立体几何——点线面位置关系

点线面的位置关系（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角范围090θ<≤︒） 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线考点1:点，线，面之间的位置关系例1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥nC.若m ⊥α,m ⊥n,则n ∥αD.若m ∥α,m ⊥n,则n ⊥α [答案] 1.B[解析] 1.A 选项m 、n 也可以相交或异面,C 选项也可以n ⊂α,D 选项也可以n ∥α或n 与α斜交.根据线面垂直的性质可知选B.例2.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 5) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若则B ．若则C ．若则 D ．若则[答案] 2. D[解析] 2.A 选项不正确，因为是可能的；B选项不正确，因为，时，，都是可能的；C选项不正确，因为，时，可能有；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D例3. (2014广西桂林中学高三2月月考，4) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )(A) (B)(C) (D)[答案] 3. D[解析] 3. 若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；若，则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误；若，则直线与平面垂直或相交或平行，故（C) 错误；若，则直线，故（D) 正确. 选D.例4. (2014周宁、政和一中第四次联考，7) 设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：①若∥，且则；②若∥，且∥. 则∥；③若，则∥∥；④若且∥, 则∥.其中正确命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] 4. B[解析] 4. ①正确；②直线或，错误；③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确. 故真正确的是①④，共2个.2. 空间几何平行关系转化关系：直线、平面平行的判定及其性质归纳总结1. 证明线线平行的方法：定理 定理内容 符号表示分析解决问题的常用方法 直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。

即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面 平行的性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 //,,//a a ba bαβαβ⊂=⇒平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行//,,//a b a bαβαγβγ==⇒○1（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

即公理4○2证明这条两条直线的方向量共线。

○3如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

即面面平行的性质。

2．证明直线和平面相互平行的方法○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

3．证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。

利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。

用符号表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β。

（3）垂直于同一直线的两个平面平行。

用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。

（4）平行于同一个平面的两个平面平行。

//,////αβαγβγ⇒4.两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。

用符号表示是：α∥β，aα，则a∥β。

（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。

用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。

（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。

这个定理可用于证线面垂直。

用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。

（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行3. 空间几何垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

2．线面垂直（1）定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。

（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（3）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直（1）两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

（2）两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（3）两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

aP αOA考点2：证明线面之间的平行与垂直例1 .如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE ∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF;[解析] 1.(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,又CD⊥AD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC,又AF⊥PC,AF∩AD=A,∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF.例2. (2011江苏, 16, 14分) 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, AB=AD, ∠BAD=60°, E, F分别是AP, AD的中点. 求证:(Ⅰ) 直线EF∥平面PCD;(Ⅱ) 平面BEF⊥平面PAD.[答案] (Ⅰ) 在△PAD中, 因为E, F分别为AP, AD的中点, 所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD, PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(Ⅱ) 连结BD. 因为AB=AD, ∠BAD=60°, 所以△ABD为正三角形. 因为F是AD 的中点, 所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD, BF⊂平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD.例3. (2009江苏, 16, 14分) 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, E、F分别是A 1B、A1C的中点, 点D在B1C1上, A1D⊥B1C. 求证:(Ⅰ) EF∥平面ABC;(Ⅱ) 平面A1FD⊥平面BB1C1C.[答案] 3.(Ⅰ) 因为E、F分别是A1B、A1C的中点, 所以EF∥BC, EF⊄面ABC, BC⊂面ABC. 所以EF∥平面ABC.(Ⅱ) 因为直三棱柱ABC-A1B1C1, 所以BB1⊥面A1B1C1, BB1⊥A1D, 又A1D⊥B1C, 所以A1D⊥面BB1C1C, 又A1D⊂面A1FD, 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.例4.(2008江苏, 16, 14分) 如图, 在四面体ABCD中, CB=CD, AD⊥BD, 点E、F分别是AB、BD的中点. 求证:(Ⅰ) 直线EF∥平面ACD;(Ⅱ) 平面EFC⊥平面BCD.[答案] 4.(Ⅰ) 在△ABD中, 因为E、F分别是AB、BD的中点, 所以EF∥AD. 又AD⊂平面ACD, EF⊄平面ACD,所以直线EF∥平面ACD.(Ⅱ) 在△ABD中, 因为AD⊥BD, EF∥AD, 所以EF⊥BD.在△BCD中, 因为CD=CB, F为BD的中点, 所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC, CF⊂平面EFC, EF与CF交于点F, 所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD, 所以平面EFC⊥平面BCD.例5. (2013北京海淀区高三三月模拟题，17,14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；[答案] 7.(I) 因为是正三角形，是中点，所以, 即.又因为，平面，所以.又，所以平面.又平面，所以.（Ⅱ）在正三角形中，，在中，因为为中点，，所以.又，所以.所以由, 得.所以.在等腰直角三角形中，，所以.所以，，所以.又平面，平面，所以平面.。