆右准线(de)垂线AM ,垂足为M ,则直线BM 必经过点( )A.(2,0)B.(52,0)C.(3,0)D.(72,0)43.(湖北省三校联合体高三2月测试)过双曲线M ：x 2－y2b2＝1(b ＞0)(de)左顶点A 作斜率为1(de)直线l ,若l 与双曲线M (de)两条渐近线分别相交于B ,C ,且|AB |＝|BC |,则双曲线M (de)离心率是( )A.10B. 5C.103D.5244.(湖北省鄂州市高考模拟)下列命题中假命题是( ) A.离心率为2(de)双曲线(de)两渐近线互相垂直B.过点(1,1)且与直线x －2y ＋3＝0垂直(de)直线方程是2x ＋y －3＝0C.抛物线y 2＝2x (de)焦点到准线(de)距离为1 ＋y 252＝1(de)两条准线之间(de)距离为25445.(湖北省鄂州市高考模拟)点P 是抛物线y 2＝4x 上一动点,则点P 到点A (0,－1)(de)距离与P 到直线x ＝－1(de)距离和(de)最小值是( )A. 5B. 3 D.2 46.(湖北省黄冈市秋季高三年级期末考试)双曲线(de)虚轴长为4,离心率为e ＝62,F 1,F 2分别是它(de)左,右焦点,若过F 1(de)直线与双曲线(de)左支交于A ,B 两点,且|AB |是|AF 2|与|BF 2|(de)等差中项,则|AB |＝( ) 2 2 247.(湖北省荆州市高中毕业班质量检测)已知m ,n ,s ,t ∈R ,m ＋n ＝2,m s ＋nt＝9其中m ,n 是常数,且s ＋t (de)最小值是49,满足条件(de)点(m ,n )是椭圆x 24＋y 22＝1一弦(de)中点,则此弦所在(de)直线方程为( ) －2y ＋1＝0 －y －1＝0 ＋y －3＝0 ＋2y －3＝048.(湖北省随州市高三五月模拟)设a ,b 是方程x 2＋x ·cot θ－cos θ＝0(de)两个不等(de)实数根,那么过点A (a ,a 2)和B (b ,b 2)(de)直线与椭圆x 2＋y 22＝1(de)位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.随θ(de)变化而变化49.(湖北省武汉市武昌区高中毕业生元月调研测试)设θ是三角形(de)一个内角,且sin θ＋cos θ＝15,则方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示(de)曲线为( )A.焦点在x 轴上(de)椭圆B.焦点在y 轴上(de)椭圆C.焦点在x 轴上(de)双曲线D.焦点在y 轴上(de)(de)双曲线50.(湖南省长沙市一中高三第六次月考)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)(de)半焦距为c ,直线l 过A (a ,0),B (0,b )两点,若原点O 到l (de)距离为34c ,则双曲线(de)离心率为( ) A.233或2C.2或233D.23351.(湖南省雅礼中学高三年级第六次月考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)左,右焦点分别为F 1,F 2,过焦点F 2且垂直于x 轴(de)弦为AB ,若∠AF 1B ＝90°,则双曲线(de)离心率为( )A.12(2－2)B.2－1C.2＋1D.12(2＋2)52.(湖南省岳阳市高三第一次模拟)Q 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点,F 1,F 2为左,右焦点,过F 1作∠F 1QF 2外角平分线(de)垂线交F 2Q (de)延长线于P 点.当Q 点在椭圆上运动时,P 点(de)轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线53.(吉林省吉林市高三上学期期末)设斜率为2(de)直线l ,过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)右焦点,且与双曲线(de)左,右两支分别相交,则双曲线离心率e (de)取值范围是( )＞ 5 ＞ 3 ＜e ＜ 3 ＜e ＜5 54.(江西省鹰潭市高三第一次模拟)若直线y ＝32x 与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)交点在实轴上射影恰好为双曲线(de)焦点,则双曲线(de)离心率是( )A. 2 255.(宁夏区银川一中第六次月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)离心率是62,则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(de)离心率是( )A.12B.33C.22D.3256.(山东省聊城市第一期末统考)已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)左,右焦点,过F 1且垂直于x 轴(de)直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABF 2是锐角三角形,则该双曲线离心率(de)取值范围是( ) A.(1＋2,＋∞) B.(1,1＋2) C.(1,3) D.(3,22)57.(山东省实验中学高三第三次诊断性测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0,n ＞0)有相同(de)焦点(－c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m (de)等比中项,n 2是2m 2与c 2(de)等差中项,则椭圆(de)离心率是( )A.33 B.22 C.14 D.1258.(山东省郓城一中高三第一学期期末考试)已知对称轴为坐标轴(de)双曲线(de)两条渐近线方程为y＝±bax(a＞0,b＞0),若双曲线上有一点M(x0,y0),使b|x0|＜a|y0|,则双曲线焦点( )A.在x轴上B.在y轴上C.当a＞b时,在x轴上D.当a＜b时,在y轴上59.(山东省郓城一中高三第一学期期末考试)已知对k∈R,直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点,则实数m(de)取值范围是( )A.(0,1)B.(0,5)C.[1,5)∪(5,＋∞)D.[1,5)60.(山东省郓城一中高三第一学期期末考试)已知A,B是抛物线y2＝2px(p ＞0)上异于原点O(de)两点,则“OA→·OB→＝0”是“直线AB恒过定点(2p,0)”(de)( )A.充分非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件二、填空题(本大题共40小题)61.(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线y2＝a(x＋1)(de)准线方程是x＝－3,那么抛物线(de)焦点坐标是 .62.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆P与定圆C：(x＋2)2＋y2＝1相外切,又与定直线l：x＝1相切,那么动圆(de)圆心P(de)轨迹方程是 .63.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知P为双曲线x216－y29＝1(de)右支上一点,P到左焦点距离为12,则P到右准线距离为 .64.(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)(de)左,右焦点分别为F1,F2,若在双曲线(de)右支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线(de)离心率e(de)取值范围为 .65.(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(de)左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一点,且∠PF1F2＝30°,∠PF2F1＝60°,则椭圆(de)离心率e＝ .66.(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)(de)一条渐近线方程为3x－2y＝0,则a＝ .67.(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a,b∈R＋)(de)离心率e∈[2,2],则一条渐近线与实轴所构成(de)角(de)取值范围是 .68.(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点A(1,0),B(b,0),若抛物线y2＝4x上存在点C使△ABC为等边三角形,则b＝ .69.(北京市宣武区高三综合练习一)长为3(de)线段AB(de)端点A,B分别在x,y轴上移动,动点C(x,y)满足AC→＝2CB→,则动点C(de)轨迹方程是 .70.(北京市宣武区高三综合练习二)设抛物线x2＝12y(de)焦点为F,经过点P(2,1)(de)直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB(de)中点,则|AF|＋|BF|＝ .71.(四川省成都市高中毕业班摸底测试)与双曲线x 29－y 216＝1有共同(de)渐近线,且焦点在y 轴上(de)双曲线(de)离心率为 .72.(东北区三省四市第一次联合考试)过抛物线y 2＝4x (de)焦点F (de)直线交抛物线于A ,B 两点,则1|AF |＋1|BF |＝ .73.(东北三校高三第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)离心率(de)取值范围是e ∈[233,2],则两渐近线夹角(de)取值范围是 .74.(东北师大附中高三第四次摸底考试)若抛物线y 2＝2px (de)焦点与椭圆x 28＋y 24＝1(de)右焦点重合,则p (de)值为 . 75.(福建省南靖一中第四次月考)过椭圆x 236＋y 225＝1(de)焦点F 1作直线交椭圆于A ,B 二点,F 2是此椭圆(de)另一焦点,则△ABF 2(de)周长为 .76.(福建省泉州一中高三第一次模拟检测)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(de)渐近线与方程为(x －2)2＋y 2＝3(de)圆相切,则此双曲线(de)离心率为 .77.(福建省厦门市高三质量检查)点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2(de)一个交点,且2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1,其中F 1,F 2是双曲线C 1(de)两个焦点,则双曲线C 1(de)离心率为 .78.(福建省厦门市高三质量检查)已知动点P (x ,y )在椭圆x 225＋y 216＝1上,若A 点(de)坐标为(3,0),|AM →|＝1且PM →·AM →＝0,则|PM →|(de)最小值是 .79.(福建省漳州一中上期期末考试)双曲线x 29－y 216＝1(de)两个焦点为F 1,F 2,点P 在该双曲线上,若PF 1→·PF 2→＝0,则点P 到x 轴(de)距离为 .80.(甘肃省兰州一中高三上期期末考试)已知P (x ,y )是抛物线y 2＝－8x (de)准线与双曲线x 28－y 22＝1(de)两条渐近线所围成(de)三角形平面区域内(含边界)(de)任意一点,则z ＝2x －y (de)最大值为 . 81.(广东省汕头市澄海区高三第一学期期末考试)经过抛物线y 2＝4x (de)焦点F 作与x 轴垂直(de)直线,交抛物线于A ,B 两点, O 是抛物线(de)顶点,再将直角坐标平面沿x 轴折成直二面角,此时A ,B 两点之间(de)距离为 ,∠AOB (de)余弦值是 .82.(广东省五校高三上期末联考)若抛物线y 2＝2px (de)焦点与双曲线x 26－y 23＝1(de)右焦点重合,则p (de)值为 .83.(河北衡水中学第四次调考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)两个焦点为F 1,F 2,点P 为椭圆上(de)点,则能使∠F 1PF 2＝π2(de)点P (de)个数可能有个.(把所有(de)情况填全)84.(河北省正定中学高三第四次月考)已知m ,n ,m ＋n 成等差数列,m ,n ,mn成等比数列,则椭圆x 2m ＋y 2n＝1(de)离心率是 .85.(河北省正定中学高三第五次月考)椭圆x 29＋y 24＝1(de)焦点为F 1,F 2,点P为椭圆上(de)动点,当PF 1→·PF 2→＜0时,点P (de)横坐标(de)取值范围是 .86.(河南省濮阳市高三摸底考试)已知椭圆x 216＋y 24＝1(de)左右焦点分别为F 1与F 2,点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上.当∠F 1PF 2取最大值时,|PF 1||PF 2|(de)值为 .87.(湖北省三校联合体高三2月测试)设中心在原点(de)双曲线与椭圆x 22＋y 2＝1有公共(de)焦点,且它们(de)离心率互为倒数,则该双曲线(de)方程是 .88.(湖北省黄冈市秋季高三年级期末考试)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上(de)动点,点P 在y 轴上(de)射影是M ,点A (de)坐标是(4,a ),则当|a |＞4时,|PA |＋|PM |(de)最小值是 .89.(湖北省荆门市高三上学期期末)椭圆x 23＋y 22＝1(de)右焦点为F ,过左焦点且垂直于x 轴(de)直线为l 1,动直线l 2垂直于直线l 1于点P ,线段PF (de)垂直平分线交l 2于点M ,点M (de)轨迹为曲线C ,则曲线C 方程为 ；又直线y ＝x －1与曲线C 交于A ,B 两点,则|AB →|等于 .90.(湖北省荆州市高中毕业班质量检测)已知F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0,b＞0)(de)左,右焦点,P为双曲线左支上(de)一点,若|PF2|2|PF1|＝8a,则双曲线(de)离心率(de)取值范围是 .91.(湖北省武汉市武昌区高中毕业生元月调研测试)过椭圆x29＋y24＝1内一点P(1,1)作弦AB,若AP→＝PB→,则直线AB(de)方程为 .92.(湖南省十二校高三第一次联考)若双曲线x24－y2b2＝1(de)一条准线与抛物线y2＝4x(de)准线重合,则双曲线(de)渐近线方程是 . 93.(湖南省岳阳市高三第一次模拟)过定点P(1,4)作直线交抛物线C：y＝2x2于A,B两点, 过A,B分别作抛物线C(de)切线交于点M,则点M(de)轨迹方程为 .94.(湖南省岳阳市高三第一次模拟)设P是曲线y2＝4x上(de)一个动点,则点P到点A(－1,2)(de)距离与点P到x＝－1(de)距离之和(de)最小值为 .95.(湖南省株洲市高三第二次质检)直线l交抛物线y2＝2x于M(x1,y1),N(x2,y2),且l过焦点,则y1y2(de)值为 .96.(江苏省南京市高三第一次调研测试)已知抛物线y2＝mx(m≠0)(de)准线与椭圆x26＋y22＝1(de)右准线重合,则实数m(de)值是 .97.(江苏省南通市高三第二次调研考试)过抛物线y2＝2px(p＞0)(de)焦点F(de)直线l交抛物线于A,B两点,交准线于点C.若CB→＝2BF→,则直线AB(de)斜率为 .98.(江苏省前黄高级中学高三调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)(de)焦点F (de)直线交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C (B 在FC 之间),且|BC |＝2|BF |,|AF |＝12,则p (de)值为 .99.(江苏省南通通州市高三年级第二次统一测试)已知中心在原点,焦点在x 轴上(de)双曲线(de)一条渐近线为mx －y ＝0,若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值,使得双曲线(de)离心率大于3(de)概率是 .100.(山东省郓城一中高三第一学期期末考试)已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2＋y 2(10－a )2＝1(5＜a ＜10)(de)两个焦点,B 是短轴(de)一个端点,则△F 1BF 2(de)面积(de)最大值是 .全国名校高考专题训练——圆锥曲线解答题1.(河北省正定中学高三第五次月考)已知直线l 过椭圆E ：x 2＋2y 2＝2(de)右焦点F ,且与E 相交于P ,Q 两点.(Ⅰ)设OR →＝12(OP →＋OQ →)(O 为原点),求点R (de)轨迹方程； (Ⅱ)若直线l (de)倾斜角为60°,求1|PF |＋1|QF |(de)值.2.(河南省开封市高三年级第一次质量检测)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)(de)左,右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,点A 在双曲线(de)右支上,点B 在双曲线左准线上,F 2O →＝AB →,OF 2→·OA →＝OA →·OB →. (Ⅰ)求双曲线(de)离心率e ；(Ⅱ)若此双曲线过C (2,3),求双曲线(de)方程；(Ⅲ)在(Ⅱ)(de)条件下,D 1,D 2分别是双曲线(de)虚轴端点(D 2在y 轴正半轴上),过D 1(de)直线l 交双曲线M ,N ,D 2M →⊥D 2N →,求直线l (de)方程.3.(河南省濮阳市高三摸底考试)直线AB 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)(de)焦点F ,并与其相交于A ,B 两点,Q 是线段AB (de)中点,M 是抛物线(de)准线与y轴(de)交点,O 是坐标原点. (Ⅰ)求MN →·MB →(de)取值范围；(Ⅱ)过A ,B 两点分别作此抛物线(de)切线,两切线相交于N 点.求证：MN →·OF →＝0,NQ →∥OF →.4.(河南省许昌市高三上期末质量评估)已知椭圆x 22＋y 2＝1(de)左焦点为F ,O 为坐标原点.(Ⅰ)求过点O ,F ,并且与椭圆(de)左准线l 相切(de)圆(de)方程；(Ⅱ)设过点F (de)直线交椭圆于A ,B 两点,并且线段AB (de)中点在直线x ＋y ＝0上,求直线AB (de)方程.5.(黑龙江省哈尔滨九中第三次模拟考试)已知P (－3,0),点R 在y 轴上,点Q 在x (de)正半轴上,点M 在直线RQ 上,且PR →·RM →＝0,RM →＝－32MQ →. (Ⅰ)当R 在y 轴上移动时,求M 点(de)轨迹C ；(Ⅱ)若曲线C (de)准线交x 轴于N ,过N (de)直线交曲线C 于两点AB ,又AB (de)中垂线交x 轴于点E ,求E 横坐标取值范围；(Ⅲ)在(Ⅱ)中,△ABE 能否为正三角形.6.(湖北省八校高三第二次联考)已知A ,B 是抛物线x 2＝2py (p ＞0)上(de)两个动点,O 为坐标原点,非零向量OA →,OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|.(Ⅰ)求证：直线AB 经过一定点；(Ⅱ)当AB (de)中点到直线y －2x ＝0(de)距离(de)最小值为255时,求p (de)值.7.(湖北省三校联合体高三2月测试)已知半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0),动圆M 与此半圆相切且与x 轴相切.(Ⅰ)求动圆圆心M (de)轨迹方程；(Ⅱ)是否存在斜率为13(de)直线l ,它与(Ⅰ)中所得轨迹由左到右顺次交于A ,B ,C ,D 四个不同(de)点,且满足|AD |=2|BC |若存在,求出l (de)方程,若不存在,说明理由.8.(湖北省鄂州市高考模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(de)左、右焦点分别是F 1(－c ,0),F 2(c ,0),Q 是椭圆外(de)动点,满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆(de)交点,点T 在线段F 2Q 上,并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT (Ⅰ)设x 为点P(de)横坐标,证明1||c F P a x a=+；(Ⅱ)求点T(de)轨迹C(de)方程；(Ⅲ)试问：在点T(de)轨迹C 上,是否存在点M,使△F 1MF 2(de)面积S=.2b 若存在,求∠F 1MF 2(de)正切值；若不存在,请说明理由．。
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uuu v uuu v
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
即⎜ x −
⎛ ⎝
4 ⎞ 2 16 4⎞ 16 ⎛ ⎟ +y = （y≠0）. ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝
2
2
6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ，且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程；(2) 是否存在直线 l ，使 l 过点（0，1） ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP ⋅ OQ = 0 ？若存在，求出直线 l 的方 程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设 M 为动圆圆心， F (1, 0 ) ，过点 M 作直线 x = −1 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF = MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨 迹为抛物线，其中 F (1, 0 ) 为焦点， x = −1 为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 = 4 x （2）由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ，
即k
2
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 ， (k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ，
4k (k 2 + 1) − k 2 i4k + k 2 = 0 ，解得 k = −4 或 k = 0 （舍去） ， 又 k = −4 < −1 ， ∴ 直线 l 存在，其方程为 x + 4 y − 4 = 0 y2 x2 7、设双曲线 2 − = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率为 2.（I）求此双曲线的渐近线 l1 、l2 的方程； （II）若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点，且 2| AB| = 5| F1 F2 | ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程， a 3 → → 并说明轨迹是什么曲线； （III）过点 N (1， 0) 能否作出直线 l ，使 l 与双曲线交于 P、Q 两点，且 OP · OQ = 0 .若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解： （I）∵ e = 2 ， ∴ c 2 = 4a 2
2、 （1） ∆ABC 的底边 BC = 16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，建立适当的坐标系求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹． （2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 程． 解： （1）以 BC 所在的直线为 x 轴， BC 中点为原点建立直角坐标系．设 G 点坐标为 (x，y ) ，由 GC + GB = 20 ，知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因 a = 10 ， c = 8 ， 有
3 sinA,求点 A 的轨迹方 5
⎧ ′ x x = ， 2 2 2 ⎪ ′ ′ x y x y y2 ⎪ 3 代入①，得 的轨迹方程为 x ′ ′ ′ ，故其方程为 ．设 ， ，则 ． ①由题意有 b=6 + = 1( y ≠ 0 ) A(x，y ) G (x ，y ) + = 1( y ≠ 0 ) A + = 1( y ≠ 0) ，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两 ⎨ y 100 36 100 36 900 324 ⎪ y′ = ⎪ 3 ⎩
x2 y2 + = 1 上的一点，P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点，且 MN⊥MQ，QN 与 PT 的交点为 E，当 M 沿椭圆 C 运动时，求动点 E 12 4
的轨迹方程． 解：设点的坐标 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 y1 ≠ 0), E ( x, y ), 则 P ( − x1 , y1 ), Q ( − x1 , − y1 ), T ( x1 , − y1 ), ……1 分
∴ ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 10 3 3 x1 ，y 2 = − x 2 ， 2 x = x1 + x 2 ， 2 y = y1 + y 2 3 3 3 3 ∴ y1 + y 2 = ( x1 − x2 ) ，y1 − y2 = ( x1 + x 2 ) 3 3 又y1 = ∴
⎧ x12 + ⎪ ⎪12 ⎨ 2 ⎪ x2 + ⎪ ⎩12
y12 = 1, ⋯⋯⋯⋯ (1) 1 x y y 4 ………3 分 由（1）－（2）可得 kMN • kQN = − . …6 分又 MN⊥MQ， kMN ⋅ kMQ = −1, kMN = − 1 , 所以 kQN = 1 . 直线 QN 的方程为 y = 1 ( x + x1 ) − y1 ，又直 2 3 y1 3 x1 3x1 y2 = 1.⋯⋯⋯⋯ (2) 4
⎧ y = k ( x − 1) ⎪ 由⎨ 2 x 2 得 (3k − 1) x 2 − 6k 2 x + 3k 2 − 3 = 0 y − =1 2 ⎪ 由（i） （ii）得 k + 3 = 0 3 ⎩ 6k 2 3k 2 − 3 (ii ) (i ) 则x1 + x 2 = 3k 2 − 1 ，x1 x 2 = 3k 2 − 1
⎩ ;6 ⎧ x= 0 ⎪ ⎪ 2 ，∴ ⎧ x0 = 2 x − 6 ． （2）解：设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) ，则 ⎨ ⎨ ⎩ y0 = 2 y ⎪ y = y0 ⎪ ⎩ 2 2 2 代入 y0 = 8 x0 得： y = 4 x − 12 ．此即为点 P 的轨迹方程．
2 2
点） ． （2）分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
3 sinA 5
2RsinC-2RsinB=
3 ·2RsinA 5
∴ AB − AC =
3 BC 5
（*）
即 AB − AC = 6
10 3 的椭圆.（9 分） 3
→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0
∴k 不存在，即不存在满足条件的直线 l . 8、设 M 是椭圆 C :
| OP | 1 | OP | | PR | 1 1 1 = ，由角平分线性质可得 = = ，又∵点 R 在线段 PQ 上，∴|PR|= |RQ|，∴点 R 分有向线段 PQ 的比为 ，由定 2 2 | OQ | 2 | OQ | | RQ | 2
1 ⎧ m+ ×4 ⎪ 2m + 4 2 3x − 4 ⎧ = ⎪x = m= 2 2 1 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1+ 2 ，∴点 P 的坐标为 ⎛ 3 x − 4 3 y ⎞ ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ⎛ 3 x − 4 ⎞ ⎛ 3 y ⎞ 比分点坐标公式可得 ⎪ ，即 , + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =4， 2 ⎨ ⎨ 3 y 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎪n = 1 ⎪ n + ×0 ⎪ ⎩ 2 2n ⎪ 2 = ⎪y = 1 3 1+ ⎪ ⎩ 2
1、 （1）已知双曲线 C1 与椭圆 C2 ：
a + b = 13 13 e1 7 13 y2 x2 y2 x2 ⎪ 2 （1）解： C1 的焦点坐标为 (0, ± 13). e2 = 由 设双曲线的方程为 2 − 2 = 1( a , b > 0) 则 ⎨ a + b 2 13 解得 a 2 = 9, b 2 = 4 双曲线的方程为 = 得 e1 = − =1 a b 9 4 = 7 e2 3 3 ⎪ 2
∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
x2 y2 所求轨迹方程为 − = 1 （x>3） 9 16
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
3、如图，两束光线从点 M（-4，1）分别射向直线 y= -2 上两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆 C： 圆 C 的方程. 解 ： 设 a =2 k ， c = k ， k ≠ 0 ， 则 b = 由题设条件得：
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：
x2 y2 7 + = 1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的离心率 e2 之比为 ，求双曲线 C1 的方程． 36 49 3 2 （2）以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方程．
x2 y2 1 6 + 2 = 1 （a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为 ，且 x2-x1= ，求椭 2 2 5 a b
3 k，其椭圆的方程为
x2 y2 − =1 . 4k 2 3k 2
0+2 1 − (−2) ， ① = − k − x1 − 4 − x1 0+2 1 − (−2) = ， ② − k − x2 − 4 − x2 6 x2-x1= ， ③ 5 x2 y2 11 由①、②、③解得：k=1，x1= − ，x2=-1，所求椭圆 C 的方程为 + = 1. 5 4 3 1 4、在面积为 1 的 ∆PMN 中， tan M = ， tan N = −2 ，建立适当的坐标系，求出以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程． 2 解：以 MN 的中点为原点， MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系，设 P ( x , y ) ． 5 ⎧ ⎧ y x= ⎪ x − c = −2, ⎪ 5 2 ⎪ 3c 则 ⎪ ∴ ⎨ 即 P( , ) ∴ 1 ⎪ y = , 2 3 3 ⎨ ⎪y = 4 c且c = 3 2 ⎪x+c ⎪ 2 ⎩ 3 ⎪ cy = 1 .