人教版八年级数学下册 正方形知识点总结及强化练习(无答案)
正方形知识点总结及强化练习
一、知识点梳理：
1、正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2、正方形的性质：
（1）正方形的四个角都是直角；
（2）正方形的四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组
对角。
3、正方形的判定：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
二、典型例题：
例1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是AD上的一点，EF
⊥AC于F，EG⊥BD于G．
（1）试说明四边形EFOG是矩形；
（2）若AC=10cm，求EF+EG的值．
D
B C
F
【课堂练习1】
已知：如图，在正方形ABCD 中，AE ⊥BF ，垂足为P ，AE 与CD 交于点E ，•BF•与AD 交于点F 。
求证：AE=BF ．
例2：将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．
（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；
（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．
三、强化训练：
1、如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．
2、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2． A
B
C
D
E
F
D ′
第2题
C
3、延长正方形ABCD的边AB到E，使AE＝AC，连接CE，则∠E＝°
4、如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，23
，，则图中阴影部分的面积为．
==
AB BC
5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
6、如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF。
若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为（）
A、20°
B、25°
C、35°
D、40°
7、将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )
A．①③⑤ B．②③⑤ C．①②③ D．①③④⑤
8、如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.
9、.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
10、如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.。
11、Rt △ABC 与Rt △FED 是两块全等的含30o 、60o 角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB 与DE 重合．
（1）求证：四边形ABFC 为平行四边形；
（2）取BC 中点O ，将△ABC 绕点O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△C B A '''位置，直线C B ''与AB 、CF 分别相交于P 、Q 两点，猜想OQ 、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想．
(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB 为菱形(不要求证明).
图(二)
图(一)
F
F。
(完整版)正方形知识点复习总结
(完整版)正方形知识点复习总结正方形知识点复总结1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：- 四条边的长度相等。
- 四个内角都是90度。
- 对角线相等且垂直平分。
2. 正方形的性质2.1 逆向性质正方形的逆向性质可以由其定义推导得出：- 如果一个四边形的四条边都相等且四个内角都是90度，则它是正方形。
2.2 边长和对角线的关系在一个正方形中，边长和对角线之间存在以下关系：- 对角线的长度等于边长的根号2倍。
- 边长等于对角线长度的根号2的一半。
2.3 面积和周长正方形的面积和周长计算公式如下：- 面积：边长的平方。
- 周长：边长的四倍。
2.4 正方形与其他几何图形的关系正方形与其他几何图形的关系如下：- 正方形是一个长方形，其中长和宽相等。
- 正方形也是一个菱形，其中每个角都是90度。
3. 判断正方形的方法在解决问题时，我们有时需要判断一个四边形是否是正方形。
以下是几种判断的方法：- 判断边长：检查四条边是否长度相等。
- 判断角度：检查四个内角是否都是90度。
- 判断对角线：检查对角线长度是否相等且垂直平分。
4. 示例题目下面是一些关于正方形的示例题目，帮助巩固对正方形知识的理解：1. 若一个四边形的边长为4cm，是不是正方形？2. 如果一个四边形的边长为6cm，内角都是90度，那它一定是正方形吗？3. 一个四边形的对角线长度为5cm，是不是正方形？5. 结论正方形是一种具有特殊性质的四边形，有着特定的定义和性质。
了解正方形的定义、性质以及判断方法可以帮助我们更好地理解和应用正方形相关的问题。
人教版初二数学下册正方形梯形知识点总结及例题
正方形一周强化一、一周知识概述、正方形的定义与性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形与菱形的所有性质．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．、正方形的判定从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．二、重难点知识归纳正方形的判定与性质的综合运用是重点．几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点．三、例题解析、利用正方形对角线的性质解题例、如图，在正方形中，点、在上，且．请猜测四边形的形状，并对你的猜测给出合理的说明．解：四边形为菱形．理由如下：连结交于点．∵四边形为正方形，又，∴．∴四边形是平行四边形．又∵⊥∴四边形为菱形点拨：正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，会为解题带来很多方便．例、如图，正方形的对角线交于点，是上任一点，⊥于点，交于点．求证：．证明：∵四边形为正方形，∴对角线、互相垂直平分于点，即，⊥．又⊥，∴∠∠．点拨：这里主要是应用正方形对角线互相垂直平分来破题的．、利用正方形的轴对称性解题例、如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于点、．若∠°，求∠＋∠的度数．解：在四边形中，∵与、与均关于直线对称，又五边形内角与为°，点拨：利用正方形的对称性作角与线段的转化十分快捷，如图中∠∠，∠∠，，等．例、已知，如图，在正方形中，点在上．解：（）∵点在上，点、关于对称，∴．（）能用文字概括为“正方形一条对角线上的一点与另一条对角线的两端距离相等”．（）能．证明：连结，由（）可知，又∵⊥，⊥，∴∠∠°．又∵∠°，∴四边形是矩形，点拨：该题（）的结论是一个常用到的正方形的性质，也可用对称的知识或证△≌△得到，在例中该图已经出现过；第（）小题的证明思路是，抓住正方形是轴对称图形这一特点，把正方形沿对称轴翻折，使翻折到，把要证转化为只要证，从而达到把分散的条件集中到一块的目的．、利用旋转法解决有关正方形问题例、如图，正方形的边长，为上一点，连结，作⊥交的延长线于点，作⊥交于点．若，求的长．解：△绕点旋转°后可以得到△，点拨：分析条件⊥，⊥，，于是可以将△旋转，旋转实质还是两个三角形全等．例、如图，在一正方形花池内需要装一只喷头，且满足︰︰︰︰．求∠的度数．解：将△绕点顺时针旋转°得△′，连结′．∴可设′，′，．又△′为等腰直角三角形，又()，∴′＋′．故∠′°＋°°．点拨：这里是通过旋转，将分散的条件集中起来，再由三角形边与边的关系，求出有关角的大小．、构造正方形解题例、如图，⊥，⊥，是上一点，，，，∠°，∠°．求的长．解：过作的垂线交延长线于点，则又，∴△是等边三角形，又∠°－(°＋°)°，点拨：此题是通过补图，构造正方形求解．、利用正方形性质解选择题例、如图，有两个正方形与一个等边三角形，则图中度数为°的角有（）．个．个．个．个解：如图．∵△′为正三角形，四边形、四边形′′′均为正方形，在四边形′中，易知∠′°－°×－°°．故∠′∠′°．故选．点评：本题极易误选．梯形一周强化一、一周知识概述、梯形的概念梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．换一种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形．等腰梯形与直角梯形是两种特殊梯形．、等腰梯形的性质与判定()等腰梯形的性质①等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；②等腰梯形同一底边上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．()等腰梯形的判定同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．、梯形中常见辅助线作法()平移一腰，使两腰、两底角集中于同一个三角形中，并且得出两底之差(如图())；()平移一条对角线，使两条对角线与两底之与构成一个三角形，并且能得出两底之与(如图())；()延长两腰交于一点，将梯形转化为三角形(如图())；()作梯形的高，将梯形转化为矩形与直角三角形(如图())；()延长顶点与一腰中点的连线交底边于一点，将梯形转化为三角形，并且集中了两底(如图())；()将梯形割补为平行四边形(如图())；二、重难点知识归纳、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念，并了解它们之间的关系．、探索等腰梯形的有关性质与常用判别方法，并能运用它们进行有关的证明与计算．、通过对梯形辅助线的探索，学会将未知问题转化为已知问题，培养化归意识．三、典型例题剖析、直接利用等腰梯形的性质或判定解题例、如图，为等腰梯形的下底上一点，⊥，⊥，，为垂足，⊥，为垂足．求证：＋．证明：过点作⊥于点．∵⊥，⊥，∴四边形是矩形．∵四边形为等腰梯形，∴∠∠．又⊥，公共，∴△≌△．∴．点拨：要证线段的与差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，本例采用的是“截长法”．例、如图，已知矩形中，、分别是、的中点．求证：四边形是等腰梯形．证明：∵四边形是矩形，又、分别是、中点，∴∥．又，∴四边形是梯形．又，∴△≌△()．∴∠∠又∠∠，∴∠∠∴梯形是等腰梯形．点拨：这里是先根据梯形定义，判定四边形是梯形，再证同一底上两底角相等．例、如图，已知四边形中，，，≠．求证：四边形是等腰梯形．证明：过点作∥交边于点．∵，，，又∥，∴∠∠∴四边形是平行四边形．∴∥．又，且≠，∴四边形为等腰梯形．点拨：判定一个任意四边形为等腰梯形，如果不能直接运用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通过作辅助线，将此四边形分解为熟悉的多边形，此例就是通过作平行线，将四边形分解成为一个平行四边形与一个等腰三角形．、梯形辅助线的作法例、如图，在等腰梯形中，∥，，，．求∠的度数．解：过点作∥交于点，∵∥，∴四边形是平行四边形．又，∴∴△是等边三角形．∴∠°点拨：过顶点作一腰的平行线，把梯形化为平行四边形与三角形，转化的目的是把条件都集中到以∠为内角的三角形中．例、如图，在梯形中，∥，且＋，为的中点．求证：⊥．证明：延长交的延长线于点．∵为中点，∥，∴△≌△．由等腰三角形“三线合一”知，⊥．点拨：根据证题的需要，集中梯形的两底也是常用的添加辅助线的方法．本例也可以先延长至，使，再证、、共线．例、如图，梯形中，∥，对角线⊥，且，，求该梯形上下底的与．解：过作∥交的延长线于点．∵∥，∴，．在△中，点拨：过顶点作一条对角线的平行线，把两条对角线的数量关系与位置关系集中到一个三角形中，将求梯形上下底的长转化为求直角三角形斜边的长．例、如图，在等腰梯形中，∥，，且⊥，是梯形的高，梯形的面积是．求梯形的高．解法：如图(甲)，过作∥交的延长线于点．又∵四边形是等腰梯形，∴．∴．∴△是等腰直角三角形．又是斜边上的高，故也为斜边上的中线．解法：设梯形的两条对角线相交于点，过作⊥于点，延长交于点(如图(乙))．∵，，公共，又∵⊥，∴△是等腰直角三角形．∴．同理．以下解答过程与解法相同．解法：过作⊥于点(如图(丙))．∵梯形是等腰梯形，∴，∠∠．又∵，∴△≌△，∴∠∠．又∵⊥，∴∠∠°．∴△与△都是等腰直角三角形．∴，，以下解答过程与解法相同．点拨：本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的中位线的长．因此，在等腰梯形中，若两条对角线垂直，则这个梯形的高就等于中位线的长，梯形的面积就等于高的平方．例、如图，已知在等腰梯形中，∥．()若，，梯形的高是，求梯形的周长；()若，，梯形的高是，梯形的周长为，则；(请用含的代数式表示；答案直接写在横线上，不要求证明)()若，，，求证：⊥．解：()分别过点、作⊥，⊥，垂足分别为、，则．又，∴∴梯形的周长为＋＋×．()过点作∥，交的延长线于点．∵∥，∴四边形是平行四边形．而＋＋＋，点评：()是作等腰梯形的两条高，构造直角三角形，运用勾股定理求腰长；由()知在等腰梯形中，已知对角线互相垂直或要证对角线互相垂直，一般的方法就是平移一腰．。
人教版八年级下册数学正方形基础知识精讲及同步练习
(3)一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形2.正方形的性质由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：(1)两组对边分别平行(2)四个角都是直角，四条边都相等(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角(4)两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系(如下图)4.关于正方形的判定(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形)(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形(有一个角是直角的菱形)(3)还可以先判定它是平行四边形，再用(1)或(2)进行判定.【重点难点解析】本节重点是正方形的定义，说明正方形与矩形、菱形的关系，是本节学习的难点，因为它们之间的关系重叠交错，容易混淆.例1 下列命题中，真命题是( )A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.四条边相等的四边形是正方形分析本题主要考查考生应用平行四边形、矩形、菱形、正方形定义解题的能力.命题B、C、D均易找到反例判断它们是假命题.对于命题A，对照平行四边形的定义及平行四边形的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了.已知四边形ABCD是AD∥BC，∠B＝∠D(如图)，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AD∥BC(已知)∴∠A+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠B＝∠D(已知)∴∠A+∠D＝180°(等量代换)∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)例2 如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF ⊥BE于F.CF交OB于G，求证：OE＝OG.分析本题是考查正方形的性质、同角的余角相等关系及全等三角形的判定与性质.OG和OE可分别看作是△OGC与△OEB的最短边，若能证两三角形全等，则命题得证.由正方形性质有OC＝OB，∠COG ＝∠BOE＝90°而∠1和∠3为∠2的余角，于是∠1＝∠2证明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC ∴AC⊥BD∴∠COG＝∠BOE＝Rt∠又∵CF⊥BE ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝Rt∠∴∠1＝∠3 ∴△COG≌△BOE ∴OE＝OG例3 下列四个命题中正确的命题是( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④四边相等且对角线相等的四边形是正方形A.①④B.①③C.②③D.③④分析因为命题①就是平行四边形的判定定理3，所以命题①正确.命题④可以理解为是菱形又是矩形的四边形必是正方形.因为四边相等的四边形是菱形，它是特殊的平行四边形，而对角线相等的平行四边形是矩形.因此命题④是正确的命题.因为矩形和菱形都是特殊的平行四边形，而四边形对角线相等或对角线互相垂直不能推出此四边形的对角线互相平分，所以此四边形连平行四边形都不是，就更不可能是矩形或菱形了.因此②、③不正确.解：A例4 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE分析本题考查正方形性质及全等三角形的判定与性质，要证CF、DE互相垂直，只需证明∠DGC＝Ｒt∠，可联想∠3与∠4互余.根据正方形性质，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°证明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， BE＝BE∴△ABF≌△CBF ∴∠1＝∠2∵AB＝CD， BE＝CE，∠ABE＝∠DCE∴△ABE≌△DCE ∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3 又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE【难题巧解点拨】例1 如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F.求证：(1)DP＝EF；(2)DP⊥EF分析本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力.延长FP交AD于G.注意到AEPG是正方形，要证DP＝EF，只要证△DPG ≌△FPE.显然这两个三角形全等条件具备.延长DP交EF于H.由于△DPG≌△FPE，可得∠1＝∠2.而∠３＝∠4，这样可证∠2+∠3＝90°.从而DP⊥EF.证明：(1)延长FP交AD于G，延长DP交EF于H.∵四边形AEPG是正方形，∴PG＝PE＝AE＝AG∵正方形ABCD ∴AB＝ADAD-AG＝AB-AE＝GF-PG即 GD＝PF∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠DGP＝∠FPE＝90°∴△DPG≌△FEP ∴DP＝EF(2)∵△DPG≌△FEP ∴∠1＝∠2又∠3＝∠4，∠1+∠4＝90°∴∠2+∠3＝90°∴PH⊥EF，即DP⊥EF例2 如图，已知正方形ABCD，以对角线AC为边作菱形AEFC，BF∥AC.求证：∠ACF＝5∠F.分析 本题考查特殊平行四边形的判定、性质，四边形内角和定理，30°所对直角边的性质的逆用.由题意，要证：∠ACF ＝5∠F ，就是要证∠F ＝∠CAE ＝30°，这样就需构造Rt △.辅助线EH ⊥AC 自然作出，问题变为转证EH ＝21AE ＝21AC.由于AC ＝DB ，变为证EH ＝21BD ，即证矩形BOHE ，证明矩形时，若用四边形判定，一定要证出三个直角.证明：过E 点作EH ⊥AC 于H ，连BD ∵正方形ABCD ∴BD ＝AC 且BO ＝21AC ∠BOC ＝90°＝∠DOC∵BF ∥AC ∴∠EBO ＝∠DOC ＝90° ∴四边形BEHO 为矩形 ∴EH ＝BO ＝21AC 又∵菱形AEFC ∴AC ＝AE ∴EH ＝21AE ∴∠CAE ＝30° ∵菱形AEFC ∴∠A ＝∠F ＝30°∴∠ACF ＝∠AEF ＝(360°-2×30°)×21＝150° ∴∠ACF ＝5∠A例3 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，四边形ACDE 和CBFG 是在△ABC 外的正方形，△ABC 的高CH 所在的直线交DG 于点M ，求1DG，DM＝MG证：(1)DG＝AB (2)CM＝21DG，只需证分析要证DG＝AB，需证△DCG≌△ACB，要证CM＝2DM＝MG证明：(1)∵四边形ACDE和CBFG都是正方形∴∠DCA＝∠GCB＝90°， CD＝CACG＝CB(正方形四个角都是直角，四条边相等)又∵∠ACB＝90°∴∠DCG＝360°-∠DCA-∠ACB-∠GCB＝90°＝∠ACB∴△DCG≌△ACB ∴DG＝AB(2)∵△DCG≌△ACB ∴∠DGC＝∠ABC又∵MH⊥AB ∴∠HCB+∠ABC＝90°∴∠HCB+∠DGC＝90°∵∠GCB＝90°∴∠MCG+∠BCH＝90°∴∠DGC＝∠MCG ∴MC＝MG同理可证：∠MDC＝∠MCD1DG∴MC＝DM ∴MC＝DM＝MG ∴MC＝2【课本难题解答】求证：矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形.(P159 4.3 B 组)证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠DAB＝∠ABC＝90°1∠DAB＝45°∴∠1＝∠2＝21∠ABC＝45°∠3＝∠4＝2∴∠QMN＝90°同理，∠MNP＝90°，∠NPQ＝90°∴四边形MNPQ为矩形又∵∠1＝∠3 ∴AM＝BM∵∠2＝∠4AD＝BC ∴△AQD≌△BNC∴AQ＝BN ∴AQ-AM＝BN-BM即MN＝MQ ∴四边形MNPQ为正方形【命题趋势分析】正方形的定义集平行四边形、矩形、菱形性质于一身，且正方形又是正多边形的典型代表，利用它的这些特殊性，说明边、角相等和直线垂直的重要依据，历来为中考热点，类型多以选择、计算证明等形式出现.【典型热点考题】例1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 分析 本题考查应用正方形、矩形、菱形的性质及其异同点解题的能力.正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，而且这三者又是特殊的平行四边形.弄清楚他们之间的关系就不难判定.只有C 性质正方形具有而菱形不一定具有.其余A 、B 、D 三个性质正方形和菱形都具有.解：C例2 求正方形的对角线与边长的比值分析 正方形的边长与对角线构成了等腰直角三角形，其中斜边是对角线，由勾股定理可求解.解：设正方形边长为a ，由勾股定理得，斜边之长为22a a ＝a 2 ∴对角线边长＝2a a ＝21＝22.∴比值为22例3 某同学根据菱形的面积计算公式，推导出对角线长为a的正方形面积是S＝21a2，对此结论，你认为是否正确?若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来证明.分析因为正方形是特殊的菱形，所以菱形所具有的性质，正方形都具有.当然，菱形的面积计算公式同样适用于正方形.因此这个结论一定正确.证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD＝a又∵正方形是菱形，而菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半，∴S＝21×AC·BD＝21a2.事实上，设正方形边长为x，由勾股定理可得a2=x2+x2=2x2代入上式，得：S＝21×2x2＝x2S＝x2就是正方形的面积公式.本周强化练习：【同步达纲练习】一、填空1.正方形既是相等的矩形，又是有一个角是的菱形.2.正方形和菱形比较，除具有的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都，对角线 .3.对角线的四边形是正方形.4.正方形和矩形比较，除具有的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都，对角线.5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为，面积的和为 .6.如图4.6-12，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，并且EF＝AF+CE，∠BEF＝∠BEC，那么∠EBF＝度.7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝度.图 4.6-12 图4.6-138.如图4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝度.图 4.6-14 图4.6-159.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE为5，则折痕PQ的长为 .10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .二、选择题1.下列命题是真命题的是( )A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直3.下列命题中，错误的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边是平行四边形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.四个角相等的菱形是正方形4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )A.45°B.55°C.65°D.75°5.下列命题正确的是( )A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形6.下列命题中，假命题是( )A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.梯形的对角线互相平分7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC 交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝ECB.BF≠ECC.BF＜ECD.BF＞EC8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )A.50°B.60°C.67.5°D.75°9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )A.2B.3个C.4个D.5个三、解答题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD的度数?2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG⊥CF.4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.5.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.【素质优化训练】如图，M为正方形ABCD的AB边上的中点，MN⊥DM，BN平分∠CBG.求证：DM＝MN【生活实际运用】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O.点O是正方形A′B′C′O的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B′C′O 绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方1，想一想这是为什么.形面积的4【知识探究学习】如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD上一点，AE平分∠BAF，求证：AF＝BC+CF.参考答案一、1.邻边相等直角 2.平行四边形相等互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分相等互相垂直 4.平行四边形是直角互相垂直 5.4(2+1)m 3m2 6.45°7.150° 8.112.5°39.13 10.4二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C三、1.67.5° 2.提示：证△MAD≌△KAB(SAS) 3.提示：证△ABE ≌△CBF，再证∠AGC＝∠ABE＝90° 4.先证△BCF≌△DCF，得：∠CDF＝∠CBF，进而证∠GBF＝∠HBG，得：∠FBG+∠GBH＝∠GBH+∠HBE ＝90°，得BF⊥BH 5.提示：延长CB到G，使BG＝FD，证△ABG≌△ADF，得：∠BAG＝∠DAF，再证△AEF≌△AEG，得EF＝EG＝EB+BG ＝EB+DF【素质优化训练】提示：取AD的中点E，连EM.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：延长FC交AE的延长线于H.答题方法：试卷检查五法重视答案,要对结果负责不少同学都说,明明题目都会做,然而考试时却不是这里出错就是那里出错,总是拿不了高分。
人教版八级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案
学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形．2．能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．【基础知识概述】1．正方形定义：(1)有一组邻边相等并且有—个角是直角的平行四边形叫做正方形．(2)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有—个角是直角的菱形．(3)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．2．正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．(1)边——四边相等、邻边垂直、对边平行．(2)角——四角都是直角．(3)对角线——①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角．(4)是轴对称图形，有4条对称轴．3．正方形的识别方法：(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)—个角是直角的菱形是正方形．4．正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图12-2-13．5．正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半．【例题精讲】例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE 为菱形，后证一个角为90°可得)注意：灵活选择正方形的识别方法．例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC ＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM ⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC与△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ACB和△SBD中，∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，又∠2＝∠3＝∠5，∴△ACB与△SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△BKS和△AMH中，∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，∴△BKS与△AMH重合，∴KS＝HM，∴AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．【同步达纲练习】一、填空题1．正方形既是________相等的矩形，又是有一个角是________的菱形．2．正方形ABCD中，对角线AC＝24，P是AB边上一点，则点P到对角线AC、BD的距离和为________．3．已知对角线AC、BD相交于O，(1)若AB＝BC，则是________；(2)若AC＝BD，则是________；(3)若∠BCD＝90°，是________；(4)若OA＝OB，则是________；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则是________．4．在边长为2的正方形中有一点P，那么这个点P到四边的距离之和是________．5．如图12-2-19，正方形ABCD的面积等于2cm4，则阴影部分的面积S＝9，正方形DEFG的面积等于2cm________2cm．6．如图12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：(1)第4个图形中火柴棒的根数是________；(2)第n个图形中火柴棒的根数是________．7．已知E、F为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF＝50°，则∠CME＋∠CNF＝________．二、解答题8．如图12-2-21所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，求∠AFC的度数．9．如图12-2-22，已知正方形ABCD中，BE∥AC，AE＝AC，试说明CE＝CF．10．如图12-2-23，正方形ABCD中，AC与BD相交于O，E、F分别是DB、BD延长线上的点，且BE＝DF，试说明∠E＝∠F．11．如图12-2-24所示，点G是边长为4的正方形ABCD边上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，已知DG ＝5，求FC的值．参考答案【同步达纲练习】1．邻边，直角2．123．(1)菱形 (2)矩形 (3)矩形 (4)矩形 (5)正方形4．475．26．(1)13 (2)3n＋17．100°8．在正方形ABCD 中，∠ACB ＝45°(正方形的每条对角线平分一组对角)．已知AC ＝CE ，所以∠CAE ＝∠E ，所以∠CAE ＋∠E ＝45°，所以∠E ＝22.5°．因为∠DCE ＝90°，∠AFC ＝∠DCE ＋∠E ＝90°＋22.5°＝112.5°．9．过点E 作EG ⊥AC 于G ，连结BD ，∵EG ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴EG ∥BD ．又AC ∥BE ，∴四边形EGOB 是矩形，∴EG ＝BO ．∵BD ＝AC ， ∴AE 21AC 21EG ==， ∴∠EAG ＝30°．∵△ACE 是等腰三角形， ∴︒=︒-︒=∠75)30180(21AEC ． ∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB ＝45°．∵∠CFE ＝∠EAC ＋∠FCA ＝30°＋45°＝75°，即∠CFE ＝∠CEF ，∴CF ＝CE ．10．提示：易知OF ＝OE ，且AC ⊥BD 于O ，∴AC 为EF 的中垂线，∴EC ＝CF ，∴∠E ＝∠F ．11．连结AG ，过点A 作AH ⊥GD ，过点G 作GP ⊥AD ，垂足分别为H 、P ，易知AH ＝FG ，PG ＝AB ，所以依题意有PG AD 21AH DG 21S AGD ⨯⨯=⨯⨯=∆，即4421AH 521⨯⨯=⨯⨯，所以AH ＝3.2，即FG ＝3.2．专项训练二 概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A ．通常加热到100℃时，水沸腾B ．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( ) A.316 B.38 C.58 D.1316第7题图 第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________． 三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。
(精典整理)人教版数学八年级下册 平行四边形、矩形、菱形、正方形 知识点复习总结(无答案)
OA平行四边形、矩形、菱形、正方形 知识方法总结一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：平行四边形矩形菱形正方形图形一般 性质1．边：且 ； 2．角： ；； 3．对角线 ；1．边：且 ； 2．角： ；； 3．对角线 ；1．边：且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ；1．边：且 ； 2．角： ；； 3．对角线 ；面积二. 判断（识别）方法小结：(1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面）①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠Y 一个 ） ②对角线相等的平行四边形是矩形； （ ⊕Y 对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形； （3t R ∠个 ）④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（ ⊕对角线互相平分对角线 =）(3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ =⊕Y 一组邻边 ） ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ ⊕⊥Y 对角线 ） ③四边都相等的四边形是菱形； （4= 边）④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
（ ⊕⊥对角线互相平分对角线 ） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形+菱形①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕Y 一组邻边一个 ） ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （ ⊕⊕⊥=Y 对角线 对角线） ③有一组邻边相等的矩形是正方形； （ =⊕ 矩形一组邻边 ） ④对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ⊕⊥矩形对角线 ） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （ Rt ∠⊕菱形一个 ） ⑥对角线相等的菱形是正方形； （⊕=菱形 对角线）⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
人教版八年级正方形知识点归纳 很实用
人教版八年级正方形知识点归纳很实用人教版八年级正方形知识点归纳
正方形是初中数学中的一个重要几何形状，它的性质和应用广泛且实用。
本文将对人教版八年级正方形的知识点进行归纳，帮助学生更好地掌握这一内容。
1. 正方形的定义
正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：
- 四条边长度相等
- 四个内角都是直角（90度）
2. 正方形的外接圆和内切圆
正方形的外接圆是指能够恰好通过正方形的四个顶点的圆。
它的半径等于正方形边长的一半。
正方形的内切圆是指能够与正方形的四条边都相切的圆。
它的半径等于正方形边长的一半。
3. 正方形的面积和周长
正方形的面积可以用边长的平方表示，即A = 边长^2。
正方形的周长等于四条边的长度之和，即C = 4 * 边长。
4. 正方形的对角线
正方形的对角线指的是连接正方形相对顶点的线段。
由于正方
形的对角线为两个直角三角形的斜边，所以可以利用勾股定理求解
正方形的对角线长度。
对角线的长度等于边长的平方根乘以根号2。
5. 正方形的性质和判定
- 正方形的对边平行且相等
- 正方形的对角线相等且垂直
- 正方形的任意一条线对称轴都可以将它分成两个全等的部分
以上是人教版八年级正方形的基本知识点归纳，掌握这些内容
将有助于理解和解决与正方形相关的问题。
学生们可以通过练习和
应用这些知识，提高数学能力和几何思维能力。
(新人教版八年级数学下册)《 正方形》
矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形.
菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形.
典例精析
例2 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分
别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：
四边形 EFMN 是正方形．
A
ND
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ E △CMF≌△DNM，得四边形 EFMN
A
AN = BE = CF = DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM. E
ND
∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF.
∴ 四边形 EFMN 是菱形.
M
又∵∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF) B F
C
= 180° - (∠AEN+∠ANE) = 180° - 90° = 90°.
+ 一个直角/
对角线相等
先判定菱形 矩形条件(二选一)
正方 形
猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角
线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
A
B
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
A
D
对称性： 轴对称图形 .
对称轴： 4 条 .
B
C
典例精析
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方 形分成四个全等的等腰直角三角形.
同学们，拿出一张白纸，在纸 A
B
上画出一个如图正方形，然后
写出已知和求证的条件，想一
人教版初二下册数学知识点：正方形知识点
人教版初二下册数学知识点：正方形知识点
初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
下面小编为大家带来了正方形知识点，希望对大家有所帮助。
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的*质
(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切*质;
(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等;
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角;
(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴;
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;
(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先*它是矩形，再*有一组邻边相等。
先*它是菱形，再*有一个角是直角。
(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先*它是平行四边形;
再*它是菱形(或矩形);
最后*它是矩形(或菱形)。
八年级数学下册全册知识点汇聚：正方形题
正方形的对角线相等 且互相垂直平分，是 正方形的一个轴对称 图形。
正方形的每个内角都 是直角，每个外角都 是锐角。
正方形的判定方法
如果一个四边形的四边相等，则 它是正方形。
如果一个四边形的对角线相等且 互相垂直平分，则它是正方形。
如果一个四边形的相邻两边垂直， 则它是正方形。
02
正方形的基础题目
棋盘设计
国际象棋棋盘为正方形， 有助于棋子摆放和游戏进 行。
正方形在数学竞赛中的应用
几何证明题
通过正方形的性质和定理， 证明几何图形的性质和关 系。
最值问题
利用正方形的性质Байду номын сангаас几何 图形中的最值问题。
组合图形面积
通过正方形和其他图形的 组合，计算组合图形的面 积。
感谢观看
THANKS
详细描述
正方形具有中心对称和轴对称的性质。解决与对称相关的问题需要理解正方形的对称性质，并掌握相 应的解题方法。这类问题在数学竞赛中较为常见，需要学生具备一定的数学思维和解题技巧。
04
综合正方形题目解析
正方形与其他图形的结合
正方形与三角形结合
正方形与平行四边形结合
利用正方形的性质和三角形的三边关 系，解决几何问题。
八年级数学下册全册 知识点汇聚：正方形
• 正方形的定义与性质 • 正方形的基础题目 • 复杂正方形题目解析 • 综合正方形题目解析
目录
01
正方形的定义与性质
正方形的定义
01
正方形是四边相等且四个角都是 直角的四边形。
02
正方形是特殊的长方形，长方形 是特殊的平行四边形。
正方形的性质
正方形的四边相等， 对角线相等且互相平 分。
八年级数学下册全册知识点汇聚：正方形题)
四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分。
正方形与矩形、菱形关系
正方形与矩形的关系
正方形是特殊的矩形，即四条边都相 等的矩形。
正方形与菱形的关系
正方形也是特殊的菱形，即有一个角 是直角的菱形。
正方形对角线性质
对角线性质
正方形的对角线相等，且互相垂直平分。
对角线与边长的关系
面积计算公式
正方形的面积 = 边长 × 边长 或 边 长^2
应用举例
若正方形边长为6cm，则面积为 6cm × 6cm = 36cm^2。
周长与面积关系探讨
关系一
正方形的周长与面积成正比， 即周长越大，面积也越大。
关系二
正方形的周长与面积之间的比 值可以反映正方形的形状特征 ，如边长的比例等。
关系三
如果一个四边形是菱形，并且有一个角为直角， 那么这个四边形一定是正方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形
如果一个四边形是矩形，并且它的对角线互相垂 直，那么这个四边形一定是正方形。
对角线相等的菱形是正方形
如果一个四边形是菱形，并且它的对角线相等， 那么这个四边形一定是正方形。
利用对角线判定正方形
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
在正方形中，若周长一定，则 面积也一定；反之亦然。这是 因为正方形的四个边都相等， 所以周长和面积之间存在固定 的数学关系。
03
正方形判定方法与技巧
判定一个四边形为正方形的方法
有一组邻边相等的矩形是正方形
如果一个四边形是矩形，并且有一组邻边相等， 那么这个四边形一定是正方形。
有一个角为直角的菱形是正方形
解析
首先根据题目条件可知，四边形ABCD是一个正方形。由于正方形的面积等于边长的平方， 因此可以求出正方形的边长为$sqrt{8}=2sqrt{2}$。又因为BE⊥AD于点E，所以BE是正方形 ABCD的高，根据正方形的性质可知，高就是边长，因此$BE=2sqrt{2}$。