考点1 复数----2021年全国卷艺考生一轮复习讲义
高考数学一轮复习 第八章 复数讲义
第八章 复 数命题探究考纲解读考点内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.复数的有关概念及几何意义1.复数的概念2.复数的几何意义 B 2题 5分 2题 5分 填空题 ★★★ 2.复数的运算 复数的四则运算 A 3题 5分填空题 ★★☆分析解读 复数是江苏高考的必考内容,重点考查复数的四则运算和简单的几何意义,试题比较简单,只要掌握基本概念就能解决.五年高考考点一 复数的有关概念及几何意义1.(2017课标全国Ⅲ文改编,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于第 象限.答案 三2.(2016天津,9,5分)i 是虚数单位,复数z 满足(1+i)z=2,则z 的实部为 .答案 13.(2016天津理,9,5分)已知a,b∈R,i 是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为 .答案 24.(2015天津,9,5分)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a 的值为 . 答案 -25.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .答案 36.(2015广东改编,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则= .答案 2-3i 7.(2015湖北改编,1,5分)i 为虚数单位,i 607的为 . 答案 i8.(2014江苏,2,5分)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.答案219.(2014江西改编,1,5分)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z= .答案1-i10.(2013江苏,2,5分)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为.答案 511.(2013课标全国Ⅰ理改编,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为.答案12.(2013湖南理改编,1,5分)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于第象限. 答案二教师用书专用(13—15)13.(2014重庆改编,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于第象限.答案一14.(2013北京理改编,2,5分)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于第象限.答案四15.(2013山东理改编,1,5分)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为. 答案5-i考点二复数的运算1.(2017课标全国Ⅱ文改编,2,5分)(1+i)(2+i)= .答案1+3i2.(2017山东文改编,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= .答案-2i3.(2017山东理改编,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a= .答案1或-14.(2016四川改编,1,5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2= .答案2i5.(2016课标全国Ⅰ改编,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a= .答案-36.(2016课标全国Ⅲ理改编,2,5分)若z=1+2i,则= .答案i7.(2016北京改编,2,5分)复数= .答案i8.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.答案9.(2015课标Ⅰ改编,1,5分)设复数z满足=i,则|z|= .答案 110.(2015课标Ⅱ改编,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a= .答案011.(2015湖南改编,1,5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z= .答案-1-i12.(2015山东改编,2,5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z= .答案1-i13.(2015四川改编,2,5分)设i是虚数单位,则复数i3-= .答案i14.(2014山东改编,1,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2= . 答案3+4i15.(2014安徽改编,1,5分)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·= .答案 216.(2014课标Ⅰ改编,2,5分)= .答案-1-i17.(2014湖北改编,1,5分)i为虚数单位,= .答案-118.(2013江西理改编,1,5分)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z= . 答案-4i19.(2013重庆理,11,5分)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|= .答案教师用书专用(20—21)20.(2013天津理,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=bi,则a+bi= .答案1+2i21.(2013安徽理改编,1,5分)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z= .答案1+i三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一复数的有关概念及几何意义1.(2017江苏南京、盐城一模,2)设复数z满足z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为.答案-12.(2017江苏泰州中学模拟,2)已知复数z满足(1+i)·z=-i(i为虚数单位),则的模为.答案3.(2017江苏南京师范大学附中期中,2)若复数z满足i=1+i(i为虚部单位),则的共轭复数是.答案1+i4.(2017江苏南京第一次调研)若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为.答案 35.(2016江苏南京、盐城一模,5)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|= .答案6.(苏教选2—2,三,3,3,变式)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段A B的中点,则点C对应的复数是.答案2+4i考点二复数的运算7.(2018江苏扬州中学月考)设(1+2i)2=a+bi(a,b∈R),其中i是虚数单位,则ab= .答案-128.(2017江苏南京高淳质检,1)若(i是虚数单位)是实数,则实数a的值是.答案-19.(2017江苏苏州调研,2)已知i是虚数单位,复数z的共轭复数为,若2z=+2-3i,则z= .答案2-iB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共10分)1.(2018江苏海安高三阶段测试)已知复数z=a+3i(i为虚数单位,a>0),若z2是纯虚数,则a的值为. 答案 32.(2017江苏南京溧水中学质检,7)已知复数z1=2+ai,z2=2-i,i是虚数单位,若|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是.答案-1<a<1二、解答题(共10分)3.(苏教选2—2,三,2,12,变式)复数z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若+z2是实数,求实数a的值.解析+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i=+[(a2-10)+(2a-5)]i=+(a2+2a-15)i.∵+z2是实数,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5且a≠1,故a=3.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 复数的几何意义1.(2016湖北武汉调研改编)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是.答案H2.△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点为△ABC的心.答案外方法2 求解有关复数方程的常用方法3.已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,那么p= ,q= .答案-4;5。
复数-2021届高三数学(新高考)一轮复习ppt完美课件(49页)
7.5复数-2021届高三数学（新高考） 一轮复 习课件( 共49张 PPT)
2．[2020·山东泰安质量检测]若复数(2－i)(a＋i)的实部与虚部互为 相反数，则实数 a＝( )
A．3 B．13 C．－13 D．－3 答案：D 解析：(2－i)·(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a)i，因为该复数的实部与虚部 互为相反数，所以(2a＋1)＋(2－a)＝0，解得 a＝－3，故选 D.
【教材提炼】
一、教材改编 1．[必修二·P94 复习参考题 7 T1(2)改编]复数i－5 2的共轭复数是 () A．i＋2 B．i－2 C．－2－i D．2－i
答案：B 解析：i－5 2＝2－－5i22＋＋ii＝－105－5i ＝－2－i，其共轭复数为－2＋i，故选 B.
7.5复数-2021届高三数学（新高考） 一轮复 习课件( 共49张 PPT)
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三、走进高考 4．[2019·全国Ⅰ卷]设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点 为(x，y)，则( ) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 答案：C 解析：由已知得，z＝x＋yi， ∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.
7.5复数-2021届高三数学（新高考） 一轮复 习课件则复数 z 的虚部为( ) A．16 B．－11 C．－11i D．－16
答案：B 解析：依题意，z＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i＋4i＋10＝16－11i，故 复数 z 的虚部为－11.故选 B.
2021版高考英语一轮复习语法专题讲义北师大版
2021版高考英语一轮复习语法专题讲义北师大版专题一名词和冠词语法项目(一) 名词名词的数——典题尝试(单句语法填空)1．(2021·全国卷Ⅱ)It ran for just under seven kilometers and allowed people to avoid terrible crowds (crowd) on the roads above as they travelled to and from work.2．(2021·全国卷Ⅲ) She has turned down several invitations (invitation) to star at shows in order to concentrate on her studies.3．(2021·全国卷Ⅱ)Recent studies (study) show that we are far more productive at work if we take short breaks regularly.——规则点拨1．物质名词一样不用复数形式，但有些物质名词要用复数形式来表示不同的类别。
fishes各种鱼fruits各种水果steels各种钢材2．物质名词表示数量时，一样用表示数量的短语来表示。
a cup of tea一杯茶two pairs of trousers两条裤子four pieces of bread四片面包3．有些名词的单数和复数形式表示不同的含义。
work(工作)→works(著作)arm(手臂)→arms(军火)glass(玻璃)→glasses(眼镜)cloth(布)→clothes(衣服)4．有些名词既可用作可数名词又可用作不可数名词，然而意义不同。
room空间→a room一间房glass玻璃→a glass一个玻璃杯子chicken鸡肉→a chicken一只小鸡paper纸→a paper一张报纸5．有些名词形似单数，但实为复数，如police, people。
高考数学一轮复习 11.3复数课件
2.如果复数 m2 是 i 纯虚数,那么实数m等于 ( )
1 mi
A.-1 B.0 C.0或1 D.0或-1
答案 D
m=2 i
1 mi
=(m2 1,令i)m(m122+mmi)=0,m得2 m m=10或m(12-1m. 3)i
经检验满足题意.故选D.
3.已知复数z= 1 ,则 z·i在复平面内对应的点位于 ( )
(3)复数的加减法的几何意义
a.复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量 Ouu、Zur1 不OuuZ共uur2 线,则复数z1+z2是以OZ1、OZ2为两 邻边的平行四边形的对角线OZ表示的向量 O=uuZur +OuuZu所r1 对OuuZu应ur2 的复数. b.复数减法的几何意义 若复数z1,z2对应的向量分别为 Ouu,Zur1 ,则OuuZu复ur2 数z1-z2是向量 所对Zuu应2uZur1的复 数.
1 i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B z= 1, i= z +1 i , z·i=- 1 +1 i.
2 22
22
实部为- 1 ,虚部为1
2
2
,对应点为
1 2
,
12,在 第二象限,故选B.
4.i是虚数单位,则 2i3=
.
1 i
答案 -1-i
解析
2i3 2i (2i)(1 i)
则x+y=2a,xy=a2+b2,
代入(x+y)2-3xyi=4-6i,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根据复数相等得
4a2 3(a2
4, b
2024届高考数学第一轮专项复习——复数的概念与运算 教学PPT课件
； ＝
＝
＝
2
＋i
（＋i)(−i）
−
1
1 2
1 2
＋ 2
i（ c ＋ d i≠0），即 ＝
＝
.
2
2
2
2
＋
＋
｜2｜
2
2 2
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（2） 复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 z 1， z 2， z 3∈C，有 z 1＋ z 2
（ m ∈R，i是虚数单位）.
（1） 若 z 为纯虚数，求实数 m 的值.
− − = ，
解：（1） 若 z 为纯虚数，则
解得 m ＝－1.所以实
− ≠ ，
数 m 的值为－1.
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（2） 当 m ＝2时，复数 （1＋i）是关于 x 的方程2 x 2＋ px ＋ q ＝0的一
4. 复数是纯虚数的充要条件：① z ＝ a ＋ b i是纯虚数⇔ a ＝0且 b ≠0
（ a ， b ∈R）；② z ＝ a ＋ b i是纯虚数⇔ z ＋ ＝0（ z ≠0）；③ z ＝ a
＋ b i是纯虚数⇔ z 2＜0.
5. 实系数一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两个复数根互为共轭
= ，
− ＋ = ，
以
解得
= .
− = ，
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总结提炼
与复数概念有关的问题主要考查以下几点
（1） 复数的实部与虚部；（2） 复数的分类；（3） 复数的共轭
复数.
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[对点训练]
若 z 1， z 2为复数，则“ z 1－ z 2是纯虚数”是“ z 1， z 2互为共轭复数”的
2021年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)专题10.5 复数(讲)
【最新考纲解读】内容要求备注A B C8．复数复数的概念√对学问的考查要求依次分为了解、理解、把握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列学问的含义有最基本的生疏，并能解决相关的简洁问题.理解：要求对所列学问有较深刻的生疏，并能解决有肯定综合性的问题.把握：要求系统地把握学问的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.复数的四则运算√复数的几何意义√【考点深度剖析】复数学问均是以填空题的形式并且一般在前三题的位置上进行考查，涉及复数的基本概念，着重考查同学基本运算求解力量.复数学问一般不与其它章节学问结合考查，常单独设置题目，难度较低.【课前检测训练】【判一判】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()1.×2.×3.×4.√5.√【练一练】1．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于()A．3＋3i B．－1＋3iC．3＋i D．－1＋i答案 C解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i，故选C.2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i答案 C解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i答案 C4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－b i，则(a＋b i)2等于()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i答案 A解析∵a，b∈R，a＋i＝2－b i，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.5．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________.答案2＋i解析∵z＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝10－5i5＝2－i，∴z＝2＋i.【题根精选精析】考点1 复数的概念【1-1】【2021年南通高三联考数学】若复数()Raiai∈+-12是纯虚数,i是虚数单位,则a的值是．【答案】2【解析】()()222212=-⇒+--=+-ai aaiai,即a=2．【1-2】已知复数122,34.z m i z i =+=-若12zz 为实数，则实数m 的值为 ．【答案】32-【1-3】【无锡2021届高三下学期3月联考】复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是 ．【答案】15【解析】由于32(21)2155i i ii i --+=--=-，所以该复数的虚部是15．本题易错选C ，复数的虚部是一个实数. 【1-4】【南通2021届高三3月模拟考试】已知复数21iz =-+，则z 的共轭复数为 ． 【答案】-1+i.【解析】()()()()()222121211i 111i i z i i i i --⨯--====---+-+----，所以，12z i =--= ，z 的实部为1，z 的虚部为﹣1，z 的共轭复数为-1+i.【1-5】若复数()223(3)(z a a a i i =+-++为虚数单位）为虚数，则实数a 的值是 ． 【答案】1【解析】()()2233z a a a i =+-++为虚数，则230230a a a +≠⎧⎨+-=⎩，解得1a =.【基础学问】1.i 称为虚数单位,规定21i =-；2.形如a bi +(,a b R ∈)的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部．若0b =，则a bi +为实数；若0b ≠，则a bi +为虚数；若0a =且0b ≠，则a bi +为纯虚数．3.共轭复数：复数a bi -称为复数z a bi =+的共轭复数，记为z ，那么z 与z 对应复平面上的点关于实轴对称，且2z z a +=，2z z bi -=，222zz z a b ==+，z z z R =⇔∈a bi +与c di +共轭⇔,a cb d ==-(,a b ，,cd R ∈)． 【思想方法】1.解决复数概念问题的方法及留意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应当满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时肯定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式，以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．【温馨提示】这两个题都是复数的有关概念，解题时肯定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式，以确定实部和虚部，进而求得结论.考点2复数相等，复数的几何意义【2-1】设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于 ． 【答案】2 【解析】由于22(1)11211i i i i i i i --=--=-+=+-，所以2(1)i i--221112i =+=+=. 【2-2】在复平面内，复数12i-（i 是虚数单位）对应的点位于 象限． 【答案】第一【2-3】i 为虚数单位，i 为虚数单位，若11a ii i+=-则 a 的值为若则a 的值为 ． 【答案】2i - 【解析】由11a i i i +=-，可得(1)(1)ai i i =+-.所以2ai =.所以22a i i==-. 【2-4】已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的 条件． 答案：充分不必要解析：当1a b ==时，()()2212a bi i i +=+=，反过来()22222a bi a b abi i +=-+=，则220,22a b ab -==，解得1,1a b ==或1,1a b =-=-，故1a b ==是()22a bi i +=的充分不必要条件【2-5】【苏州2021届高三模拟】在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．【答案】35【基础学问】1.复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a bi z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．特殊00z a bi a b =+=⇔==.2.复数的模：向量OZ 的模r 叫做复数z a bi =+ (,a b R ∈)的模，记作z 或a bi +，即22z a bi a b =+=+.3.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面x 轴叫做实轴，y 轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.复数的几何表示：复数z a bi =+ (,a b R ∈)可用平面直角坐标系内点(),Z a b 来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．复数的几何意义 （1）复数z a bi=+复平面内的点(),Z a b (,a b R ∈).（2）复数z a bi =+ (,a b R ∈)(),OZ a b =.4.复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： （1）0(z z r r -=是正常数）↔轨迹是一个圆.（2）1212(z z z z z z -=-、是复常数）↔轨迹是一条直线.（3）12122(z z z z a z z -+-=、是复常数，a 是正常数）↔轨迹有三种可能情形：a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在.（4）122(z z z z a a ---=是正常数）↔轨迹有三种可能情形：a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b)当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c)当212z z a ->时，轨迹不存在.【思想方法】1. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ 相互联系，即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2. 留意复数相等的充要条件中必需把两个复数都化为“标准的代数形式”．3. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义动身，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z a bi =+ (,a b R ∈)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点(),Z a b 相对应. 【温馨提示】这两题都是复数的几何意义，与复数相等，解题的关键是找准复数的实部和虚部，从定义动身，把复数问题转化成实数问题来处理．考点3复数的运算【3-1】【2021高考湖南卷第1题】满足i ziz =+（i 是虚数单位）的复数=z ． 【答案】i 2121-【3-2】若复数11z i =+，23z i =-，则12z z ⋅= ． 【答案】42i +【解析】()()212133242z z i i i i i ⋅=+-=+-=+.【3-3】【2021辽宁高考理第2题】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = ． 【答案】23i + 【解析】由于5223(2)z i z i i =+∴=+-. 【3-4】【扬州2021届高三3月第一次模拟考试】若复数z 满足：34iz i =+，则z = ． 【答案】5【解析】由于34iz i =+，所以3443i z i i+==-，()22435z ∴=+-=. 【3-5】【2021届其次次大联考数学江苏版】已知313(2)()2243i z i---=-，则z = .【答案】55【基础学问】1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设1z a bi =+,2(,,,)z c di a b c d R =+∈,则①加法：12()()z z a bi c di +=+++=()()a c b d i +++； ②减法：12()()z z a bi c di -=+-+=()()a c b d i -+-； ③乘法：12()()z z a bi c di =++=()()ac bd ad bc i -++；④除法：1222222(0)z a bi ac bd bc ad i z z c di c d c d++-==+≠+++ 2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z C ∈，有1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++. 3. 复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R 中整数指数幂的运算律，在复数集C 中仍旧成立，即对任何，，及，有：，，；4.复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数12,z z 对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数12,z z 对应的向量共线且同向（反向）时取等号.【思想方法】.1. 几个重要的结论：⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠. 2. 常用计算结论： ⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i ii +-=,11i ii -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11zz zz z =⇔=⇔=；132ω=-+，2132ωω=-=，31ω=，210ωω++=. 3. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要留意把i 的幂写成最简洁的形式，在运算过程中，要生疏i 的特点及娴熟应用运算技巧．，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要留意把i 的幂写成最简形式．4.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式(),z a bi a R b R =+∈∈，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的学问求解复数的相关问题.5.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．【温馨提示】这两个题都是复数的运算，把复数表示成标准的代数形式，即化为(),a bi a R b R +∈∈的形式，在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化． 在解决含有字母参数的集合问题时, 要留意检验集合的元素是否满足互异性. 【易错问题大揭秘】失误与防范]1．判定复数是实数，仅留意虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小．3．留意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数．。
第33讲复数-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习(解析版)
专题33：复数一、课程标准 1、了解复数的概念2、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3、掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.基础知识回顾二、知识梳理1. 复数(1)复数的意义：形如z ＝a ＋b i (a 、b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1，a 叫做实部，b 叫做虚部，复数集记作C ，数集N 、Z 、Q 、R 、C 的关系是：N Z Q R C.(2)复数的模：z ＝a ＋b i ，|z |＝a 2＋b 2．(3)复数相等：z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1＝z 2，则a 1＝a 2，b 1＝b 2． (4)共轭复数：z ＝a ＋b i ，z －＝a －b i ；z 与z －互为共轭复数． 2. 复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则． 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi )·(c ＋di )＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0)．3. 复数的几何意义(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．4. 复数的几何表示复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z(a ，b)及平面向量OZ →＝(a ，b)(a ，b ∈R)是一一对应关系．三、自主热身、归纳总结1、(2017无锡期末） 已知复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为________．【答案】. 1－i【解析】：因为复数z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以复数z 的共轭复数z ＝1－i.2、(2017常州期末） 已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 【答案】. 1【解析】：因为(x －i)2＝x 2－2x i ＋i 2＝x 2－1＋2x i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≠0，x ＞0，解得x ＝1.3、(2017苏州期末）已知复数z ＝1－i2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．【答案】 －12思路分析 先化z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的形式或设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，再去分母．解法1 z ＝(1－i )i 2i·i ＝1＋i －2＝－12－12i ，所以z 的虚部是－12.解法2 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则2i(a ＋b i)＝1－i ，即－2b ＋2a i ＝1－i ，所以－2b ＝1，得b ＝－12.易错警示 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部是b ，不是b i. 4、(2018苏州期末） 已知i 为虚数单位，复数z ＝32－32i 的模为________． 【答案】 3【解析】|z|＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫－322＝ 3. 5、(2018常州期末）若复数z 满足z·2i ＝|z|2＋1(其中i 为虚数单位)，则|z|＝________．【答案】 1【解析】： 两边同时取模得||z·2i ＝2|z|＝|z|2＋1，即|z|2－2|z|＋1＝0，所以|z|＝1.6、(2017南京学情调研）设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 【答案】. 25【解析】：因为(z ＋i)i ＝－3＋4i ，所以z i ＝－2＋4i ，所以|z |＝|－2＋4i||i|＝4＋16＝2 5. 7、(2017南京、盐城二模） 若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. 【答案】. 2思路分析 即求z ·z ＝|z |2.具体求z 的模时，可用商的模等于模的商． 因为z ·z ＝|z |2，且|z |＝|2i||1－i|＝22＝2，所以z ·z ＝2. 8、(2017泰州期末） 如图，在复平面内，点A 对应的复数为z1，若z2z1＝i (i 为虚数单位)，则z2＝________.【答案】 －2－i【解析】：由图可知z 1＝－1＋2i ，又因为z 2z 1＝i ，所以z 2＝i z 1＝i(－1＋2i)＝－2－i.四、例题选讲考点一、复数的有关概念例1、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 【答案】3-【解析】：()(13)(3)(13a)13(13)(13)10a i i a ia i z i i i +-++-+===++- 由z 是纯虚数，则30a +=，故3a =-.变式1、(2019南京三模）若复数z 满足z (1＋i)＝1，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限． 【答案】．四 【解析】因为11111222i z i i -===-+，所以对应的点为（11,22-），故在第四象限. 变式2、(2019南京、盐城二模） 若复数z 满足za ＋2i ＝i (i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a 的值为________． 【答案】－2【解析】由za ＋2i＝i 得z ＝(a ＋2i )·i ＝－2＋a i ，又z 实部和虚部相等，所以a ＝－2.变式3、已知i 是虚数单位，复数z ＝m 2(1＋i )－m(2＋3i )－4(2＋i )，当m 分别取何实数时，z 满足如下条件？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零． 【解析】 z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2－3m －4)i .(1)当m 2－3m －4＝0时，即m ＝－1或m ＝4时，z 为实数； (2)当m 2－3m －4≠0时，即m≠－1且m≠4时，z 为虚数；(3)⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4≠0，m 2－2m －8＝0时，即m ＝－2时，z 为纯虚数； (4)⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0，m 2－2m －8＝0时，即m ＝4时，z 为零． 方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a ＋b i (a ，b ∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a ＝0且b ≠0.考点二、复数的运算例2、、(2019苏锡常镇调研）已知复数，其中是虚数单位，则＝ ． 【答案】.1解法1：因为复数i i i z 5354543-=+=，所以1535422=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=z 。
高考数学一轮总复习课件：复数
(2)11＋－ii6＋
2＋ 3－
32ii＝__－_1_＋__i __；
(3)－1＋2 23＋3ii＋1－2i2 020＝__－_1_＋__i __．
【解析】 (1)原式＝1－2i i－1＋2i i＝－22i i＝－1.
(2)原式＝[（1＋2 i）2]6＋（
2＋ 3i）（ 3＋ 2i） （ 3）2＋（ 2）2
状元笔记
复数的模与共轭复数的运算性质 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；(2)zz12＝||zz12||； (3)|z|＝|－z |；(4)z·－z ＝|z|2.
思考题3
(1)(2016·课标全国Ⅲ)若z＝4＋3i，则
－z |z|
＝
( D) A．1
B．－1
C.45＋35i
D.45－35i
( A)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
【解析】
z1 z2
＝
1＋i 2＋bi
＝
（1＋i）（2－bi） 4＋b2
＝
（2＋b）4＋＋b（2 2－b）i为纯虚数，得2＋b＝0且2－b≠0，即b＝－2.
题型二 复数的运算(微专题)
微专题1：复数的基本运算
例2 计算：
(1)（11＋－ii）2＋（11－＋ii）2＝___－_1____；
【解析】 －|zz|＝ 44－2＋3i32＝45－35i，故选D.
(2)设z的共轭复数是
－z
，若z＋
－z
＝4，z·
－z
＝8，则
－z z
＝
( D)
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
【解析】
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
2a＝4， a2＋b2＝8，
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考点1 复数
[玩前必备]
1．复数的有关概念 (1)定义：
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：
(3)复数相等：a ＋b i ＝⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算
(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R
3．复数的几何意义
(1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →
＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． (2)模：向量OZ →
的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．
[玩转典例]
题型一 复数的概念
例1（2018•福建）若复数2(32)(1)a a
a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．1-
例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 . 例3（2015•湖北）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为( ) A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
(2i)(1i)a ++i
例4【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )
（A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪]
1.（2020届山东省烟台市高三模拟）设i 是虚数单位，若复数5i
2i
()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-
B ．3
C ．1
D ．1-
2.已知复数 z = (m 2 - m - 2) + (m 2 - 3m + 2)i 是实数，则实数 m =_________
3.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -
B ．2i +
C ．12i +
D ．12i -
题型二 复数的代数运算
例5（2016•全国）复数2
2
(12)(2)i i -+的模为( )
A ．1
B ．2
C
D ．5
例6（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -
B ．2i
C ．1i -+
D ．0
例7【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足
11z
z
+-=i ，则|z|=( )
（A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪]
1.（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，
若12z zz =，则z 的共复数z =（ ）
A ．
1322i + B ．
1322i - C ．1322
i -
+ D ．13
22i -
- 2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），若12z i i i
=+-，则z ＝（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155
i --
题型三 复数的几何意义
例8(2018全国卷Ⅰ)设1i
2i 1i
z -=++，则||z =
A ．0
B ．
1
2
C ．1
D 例9（2020•涪城区校级模拟）若复数z 满足(12)10z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[玩转跟踪]
1.（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设复数z 满足||2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．22(1)2x y ++= B ．22(1)4x y -+= C ．22(1)4x y +-=
D ．22(1)2x y ++=
2.（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）若复数221a i
i
++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[玩转练习]
1．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i -
B ．1i +
C ．1i --
D ．1i -+
2．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
3．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1z
i
=+ ) A ．3322
i -+
B ．3122
i -+
C ．1322
i -+
D ．
1322
i + 4．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =
D ．
13
122
z i i =++ 5．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i += ) A ．25i --
B ．25i -+
C ．25i +
D ．25i -
6．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于(
) A ．5
B ．13
C ．22
D ．2
8．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231i
z i i
=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z = )
A B
C ．5
D ．3
9．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +
B ．1i -
C ．1i --
D ．1i -+
10．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0
B ．4i
C ．4i -
D ．4-
11．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则1
2
||(z z = )
A ．B
C D ．1
12．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|1|z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
13．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( ) A ．22(1)1x y ++=
B ．22(1)1x y -+=
C ．22(1)1x y +-=
D ．22(1)1x y ++=
14．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)
B ．(2,1)
C ．(1,2)--
D ．(2,1)--
15．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，2
11z i i
=--，则关于复数z 的说法正确的是( ) A ．||1z =
B ．z 对应复平面内的点在第三象限
C ．z 的虚部为i -
D ．2z z +=
16．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -= )
A ．0
B ．1
C
D ．2。