同济大学高等数学第六版下册第十一章幂级数 PPT
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n0
lim
n
an1 x n1 an xn
lim an1 n an
x x,
(1) 如l果 im an1(0)存,在
a n n
由比值审敛法,
当|
x
|
1
时,级数|anxn|收敛 ,
n0
从而 级 anxn绝 数收 对 .敛
n0
当| x | 1时,
级数 |anxn|发散 ,
n0
并且从某n开 个始|a n 1 x n 1 | |a n x n ||,anxn|0
函数项级数的部分和 sn ( x), 余项 r n (x ) s(x ) sn (x )
ln im sn(x)s(x)
ln i m rn(x)0 (x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
例 1 求 级 数(1)n( 1 )n的 收 敛 域 . n1 n 1x
解 由达朗贝尔判别法
un1( x ) un ( x )
n 1 n1 1 x
1 (n) 1x
(1) 当 1 1, 1x1,
1 x 即 x0 或 x 2 时 , 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1x1, 1x
即 2x0时 , 原级数发散.
(3)当 |1x|1 , x 0 或 x 2 ,
当x0时,
n 0
收敛半R径 0.
定理证毕.
① 若 a n x n 在 x0 处收敛 则 R| x0| n1
② 若 a n x n 在 x0 处发散 则 R| x0| n1
③ 若 a n x n 在 x0 处条件收敛 则 R| x0|
n1
这是幂级数收敛的特性
注 利用该定理求收敛半径要求所有的 an 0
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
证明 (1) anx0n收敛 , ln i m anx0n0, n0 M, 使 a n x 得 0 n M (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n
n
an x0n
x x0
M
n
x x0
பைடு நூலகம்
当 x
1时,
等比级 数 Mx
n
收敛 ,
x0
n0 x0
或只有有限个 an 0
例2 求下列幂级数的收敛区间:
(1) (1)n xn;
n1
n
(2) (nx)n;
n1
(3) x n ;
n1 n!
(4)
(1)n
2n(x1)n.
n1
n2
解 (1 ) liman1 lim n 1 R1 n an n n 1
当x1时, 级数为 (1)n, 当x1时, 级数n为 1 n1,
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(R,R), 称为幂级数的收敛区间，
收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点
可能是 (R,R),[R,R),(R,R], [R,R].
规定 ( 1 ) 幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,
R0, 收 敛 区 间 x 0 ; ( 2 ) 幂 级 数 对 一 切 x 都 收 敛 ,
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
3.和函数:
在 收 敛 域 上 , 函 数 项 级 数 的 和 是 x 的 函 数 s ( x ),
称 s ( x ) 为 函 数 项 级 数 的 和 函 数 .
s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
o
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质:
当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ;
当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ;
当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
R, 收 敛 区 间 ( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2 如果幂级数 anxn的所有系数an 0,
设lim an1 n an
n0
(或 ln i m nan)
(1) 则当0时,R1; (2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 ,R 0 .
证明 对级 数anxn应用达朗贝尔判别
幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设u1(x),u2(x), ,un(x), 是定义在I R上的函
数,则 un(x) u1(x) u2(x) un(x)
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
例如 级 x n1 数 xx 2 ,
n 0
2.收敛点与收敛域:
如 果 x 0 I , 数 项 级 数 u n (x 0 )收 敛 , n 1 则 称 x 0为 级 数u n(x)的 收 敛 点 , n 1 函 数 项 级 数 u n ( x ) 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n 1
级数
(1)n
收敛;
n1 n
当x2时, 级数 1
n1 n
发散;
故级数的收 ( ,敛 2) 域 [0,为 ).
二、幂级数及其收敛性
1.定义:形 如an(xx0)n的 级 数 称 为 幂 级 数 .
n0
当x00时, anxn, 其 中 a n 为 幂 级 数 系 数 .
n0
2.收敛性:
例如 级 xn1 数 xx2 ,
从而 级 anx数 n发.散
n0
(2) 如果 0, x0,
有an1xn1
anxn
0(n),
级
数|anxn|收
n0
敛 ,
从而 级 anxn绝 数收 对.敛 收敛半 R径 ;
n0
(3) 如果 ,
x0, 级数 anxn必发. 散
n0
(否则 1 知 由 将 x 0 定 使 有 |a n 理 x n |收 点 ) 敛
n 0
当x1时 ,收;敛当x1时,发;散
收敛(1域 ,1); 发( 散 , 1 ] 域 [1 ,) ;
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
n0
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以
anxn收敛, 即级数anxn收敛 ;
n0
n0
(2)假设 xx0 当 时发 , 散
而有一点x1适合x1 x0 使级数收敛, 由(1)结论 则 级 数 当 xx0时 应 收 敛 ,
这 与 所 设 矛 盾 .
几何说明
收敛区域
发散区域 R
这是幂级数收敛的特性
lim
n
an1 x n1 an xn
lim an1 n an
x x,
(1) 如l果 im an1(0)存,在
a n n
由比值审敛法,
当|
x
|
1
时,级数|anxn|收敛 ,
n0
从而 级 anxn绝 数收 对 .敛
n0
当| x | 1时,
级数 |anxn|发散 ,
n0
并且从某n开 个始|a n 1 x n 1 | |a n x n ||,anxn|0
函数项级数的部分和 sn ( x), 余项 r n (x ) s(x ) sn (x )
ln im sn(x)s(x)
ln i m rn(x)0 (x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
例 1 求 级 数(1)n( 1 )n的 收 敛 域 . n1 n 1x
解 由达朗贝尔判别法
un1( x ) un ( x )
n 1 n1 1 x
1 (n) 1x
(1) 当 1 1, 1x1,
1 x 即 x0 或 x 2 时 , 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1x1, 1x
即 2x0时 , 原级数发散.
(3)当 |1x|1 , x 0 或 x 2 ,
当x0时,
n 0
收敛半R径 0.
定理证毕.
① 若 a n x n 在 x0 处收敛 则 R| x0| n1
② 若 a n x n 在 x0 处发散 则 R| x0| n1
③ 若 a n x n 在 x0 处条件收敛 则 R| x0|
n1
这是幂级数收敛的特性
注 利用该定理求收敛半径要求所有的 an 0
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
证明 (1) anx0n收敛 , ln i m anx0n0, n0 M, 使 a n x 得 0 n M (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n
n
an x0n
x x0
M
n
x x0
பைடு நூலகம்
当 x
1时,
等比级 数 Mx
n
收敛 ,
x0
n0 x0
或只有有限个 an 0
例2 求下列幂级数的收敛区间:
(1) (1)n xn;
n1
n
(2) (nx)n;
n1
(3) x n ;
n1 n!
(4)
(1)n
2n(x1)n.
n1
n2
解 (1 ) liman1 lim n 1 R1 n an n n 1
当x1时, 级数为 (1)n, 当x1时, 级数n为 1 n1,
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(R,R), 称为幂级数的收敛区间，
收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点
可能是 (R,R),[R,R),(R,R], [R,R].
规定 ( 1 ) 幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,
R0, 收 敛 区 间 x 0 ; ( 2 ) 幂 级 数 对 一 切 x 都 收 敛 ,
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
3.和函数:
在 收 敛 域 上 , 函 数 项 级 数 的 和 是 x 的 函 数 s ( x ),
称 s ( x ) 为 函 数 项 级 数 的 和 函 数 .
s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
o
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质:
当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ;
当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ;
当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
R, 收 敛 区 间 ( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2 如果幂级数 anxn的所有系数an 0,
设lim an1 n an
n0
(或 ln i m nan)
(1) 则当0时,R1; (2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 ,R 0 .
证明 对级 数anxn应用达朗贝尔判别
幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设u1(x),u2(x), ,un(x), 是定义在I R上的函
数,则 un(x) u1(x) u2(x) un(x)
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
例如 级 x n1 数 xx 2 ,
n 0
2.收敛点与收敛域:
如 果 x 0 I , 数 项 级 数 u n (x 0 )收 敛 , n 1 则 称 x 0为 级 数u n(x)的 收 敛 点 , n 1 函 数 项 级 数 u n ( x ) 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n 1
级数
(1)n
收敛;
n1 n
当x2时, 级数 1
n1 n
发散;
故级数的收 ( ,敛 2) 域 [0,为 ).
二、幂级数及其收敛性
1.定义:形 如an(xx0)n的 级 数 称 为 幂 级 数 .
n0
当x00时, anxn, 其 中 a n 为 幂 级 数 系 数 .
n0
2.收敛性:
例如 级 xn1 数 xx2 ,
从而 级 anx数 n发.散
n0
(2) 如果 0, x0,
有an1xn1
anxn
0(n),
级
数|anxn|收
n0
敛 ,
从而 级 anxn绝 数收 对.敛 收敛半 R径 ;
n0
(3) 如果 ,
x0, 级数 anxn必发. 散
n0
(否则 1 知 由 将 x 0 定 使 有 |a n 理 x n |收 点 ) 敛
n 0
当x1时 ,收;敛当x1时,发;散
收敛(1域 ,1); 发( 散 , 1 ] 域 [1 ,) ;
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
n0
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以
anxn收敛, 即级数anxn收敛 ;
n0
n0
(2)假设 xx0 当 时发 , 散
而有一点x1适合x1 x0 使级数收敛, 由(1)结论 则 级 数 当 xx0时 应 收 敛 ,
这 与 所 设 矛 盾 .
几何说明
收敛区域
发散区域 R
这是幂级数收敛的特性