概率论第四章题库

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《概率论与数理统计》典型例题第四章大数定律与中心极限定理

= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态分布为极限定理。
解：设 µn 为 5000 户中收视该节目的户数，则 µn ~ B(n, p) ，其中
n = 5000, p = 0.15 。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。根据条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布，方差肯定存在，故满足定理条件。选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。但却不能保证方差一定存在，因此也应排除。故选 C 。注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的证明思想试试看。

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解：由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

概率论与数理统计第四章补充习题

第四章补充习题一、填空题1、设随机变量X 则Y X 和的相关系数XY ρ= ，=),(2222Y X Cov Y X 的协方差和。

2、设随机变量Y X 和的数学期望分别为22和-，方差分别为41和，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式{}≤≥+6Y X P 。

3、设随机变量Y X 与相互独立且均服从正态分布2(0,)N ，则)(Y X E -= ，=-)(Y X D 。

4、随机变量ξ服从指数分布，参数λ= 时，72)(2=ξE 。

5、设随机变量Y X ,，2)(-=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0-=XY ρ， =-+-)323(22Y XY X E 。

6、设随机变量Y X 与的相关系数9.0=XY ρ，若4.0-=X Z ，则=YZ ρ 。

7、设Y X ,同分布，密度函数均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它若0102)(2tx xtx f ，使t Y X C E 1))2((=+，则=C 。

8、设随机变量X 的数学期望和方差均为0，则{}=≠0X P 。

9、将一枚均匀硬币连掷3次，用X 表示正面出现的总次数，Y 表示第一次掷得的正面数，则=)(XY E ，=),(Y X Cov ，=XY ρ 。

二、选择题1、设随机变量Y X 和独立同分布，记 Y X V Y X U +=-=,，则随机变量V U 与必然（）（A ）不独立， (B) 独立， (C) 相关系数不为零， (D) 相关系数为零。

2、将一枚硬币掷n 次，以Y X 和分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则Y X 和的相关系数等于（）。

（A ）1- (B) 0 (C)21(D) 1。

3、设随机变量Y X 和相互独立且分别服从正态分布(0, 1)N 和(1, 1)N ，则（）。

(A) {}210=≤+Y X P , (B) {}211=≤+Y X P , (C) {}210=≤-Y X P , (D) {}211=≤-Y X P 。

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征练习题与答案详解

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数，试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ，于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ，令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+，所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ，由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，．同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。

概率论第四章习题答案

1 ⎛2⎞ 1 DX = EX − ( EX ) = − ⎜ ⎟ = . 2 ⎝ 3 ⎠ 18 1 2 DZ = 4 DX = 4 × = . 18 9
【解毕】
9．在一次拍卖中，两人竞买一幅名画，拍卖以暗标的形式进行，并以最高价成交．设两人的出价相互独立且均服从（1，2）上的均匀分布，求这幅画的期望成交价．解：设两人的出价分别为随机变量 X , Y ，则这幅画的期望成交价为 Z = max { X , Y } 由题意知， X 与Y 独立，且 X ∼ U (1, 2); Y ∼ U (1, 2) 先求 Z 的分布函数当 1 < z < 2 时， F ( z ) = P ( Z £ z ) = P (max { X , Y } £ z ) = P ( X £ z ,Y £ z )
= P( X £ z ) P (Y £ z ) = ( z -1)2
当 z £ 1 时， F ( z ) = 0 ；当 z ³ 2 时， F ( z ) = 1 于是 Z 的密度函数为 f ( z ) = ï í
ì2( z -1),1 < z < 2 ï ï 0, 其它 ï î 5 3
EZ = ò
+¥
3 X .求：（ 1）常数 a, b, c; （2） Ee . 4
【解】（1）由概率密度的性质知，有
+∞ 2 4
1=
又因为
−∞
∫
f ( x )dx = ∫ axdx + ∫ ( cx + b )dx = 2a + 6c + 2b.
0 2
+∞
2
4
2 = EX =
−∞
∫ xf ( x )dx = ∫ xiaxdx + ∫ x ( cx + b )dx

概率论考题_第四章试题

第四章历年试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4D.E （X ）=2，D （X ）=22.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则D （Z ）=（）A.1B.3C.5D.63.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（）A.0.004B.0.04C.0.4D.44．设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（） A ．D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ．D （X+C ）=D （X ）+C C ．D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） D ．D （X-C ）=D （X ） 5．设随机变量X 的分布函数为F(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<;4,1;4212;2,0x x ，x x 则E （X ）=（）A ．31B ．21 C ．23 D ．36．设随机变量X 与Y 相互独立，且X~B （36，61），Y~B （12，31），则D （X-Y+1）=（）A ．34B ．37 C ．323 D ．326 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（） A ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 B ．E （X ）=2，D （X ）=2 C ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 D ．E （X ）=2，D （X ）=48．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则D （X-3Y-4）=（） A ．-13 B ．15 C ．19 D ．239．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，则D （X-Y ）=（）A ．6B ．22C ．30D ．4610.设X~B （10，31），则E （X ）=（）A.31 B.1 C.310 D. 1011.设X~N （1，23），则下列选项中，不成立．．．的是（） A.E （X ）=1 B.D （X ）=3 C.P （X=1）=0D.P （X<1）=0.512．设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov(X,Y )均存在，则D (X-Y )=（） A ．D (X )+D (Y )B ．D (X )-D (Y )C ．D (X )+D (Y )-2Cov(X,Y )D ．D (X )-D (Y )+2Cov(X,Y )13．设随机变量X ～B （10，21），Y ～N （2，10），又E （XY ）=14，则X 与Y 的相关系数=XY ρ（）A ．-0.8B ．-0.16C ．0.16D ．0.814．已知随机变量X 的分布律为，且E (X )=1，则常数x =（） A ．2B ．4C ．6D ．815．已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的期望为（）A ．-21 B ．0 C ．21 D ．216．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（） A ．)21,7(N B ．)27,7(N C ．)45,7(N D ．)45,11(N17.设X~B(10,31), 则=)X (E )X (D （）A.31B.32C.1D.31018.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.0;0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为（）A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21 D.E(X)=21, D(X)=4119．设二维随机变量（则E （XY ）=（）20．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（） A ．-2 B ．0 C ．21D ．221. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21)，则E(X-Y)=（） A ．25- B ．21 C ．2D ．5 22．设二维随机变量(X ，Y )的协方差Cov(X ，Y )=61，且D (X )=4，D (Y )=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（） A ．2161 B ．361 C ．61 D ．1二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

概率论与数理统计第四章大数定理与中心极限定理习题(含答案)

（C) （D)
其中为标准正态分布函数.
3.设，，其中、为常数，且，则（）．
；；
；
4.设某地区成年男子的身高，现从该地区随机选出名男子，则这名男子身高平均值的方差为（）．
；；；．
二、填空题
1．已知离散型随机变量X服从参数为的泊松分布，利用切比雪夫不等式估计概率
.
2．已知随机变量X存在数学期望和方差，且数学期望，，利用切比雪夫不等式估计概率 .
；；；．
解：C
二、填空题
1．已知离散型随机变量X服从参数为的泊松分布，利用切比雪夫不等式估计概率
.
解：由知，
5．已知随机变量X存在数学期望和方差，且数学期望，，利用切比雪夫不等式估计概率 .
解：
6．已知随机变量X的方差为4，则由切比雪夫不等式估计概率 .
解：
7．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数很大时，随机事件在这次试验中发生的频率与随机事件的概率有较大偏差的可能性很．
解：小。
三、计算题
１．投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切比雪夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.
解：
2．已知连续型随机变量X服从区间的均匀分布，试利用切比雪夫不等式估计事件发生的概率.
解：
3．设随机变量和的数学期望分别是和，方差分别是和，而相关系数为．
⑴ 求及；
3．已知随机变量X的方差为4，则由切比雪夫不等式估计概率 .
4．伯努利（Bernoulli）大数定理表明：当试验次数很大时，随机事件在这次试验中发生的频率与随机事件的概率有较大偏差的可能性很．

概率论第四章习题解答(全)

(0.9)10 (0.9)9 3486 0.3874 0.7361
则需要调整设备的概率
P{Y 1} 1 P{Y } 1 0.7361 0.2639
（3）求一天中调整设备的次数 X 的分布律由于 X 取值为 0，1，2，3，4。 p 0.2369 ，则 X B (4, 0.2369) 于是
个随机变量，其概率密度为
1 x, 0 x 1500, 15002 1 f ( x) ( x 3000),1500 x 3000, 2 1500 0, 其它
求 E( X ) 解按连续型随机变量的数学期望的定义有
0 1500
E ( X ) xf ( x)dx xf ( x)dx
X p
2
3
4
9
1 8
5 8
1 8
1 8
所以
1 5 1 1 15 E( X ) 2 3 4 9 。 8 8 8 8 4
（2）因为 Y 的取值为 2,3，4，9 当 Y 2 时，包含的字母为“O”，“N”，故
P{Y 2}
1 C2 1 ； 30 15
当 Y 3 时，包含的 3 个字母的单词共有 5 个，故
P (Ck ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
而
P{ X 1} P ( A1 )
1 2
1 1 P{ X 2} P ( A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 3 2 1 2 1 1 1 P ( A2 | A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) ， 4 3 2 4 3 一般地，若当 X k 时，盒中共有 k 1 只球，其中只有一只白球，故 P ( X k ) P ( A1 A2 Ak 1 Ak ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 1 k 1 k 2 1 2 1 1 1 k 1 k k 1 4 3 2 k k

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第四章数字特征
一、选择题
1、（中等）设随机变量X 与Y 相互独立，且X ，Y 分别服从参数为1，4的泊松分布，则D (X －Y )= ( ) A.－3 B.－1 C.3
D.5
2、（中等）设随机变量X 与Y 不相关，则以下结论中错误．．的是( ) A ．E(X+Y)=E(X)+E(Y) B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C. E(XY)=E(X)E(Y)
D.D(XY)=D(X)D(Y)
3、（易）设二维随机变量(X,Y )～N 22
1212
(,;,;)μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则ρ＝( ) A ．-1 B.0 C.1 D.2
4、（易）设随机变量~(,)X B n p ，且() 2.4,() 1.44E X D X ==，则参数n ，p 的值分别为( ) A. 4和0.6 B.6和0.4 C. 8和0.3
D.3和0.8
5、（中等）设X 为随机变量，E (X )=2，D (X )=5，则E (X +2)2=( ) A.4
B.9
C.13
D.21
6、（较难）设随机变量X ～B(10，
1
2
)，Y ～N(2，10)，又E(XY )=14，则X 与Y 的相关系数ρXY =( )
A ．-0.8
B ．-0.16
C ．0.1
D ．0.8
7、（易）设随机变量2~(,)X N μσ，Y 服从参数为(0)λλ>的指数分布，则下列结论中不正．．确．
的是( ) A.1
()E X Y μλ
-=-
B.22
1
()D X Y σλ-=-
C.1
(),()E X E Y μλ
==
D.22
1
(),()D X D Y σλ==
8、（中等）已知D(X )=1，D(Y )=25，ρXY =0.4，则D(X -Y )=( ) A ．6 B ．30 C ．22
D ．46
9、（易）设随机变量X 的概率密度为⎩
⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E(X )= ( )
A.3
1
B.32
C.1
D.
3
10
10、（中等）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，2
1
)，则E(XY )= ( )
A ．43
B ．12
C ．32
D ．3
二、填空题（共8题，每小题3分）
11、（易）设随机变量X 与Y 的协方差Cov()=1X,Y -,则Cov(2,3)Y X -=________. 12、（中等）设随机变量X ～U (-1，3)，则D(2X -3)=_________. 13、（较难）设二维随机变量(
则E (X 2+Y 2)=__________.
14、（易）设随机变量X ～B (18，13)，则=)
X (E )
X (D ____________.
15、（易）设随机变量X 与Y 线性不相关，则C OV (X -2,Y +1)=____________. 16、（易）设随机变量X 的分布律为P{X=k}=1/5，k=1,2,3,4,5, 则E (X )=________. 17、（中等）设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，则E (X 2)=______.
18、（难）设二维随机变量(X , Y )的概率密度为f (x ,y )=(),0,0,
0,
,x y xe x y -+⎧>>⎨⎩其他
则ρXY =_______.
三、计算题
19、（中等）设随机变量X 的分布律为：
记3Y X =，求：（1）D(X )，E(Y )；（2）(4,)Cov X Y
20、（较难）知二维随机变量(X，Y)的分布律求：(1) E(4X-Y)；(2)D(X+2Y).
21、（难）设随机变量X概率密度函数为
1
()
2
x
f x e-
=,(－∞<x<+∞,k为常数）
求：(1) E(X); (2) D(X).
22、（中等）设随机变量X的概率密度为
f(x)=
01 212 0
x x
x x
≤<⎧
⎪
-≤<⎨
⎪
⎩其他
Y=2X+1, 求：(1) E(X)，E(Y); (2) D(X)，D(Y).
23、（中等）设随机变量X ，Y 的概率密度分别为
f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨
⎧≤>-.
0,
0,
0,
44y y y e 求：(1) E (X +Y ); (2) E (2X +3Y 2).
24、（中等）已知随机变量X 的密度函数为
2,01()0,ax bx c x f x ⎧++≤≤=⎨
⎩其他又已知E (X )=0.5， D (X )=0.15，求,,.a b c 由密度函数及期望、方差的性质可以知道， ∫(0到1) f(x)dx =1
E(X)=∫(0到1) x*f(x)dx =0.5
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2= ∫(0到1) x^2 *f(x)dx - 0.5^2 =0.15 所以
∫(0到1) f(x)dx
=∫(0到1) ax^2+bx+c dx
=(ax^3 /3 +bx^2 /2+cx) 代入上下限1和0 =a/3 +b/2 +c=1 而
EX=∫(0到1) x*f(x)dx =∫(0到1) ax^3+bx^2+cx dx
=(ax^4 /4 +bx^3 /3+cx^2 /2) 代入上下限1和0 =a/4 +b/3+c/2=0.5
DX=∫(0到1) x^2*f(x)dx - 0.5^2 =∫(0到1) ax^4+bx^3+cx^2 dx -0.25
= (ax^5 /5 +bx^4 /4+cx^3 /3) -0.25 代入上下限1和0 =a/5 +b/4 +c/3 -0.25=0.15 于是
a/3 +b/2 +c=1 a/4 +b/3+c/2=0.5 a/5 +b/4 +c/3=0.4 解得
a=12，b= -12，c=3
25、（中等）按规定，某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的
时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为
一旅客8:20到站，求他候车时间的数学期望.
解：因为旅客乙8：20到站，他的候车时间η的取值可能为10，30，50，70，90，P（η=10）=
P（η=30）=，
P（η=50）=，
P（η=70）=，
P（η=90）=
可得分布列和期望值为。