第五讲圆周率Pi的近似计算

2011-5-13
π的历史
直到19世纪初， 直到 世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号 世纪初 难题。为求得圆周率的值， 难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道 它的历史是饶有趣味的。 路，它的历史是饶有趣味的。 人工计算：实验法->几何法 几何法->分析法 人工计算：实验法 几何法 分析法 最高纪录： 最高纪录：808位(1948年) 位 年 计算机方法： 计算机方法： 2002 年代 1949 1973 1989 1999 万 位数 2035 100万 10亿 2061亿 12411万亿 亿 亿 万亿
的认识过程， 人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情 形的一个侧面。 形的一个侧面。 π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学 的研究， 水平。 水平。 德国数学史家康托说： 德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆 周率的准确程度， 周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发 水平的指标。 展 水平的指标。” 测试或检验超级计算机的各项性能 引发新的概念、方法和思想， 引发新的概念、方法和思想，产生新的问题
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另一种推测是：使用连分数法。 另一种推测是：使用连分数法。 表示成连分数， 将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3， 表示成连分数 得到其渐近分数： ， 22／7，333／106，355／113，102573／32650… ／ ， ／ ， ／ ， ／ 最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作 最后，取精确度很高但分子分母都较小的 ／ 作 为圆周率的近似值。 为圆周率的近似值。 英国李约瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》 英国李约瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》 卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说 章几何编中论祖冲之的密率说： 卷三第 章几何编中论祖冲之的密率说：“密率的分 数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。 数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。”
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祖冲之(429-500) 祖冲之
大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献。 大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献。祖冲之关于 圆周率的两大贡献。 圆周率的两大贡献。 其一是求得圆周率3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 其一是求得圆周率 其二是， 的两个近似分数即： 其二是，得到 π 的两个近似分数即： 约率为22／ ；密率为355／113。 约率为 ／7；密率为 ／ 。 位可靠数字， 他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的 位可靠数字 圆周率，而且保持世界记录九百多年。 圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学 史家提议将这一结果命名为“祖率” 史家提议将这一结果命名为“祖率”。 这一结果是如何获得的呢？追根溯源， 这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘 徽割圆术的继承与发展 。后人曾推算若要单纯地通过 计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果， 计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算 到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。 边形， 到圆内接正 边形 才能得到这样精确度的值。 记载祖冲之研究成果的著作《缀术》 记载祖冲之研究成果的著作《缀术》早已失传
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割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正N边 割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正 边 形的边长。在我国， 形的边长。在我国，首先是由数学家刘徽得出 较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出 年前后， 较精确的圆周率。公元 年前后 著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为“徽 著名的割圆术， ，通常称为“ 率”，割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆 周率的上、下界， 周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用 外切正多边形简捷得多。另外， 外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割 圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法， 圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以 致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通 致于他将割到 边形的几个粗糙的近似值通 过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数 过简单的加权平均，竟然获得具有 位有效数 字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416
第五讲 圆周率Pi的近似计算 圆周率 的近似计算
是一个极其驰名的数。 圆周率π是一个极其驰名的数。从有文字记载 的历史开始， 的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们 的兴趣。作为一个非常重要的常数， 的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最 仅凭这一点， 早是出于解决有关圆的计算问 题。仅凭这一点， 求出它的尽量准确的近似值， 求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫 切的问题了。事实也是如此， 切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数 学家们的奋斗目标， 学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学 家为此献出了自己的智慧和劳动。 家为此献出了自己的智慧和劳动。
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实验目的： 实验目的：
想一想： 想一想：怎样算 π ？ 当一回祖冲之！ 当一回祖冲之！
祖冲之计算的圆周率领先世界900年 年 祖冲之计算的圆周率领先世界
22 7
<π <
355 113
3 . 1415926 < π < 3 . 1415927
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计算π 计算π的意义
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π的历史－几何法时期 的历史－
凭直观推测或实物度量， 凭直观推测或实物度量，来计算 π 值的实验方法所得 到的结果是相当粗略的。 到的结果是相当粗略的。 真正使圆周率计算建立在科学的基础上， 真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功 数学之神”阿基米德。 于“数学之神”阿基米德。他是科学地研究这一常数 的第一个人， 的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程 而不是通过测量的、能够把π的值精确到任意精度的 而不是通过测量的、能够把 的值精确到任意精度的 方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。 方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。 圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形。 圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形。因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。 当然，这是一个差劲透顶的例子。据 当然，这是一个差劲透顶的例子。 说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域 边形才算出他的值域。 说阿基米德用到了正 边形才算出他的值域。
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阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现 阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法， 在他的一篇论文《圆的测定》之中。在这一书中， 在他的一篇论文《圆的测定》之中。在这一书中， 阿基米德第一次创用上、 的近似值， 阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值， 他用几何方法证明了“ 他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的 ， 估计。重要的是，这种方法从理论上而言，能够 估计。重要的是，这种方法从理论上而言， 求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右，希 年左右， 求得圆周率的更准确的值。到公元 年左右 腊天文学家托勒密得出π＝ 腊天文学家托勒密得出 ＝3.1416，取得了自阿基 ， 米德以来的巨大进步。 米德以来的巨大进步。
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密率
密率给出了8为有效数字，这个纪录保持了 密率给出了 为有效数字，这个纪录保持了1000年。 为有效数字 年 355/113是渐进分数中较简单准确的一个。虽然另一个 是渐进分数中较简单准确的一个。 是渐进分数中较简单准确的一个 渐近分数333/106的简单程度与它差不多，但与 的误 的简单程度与它差不多， 渐近分数 的简单程度与它差不多 但与π的误 差确是它的312倍；而绝对误差仅比它约小 差确是它的 倍 而绝对误差仅比它约小0.2%的另 的另 一个渐近分数52163/16604，却比它复杂得多。 一个渐近分数 ，却比它复杂得多。 355/113仅仅由 、3、5组成，大的作分母，小的作分 仅仅由1、 、 组成 大的作分母， 组成， 仅仅由 子。
1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 年 荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得： ＜ π ＜ 377/120，用两者作为 π 的母近似值，分子、分母各 ， 的母近似值，分子、 取平均，通过加成法获得结果： 取平均，通过加成法获得结果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。 。 两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合， 两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由 可言。 可言。
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早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、 早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古 希腊人曾用谷粒摆在圆形上， 希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的 方法取得数值。 方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量 由此， 对比取 值……由此，得到圆周率的稍好些的值。 由此 得到圆周率的稍好些的值。 如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)^2 = 3.1605。在 。 印度，公元前六世纪，曾取 π= √10 = 3.162。在我国 印度，公元前六世纪， 。 西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律 东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律 嘉量斛。 嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆 周率的值。为此， 周率的值。为此，他大约也是通过做实 验，得到一些 关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算， 关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算， 其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031 其计算值分别取为 ， ， ， 率已有所进步。 比径一周三的古 率已有所进步。人类的这种探索的结 当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响， 果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响， 但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。 但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。
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π的历史－实验时期 的历史－
通过实验对π值进行估算， 的的第一阶段。 通过实验对 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值进行估算 值的估算基本上都是以观察或实验为根据， 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周 长和直径的实际测量而得出的。 长和直径的实际测量而得出的。 在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于文字记 在古代世界， 这个数值。 这个数值 载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。 载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为 。这一段描 述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中 年前后。 述的事大约发生在公元前 年前后 其他如巴比伦、印度、 等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值 这个粗略而简单实用的数值。 国 等也长期使用 这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前 圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》 “圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就 记载有圆“周三径一”这一结论。在我 国，木工师傅有两句从古 记载有圆“周三径一”这一结论。 流传下来的口诀：叫做： 周三径一，方五斜七” 意思是说， 流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说， 直径为1的圆 周长大约是3，边长为5的正方形 的圆， 的正方形， 直径为 的圆，周长大约是 ，边长为 的正方形，对角线之长约 为7。这 正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗 。 略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准 为计算面积的标准。 略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取 为计算面积的标准。 后人称之为“古率”。 后人称之为“古率”