圆周率的近似计算方法综述
圆学圆周率的计算方法
圆学圆周率的计算方法圆周率（π）是一个数学常数，表示圆的周长与其直径之比。
π的值是一个无限不循环的小数，可以近似表示为3.1415926。
在数学和科学领域，计算π的精确值一直是一个挑战。
然而，有许多方法可以用来估算π的值，这些方法在不同的领域和应用中都有重要的作用。
历史上，人们一直在尝试寻找准确的π值。
早在古希腊时期，人们就已经知道π的存在，并试图计算其值。
然而，由于π是一个无理数，无法用有限的小数或分数来表示，因此无法精确地计算出其值。
最早的一种计算π的方法是基于几何形状的测量。
例如，阿基米德使用了多边形的逼近来计算π的值。
他将一个圆形分成许多小扇形，然后逐渐增加扇形的数量，以逼近圆形。
通过不断增加小扇形的边数，最后可以得出一个非常接近π的值。
这种方法被称为阿基米德方法，是最早的近似计算π的方法之一。
在14世纪，数学家马德拉·普尔设计了一种称为蒙特卡洛方法的计算π的方法。
该方法将圆形画在一个正方形内，然后通过随机投掷点的方式来计算圆内和正方形内的点的比例。
通过不断增加投掷点的数量，可以逐渐得到一个接近π的值。
这种方法在现代计算机时代得到了广泛应用，特别是在概率和统计领域。
另一种计算π的方法是使用级数展开式。
数学家莱布尼茨和牛顿独立地发现了一个称为莱布尼茨级数的级数展开式，可以用来计算π的近似值。
这个级数展开式是无限的，但通过截取前面几项，可以得到π的近似值。
这种方法在计算机和数值分析中得到广泛应用。
近年来，随着计算机的发展，人们能够使用更高级的算法来计算π的值。
例如，基于分形几何的算法可以利用计算机的计算能力来逼近π的值。
这些算法使用复杂的数学公式和迭代过程来计算π的值，从而得到更高精度的结果。
除了数学方法，还有许多实际应用中使用的近似计算π的方法。
例如，在计算机图形学中，使用解析几何和三角函数来逼近π的值。
这些方法在计算机图形渲染和动画制作中起着重要的作用。
综上所述，圆学圆周率的计算有许多方法，包括几何测量、蒙特卡洛方法、级数展开式和现代计算机算法。
推导过程圆周率的计算方法
推导过程圆周率的计算方法圆周率，又称π，是数学中一个非常重要的数。
它的计算一直以来都备受关注和探索。
本文将介绍三种经典的计算圆周率的方法，分别是蒙特卡洛方法、无穷级数法和中学几何法。
一、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的计算方法，其原理是通过随机点在一个区域内的分布状况来估计该区域的属性。
这个方法也可以被用于计算圆周率。
假设我们有一个边长为2的正方形，围绕它画一个内切圆。
通过随机投点，我们可以计算正方形内与圆相交的点和总点数的比例，从而估算圆周率。
通过重复进行投点实验，随着实验次数的增加，计算结果会逐渐逼近真实值。
这是因为随机点的分布越来越接近整个区域的均匀分布。
二、无穷级数法无穷级数法是一种通过无穷级数进行逼近计算的方法，其中一个著名的无穷级数就是莱布尼茨级数。
莱布尼茨级数的公式是：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...我们可以通过将级数的前n项相加来逼近π的值。
随着级数项数的增加，逼近结果会越来越接近π。
此外，还有其他一些无穷级数，如马青公式和阿基米德公式等，它们也可以被用于计算圆周率。
三、中学几何法中学几何法是一种通过几何形状和关系计算圆周率的方法。
一个著名的中学几何法是通过正多边形的内接和外接圆来逼近圆周率。
首先，我们可以构建一个正多边形，然后通过计算多边形的周长和直径的比例来逼近圆周率。
当多边形的边数不断增加时，逼近结果会越来越接近π。
此外，还有其他形状和关系，如圆的面积和周长的关系等，也可以被用于计算圆周率。
综上所述，我们介绍了三种经典的计算圆周率的方法，包括蒙特卡洛方法、无穷级数法和中学几何法。
这些方法都是基于不同原理和数学概念的，并且在实际应用中具有一定的价值。
无论是使用蒙特卡洛方法的随机模拟，还是通过无穷级数的逼近计算，或者是通过几何形状的关系，计算圆周率的方法都追溯到了数学领域的深入探索和发展。
它们的推导过程和运用都有着独特的数学魅力，能够帮助我们更好地理解和应用圆周率的概念。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法圆周率π是一个无理数，它的精确值无法用有限的分数或小数表示。
然而，通过数学方法和计算技术，我们可以使用一些近似计算方法来得到π的近似值。
下面将介绍一些常见的计算π的方法。
1.随机法（蒙特卡洛方法）：随机法是一种通过随机事件的频率来近似计算π的方法。
它的原理基于以下思想：在一个正方形区域内，有一个内切圆。
通过随机生成大量的点并统计落入圆内的点的比例，可以估计圆的面积与正方形面积的比例，从而近似计算出π的值。
2. 雷马势数法（Leibniz series）：雷马势数法是一种使用级数展开来近似计算π的方法。
它基于以下公式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...通过对该级数进行截断，可以得到π的近似值。
截断级数的项数越多，近似值越准确。
3. 阿基米德法（Archimedes's method）：阿基米德法是一种使用多边形逼近圆的方法来计算π的近似值。
它的基本思想是：将一个正多边形逐步扩展，使其接近一个圆，通过计算多边形的周长和半径，可以得到π的逼近值。
随着多边形边数的增加，逼近值会越来越接近π。
4. 飞镖法（Buffon's needle problem）：飞镖法是一种使用投掷飞镖来近似计算π的方法。
假设有一条平行线的间距为d，并且在这条线上放置一根长度为L的针。
通过投掷大量的针并统计与线相交的次数，可以推导出π的近似值。
这些是计算π近似值的一些常见方法，当然还有其他更精确的方法，如使用数学公式或使用超级计算机算法等。
计算π的近似值是数学和计算机领域的研究课题之一，有时也涉及到数值计算的算法和技术。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法圆周率π是一个无理数，精确值是无法完全计算的，然而可以使用不同的方法来近似计算π。
下面将介绍一些常见的计算π的方法。
1.随机投掷法（蒙特卡洛法）：该方法通过随机投掷点在一个正方形区域内，然后计算落在正方形内且在一个给定圆形内的点的比例。
根据几何原理，圆的面积与正方形的面积之比等于π/4、通过对大量的随机点进行投掷和计数，可以估计π的值。
2.利用级数公式：许多级数公式都可以用来计算π的近似值。
其中最知名的是勾股定理的泰勒级数展开式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...通过计算级数中的前n项和，可以获得π的近似值。
然而，这种方法需要计算大量的级数项才能获得较高的精确度。
3.利用几何图形：利用几何图形的特性，可以近似计算π的值。
例如，可以使用正多边形逼近圆，然后通过对正多边形的边数进行增加，计算出逼近圆的周长。
随着边数的增加，逼近圆周长的值将越来越接近π的值。
4.首位公式：首位公式是由印度数学家 Srinivasa Ramanujan 提出的方法，通过将π 表示为一个无穷级数来计算。
该方法利用一种连分数的性质，可以将π 的近似值计算到高精度。
5.利用计算机算法：随着计算机性能的提升，可以使用各种数值计算算法来计算π 的近似值。
其中最有名的算法是Bailey-Borwein-Plouffe算法（BBP算法），它可以通过级数计算出π 的各个十六进制位数。
虽然上面提到了一些常见的方法，但是计算π的精确值仍然是一个开放的问题。
现代数学家不断提出新的计算方法和算法，以改进π的计算精度。
总之，圆周率π的近似计算方法有很多种，每种方法都有不同的优缺点和适用场景。
无论哪种方法，都需要通过对数学公式和几何特性的推导，以及大量的计算和迭代，来获得更精确的π近似值。
求圆周率的方法
求圆周率的方法
圆周率是一个重要的数学常数，它代表圆的周长与直径的比值，通常用希腊字母π表示。
但是，圆周率的精确值是无限小数，无法被完全表示或计算出来。
因此，人们通过不同的方法来近似计算圆周率的值。
以下是几种常见的求圆周率的方法：
1. 随机撒点法
这种方法利用大量随机的点来模拟圆的内外部分布，然后根据点的数量和位置来计算圆周率的近似值。
随着点数的增加，近似值会越来越接近真实值。
2. Machin公式
这是一种基于三角函数的公式，可以用来计算圆周率的近似值。
Machin公式的形式为：
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
通过计算这个公式，可以得到π的近似值。
3. Buffon针实验
这个实验是利用一个长针在平面上随机投掷，然后根据针的长度和投掷的次数来计算圆周率的近似值。
这种方法需要一定的实验技巧和设备，但它可以帮助人们更好地理解圆周率的概念和计算方法。
除了以上这些方法外，还有许多其他的方法可以用来求圆周率的值。
无论采用哪种方法，都需要注意精度和计算误差，以确保得到的结果是可靠和准确的。
有关圆周率的计算公式
有关圆周率的计算公式圆周率是数学中一个常数，通常用希腊字母π表示。
它代表了一个圆的周长与直径之比，在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛应用。
圆周率的计算公式有多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
1. 随机投点法随机投点法是一种通过随机生成点的方法来估计圆周率的值。
假设有一个边长为1的正方形，将这个正方形放置在一个坐标系中，以正方形的中心为原点。
然后，随机生成一系列坐标为(x,y)的点，这些点均匀分布在正方形内部。
通过统计这些点中落入正方形内的点与落入正方形内并且在半径为0.5的圆内的点的比例，可以估计圆周率的值。
当生成的点足够多时，估计的值将趋近于真实值。
2. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的统计方法，也可以用来估计圆周率的值。
这种方法与随机投点法类似，不同之处在于它通过在正方形内随机生成大量的点，并计算这些点与圆心的距离来估计圆周率。
具体而言，假设正方形的边长为2，圆的半径为1，将正方形内随机生成的点(x,y)代入圆的方程x^2 + y^2 = 1，统计落在圆内的点的数量，并将这个数量与总点数的比例乘以4，就可以得到一个近似的圆周率值。
3. 雷马努金公式雷马努金公式是一种用级数表示圆周率的公式，它由印度数学家拉马努金在20世纪初提出。
这个公式的形式较为复杂，其中涉及到无穷级数和多项式的运算。
雷马努金公式的一个简化形式为：1/π = 2√2/99^2 * (1 + 1/3*2^1 + 1/3*2^2 + 1/3*2^3 + ...)这个公式的特点是收敛速度较慢，但每一项都可以通过简单的运算得到，因此可以用来计算圆周率的近似值。
4. 高斯-勒让德公式高斯-勒让德公式是一种基于连分数的方法，可以用来计算圆周率的近似值。
这个公式的形式为：1/π = 1 + a1/(1 + a2/(1 + a3/(1 + a4/(1 + ...))))其中ai是一个正整数序列，可以通过递推关系得到。
这个公式的特点是每一项的计算都相对简单，并且收敛速度较快，因此可以用来计算圆周率的高精度近似值。
圆周率的计算公式
圆周率的计算公式圆周率是一个数学常数，通常用希腊字母π（pi）来表示，表示圆的周长与直径之比。
圆周率是一个无理数，它的小数点后面没有重复的模式，并且它是一个无限不循环小数。
计算圆周率的公式有很多种，下面介绍几种常见的计算圆周率的方法。
1.无穷级数法最著名的计算圆周率的方法就是使用无穷级数。
其中最著名的是勾股定理的推导。
勾股定理表述了在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
通过将斜边的平方展开成无穷级数，可以得到一个近似表示圆周率的级数。
例如，著名的莱布尼茨级数和尼尔森级数就是计算圆周率的一种方法。
2.随机方法随机方法是通过随机生成点来计算圆周率的近似值。
其中最著名的方法就是蒙特卡洛方法。
蒙特卡洛方法是通过在一个正方形内随机生成点，然后计算落在圆内的点的比例，利用比例来近似计算圆周率。
这种方法的精确度取决于生成的随机点数量，生成的随机点数量越多，计算得到的圆周率越接近真实值。
3.连分数法连分数法是一种通过递归的方式计算圆周率的方法。
其中，皮亚诺连分数和沃勒连分数是应用最广泛的连分数方法。
连分数法可以得到圆周率的连分数表示，通过不断逼近，可以得到圆周率的一个有理数近似值。
尽管连分数法在计算过程中非常复杂，但是可以得到一个非常高精度的近似值。
4.多项式逼近法多项式逼近法是一种通过多项式函数逼近圆周率的方法。
最经典的多项式逼近法是马青定理。
马青定理表明，对于任意一个自然数n，至少存在一个n次的整系数多项式，使得这个多项式在0到1之间的区间上与圆周率的差值小于1/n。
通过递归的方式，可以构造出一个多项式函数，使得这个多项式函数可以逼近圆周率。
5.高精度计算法高精度计算法是利用计算机的高精度计算功能来计算圆周率的方法。
计算机可以进行大量的运算和迭代，可以得到非常精确的近似值。
最著名的高精度计算法是基于无穷级数的方法，通过计算级数的前n项来得到一个n位精确的近似值。
以上介绍的方法只是计算圆周率的一部分，实际上还有很多其他的方法，如使用快速傅里叶变换（FFT）等数值计算方法。
实验六圆周率的近似计算
实验六圆周率的近似计算引言：圆周率是一个非常重要的数学常数，通常用希腊字母π表示。
它是数学中最重要的常数之一，用于计算圆的周长、面积以及球的体积等等。
在实际应用中，我们常常需要计算圆周率的近似值。
然而，圆周率是一个无理数，无法精确计算出其所有的位数。
因此，我们需要采用近似计算的方法来获得圆周率的近似值。
本实验将介绍几种常见的计算圆周率的近似方法，并进行比较和分析。
一、六边形逼近法这是一种用于计算圆周率的传统方法，其基本思想是通过一个内接正六边形来逼近圆的面积。
我们可以先构造一个内接圆，然后在该圆内画一个正六边形。
我们可以计算出正六边形的面积S1和内接圆的面积S2，然后通过比较两个面积的大小来近似计算圆周率。
具体的计算公式如下：正六边形的面积S1=（3*边长²*√3）/2内接圆的面积S2=圆的半径²*π通过比较S1和S2的大小，我们可以得到如下的逼近关系：S1<S2则3*边长²*√3/2<半径²*π则π>3*√3/2*边长²/半径²由于半径与边长都是常量，所以可以计算出π的一个上界和一个下界，从而得到π的近似值。
实验步骤：1.构造一个内接圆和一个正六边形。
2.计算正六边形的面积S1和内接圆的面积S23.比较S1和S2的大小，计算出π的上界和下界。
4.计算出π的近似值。
5.重复实验多次，计算出多个近似值，比较它们之间的差异。
二、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种随机模拟方法，通过随机选择点的方式逼近圆的面积。
我们可以先构造一个外接正方形，然后在该正方形内部随机选择一些点，记录其中落在内接圆内的点的数量，从而估计出内接圆的面积。
具体的计算公式如下：正方形的面积=边长²内接圆的面积=π*（边长/2）²=π*(边长²/4)通过落在内接圆内的点的数量与总点数的比值，我们可以得到如下逼近关系：内接圆的面积/正方形的面积=π*(边长²/4)/边长²=π/4由此可得到π的近似值。
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序言人们很早就知道圆的周长与直径之比是一个常数，数学家们把这一比率用希腊字母π来表示,称之为圆周率。
圆周率π是科技领域中最直观和最主要的常数，它是一个极其驰名的数。
在日常生活中人们经常与π接触，并且从有文字记载开始，圆周率就引进了外行人和学者们的兴趣，古今中外许多科学家在π值计算上献出了自己的智慧和劳动，甚至奉献了自己的一生。
因此，准确计算圆周率的值，不仅直接涉及到π值计算时的需要，而且通过圆周率的数值计算促进了数学的发展。
π值的计算伴随着人类的进步而发展，作为一个非常重要的常数，它最早是解决有关圆的计算问题，所以，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
早在二千多年前，古希腊著名数学家阿基米德第一个用科学方法度量圆的周长，得出圆周长与直径之比（圆周率）为3.14；我国杰出数学家刘徽（公元前3世纪）提出震惊中外的“割圆术”求出圆周率的近似值为3.1416；南北朝伟大科学家祖冲之又进一步将圆周率计算在介于3.1415926与3.1615927之间的8位可靠数字。
直至1882年德国数学家林德曼证明了π不仅是一个无理数，而且是一个超越数，给几千年来对π的认识历史划上了一个句号……在一般工程应用中，对π值的精度只要求十几位，但是在某些特殊场合需要高精度的圆周率π值。
在信息技术发展迅速的今天，尤其是电脑的发明以来，人们对π的计算位数大大增加, 如今，借助大型计算机对π有效的计算位数已达小数点后的27000亿位；同时π的计算也已成为验证超大型计算机计算效率和工作可靠性的一种有效手段。
尽管目前数学家已经将π值计算出小数点后27000亿位，但是，人们对π的研究还没有完，始终都在追求计算出更为准确的π值，π值里仍有许多未解的谜团。
现在，圆周率的准确程度在一定程度上反映了一个地区和时代的数学水平，因此，π的值还要继续计算下去。
本文通过利用割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等近似计算方法的介绍和计算实验，来综合表述圆周率π的计算方法。
1.圆周率的起源及早期发展1.1圆周率简介圆周率是代表圆周长和直径的比例的一个常数（约等于3.1415926）。
在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行计算。
早期的圆周率没有确定的字母表示，直至1600年,英国威廉·奥托兰特首先使用π表示圆周率，1737年欧拉在其著作中使用π。
后来被数学家广泛接受,一直沿用至今。
圆周率不仅是一个无理数，而且还是一个超越数。
早在1767年，兰伯特就证明了π是一个无理数；1794年，勒让德证明了π也是无理数；1882年，林德曼证明了π是超越数。
早期是通过实验对π值进行估算的，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）），开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。
中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。
他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π 3.16），这被称为“徽率”。
南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22／7。
他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。
1.2 早期的圆周率数学中的圆，溯源到上古的时候，就引起了人类的探索。
《墨经》书中说它是“一中同长也”（“一中”即一个中心或中点。
“一中同长”就是到一个心的点的距离都相等，是对圆的定义）。
成语说：“不以规矩，不成方圆。
”等到人们知道了比例的概念之后，人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。
尽管圆有大有小，但对一个圆来说，其周长l 与直径d 之间的比例常数就是圆周率π。
历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果。
古代东方常粗略地用3作为π的值。
我们可以在《旧约·历代志下》第四章（4：2）看到：“他又造一铜海，样式是圆的，径10肘，高5肘，围30肘。
”这说明，当时的希伯来人近似以3作为圆周长与直径之比。
这相当于拿圆的内接正六边形的周长近似圆的周长。
我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆"周三径一"这一结论。
在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做："周三径一，方五斜七"，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。
这正反映了早期人们对圆周率π计。
东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。
在历史上，π从粗略的近似3开始，有不少数学家都对圆周率作出过研究。
魏晋时，刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法（即“割圆术”），求得π的近似值3.1416。
汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方（约为3.162）。
虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。
王蕃（229-267）发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的。
公元5世纪，祖冲之和他的儿子以正24576边形，求出圆周率约为355/113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一。
这个纪录在一千年后才给打破。
约在公元530年，印度数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为3.1415926 3.1415927π<<。
欧洲斐波那契算出圆周率约为3.1418。
2.圆周率的近似计算历程2.1 圆周率的早期计算2.1.1 实验时期通过实验对π值进行估算，这是计算π的的第一阶段。
这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。
早期的人们还使用了其它的粗糙方法。
如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。
或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。
如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。
在印度，公元前六世纪，曾取π= 3.162。
在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。
刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。
为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。
现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。
人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。
蒲丰在《或然性算术实验》一书中，提出了用实验方法计算π。
这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见，常取 l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。
这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到π的近似值。
因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。
利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。
在一次实验中，他选取 l = d/2 ，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为 2212/704 = 3.142。
当实验中投的次数相当多时，就可以得到π的更精确的值。
1850年，沃尔夫在投掷5000多次后，得到π的近似值为3.1596。
目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼。
在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得π的近似值为3.1415929。
2.1.2 几何法时期——割圆法凭直观推测或实物度量，来计算π值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。
因此，古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
阿基米德真正使圆周率计算建立在科学的基础上。
他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把π的值精确到任意精度的方法。
由此，开创了圆周率计算的第二阶段。
阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的度量》之中。
在这一书中，阿基米德第一次用上、下界来确定π的近似值，他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计。
重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。
到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出 π＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。
图2.1 割圆术在我国，数学家刘徽率在《九章算术》方田章“圆田术 ”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。
他从圆内接正六边形出发，将边数逐渐加倍，如图 2.1，设圆面积为0S 半径为r ，圆内接正n 边形边长为n l ,周长为n L , 面积为n S 。
将边数加倍后，得到圆内接正2n 边形，其边长、周长、面积分别记为2n l 、2nL 、2n S 。
当 n l 已知，用勾股定理求出2n l 。
即如图所示得 11222222()[()]222l AE AC CE l r r l n n n==+=+-- (2.1) 求得了内接正n 边形的周长n L ,即可求得正2n 边形的面积：.211()222n n n l r S n AB OE n L r =•=•=• (2.2)刘徽割圆术还注意到，如果在内接n 边形的每条边上作一高为CE 的矩形，就可以证明2022()n n n n S S S S S <<+- (2.3)由此，他从正六边形一值计算到192边形，得出π≈3.14，通常称为“徽率”。
南北朝时期的祖冲之计算出了圆周率数值的上下限：3.1415926 3.1415927π<<，由于史料上没有关于祖冲之推算圆周率“正数”方法的记载，一般认为这个正数的获得是沿用了刘徽的割圆术。
如按刘徽割圆术从正六边形出发连续算到正24576边形时，恰好得到这一结果。
用Mathmatic 计算圆内接6144边形的结果如下：2.2 圆周率的经典计算公式2.2.1 基本计算1 数值积分法⑴ 由定积分 π=+⎰10214dx x 计算出该积分的数值,即可得到π的近似值。
⑵将区间],[b a n 等分，则分点),,1,0(n i i n a b a x i =-+=，计算定积分⎰=b a dx x f S )(。
利用定积分的几何意义，可以将小曲边梯形的面积近似地用矩形、梯形来代替，就有了梯形公式、矩形公式：①矩形公式 左矩形公式∑-=-≈1)(n i i x f n a b S 右矩形公式∑=-≈ni i x f n a b S 1)( 中矩形公式∑-=++-≈101)2(n i i i x x f n a b S ②梯形公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≈∑-=1102)()()(n i n i x f x f x f n a b S ＋ 由Mathmatic 编程取n 为1000计算（见附录I(A)），由计算可知，中矩形公式取得的结果最接近圆周率值。